Teorema de Norton
Consiste em substituir parte do circuito por uma fonte de corrente de Norton (In) e uma resistência de Norton. Etapas:- Encontrar a resistência de Norton (Rn). Uma nota interessante é que a resistência de Thévenin é IGUAL a resistência de Norton.
- Encontrar a corrente de Norton e fechar o circuito onde ele foi separado. Outra nota interessante: enquanto a resistência de Thévenin abria o circuito pra encontrar a tensão no ponto, a de Norton fecha o circuito; é muito raro um resistor em curto nesse caso.
Note que a resistência de Norton fica em paralelo com a resistência desejada, ao contrário da resistência de Thévenin, que fica em série.
Exemplo:
Nesse caso, queremos a tensão naquele resistor de 4 ohms. Vamos fatiar essa última resistência e trabalhar com todo o resto, de maneira por regra semelhante ao teorema de Thévenin. A parte da resistência, como constatado nas etapas, é igual à de Thévenin, então:
Ok, temos duas resistências de 4 em paralelo (4//4 = 2), em série com uma de 4 (2+4 = 6). Logo, resistência de Norton é de 6 ohms. Agora para a parte de descobrir a corrente de Norton:
Vê... A corrente de Norton é a corrente que passa pela última linha do circuito (a etapa 2 descreve bem isso), assim como a tensão de Thévenin é a que está no último elemento do circuito. A diferença da corrente pra tensão é que a corrente não precisa estar passando em alguma coisa pra ser contabilizada (aliás, se não há nada entre um nó e outro é porque o que está no meio está em curto e a corrente será a máxima possível naquele ponto). De qualquer forma, sem mais enrolações: para descobrir a corrente naquele ponto, precisamos saber a corrente total do circuito.
Temos dois resistores de 4 em paralelo (4//4 = 2), em série com um de 4, o que dá 6 ohms. Para descobrir a corrente total, precisamos dividir a tensão total pela resistência total:
$$i = \dfrac{24V}{6\Omega} = 4A$$
Agora nem precisamos fazer mais conta. Analisando o circuito, vemos que a corrente de 4 se divide por dois resistores de valor igual, o que significa que é só dividir por 2 e teremos a corrente em cada ponto. Ou seja: a corrente de Norton no ponto que queremos é de 4/2 = 2A, já que é a corrente que passa por um dos resistores.
Remontando o circuito, lembrando daquela informação relevante que passei mais acima, que as resistências de Norton ficarão em paralelo:
Agora é fácil, né? Os resistores estão em paralelo, o que indica que a tensão é a mesma nos dois pontos... E indica, também, que a tensão desejada nesse circuito é a total. Só precisamos fazer as associações de resistores em paralelo e multiplicar pela corrente:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{6\Omega} + \dfrac{1}{4\Omega} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12} \\ R = \dfrac{12}{5} = 2.4\Omega$$
$$V_0 = 2A * 2.4\Omega = 4.8V$$
Resolvido o exemplo, vamos aos exercícios, que são mais dificinhos que isso.
Exercício 1
Vamos fatiar o resistor de 6 aí, o resto deixaremos. Lembrando que temos duas fontes, então usaremos o teorema da superposição para elas. Primeiro, após o corte, vamos deixar apenas as resistências para descobrir a resistência de Norton que queremos.
Note que temos três resistências de 4 em paralelo, em série com outra de 4. Nesse caso, temos que as resistências em paralelo dão 4/3. Para somar com 4 de uma maneira precisa:
$$R = \dfrac{4}{3} + 4 = \dfrac{12 + 4}{3} = \dfrac{16}{3} \approx 5.33\Omega$$
Vamos trabalhar esse resultado exato em fração ao invés da aproximação. Como sempre.
Agora remontando o circuito já aplicando a superposição e deixando apenas a fonte de 24V, temos:
Veja bem: mais uma vez, são três resistências de 4 em paralelo, em série com outra de 4. Precisamos descobrir a corrente ali na extrema direita, como são três resistores de valor igual a corrente é a que entrar nos nós dividido por 3. Como a corrente que se divide é a total, então é só descobrir essa corrente.
