[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 3: equações diferenciais separáveis e homogêneas

1. Resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.
Bem, a maior parte estava integrando tudo do mesmo lado, mas uma coisa que eu gosto particularmente de fazer é isolar x e y um em cada canto ANTES dessa integração, porque aí rola menos trabalho. Costuma mudar apenas na hora do C, mas eu costumo ter um jeito de "igualar" ao do professor, então não se preocupem porque o resultado bate. Veja só:
a) xdx + ydy = 0
$$ydy = -xdx \\
\int y dy = - \int x dx \\
\dfrac{1}{2} y^2 = - \dfrac{1}{2} x^2 + C \\
y^2 = -x^2 + 2C \\
y = \pm \sqrt{2C - x^2} \\
K = 2C \\
y = \pm \sqrt{K - x^2}$$
b) xdx - y³dy = 0
$$y^3 dy = xdx \\
\int y^3 dy = \int xdx \\
\dfrac{1}{4} y^4 = \dfrac{1}{2} x^2 + C \\
y^4 = 2x^2 + 4C \\
y = \pm \sqrt{4C + 2x^2} \\
K = 4C \\
y = \pm \sqrt{K + 2x^2}$$
$$c) dx + \dfrac{1}{y^4} dy = 0 \\
\dfrac{1}{y^4} dy = -dx \\
y^{-4} dy = -dx \\
\int y^{-4} dy = - \int dx \\
- \dfrac{1}{3} y^{-3} = -x + C \\
\dfrac{1}{3} y^{-3} = x - C \\
y^{-3} = 3x - 3C \\
\dfrac{1}{y^3} = 3x - 3C \\
y^3 = \dfrac{1}{3x - 3C} \\
y = \dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3x - 3C}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3x - 3C}} \\
K = -3C \\
y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{K + 3x}}$$
$$d) (t + 1)dt - \dfrac{1}{y^2} dy = 0 \\
\dfrac{1}{y^2} dy = (t + 1)dt \\
y^{-2} dy = (t + 1)dt \\
\int y^{-2} dy = \int (t + 1)dt \\
-y^{-1} = \dfrac{1}{2} t^2 + t + C \\
- \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} t^2 + t + C \\
\dfrac{1}{y} = - \dfrac{1}{2} t^2 - t - C = - (\dfrac{1}{2} t^2 + t + C) \\
y = -(\dfrac{1}{2} t^2 + t + C)^{-1}$$
$$e) \dfrac{4}{t} dt - \dfrac{y - 3}{y} dy = 0 \\
\dfrac{y - 3}{y} dy = 4 (\dfrac{1}{t}) dt \\
1dy - 3 (\dfrac{1}{y}) dy = 4 (\dfrac{1}{t}) \\
\int dy - 3 \int \dfrac{1}{y} dy = 4 \int \dfrac{1}{t} \\
y - 3 \ln{|y|} = 4 \ln{|t|} + C \\
\ln{|y^3|} + \ln{|t^4|} = y - C \\
\ln{|y^3 * t^4|} = y - C \\
y^3 t^4 = e^{y - C} = e^y * e^{-C} \\
K = e^{-C} \\
y^3 t^4 = Ke^y$$
$$f) y' = \dfrac{xe^x}{2y} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xe^x}{2y} \\
2y dy = xe^x dx \\
\int 2y dy = \int xe^x dx \\
2 \dfrac{1}{2} y^2 = xe^x - \int e^x * 1 dx [1] \\
y^2 = xe^x - (e^x + C) = xe^x - e^x - C \\
y = \pm \sqrt{xe^x - e^x - C}$$
[1] integral por partes: u = x, dv = e elevado a x
$$g) y' = \dfrac{y}{x^2} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2} \\
\dfrac{1}{y} dy = \dfrac{1}{x^2} dx \\
\int \dfrac{1}{y} dy = \int x^{-2} dx \\
\ln{|y|} = - x^{-1} + C = - \dfrac{1}{x} + C \\
y = e^{1/x + C} = e^{1/x} + e^C \\
K = e^C \\
y = Ke^{1/x}$$
h) senx dx + y dy = 0; y(0) = -2
Ok, probleminha de valor inicial. Muda pouca coisa. Primeiro resolvamos:

