Lista I - Materiais Elétricos

Bom dia, galera. Não postei isso antes por motivos de inconveniência logística, mas agora tá aqui pra vocês a lista de materiais. Tentarei postar a segunda assim que estiver aprovado por parte do professor (ou seja, se possível, esse final de semana), pra que tenhamos bastante conteúdo pra estudar pra prova a partir daqui.

1. O cobre tem uma resistividade de $1.7*10^{-6}\Omega cm^2/m$. Qual é a resistência do fio com 0.1cm de raio e 30m de comprimento?
Aqui é o seguinte. Temos que ter em mente apenas uma fórmula matemática pra essa prova, ao menos por enquanto: resistência ($\Omega$) é igual a resistividade ($\Omega cm^2/m$) vezes o comprimento (m) dividido pela área da seção transversal (cm²).
Ou seja:
$R = \dfrac{\rho * l}{A}$

Nesse caso, queremos saber exatamente a resistência, tendo ou podendo deduzir todos os outros valores.
$\rho = 1.7*10^{-6} \Omega cm^2/m$
$l = 30m$
Agora um probleminha: a área. O exercício nos dá o raio da seção transversal, não a área... Mas a partir do momento em que a área da seção normalmente é uma circunferência, podemos fazer geometria analítica básica.
$A_c = \pi r^2$
$A = \pi (0.1cm)^2 = 0.01\pi cm^2$
Agora sim temos tudo e podemos jogar na fórmula:
$R = \dfrac{(1.7*10^{-6} \Omega cm^2/m)*(30m)}{0.01\pi cm^2} = \dfrac{51.10^{-6}\Omega cm^2}{0.01\pi cm^2} = \dfrac{51.10^{-4} \Omega}{\pi} \approx 16.2338*10^{-4} \Omega$
E esse é o primeiro exercício. Facílimo.

2. Calcule a seção transversal de um fio de alumínio ($\rho = 0.0278\Omega mm^2/m$) com resistência de $2\Omega$ e comprimento de 100m.
Vamos brincar com a fórmula pra ficar mais fácil de colocar os valores lá. Sabemos que:
$R = \dfrac{\rho*l}{A}$
Joguemos R pro outro lado dividindo e A (que é o que queremos isolar) pro outro lado multiplicando, fica:
$A = \dfrac{\rho*l}{R}$
Agora só jogar os valores:
$A = \dfrac{(278*10^{-4}\Omega mm^2/m)*(100m)}{2\Omega} = \dfrac{278*10^{-2}\Omega mm^2}{2\Omega} = 139.10^{-2}mm^2$
Também bem fácil.

3. Dados os materiais, determine o solicitado.

a)
$\rho = 0.032\Omega mm^2/m$
R = ?
Ok, queremos saber o R. Façamos uma análise da imagem: o comprimento do cabo é aquele 30m medido no desenho, enquanto a área da seção transversal, bem... Temos um quadrado de 1mm, não é necessário pensar muito pra perceber que sua área é esse lado de 1mm elevado ao quadrado. Bem, é bem básico, ao menos.
$l = 30m$
$A = (1mm)^2 = 1mm^2$
$R = \dfrac{(0.032\Omega mm^2/m)*(30m)}{1mm^2} = 0.96\Omega$

b)
$\rho = 0.0041\Omega cm^2/m$
r = 0.7mm
R = ?
Lembrando que a área da seção transversal é o raio ao quadrado vez $\pi$, igual o primeiro exercício. O comprimento está explícito como 300m. Assim:
$A = \pi(0.7mm)^2 = 0.49\pi mm^2$
Considerando que vamos tratar de cm² só pra cortar as coisas, é mais fácil converter já antes de jogar na equação:
$A = 0.49*10^{-2}\pi cm^2$
E agora, jogando tudo isso na equação:
$R = \dfrac{(0.0041\Omega cm^2/m)*(30m)}{0.49*10^{-2} \pi cm^2} = \dfrac{1.23*10^2\Omega cm^2}{0.49\pi cm^2} \approx \dfrac{251.02\Omega}{\pi} \approx 79.90\Omega$

c)
$R = 30M\Omega = 30*10^6\Omega$
$\rho = ?$

Lembrando que agora temos um retângulo, ou seja: seu cálculo de área de seção transversal envolve a multiplicação de dois lados. O comprimento já foi determinado ali como 10m. Bem, vamos lá:
$A = (1m)*(1cm) = (1m)*(1*10^{-2}m) = 1*10^{-2}m^2$
Agora realmente resta só a resistividade. Como da outra vez, vamos isolar ele na fórmula antes de fazer o cálculo pra facilitar as coisas.
$R = \dfrac{\rho*l}{A}$
$\dfrac{RA}{l} = \rho$
Agora só jogar na fórmula os valores:
$\rho = \dfrac{(30*10^6\Omega)*(1*10^{-2}m^2)}{10m} = \dfrac{30*10^4\Omega m^2}{10m} = 3*10^4 \Omega m^2/m$