Como eu disse, a resistência é a mesma que descobrimos pra Norton, 16/3. É só dividir a tensão total por isso:
$$i = \dfrac{24V}{\dfrac{16}{3}\Omega} = \dfrac{24 * 3}{16}A = \dfrac{72}{16}A = 4.5A$$
Dividindo isso por 3:
$$i'_n = \dfrac{4.5A}{3} = 1.5A$$
O próximo ponto é isolar a fonte de 6A:
Veja que, dessa vez, o circuito é um pouquinho mais complexo. Mas pela lógica é bem mais fácil de resolver. Pegue bem esse raciocínio meu, pode ajudar um pouco em uma infinidade de exercícios: são quatro resistores em paralelo, então sabemos que a corrente se divide igualmente pelos quatro, certo? Concorda comigo que a corrente total já está dada, e é de 6A? Logo é só dividir ela por 4.
$$i''_n = \dfrac{6A}{4} = 1.5A$$
Ótimo. Agora precisamos fazer a soma das correntes. Antes, note que a polaridade da fonte de tensão está na mesma direção da fonte de corrente, o que indica que haverá soma mesmo, não subtração. Logo a corrente de Norton é 1.5 + 1.5, 3A.
Redesenhando o circuito com a fonte de corrente de 3A e a resistência de 16/3 ohms:
Note que a tensão no resistor sempre será a total, pelo fato dos resistores sempre ficarem em paralelo. É uma associação semelhante ao circuito de Thévenin, que a corrente sempre será a total pelo fato dos resistores estarem em série. Mas bem, resolvendo, temos duas resistências em paralelo e precisamos descobrir essa equivalência para multiplicar pela corrente e descobrir a tensão. Diz-se que:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{\dfrac{16}{3}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{8}{16} = \dfrac{11}{16} \\ R = \dfrac{16}{11} \approx 1.45\Omega$$
Com isso, a tensão no resistor é:
$$V_0 = 3A*\dfrac{16}{11}\Omega = \dfrac{48}{11}V \approx 4.37V$$
E resolvido está o primeiro exercício.
Exercício 2
Bem, o de sempre pra começar: retirar a parte recortada. Daí, primeiro, tirar todas as fontes do circuito e resolver a resistência equivalente para descobrir a resistência de Norton:
Bom, veja que temos em paralelo 2 com 4, em série com o resto (1 e 2, em série). Só fazer as contas então:
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \\ R_{eq} = \dfrac{4}{3}\Omega \approx 1.33\Omega$$
Agora, somando com o resto em série:
$$R_n = 1 + 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{6}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{13}{3}\Omega \approx 4.33\Omega$$
Ok, tendo isso, vamos resolver o resto do circuito através da superposição. Primeiro isolando a fonte de 12V:
Veja bem, queremos descobrir a corrente de Norton aí. Para isso, precisamos da tensão e da resistência no ponto e não temos nenhum desses. Na verdade, a resistência é só somar em série a de 1 e 2, e daí descobrimos uma resistência de 3 ohms que será utilizada no cálculo final. No entanto, a tensão é um pouco mais complicada, já que são resistores em paralelo 3//4 e, pra essa tensão, precisamos da resistência e da corrente que se divide nele.
A resistência é:
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12} \\ R_{eq} = \dfrac{12}{7}\Omega \approx 1.71\Omega$$
Agora só falta a corrente total para descobrir essa tensão. Bem, pra corrente total, precisamos da resistência total e da tensão total - tensão temos, a fonte nos diz qual é, enquanto a resistência é só associar o resistor em paralelo que temos, em série com o de 2 ohms. Fica:
$$R = \dfrac{12}{7} + 2 = \dfrac{12}{7} + \dfrac{14}{7} = \dfrac{26}{7} \approx 3.71\Omega$$
$$i = \dfrac{12V}{\dfrac{26}{7}\Omega} = \dfrac{12*7}{26}V = \dfrac{84}{26}V = \dfrac{42}{13} \approx 3.23A$$
Como descobrimos a primeira solução, vamos só começar a colocar os valores nas associações que fizemos antes. Essa corrente foi descoberta para descobrir a tensão no ponto que queremos, que precisava da resistência (o paralelo 3//4) e a corrente total, então:
$$V_n = \dfrac{42}{13}A \times \dfrac{12}{7}\Omega = \dfrac{504}{91}V = \dfrac{72}{13} \approx 5.54V$$
E precisávamos dessa tensão para descobrir a corrente de Norton, que precisava dessa tensão e da resistência naquele ponto (a que descobrimos ser 3 ohms), então:
$$i'_n = \dfrac{\dfrac{72}{13}V}{3\Omega} = \dfrac{72}{3*13}A = \dfrac{72}{39} = \dfrac{24}{13} \approx 1.85A$$
Ótimo.