$$y dy = - \sin{x} dx \\
\int y dy = - \int \sin{x} dx \\
\dfrac{1}{2} y^2 = - (- \cos{x}) + C = \cos{x} + C \\
y^2 = 2 \cos{x} + 2C \\
y = \pm \sqrt{2C + 2 \cos{x}} \\
K = 2C \\
y(0) = -2 \\
y = \pm \sqrt{K + 2 \cos{0}} = -2 \\
y = \pm \sqrt{K + 2} = -2 \\
y^2 = K + 2 = (-2)^2 = 4 \\
K + 2 = 4 \\
K = 4 - 2 = 2 \\
y = - \sqrt{2 + 2 \cos{x}}$$
$$i) xe^{x^2} dx + (y^5 - 1)dy = 0; y(0) = 0 \\
(y^5 - 1)dy = -xe^{x^2} dx \\
\int (y^5 - 1)dy = - \int xe^{x^2} dx \\
\dfrac{1}{6} y^6 - y = - \int xe^u \dfrac{du}{2x} = - \dfrac{1}{2} \int e^u du = - \dfrac{1}{2} e^u = - \dfrac{1}{2} e^{x^2} + C \\
\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\
y(0) = 0 \\
\dfrac{1}{2} e^0 + \dfrac{1}{6} * 0 - 0 = C \\
C = \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = \dfrac{1}{2}$$
$$j) (1 + x^2)dx + \dfrac{1}{y} dy = 0; y(-1) = 1 \\
\dfrac{1}{y} dy = -(1 + x^2)dx \\
\int \dfrac{1}{y} dy = - \int (1 + x^2)dx \\
\ln{|y|} = - (x + x^3 /3 + C) \\
y = e^{-(x + x^3 /3 + C)} \\
y(-1) = 1 \\
y = e^{-(-1 + (-1)^3 /3 + C)} = 1 \\
e^{-(-1 - 1/3 + C)} = 1 \\
e^{-(- 4/3 + C)} = 1 \\
e^{4/3 - C} = 1 \\
\dfrac{4}{3} - C = \ln{1} = 0 \\
C = \dfrac{4}{3} \\
y = e^{-(x + x^3 /3 + 4/3)} = e^{- (x^3 + 3x + 4)/3}$$

2. Determine se a equação diferencial apresentada é homogênea. Se for, resolva-a.
$$a) y' = \dfrac{y - x}{x}$$

O esquema aqui é o seguinte: vamos lembrar daquele método f(x, y) = f(tx, ty) pra ver se a equação é homogênea. O que acontece é que vamos trocar aonde tem x por tx, e aonde tem y por ty, e terá de ser a mesma coisa. Veja:
$$y' = \dfrac{ty - tx}{tx} = \dfrac{t(y - x)}{tx} = \dfrac{y - x}{x}$$
Os resultados batem, logo ela é homogênea. Sendo homogênea, resolveremos do método que o professor passou na aula, e com a prática entenderemos bem ele: usaremos um V, tal que V = y/x. E por definição, y' = V + xV'. Ok, ótimo, não deu pra entender nada? Vejamos na prática:
$$v = \dfrac{y}{x} \\
y = vx [1] \\
y' = v + xv' \\
y' = \dfrac{y - x}{x} \\
v + xv' = \dfrac{y - x}{x}$$
Lembremos de [1]:
$$v + xv' = \dfrac{vx - x}{x} = v - 1 \\
x \dfrac{dv}{dx} = v - 1 - v = -1 \\
\dfrac{dv}{dx} = - \dfrac{1}{x} \\
dv = - \dfrac{1}{x} dx \\
\int dv = - \int \dfrac{1}{x} dx \\
v = - \ln{|x|} + C$$
Jogando isso na [1]:
$$y = (-\ln{|x|} + C)x = x(C - \ln{|x|}) \\
\ln{|K|} = C \\
y = x(\ln{|K|} - \ln{|x|}) = x (\ln{|K/x|}$$
Honestamente, eu acho essa última parte mais que desnecessária: eu acho que ela atrapalha. Mas só pra chegar na resposta do livro, tá aí.
E sim, equação diferencial homogênea é bem mais chato mesmo. Essa é a mais fácil, inclusive.
$$b) y' = \dfrac{2y + x}{x}$$
Pra descobrir se é homogênea:
$$y' = \dfrac{2(ty) + tx}{tx} = \dfrac{t(2y + x)}{tx} = \dfrac{2y + x}{x}$$
Logo, é homogênea. Logo, bora usar o v = y/x.
$$y = vx \\
y' = v + xv' \\
y' = \dfrac{2y + x}{x} \\
v + xv' = \dfrac{2y + x}{x} = \dfrac{2vx + x}{x} = 2v + 1 \\
x \dfrac{dv}{dx} = 2v + 1 - v = v + 1 \\
\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v + 1}{x} \\
\dfrac{1}{v + 1} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{1}{v + 1} dv = \int \dfrac{1}{x} dx \\
\ln{|v + 1|} = \ln{|x|} + C \\
C = \ln{|K|} \\
\ln{|v + 1|} = \ln{|x|} + \ln{|K|} = \ln{|Kx|} \\
v + 1 = Kx \\
v = Kx - 1 \\
y = x(Kx - 1)$$
$$c) y' = \dfrac{2y^2 + x^2}{xy}$$
Vendo se é homogênea:
$$y' = \dfrac{2(ty)^2 + (tx)^2}{(tx)(ty)} = \dfrac{t^2 (2y^2 + x^2)}{t^2 (xy)} = \dfrac{2y^2 +