4. Qual dos materiais do exercício 3 é melhor condutor de eletricidade? Justifique.
Tratando-se do material, o material com melhor condutividade é o de menor resistividade. Como eventualmente acabamos descobrindo os valores de todas as resistividades, podemos compará-las:
$\rho_1 = 0.032\Omega mm^2/m$
$\rho_2 = 0.0041\Omega cm^2/m = 0.0041*10^2 \Omega mm^2/m = 0.41\Omega mm^2/m$
$\rho_3 = 3*10^4 \Omega m^2/m = 3*10^4*10^6 \Omega mm^2/m = 3*10^10 mm^2/m$
Logo:
$\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$
O que prova que o primeiro material é o melhor condutor.

5. Cite duas propriedades dois materiais cerâmicos e duas de metais.
Essa é bem fácil de responder, considerando que, em diversos aspectos, os materiais cerâmicos são o oposto dos metais. O que respondi foi o seguinte: cerâmicos não são bons condutores de eletricidade e têm alta densidade (massa por volume), ou seja, a tendência é que sejam leves. Já os metais são o oposto: eles tem ótima condutividade elétrica num geral e sua densidade costuma ser baixa, o que implica que eles costumam ter mais massa por volume ocupado.

6. Diga 2 propriedades do cobre que o faz ser muito utilizado na indústria.
Também tem uma infinidade, e o que eu respondi foi a ótima condutividade elétrica e térmica e o fácil manuseio dele em variadas temperaturas.

7. Faça os comentários pertinentes quanto ao custo do cobre.
O custo do cobre é alto pelo seu complexo e custoso processo de extração - não se encontra cobre puro na crosta terrestre, e o processo de extração envolve um gasto de energia absurdo já que eles precisam trabalhar com alta temperatura, ou seja, converter bastante energia elétrica.

8. Explique como ocorre a condução elétrica em condutores e isolantes pela teoria das bandas de energia.
A teoria das bandas de energia estabelece três bandas para elétrons: a de valência, a proibida e a de condução. A condução de eletricidade ocorre quando o elétron salta da valência para a condução. Condutores tem banda proibida ignorável, praticamente inexistente, enquanto isolantes têm uma grande banda proibida entre a valência e a condução, que acaba dificultando esse salto.

Aula V - Mecânica dos Sólidos

Determine a resultante das três forças abaixo.

Dados:
$|\vec{F_1}| = 360N$
$|\vec{F_2}| = 270N$
$|\vec{F_3}| = 180N$
Ok, temos três forças atuando aqui, mas pouca coisa muda se comparado aos exercícios com duas forças. O que vamos fazer aqui é descobrir cada uma delas em forma de vetores unitários e somar as suas direções, simplesmente. É bem simples, quer ver?
Vamos usar $\vec{F_1}$ de exemplo inicial pra explicar tudo, o resto a gente faz direto. Sabemos que temos um triângulo retângulo ali, em que sua hipotenusa se dá em 360N. Temos também o seu ângulo, de 25º. O cateto adjacente (que contém o ângulo mostrado) está no eixo x, enquanto o cateto oposto (oposto ao ângulo mostrado) está obviamente no eixo y.
A fórmula tradicional, mas sempre fácil de esquecer, é a seguinte:
$\sin{\theta} = \dfrac{cateto oposto}{hipotenusa}$
$\cos{\theta} = \dfrac{cateto adjacente}{hipotenusa}$
Substituindo $\theta$ por 25°, cateto oposto por $\vec{F_{1y}}$, cateto adjacente por $\vec{F_{1x}}$ e hipotenusa por $\vec{F_1}$ (360N) e manipulando as equações para isolar $\vec{F_{1y}}$ e $\vec{F_{1x}}$, temos:
$\vec{F_{1x}} = 360\cos{25°} \approx 326.27N$
$\vec{F_{1y}} = 360\sin{25°} \approx 152.14N$