Como eu fiz alguma outra vez, esse é o raciocínio padrão que sigo, que torço para que seja fácil de entender. É meio que uma recursividade pra circuitos elétricos, mas que funciona bem e é fácil porque você tem uma análise completa do circuito quando começa a descobrir valores.
Segundo circuito, agora isolando a fonte de corrente de 4A:
Veja bem, a corrente que queremos descobrir está naquele ponto com a resistência de 2 ohms. Precisamos, além da resistência, da tensão naquele ponto - que é a total do circuito. Para a tensão total, precisamos da corrente total (4A) e da resistência total, que é tudo aquilo do outro lado do circuito em paralelo com a resistência de 2 com a corrente. Logo, só resolver:
2 está em paralelo com 4, desnecessário fazer conta de novo porque fizemos lá em cima pra descobrir a resistência de Norton. Dá 4/3, ou 1.33 ohms. Em série com 1, 7/3, ou 2.33 ohms. Agora é só fazer isso em paralelo com 2:
$$R = \dfrac{\dfrac{7}{3} \times 2}{\dfrac{7}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{14}{3}}{\dfrac{7}{3} + \dfrac{6}{3}} = \dfrac{\dfrac{14}{3}}{\dfrac{13}{3}} = \dfrac{14}{13} \approx 1.07\Omega$$
A tensão total, então, é:
$$V = 4A \times \dfrac{14}{13}\Omega = \dfrac{56}{13}V \approx 4.31V$$
E a corrente de Norton:
$$i''_n = \dfrac{\dfrac{56}{13}V}{2\Omega} = \dfrac{56}{13 \times 2}A = \dfrac{56}{26}A = \dfrac{28}{13}A \approx 2.15A$$
Como as polaridades da fonte de tensão correspondem à direção da fonte de corrente, as correntes de Norton serão somadas:
$$i_n = \dfrac{24}{13}A + \dfrac{28}{13}A = \dfrac{52}{13}A = 4A$$
Vantagens claras de se usar fração a todo momento. Apesar de que, não empolguem, o resultado final é quebrado da mesma forma. Enfim! Montemos o circuito de Norton com esses valores então:
Como todo circuito de Norton, só precisamos descobrir a equivalência entre as resistências, e depois a tensão total, e depois a corrente no ponto. Então façamos isso em ordem:
$$R = \dfrac{\dfrac{13}{3} \times 2}{\dfrac{13}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{26}{3}}{\dfrac{13}{3} + \dfrac{6}{3}} = \dfrac{\dfrac{26}{3}}{\dfrac{19}{3}} = \dfrac{26}{19} \approx 1.37\Omega$$
$$V = 4A \times \dfrac{26}{19}\Omega = \dfrac{104}{19}V \approx 5.47V$$
$$i_0 = \dfrac{\dfrac{104}{19}V}{2\Omega} = \dfrac{104}{38}A = \dfrac{52}{19}A \approx 2.74A$$
E essa é a resposta final do circuito. Próximo.