x^2}{xy}$$
Logo, é homogênea. Então vamos resolver:
$$y' = v + xv' = \dfrac{2y^2 + x^2}{xy} \\
y = vx \\
v + xv' = \dfrac{2(vx)^2 + x^2}{x(vx)} = \dfrac{2v^2 x^2 + x^2}{x^2 v} = \dfrac{x^2 (2v^2 +

1)}{x^2 v} = \dfrac{2v^2 + 1}{v} \\
v + xv' = 2v + \dfrac{1}{v} \\
x \dfrac{dv}{dx} = 2v + \dfrac{1}{v} - v = v + \dfrac{1}{v} \\
\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v + 1/v}{x} \\
\dfrac{1}{v + 1/v} dv = \dfrac{1}{x} dx$$
Pra ficar mais fácil, vamos fatorar o primeiro termo: multiplicar em cima e embaixo por v.
$$\dfrac{v}{v^2 + 1} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{v}{v^2 + 1} dv = \int \dfrac{1}{x} dx$$
Então. A integral com dx é facílima, mas a com dv é um pouquinho mais complicada. Nada realmente difícil: vamos usar regra da substituição, e veremos que vai dar certo. Chamamos 2v² + 1 de u, assim dv = du/(v² + 1)' = du/2v. Substiuímos o u e o du:
$$\int \dfrac{v}{u} \dfrac{du}{2v} = \int \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u} du = \int \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{1}{2} \ln{|u|} = \ln{|x|} + C \\
\ln{|u^{1/2}|} = \ln{|x|} + C$$
Fazemos o mesmo esquema geral pra unir a constante ao X, mas dessa vez vamos esperar um pouco

pra usar o K. Vocês vão ver porquê. Vamos trocar por A:
$$C = \ln{|A|} \\
\ln{|u^{1/2}|} = \ln{|x|} + \ln{|A|} = \ln{|Ax|} \\
u^{1/2} = Ax \\
u = A^2 x^2$$
Agora sim, vamos chamar A² de K. E lembrar que u = v² + 1:
$$u = Kx^2 \\
v^2 + 1 = Kx^2 \\
v^2 = Kx^2 - 1 \\
v = \sqrt{Kx^2 - 1}$$
Por fim, v = y/x. Logo:
$$\dfrac{y}{x} = \sqrt{Kx^2 - 1} \\
y = \pm x \sqrt{Kx^2 - 1}$$
Que é o exato mesmo resultado da lista.

$$d) y' = \dfrac{2x + y^2}{xy}$$
Verificaremos se é homogênea:
$$y' = \dfrac{2(tx) + (ty)^2}{(tx)(ty)} = \dfrac{2(tx) + t^2 y^2}{t^2 (xy)} \\
\dfrac{t (2x + ty^2)}{t^2 (xy)} = \dfrac{2x + ty^2}{txy} \neq \dfrac{2x + y^2}{xy}$$
Logo, não é homogênea e não nos convém resolvê-la.