O que significa que:
$\vec{F_1} = \vec{F_{1x}} \hat{i} + \vec{F_{1y}} \hat{j} \approx (326.27N) \hat{i} + (152.14N) \hat{j}$

Para o segundo, a análise é quase a mesma: o cateto adjacente continua em x e o oposto continua em y, no entanto, a componente está no último quadrante. É claro que matematicamente acabamos descobrindo isso, mas essa análise inicial permite-nos dizer já de antemão que o valor de y será negativo.
$\vec{F_{2x}} = 270\cos{60°} = 135N$
$\vec{F_{2y}} = -270\sin{60°} \approx -233.8N$
$\vec{F_2} \approx (135N)\hat{i} + (-233.8N)\hat{j}$

Terceiro e último, uma abordagem diferente. Note que o cateto adjacente ao ângulo pertence ao eixo y, não ao x, que está com o cateto oposto dessa vez. Então os senos e cossenos se alterarão. Além disso, a componente está no terceiro quadrante, então ambos valores serão negativos.
Analisado isso, só calcular:
$\vec{F_{3x}} = -180\sin{50°} \approx -137.89N$
$\vec{F_{3y}} = -180\cos{50°} \approx -115.7N$
$\vec{F_3} \approx (-137.89N)\hat{i} + (-115.7N)\hat{j}$

E a $\vec{F}$ total? Como eu disse, é só somar as componentes em cada direção. Os $\hat{i}$ e os $\hat{j}$, se preferir.
$\vec{F} = (326.27 + 135 - 137.89)\hat{i} + (152.14 - 233.8 - 115.7)\hat{j} = (323.38N)\hat{i} + (-197.36N)\hat{j}$
Isso é ela expressada em seus vetores unitários. Precisamos definir módulo, direção e sentido. O sentido pode ser definido já vendo os vetores, daí vem o módulo:
$\vec{F} = \sqrt{323.38^2 + 197.36^2} \approx \sqrt{104574.62 + 38950.96} \approx \sqrt{143525.58} \approx {378.85N}$
Sim, foram feitos muitos arredondamentos. Por isso o resultado final de várias pessoas pode ser pouco diferente, mas em escala pequena.
Por último, direção:
$\theta = \tan^{-1}{\dfrac{F_y}{F_x}} = \tan^{-1}{\dfrac{197.36}{323.38}} \approx \tan^{-1}{0.61} \approx 31.38°$

E está resolvido o exercício. Grandinho, mas fácil.

Forças no plano

Equilíbrio de um ponto material: $vec{V} = 0$
- Força resultante $\vec{R}$ igual a zero.

$\vec{R} = \Sigma \vec{F} = 0$
-
$\vec{R} = R_x \hat{i} + R_y \hat{j}$
$\Sigma F_x = 0$
$\Sigma F_y = 0$

Aplicação da primeira lei de Newton:
$\vec{R} = 0$
Logo, o corpo está em repouso, fazendo assim um movimento retilíneo uniforme aonde $\vec{V}$ é constante.

Exemplo:

Dados:
$T_{AB} = 180N$
$T_{AE} = 270N$
Primeiramente, não dá pra entender muita coisa porque meu desenho tá horrível. Perdão. Mas o que tá acontecendo é o seguinte: aí dentro está ocorrendo um escoamento que exerce uma força de arrasto sobre as trações, que estão em equilíbrio. O exercício nos dá as distâncias entre as trações todas, e as trações AB e AE.
É até um pouco complicado, mas vamos trabalhar com as distâncias antes de qualquer coisa, porque podemos descobrir ângulos desejados. Descobrir ângulos é o início nesse exercício. E a lógica para isso é a seguinte: enquanto não temos as trações, as distâncias como catetos podem muito bem definir uma tangente, que será invertida para descobrir o ângulo de cada ponto.
Temos um triângulo de 0,45m de cateto oposto, 1,2m de cateto adjacente e hipotenusa desconhecida ($T_{AC}$, mas não estamos fazendo essa relação agora, estamos tratando de distâncias). Temos outro triângulo de 2,1m de cateto oposto, 1,2m de cateto adjacente e hipotenusa desconhecida também. Vamos resolver cada um, porque os ângulos serão usados para as forças:
$\tan{\beta} = \dfrac{0.45}{1.2} = 0.375$
$\beta = \tan^{-1}{(0.375)} \approx 20.56°$

$\tan{\alpha} = \dfrac{2.1}{1.2} = 1.75$
$\alpha = \tan^{-1}{(1.75)} \approx 60.26°$