Ao meu ver, superposição pura é muito mais fácil aqui. De qualquer forma, vamos resolver assim, já que a aula é de teorema de Norton. Primeiro, vamos isolar todas as resistências:
Veja bem, já localizei todos os nós para ficar mais fácil de perceber a situação do circuito, porque de vista pode não ser tão fácil entender o quão simples ele é. Todas as resistências de 1 estão em paralelo, em série com uma de 1 (a da extrema esquerda). Para descobrir a resistência em paralelo, vamos dividir 1 por 4, já que todos os valores são iguais e são 4 resistências:
$$R_P = \dfrac{1}{4}\Omega = 0.25\Omega$$
Somando com 1:
$$R_n = 0.25 + 1 = 1.25\Omega$$
Agora vamos isolar cada fonte de tensão:
Veja bem, não se assuste. Podemos redesenhar o circuito, mas chega a ser irrelevante tomar essa atitude. Perceba que o circuito vai da tensão para A, de A para B, e de B para C, e de C para a tensão de novo. Sabemos que tudo que está entre A e B forma uma única resistência em paralelo AB, e tudo que está entre B e C forma uma resistência em paralelo BC... Sendo assim, a resistência AB está em série com a BC.
Mas bem, vamos pensar no método recursivo. Pra que mesmo gostaríamos de saber a resistência total?
1. Queremos a corrente que passa unicamente pelo resistor de 1ohm na extrema esquerda, para ela precisamos da resistência de 1ohm e da tensão, que não temos.
2. Para essa tensão, temos duas alternativas: ou precisamos da resistência de 1ohm e da corrente (que é o que queremos no final do exercício) e ficamos no lenga-lenga ou, como 1ohm está em paralelo com outros dois circuitos, usamos a resistência equivalente desses três resistores e a corrente que se divide nos três. A resistência podemos descobrir dividindo 1 por 3, já que são três resistores iguais:
$$R_{BC} = \dfrac{1}{3}\Omega \approx 0.33\Omega$$
Já a corrente ainda não temos.
3. Para descobrir essa corrente, que é a total já que estamos falando de algo que ainda vai se dividir, precisamos da tensão total de 6V e da resistência equivalente do circuito completo. Já temos uma parte dessa resistência equivalente (Rbc), falta só Rab e juntar as duas pelo que discutimos lá em cima:
$$R_{AB} = \dfrac{1}{2} = 0.5\Omega$$
$$R = \dfrac{1}{3} + 0.5 = \dfrac{1 + 1.5}{3} = \dfrac{2.5}{3} \approx 0.83\Omega$$
$$i = \dfrac{6V}{\dfrac{2.5}{3}\Omega} = \dfrac{6 \times 3}{2.5}A = \dfrac{18}{2.5}A = 7.2A$$
Ótimo, agora vamos voltar pro 2, com essa corrente.
$$V_{BC} = 7.2A \times \dfrac{1}{3}\Omega = \dfrac{7.2}{3}V = 2.4V$$
E agora voltamos pro 1:
$$i'_n = \dfrac{2.4V}{1\Omega} = 2.4A$$
Resolvido isso, vamos pra segunda parte, com a fonte de 12V:
Como vê, um sistema semelhantíssimo ao primeiro. Três resistores em paralelo formando um AB, em série com dois resistores em paralelo que formam um BC. A corrente está acompanhada de uma resistência de 1ohm da parte AB. Mas agora vou propor uma análise diferente e um pouco mais fácil desse circuito, que não dei antes pra mostrar outra maneira de seu funcionamento - ao invés de abrir vários problemas para achar uma solução, e a partir dela começar a achar outras, veja bem o seguinte.
Queremos saber uma corrente de um ponto que está em paralelo com outros dois, sendo que as três resistências têm valores iguais. A tensão em paralelo é sempre a mesma, só pode variar a resistência e a corrente - se a resistência não varia, a corrente também não varia. "Tá, mas o que isso significa?" significa que a corrente se divide igualmente nos três pontos. O que significa que, encontrando a corrente total e dividindo-a por três, você tem a corrente desejada.