$$e) y' = \dfrac{y^2 + x^2}{2xy}$$
Verificaremos se é homogênea:
$$y' = \dfrac{(ty)^2 + (tx)^2}{2(tx)(ty)} = \dfrac{t^2 (y^2 + x^2)}{2t^2 (xy)} = \dfrac{y^2 + x^2}{2xy}$$
Logo, é homogênea. Resolvendo:
$$y' = v + xv' = \dfrac{y^2 + x^2}{2xy} = \dfrac{(vx)^2 + x^2}{2x(vx)} = \dfrac{v^2 x^2 + x^2}{2vx^2} \\
v + xv' = \dfrac{x^2 (v^2 + 1)}{2vx^2} = \dfrac{v^2 + 1}{2v} = \dfrac{v}{2} + \dfrac{1}{2v} \\
x \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v}{2} - v + \dfrac{1}{2v} = \dfrac{1}{2v} - \dfrac{v}{2} \\
x \dfrac{dv}{dx} = 1/2v - 0.5v \\
\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{1/2v - 0.5v}{x} \\
\dfrac{1}{1/2v - 0.5v} dv = \dfrac{1}{x} dx$$
Vamos fatorar de maneira igual a c. E fazer a mesma substituição:
$$\dfrac{v}{0.5 - 0.5v^2} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{v}{0.5 - 0.5v^2} dv = \int \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{v}{u} \dfrac{du}{-1v} = \int \dfrac{1}{x} dx \\
- \int \dfrac{1}{u} du = \int \dfrac{1}{x} dx \\
- \ln{|u|} = \ln{|x|} + C \\
C = \ln{|A|} \\
- \ln{|u|} = \ln{|x|} + \ln{|A|} = \ln{|Ax|}$$
Podemos considerar -ln(u) como ln(1) - ln(u), o que fica:
$$\ln{| \dfrac{1}{u} |} = \ln{|Ax|} \\
\dfrac{1}{u} = Ax \\
\dfrac{1}{0.5 - 0.5v^2} = Ax \\
Ax (0.5 - 0.5v^2) = 1 \\
0.5Ax - 0.5Axv^2 = 1 \\
-0.5Axv^2 = 1 - 0.5Ax \\
Axv^2 = -2 + Ax \\
v^2 = \dfrac{-2}{Ax} + 1 \\
\dfrac{y^2}{x^2} = \dfrac{-2}{Ax} + 1 \\
y^2 = \dfrac{-2x^2}{Ax} + x^2 \\
y^2 = x^2 \\
y = \sqrt{x^2 - \dfrac{2x}{A}} \\
K = \dfrac{2}{A} \\
y = \pm \sqrt{x^2 - Kx}$$
Honestamente, é o que sempre digo: essas manipulações doidas de constante e tudo mais acho extremamente desnecessárias. Foi só pra chegar na resposta final de alguma forma mesmo.

$$f) y' = \dfrac{2xy}{y^2 - x^2}$$
Vendo se é homogênea:
$$y' = \dfrac{2(tx)(ty)}{(ty)^2 - (tx)^2} = \dfrac{2t^2 (xy)}{t^2 (y^2 - x^2)} = \dfrac{2xy}{y^2 - x^2}$$
Logo, é homogênea. Vamos resolver:
$$y' = v + xv' = \dfrac{2xy}{y^2 - x^2} = \dfrac{2x(vx)}{(vx)^2 - x^2} = \dfrac{2x^2 v}{v^2 x^2 - x^2} \\
v + xv' = \dfrac{2x^2 v}{x^2 (v^2 - 1)} = \dfrac{v}{v^2 - 1} \\
x \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v}{v^2 - 1} - v \\
\dfrac{dv}{dx} = ( \dfrac{v}{v^2 - 1} - v)x^{-1} \\
\dfrac{1}{v/(v^2 - 1) - v} dv = \dfrac{1}{x} dx$$
Fatorando a parte debaixo da fração ali (multiplicar tudo por (v² - 1) pra poder cortar aquela fração enxerida):
$$\dfrac{1}{v - v(v^2 - 1)} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{1}{v - v^3 + v} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{1}{2v - v^3} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{1}{2v - v^3} dv = \int \dfrac{1}{x} dx$$
Então né, filhão. Pra mim tá bom por hoje, mas já estou postando porque vai ajudar muita gente que vai estudar essa madrugada. Essa não está resolvida e pelo que entendi precisa utilizar de artifícios legais como frações parciais pra resolver, mas quem tiver uma solução melhor (mais fácil, 1000x mais fácil, fração parcial é o inferno) já sou grato desde já.
No mais, boa noite e bons estudos.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 2: forma padrão e forma diferencial

1. Escreva as equações diferenciais na forma padrão. (dy/dx = f(x, y))
a) xy' + y² = 0
$$xy' = -y^2 \\ y' = \dfrac{-y^2}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-y^2}{x}$$
b) $$e^x y' - x = y'$$
Esse exercício pegou muita gente, mas ele é bem fácil. Veja só, passe y' do lado direito dividindo tudo do lado esquerdo:
$$e^x - \dfrac{x}{y'} = 1$$
Agora tem só um y', só resolver:
$$- \dfrac{x}{y'} = 1 - e^x \\
-x = y'(1 - e^x) \\
y' = \dfrac{-x}{(1 - e^x)} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{(e^x - 1)}$$
c) $$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx - dy = 0$$
Parece confuso, mas é só juntar dy e dx, de modo que dy fique em cima e dx fique embaixo. Veja só:
$$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx = dy \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x+y)}{(x-y)}$$
d) (x-y)dx + y²dy = 0
$$(x-y)dx = -y^2 dy \\
(x-y) = -y^2 \dfrac{dy}{dx} \\
\dfrac{(x-y)}{-y^2} = \dfrac{dy}{dx} \\
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{(x-y)}{y^2} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y-x)}{y^2}$$
e) $$(e^{2x} - y)dx + e^x dy = 0 \\
e^x dy = (y - e^{2x})dx \\
e^x \dfrac{dy}{dx} = (y - e^{2x}) \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y - e^{2x})}{e^x} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{e^x} - e^x$$

2. Escreva as equações diferenciais na forma diferencial. (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) y' = xy
$$\dfrac{dy}{dx} = xy \\
dy = (xy)dx \\
(xy)dx - dy = 0$$
b) y' = xy + 1
$$\dfrac{dy}{dx} = xy + 1 \\
dy = (xy + 1)dx \\
(xy+1)dx - dy = 0$$
c) $$y' = \dfrac{x^2}{y^2} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y^2} \\
y^2 \dfrac{dy}{dx} = x^2 \\
y^2 dy = x^2 dx \\
x^2 dx - y^2 dy = 0$$
d) $$y' = \dfrac{-2y}{x} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2y}{x} \\
x \dfrac{dy}{dx} = -2y \\
x dy = -2y dx \\
-2y dx - x dy = 0$$
e) $$y' = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\
(x^2 y + y^3)dy = (xy^2)dx \\
(xy^2)dx - (x^2 y + y^3)dy = 0$$
f) y' = x³y + xy³
$$\dfrac{dy}{dx} = x^3 y + xy^3 \\
dy = (x^3 y + xy^3)dx \\
(x^3 y + xy^3)dx - dy = 0$$

E está resolvida a lista pra quem quiser estudar. Esqueci de postar logo após a entrega, mas de qualquer forma, aí está.

[Cálculo Numérico] Aula 10: sistema hexadecimal

Sistema Hexadecimal

Composto de 16 valores (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). É um sinal digital com equivalentes em quatro dígitos binários conforme a tabela:

Decimal	Hexadecimal	Binário
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111

Converter de hexadecimal para decimal

a) FACADA
Só fazer normalmente aquela decomposição de cada algarismo:
Lembrando que F = 15, A = 10, C = 12 e D = 13. Fica:
$$10 * 16^0 + 13 * 16^1 + 10 * 16^2 + 12 * 16^3 + 10 * 16^4 + 15 * 16^5 \\
10 + 208 + 2560 + 49152 + 655360 + 15728640 = 16435930_{10}$$
b) BABACA
Antes: B = 11, A = 10, C = 12.
$$10 * 16^0 + 12 * 16^1 + 10 * 16^2 + 11 * 16^3 + 10 * 16^4 + 11 * 16^5 \\
10 + 192 + 2560 + 45056 + 655360 + 11534336 = 12237514_{10}$$
c) CABECA
Antes: C = 12, A = 10, B = 11, E = 14.
$$10 * 16^0 + 12 * 16^1 + 14 * 16^2 + 11 * 16^3 + 10 * 16^4 + 12 * 16^5 \\
10 + 192 + 3584 + 45056 + 655360 + 12582912 = 13287114_{10}$$
d) 2F4D0
Antes: F = 15, D = 13.
$$0 * 16^0 + 13 * 16^1 + 4 * 16^2 + 15 * 16^3 + 2 * 16^4 \\
0 + 208 + 1024 + 61440 + 131072 = 193744_{10}$$

Converter de hexadecimal para binário

Como ambos são sinais digitais, basta substituir pelos binários tabelados:
2FB10
0010.1111.1011.0001.1100
Logo, 101111101100011100 na base 2.