Primeiro, vamos encontrar essa corrente total, que precisa da resistência total e da tensão de 12V:
$$R_T = R_{AB} + R_{BC} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2.5}{3} \approx 0.83\Omega$$
$$i = \dfrac{12V}{\dfrac{2.5}{3}\Omega} = \dfrac{12 \times 3}{2.5}A = \dfrac{36}{2.5}A = 14.4A$$
Logo:
$$i''_n = \dfrac{14.4A}{3} = 4.8A$$
Estando as duas correntes In no mesmo sentido, soma-se elas:
$$i_n = 2.4A + 4.8A = 7.2A$$
Agora, redesenhando o circuito de Norton:
Dessa vez bem fácil, né? A tensão consumida pelos dois é igual, então a tensão total no circuito é V0. Vejamos, a resistência equivalente é:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{1.25} + \dfrac{1}{1} = 0.8 + 1 = 1.8\Omega \\ R = \dfrac{1}{1.8}\Omega \approx 0.56\Omega$$
Sendo assim:
$$V_0 = 7.2A \times \dfrac{1}{1.8}\Omega = \dfrac{7.2}{1.8}V = 4V$$
E está resolvido o exercício.
Felizmente poderei acelerar as próximas aulas agora, já que capacitores e indutores foram mais simples (só com uns gráficos que serão chatinhos de desenhar), e números complexos são de boa... Daí o problema fica por conta dos circuitos de CA. Mas bem, adiantando aqui (3 dias da semana tentarei estar progredindo em circuitos aqui no blog!), acho que dá tempo de, até umas semaninhas antes da prova, estar tudo nos trinques.
Bom dia a todos!
Nesse caso, queremos a tensão naquele resistor de 4 ohms. Vamos fatiar essa última resistência e trabalhar com todo o resto, de maneira por regra semelhante ao teorema de Thévenin. A parte da resistência, como constatado nas etapas, é igual à de Thévenin, então:
Ok, temos duas resistências de 4 em paralelo (4//4 = 2), em série com uma de 4 (2+4 = 6). Logo, resistência de Norton é de 6 ohms. Agora para a parte de descobrir a corrente de Norton:
Vê... A corrente de Norton é a corrente que passa pela última linha do circuito (a etapa 2 descreve bem isso), assim como a tensão de Thévenin é a que está no último elemento do circuito. A diferença da corrente pra tensão é que a corrente não precisa estar passando em alguma coisa pra ser contabilizada (aliás, se não há nada entre um nó e outro é porque o que está no meio está em curto e a corrente será a máxima possível naquele ponto). De qualquer forma, sem mais enrolações: para descobrir a corrente naquele ponto, precisamos saber a corrente total do circuito.
Temos dois resistores de 4 em paralelo (4//4 = 2), em série com um de 4, o que dá 6 ohms. Para descobrir a corrente total, precisamos dividir a tensão total pela resistência total:
$$i = \dfrac{24V}{6\Omega} = 4A$$
Agora nem precisamos fazer mais conta. Analisando o circuito, vemos que a corrente de 4 se divide por dois resistores de valor igual, o que significa que é só dividir por 2 e teremos a corrente em cada ponto. Ou seja: a corrente de Norton no ponto que queremos é de 4/2 = 2A, já que é a corrente que passa por um dos resistores.
Remontando o circuito, lembrando daquela informação relevante que passei mais acima, que as resistências de Norton ficarão em paralelo:
Agora é fácil, né? Os resistores estão em paralelo, o que indica que a tensão é a mesma nos dois pontos... E indica, também, que a tensão desejada nesse circuito é a total. Só precisamos fazer as associações de resistores em paralelo e multiplicar pela corrente:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{6\Omega} + \dfrac{1}{4\Omega} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12} \\ R = \dfrac{12}{5} = 2.4\Omega$$
$$V_0 = 2A * 2.4\Omega = 4.8V$$
Resolvido o exemplo, vamos aos exercícios, que são mais dificinhos que isso.
Exercício 1
Vamos fatiar o resistor de 6 aí, o resto deixaremos. Lembrando que temos duas fontes, então usaremos o teorema da superposição para elas. Primeiro, após o corte, vamos deixar apenas as resistências para descobrir a resistência de Norton que queremos.
Note que temos três resistências de 4 em paralelo, em série com outra de 4. Nesse caso, temos que as resistências em paralelo dão 4/3. Para somar com 4 de uma maneira precisa:
$$R = \dfrac{4}{3} + 4 = \dfrac{12 + 4}{3} = \dfrac{16}{3} \approx 5.33\Omega$$
Vamos trabalhar esse resultado exato em fração ao invés da aproximação. Como sempre.