Converter de decimal para hexadecimal

Mesma coisa do resto: divisão por 16 e pegar o resto. Ou fazer aquele esquema de pegar o primeiro algarismo numa multiplicação. Veja bem:
a) 1023
1023/16 = 63, resto 15 (F).
63/16 = 3, resto 15 (F).
3/16 = 0, resto 3.
Logo, 3FF na base 16.

b) 462,24
Parte inteira:
462/16 = 28, resto 14 (E).
28/16 = 1, resto 12 (C).
1/16 = 0, resto 1.
Logo, 1CE na base 16.
Parte fracionária:
0,24 x 16 = 3,84
0,84 x 16 = 13,44 (D)
0,44 x 16 = 7,04
0,04 x 16 = 0,64
E aqui tá bom, né. 3D7.
Assim, podemos considerar 462,24 como 1CE,3D7 na base 16.

c) 16
16/16 = 1, resto 0.
Logo, 10 na base 16.

Exercícios

1. Converta da base 8 para a base 2 ou vice-versa.
a) 101011 na base 8.
NOTE BEM, aqui é a base 8. Não é um binário (não dá pra fazer a base 8 ali bonitinho sem LaTeX e LaTeX que não quebra linha não funciona em todos os navegadores, então só posso pedir para que preste bastante atenção).
Vai ficar assim:
(001)(000)(001)(000)(001)(001)
Ou seja: 1000001000001001 na base 2.

b) 1100 na base 2.
Decompondo: 001.100, que fica 1.4. Logo, 14 na base 8.

c) 11,01 na base 8.
(001)(001),(000)(001)
Logo: 1001,000001.

2. Converta da base 16 para a base 8 ou vice-versa.
Pra isso os srs. terão de converter primeiro pra binário, depois de volta pra base 8 ou pra base 16. Veja só:
a) 10 na base 8.
(001)(000), logo em binário 1000.
1000 na base 16 fica 8.
b) AB na base 16.
(1010)(1011), logo em binário 10101011.
10101011 na base 8 você decompõe da seguinte maneira:
10.101.011, que fica 2.5.3. Que fica 253 na base 8.

3. Converta os números seguintes para as demais bases:
Aqui o esquema é o seguinte: todos os números deverão ser convertidos para todas as bases. Veja só, decimal, binário, octal e hexadecimal: um deles será dado, os outros deverão ser descobertos através dele. Meu conselho é o seguinte:

Descubra sempre o hexadecimal primeiro. O hexadecimal simplifica todos os processos porque ele é o maior, e que vai precisar de menos contas pra resolver. De hexadecimal pra decimal você provavelmente só fará três divisões enquanto octal fará um pouco mais e binário será ridículo, de hexadecimal pra binário é uma tabela maior que octal mas também significa menos decomposição de números, e de hexadecimal pra octal... bem, pra que você vai fazer hexadecimal pra octal primeiro mesmo? "Ah, mas se me derem um octal, eu vou ter que descobrir binário primeiro." então descubra, ué, mas depois faça hexadecimal pra sofrer menos no decimal.
Veja só:

a) 124,5 na base 8.
Pra binário (não dá pra hexadecimal direto):
(001)(010)(100),(101), logo 1010100,101 na base 2.
Pra hexadecimal:

101.0100,1010, não esqueça desse último zero, logo 5.4,A. O que dá 54,A na base 16.