Agora remontando o circuito já aplicando a superposição e deixando apenas a fonte de 24V, temos:
Veja bem: mais uma vez, são três resistências de 4 em paralelo, em série com outra de 4. Precisamos descobrir a corrente ali na extrema direita, como são três resistores de valor igual a corrente é a que entrar nos nós dividido por 3. Como a corrente que se divide é a total, então é só descobrir essa corrente.
Como eu disse, a resistência é a mesma que descobrimos pra Norton, 16/3. É só dividir a tensão total por isso:
$$i = \dfrac{24V}{\dfrac{16}{3}\Omega} = \dfrac{24 * 3}{16}A = \dfrac{72}{16}A = 4.5A$$
Dividindo isso por 3:
$$i'_n = \dfrac{4.5A}{3} = 1.5A$$
O próximo ponto é isolar a fonte de 6A:
Veja que, dessa vez, o circuito é um pouquinho mais complexo. Mas pela lógica é bem mais fácil de resolver. Pegue bem esse raciocínio meu, pode ajudar um pouco em uma infinidade de exercícios: são quatro resistores em paralelo, então sabemos que a corrente se divide igualmente pelos quatro, certo? Concorda comigo que a corrente total já está dada, e é de 6A? Logo é só dividir ela por 4.
$$i''_n = \dfrac{6A}{4} = 1.5A$$
Ótimo. Agora precisamos fazer a soma das correntes. Antes, note que a polaridade da fonte de tensão está na mesma direção da fonte de corrente, o que indica que haverá soma mesmo, não subtração. Logo a corrente de Norton é 1.5 + 1.5, 3A.
Redesenhando o circuito com a fonte de corrente de 3A e a resistência de 16/3 ohms:
Note que a tensão no resistor sempre será a total, pelo fato dos resistores sempre ficarem em paralelo. É uma associação semelhante ao circuito de Thévenin, que a corrente sempre será a total pelo fato dos resistores estarem em série. Mas bem, resolvendo, temos duas resistências em paralelo e precisamos descobrir essa equivalência para multiplicar pela corrente e descobrir a tensão. Diz-se que:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{\dfrac{16}{3}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{8}{16} = \dfrac{11}{16} \\ R = \dfrac{16}{11} \approx 1.45\Omega$$
Com isso, a tensão no resistor é:
$$V_0 = 3A*\dfrac{16}{11}\Omega = \dfrac{48}{11}V \approx 4.37V$$
E resolvido está o primeiro exercício.
Exercício 2
Bem, o de sempre pra começar: retirar a parte recortada. Daí, primeiro, tirar todas as fontes do circuito e resolver a resistência equivalente para descobrir a resistência de Norton:
Bom, veja que temos em paralelo 2 com 4, em série com o resto (1 e 2, em série). Só fazer as contas então:
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \\ R_{eq} = \dfrac{4}{3}\Omega \approx 1.33\Omega$$
Agora, somando com o resto em série:
$$R_n = 1 + 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{6}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{13}{3}\Omega \approx 4.33\Omega$$
Ok, tendo isso, vamos resolver o resto do circuito através da superposição. Primeiro isolando a fonte de 12V:
Veja bem, queremos descobrir a corrente de Norton aí. Para isso, precisamos da tensão e da resistência no ponto e não temos nenhum desses. Na verdade, a resistência é só somar em série a de 1 e 2, e daí descobrimos uma resistência de 3 ohms que será utilizada no cálculo final. No entanto, a tensão é um pouco mais complicada, já que são resistores em paralelo 3//4 e, pra essa tensão, precisamos da resistência e da corrente que se divide nele.