Pra decimal:
$$5 * 16^1 + 4 * 16^0 + \dfrac{10}{16} = 80 + 4 + 0.625 = 84.625_{10}$$

E está respondido o primeiro.

b) 322,21 na base 16.
Pra binário:

(0011)(0010)(0010),(0010)(0001), logo 1100100010,00100001 na base 2.
Pra octal:
1.100.100.010,001.000.010. O que dá 1.4.4.2,1.0.2. Logo, 1442,102 na base 8.
Pra decimal:
$$3 * 16^2 + 2 * 16^1 + 2 * 16^0 + \dfrac{2}{16} + \dfrac{1}{16^2} \\
768 + 32 + 2 + 0.125 + 0.00390625 = 802.12890625_{10}$$
E está respondido o segundo.

c) 100111101 na base 2.
Pra hexadecimal:
1.0011.1101. O que dá 1.3.D. Ou seja, 13D na base 16.
Pra octal:
100.111.101. O que dá 4.7.5. Logo, 475 na base 8.
Pra decimal:
Aqui vamos usar octal porque é mais conveniente que ficar usando letra (tanto octal quanto hexadecimal usam 3 algarismos mesmo). Mas é caso e caso, faça a análise que lhe convier.
5*1 + 7*8 + 4*8² = 5 + 56 + 256 = 317 na base 10.
Resolvido.

d) 7002 na base 10.
Pra hexadecimal:
7002/16 = 437, resto 10 (A).
437/16 = 27, resto 5.
27/16 = 1, resto 11 (B).
1/16 = 0, resto 1.
Ou seja, 1B5A na base 16.
Pra binário:
(0001)(1011)(0101)(1010), ou seja, 1101101011010 na base 2.
Pra octal:
1.101.101.011.010, ou seja, 1.5.5.3.2, logo 15532 na base 8.
E estão resolvidos todos.

Boa noite. \o\

[Cálculo Numérico] Aula 9: sinal digital pra decimal, sistema octal

1. Converta o sinal digital abaixo (binário) para decimal:
a) 10000001
Se é um sinal digital de 8 bits e está iniciando com 1, temos que é um número negativo. Então vamos convertê-lo pra positivo pra fazer a operação primeiro, fazendo o oposto que fazemos de positivo pra negativo: complemento de um, depois subtrai 1 (soma -1) já que na outra conversão se somava 1.
Complemento de 1
10000001
01111110

Soma (-1)
Primeiro, vale a pena lembrar quem é -1:
1 = 00000001
(Compl. de 1) + 1: (11111110) + 1 = 11111111
Logo, a operação final fica:
01111110 +
11111111
0+1 = 1

1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
E isso se repete até a última casa, aonde fica 1+1 = 10, fica 0 e vai 1, que some porque sai da última casa do sinal digital.
Sendo assim, temos que esse binário fica: 01111101
Convertendo pra decimal:

$$-n = 1 * 2^0 + 0 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 + 1 * 2^4 + 1 * 2^5 + 1 * 2^6 + 0 * 2^7 \\
1 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 125_{10} \\
n = -125_{10}$$
Mas aí uma regra muito doida que eu não entendi se surgiu de algum lugar ou é apenas magia negra diz que você acrescenta -2 ao resultado final, sendo assim, o número é na verdade -127 em decimal. Simplesmente isso.

b) 10010011
Mesma coisa:
Complemento de 1
10010011
01101100

Soma (-1)
01101100 +
11111111
0+1 = 1
0+1 = 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1, que é desconsiderado porque explode os 8 bits
Resultado em binário: 01101011
Pra decimal:
$$-n = 1*2^0 + 1*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + 1*2^6 + 0*2^7 = \\
1 + 2 + 8 + 32 + 64 =  107 \\
n = -107_{10}$$
Menos 2, -109 decimal.

c) 11111111
Complemento de 1
11111111
00000000

Soma (-1)
00000000 +
11111111
= 11111111
Eu por algum motivo tenho anotado na aula +255 aqui, mas preciso de uma luz nesse. A lógica passada é a seguinte: vai dar -255, menos 2 vai estourar e ir pra +256 e depois +255, mas não lembro se sinal digital vai de -255 a +256 ou de -127 a +128, então para todos os efeitos fiquem com a resposta da aula e perguntemos ao professor depois.