A resistência é:
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12} \\ R_{eq} = \dfrac{12}{7}\Omega \approx 1.71\Omega$$
Agora só falta a corrente total para descobrir essa tensão. Bem, pra corrente total, precisamos da resistência total e da tensão total - tensão temos, a fonte nos diz qual é, enquanto a resistência é só associar o resistor em paralelo que temos, em série com o de 2 ohms. Fica:
$$R = \dfrac{12}{7} + 2 = \dfrac{12}{7} + \dfrac{14}{7} = \dfrac{26}{7} \approx 3.71\Omega$$
$$i = \dfrac{12V}{\dfrac{26}{7}\Omega} = \dfrac{12*7}{26}V = \dfrac{84}{26}V = \dfrac{42}{13} \approx 3.23A$$
Como descobrimos a primeira solução, vamos só começar a colocar os valores nas associações que fizemos antes. Essa corrente foi descoberta para descobrir a tensão no ponto que queremos, que precisava da resistência (o paralelo 3//4) e a corrente total, então:
$$V_n = \dfrac{42}{13}A \times \dfrac{12}{7}\Omega = \dfrac{504}{91}V = \dfrac{72}{13} \approx 5.54V$$
E precisávamos dessa tensão para descobrir a corrente de Norton, que precisava dessa tensão e da resistência naquele ponto (a que descobrimos ser 3 ohms), então:
$$i'_n = \dfrac{\dfrac{72}{13}V}{3\Omega} = \dfrac{72}{3*13}A = \dfrac{72}{39} = \dfrac{24}{13} \approx 1.85A$$
Ótimo.
Como eu fiz alguma outra vez, esse é o raciocínio padrão que sigo, que torço para que seja fácil de entender. É meio que uma recursividade pra circuitos elétricos, mas que funciona bem e é fácil porque você tem uma análise completa do circuito quando começa a descobrir valores.
Segundo circuito, agora isolando a fonte de corrente de 4A:
Veja bem, a corrente que queremos descobrir está naquele ponto com a resistência de 2 ohms. Precisamos, além da resistência, da tensão naquele ponto - que é a total do circuito. Para a tensão total, precisamos da corrente total (4A) e da resistência total, que é tudo aquilo do outro lado do circuito em paralelo com a resistência de 2 com a corrente. Logo, só resolver:
2 está em paralelo com 4, desnecessário fazer conta de novo porque fizemos lá em cima pra descobrir a resistência de Norton. Dá 4/3, ou 1.33 ohms. Em série com 1, 7/3, ou 2.33 ohms. Agora é só fazer isso em paralelo com 2:
$$R = \dfrac{\dfrac{7}{3} \times 2}{\dfrac{7}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{14}{3}}{\dfrac{7}{3} + \dfrac{6}{3}} = \dfrac{\dfrac{14}{3}}{\dfrac{13}{3}} = \dfrac{14}{13} \approx 1.07\Omega$$
A tensão total, então, é:
$$V = 4A \times \dfrac{14}{13}\Omega = \dfrac{56}{13}V \approx 4.31V$$
E a corrente de Norton:
$$i''_n = \dfrac{\dfrac{56}{13}V}{2\Omega} = \dfrac{56}{13 \times 2}A = \dfrac{56}{26}A = \dfrac{28}{13}A \approx 2.15A$$
Como as polaridades da fonte de tensão correspondem à direção da fonte de corrente, as correntes de Norton serão somadas:
$$i_n = \dfrac{24}{13}A + \dfrac{28}{13}A = \dfrac{52}{13}A = 4A$$
Vantagens claras de se usar fração a todo momento. Apesar de que, não empolguem, o resultado final é quebrado da mesma forma. Enfim! Montemos o circuito de Norton com esses valores então:
Como todo circuito de Norton, só precisamos descobrir a equivalência entre as resistências, e depois a tensão total, e depois a corrente no ponto. Então façamos isso em ordem:
$$R = \dfrac{\dfrac{13}{3} \times 2}{\dfrac{13}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{26}{3}}{\dfrac{13}{3} + \dfrac{6}{3}} = \dfrac{\dfrac{26}{3}}{\dfrac{19}{3}} = \dfrac{26}{19} \approx 1.37\Omega$$
$$V = 4A \times \dfrac{26}{19}\Omega = \dfrac{104}{19}V \approx 5.47V$$
$$i_0 = \dfrac{\dfrac{104}{19}V}{2\Omega} = \dfrac{104}{38}A = \dfrac{52}{19}A \approx 2.74A$$
E essa é a resposta final do circuito. Próximo.
$$R_P = \dfrac{1}{4}\Omega = 0.25\Omega$$
Somando com 1:
$$R_n = 0.25 + 1 = 1.25\Omega$$
Agora vamos isolar cada fonte de tensão:
Mas bem, vamos pensar no método recursivo. Pra que mesmo gostaríamos de saber a resistência total?
1. Queremos a corrente que passa unicamente pelo resistor de 1ohm na extrema esquerda, para ela precisamos da resistência de 1ohm e da tensão, que não temos.
2. Para essa tensão, temos duas alternativas: ou precisamos da resistência de 1ohm e da corrente (que é o que queremos no final do exercício) e ficamos no lenga-lenga ou, como 1ohm está em paralelo com outros dois circuitos, usamos a resistência equivalente desses três resistores e a corrente que se divide nos três. A resistência podemos descobrir dividindo 1 por 3, já que são três resistores iguais:
$$R_{BC} = \dfrac{1}{3}\Omega \approx 0.33\Omega$$
Já a corrente ainda não temos.
3. Para descobrir essa corrente, que é a total já que estamos falando de algo que ainda vai se dividir, precisamos da tensão total de 6V e da resistência equivalente do circuito completo. Já temos uma parte dessa resistência equivalente (Rbc), falta só Rab e juntar as duas pelo que discutimos lá em cima:
$$R_{AB} = \dfrac{1}{2} = 0.5\Omega$$
$$R = \dfrac{1}{3} + 0.5 = \dfrac{1 + 1.5}{3} = \dfrac{2.5}{3} \approx 0.83\Omega$$
$$i = \dfrac{6V}{\dfrac{2.5}{3}\Omega} = \dfrac{6 \times 3}{2.5}A = \dfrac{18}{2.5}A = 7.2A$$
Ótimo, agora vamos voltar pro 2, com essa corrente.
$$V_{BC} = 7.2A \times \dfrac{1}{3}\Omega = \dfrac{7.2}{3}V = 2.4V$$
E agora voltamos pro 1:
$$i'_n = \dfrac{2.4V}{1\Omega} = 2.4A$$
Resolvido isso, vamos pra segunda parte, com a fonte de 12V:
Queremos saber uma corrente de um ponto que está em paralelo com outros dois, sendo que as três resistências têm valores iguais. A tensão em paralelo é sempre a mesma, só pode variar a resistência e a corrente - se a resistência não varia, a corrente também não varia. "Tá, mas o que isso significa?" significa que a corrente se divide igualmente nos três pontos. O que significa que, encontrando a corrente total e dividindo-a por três, você tem a corrente desejada.
Primeiro, vamos encontrar essa corrente total, que precisa da resistência total e da tensão de 12V:
$$R_T = R_{AB} + R_{BC} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2.5}{3} \approx 0.83\Omega$$
$$i = \dfrac{12V}{\dfrac{2.5}{3}\Omega} = \dfrac{12 \times 3}{2.5}A = \dfrac{36}{2.5}A = 14.4A$$
Logo:
$$i''_n = \dfrac{14.4A}{3} = 4.8A$$
Estando as duas correntes In no mesmo sentido, soma-se elas:
$$i_n = 2.4A + 4.8A = 7.2A$$
Agora, redesenhando o circuito de Norton:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{1.25} + \dfrac{1}{1} = 0.8 + 1 = 1.8\Omega \\ R = \dfrac{1}{1.8}\Omega \approx 0.56\Omega$$
Sendo assim:
$$V_0 = 7.2A \times \dfrac{1}{1.8}\Omega = \dfrac{7.2}{1.8}V = 4V$$
E está resolvido o exercício.
Felizmente poderei acelerar as próximas aulas agora, já que capacitores e indutores foram mais simples (só com uns gráficos que serão chatinhos de desenhar), e números complexos são de boa... Daí o problema fica por conta dos circuitos de CA. Mas bem, adiantando aqui (3 dias da semana tentarei estar progredindo em circuitos aqui no blog!), acho que dá tempo de, até umas semaninhas antes da prova, estar tudo nos trinques.
Bom dia a todos!
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