Sistema Octal

Sistema de 8 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Converter octal para decimal:

$$123.3_8 = 1 * 8^2 + 2 * 8^1 + 3 * 8^0 + 3 * 8^{-1} \\
123.3_8 = 83.375_{10}$$

Converter decimal em octal:

223
223/8 = 27, resto 7.
27/8 = 3, resto 3.
3/8 = 0, resto 3.
O número então vai dar 0337, ou simplesmente 337 em octal.
495,25
Parte normal
495/8 = 61, resto 7.
61/8 = 7, resto 5.
7/8 = 0, resto 7.
Ou seja, 757.
Parte fracionária: você vai fazer mais ou menos como no binário, multiplicar por 8 o tanto de casas que for preciso e ir pegando o último número. Sobrando 0,00, chega-se à última casa.
0,25 x 8 = 2,00
Pega o 2, deixa o resto, fica 0,00. Então o resultado final é:
757,2

Converter binário em octal

Esse é o mais simples, veja bem:
1011011001
Você vai fragmentar o binário de 3 em 3, contando a partir do primeiro, e vai formar algarismos de 0 a 7 com eles. Simples assim. Veja esse exemplo:
1.011.011.001
1.3.3.1, logo 1331 em octal. (lembrando que o primeiro, isolado, você pode considerar dois zero à esquerda se quiser)

1001110111,100101010
Antes da vírgula, da direita pra esquerda: 1.001.110.111<
1.1.6.7
Depois da vírgula, da esquerda pra direita: 100.101.010
4.5.2
Logo, 1167,452 em octal.

Converter octal em binário

Faça o oposto: pegue cada algarismo do octal e trunque em binários. Veja esse exemplo:
523 em octal
5 = 101
2 = 010
3 = 011
Logo, 101010011. Vale a pena lembrar que a não ser que vá sobrar zero à esquerda ou à direita no algarismo final (ou seja, último algarismo inteiro à esquerda, e fracionário à direita), você obrigatoriamente tem que conservar o 0 do binário.

Exercícios

1. Converta de decimal para octal com 4 dígitos na parte fracionária:
a) 102,4
Parte inteira:
102/8 = 12, sobra 6.
12/8 = 1, sobra 4.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 146.
Parte fracionária:
0,4 x 8 = 3,2
0,2 x 8 = 1,6
0,6 x 8 = 4,8
0,8 x 8 = 6,4
Logo, 0,3146.
No total, fica: 146,3146 em octal.

b) 1004,5
Parte inteira:
1004/8 = 125, sobra 4.
125/8 = 15, sobra 5.
15/8 = 1, sobra 7.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 1754.
Parte fracionária:
0,5 x 8 = 4,0
Logo, 0,4.
No total: 1754,4 em octal.

c) 723,45
Parte inteira:

723/8 = 90, sobra 3.
90/8 = 11, sobra 2.
11/8 = 1, sobra 3.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 1323.
Parte fracionária:
0,45 x 8 = 3,6
0,6 x 8 = 4,8
0,8 x 8 = 6,4
0,4 x 8 = 3,2
Logo, 0,3463.
No total: 1323,3463.

2. Converta de octal para decimal:
a) 732,1

Só fazer a conta tradicional:
$$7 * 8^2 + 3 * 8^1 + 2 * 8^0 + \dfrac{1}{8} = 448 + 24 + 2 + 0.125 = 474.125_{10}$$
b) 423,6
$$4 * 8^2 + 2 * 8^1 + 3 * 8^0 + \dfrac{6}{8} = 256 + 16 + 3 + 0.75 = 275.75_{10}$$

c) 1004,123
$$1 * 8^3 + 0 * 8^2 + 0 * 8^1 + 4 * 8^0 + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8^2} + \dfrac{1}{8^3} \\
512 + 4 + 0.125 + 0.03125 + 0.005859375 = 516.162109375_{10}$$

3. Converta de binário para octal:
a) 11100111
011.100.111
3.4.7
Logo, 347.
b) 1100111
001.100.111
1.4.7
Logo, 147.
c) 1111011
001.111.011
1.7.3
Logo, 173.
d) 10,000010001
Parte inteira: 010. Logo, 2.
Parte fracionária:
000.010.001
0.2.1
Logo, 0,021.
Sendo assim, o total é 2,021.

Já vou postando a outra aula e a de equações diferenciais, não confirmo de algoritmo e estrutura de dados ainda porque acho melhor o professor passar o algoritmo dele e tal pra não confundir ninguém. Aliás, estou realmente cogitando postar estrutura de dados porque é uma matéria muito mais complexa que programação comum, mas ainda envolve muito código e acho código extremamente pessoal, daí não sei uma maneira de passar um "código didático" pra vocês que estão interessados.
Discutam aí, se alguém souber essa maneira e quiser passar aqui no blog também, sem problema.

No mais, bom dia a todos.