Agora poderíamos já pensar em resolver o exercício direto, mas em mecânica dos sólidos é sempre bom decompor os vetores antes de fazer qualquer coisa... Então, bem, faremos isso:
$\vec{T_{AC}} = [T_{AC} \sin{20.56}]\hat{i} + [T_{AC} \cos{20.56}]\hat{j}$
$\vec{T_{AB}} = [-180 \sin{60.26}]\hat{i} + [180 \cos{60.26}]\hat{j}$
$\vec{T_{AE}} = [270 \cos{90}]\hat{i} + [270 \sin{90}]\hat{j} = (270N)\hat{j}$
$\vec{F_{arr}} = [F_{arr} \cos{0}]\hat{i} + [F_{arr} \sin{0}]\hat{j} = (F_{arr})\hat{i}$

Sim, é bem assim. Agora vamos pensar na lógica do equilíbrio dos corpos rígidos: ela determina que o somatório das forças é 0, para que o corpo esteja parado (o caso) ou em movimento retilíneo uniforme. O raciocínio é o seguinte:
$\Sigma F = 0$
Logo, $\Sigma F_y = 0$ e $\Sigma F_x = 0$.

Então vamos botar isso em prática, primeiro no eixo y. Analisem o seguinte: no eixo y, as duas trações estão exercendo, juntas, uma força que está obrigatoriamente oposta à tração de baixo para que todas fiquem em equilíbrio. Na conta, vai ficar:
$\Sigma F_y = T_{{AC}_y} + T_{{AB}_y} - T_{{AE}_y} = 0$
$T_{AC} \cos{20.56} + T_{AB}\cos{60.26} - T_{AE} = 0$
$T_{AC} \cos{20.56} + 180 \cos{60.26} - 270 = 0$
$T_{AC} \cos{20.56} = -180 \cos{60.26} + 270$
$T_{AC} \cos{20.56} \approx -89.29 + 270 = 180.71$
$T_{AC} \approx \dfrac{180.71}{\cos{20.56}} \approx 193N$
Agora a única força que resta é a força de arrasto.

Agora a lógica para o eixo x, que é a mesma:
$\Sigma F_x = 0$
Mas é o seguinte: note que a força de arrasto do escoamento e a força $T_{AC}$ estão no mesmo sentido, opondo-se a $T_{AB}$. Na conta, fica assim:
$F_{arr} + T_{{AC}_x} - T_{{AB}_x} = 0$
$F_{arr} + T_{AC} \sin{20.56} - T_{AB} \sin{60.26} = 0$
$F_{arr} + 193 \sin{20.56} - 180 \sin{60.26} = 0$
$F_{arr} = -193 \sin{20.56} + 180 \sin{60.26} \approx -67.78 + 156.29 = 88.49N$

E está descoberto tudo o que tinha para descobrir, se não me engano. É isso aí galera, a próxima aula já estou preparando aqui também porque estou atrasadíssimo em mecânica aqui no blog, rs. Até mais.

Lista I - Cálculo Diferencial e Integral III

1. Trace um número suficiente de vetores para ilustrar o padrão dos vetores no campo F.

 

(antes eu tava fazendo no Word, mas vou terminar aqui em texto de blog mesmo que é mais fácil pra mim)

b) $F(x, y, z) = (3x+y)\hat{i} + (xy^2)\hat{j} + (xz^2)\hat{k}$
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(3x+y) & (xy^2) & (xz^2) \end{array}
\right) =$
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(xz^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(xy^2)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xz^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(3x+y)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(xy^2) - \dfrac{\partial}{\partial y}(3x+y)]\hat{k} =$
$[0 - 0]\hat{i} - [z^2 - 0]\hat{j} + [y^2+1]\hat{k} = (-z^2)\vec{j} + (y^2+1)\vec{k}$
Fácil, não? Até que sim. Agora ao divergente:
$\vec{\nabla} \bullet \vec{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}[3x+y] + \dfrac{\partial}{\partial y}[xy^2] + \dfrac{\partial}{\partial z}[xz^2] = 3+2yx+2zx$

c) $F(x, y, z) = (3xyz^2)\hat{i} + (y^2 \sin{z})\hat{j} + (xe^{2z})\hat{k}$
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(3xyz^2) & (xy^2) & (xz^2) \end{array}
\right) = [\dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{2z})$
$ - \dfrac{\partial}{\partial z}(y^2 \sin{z})]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{2z}) - \dfrac{\partial}{\partial z}(3xyz^2)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(y^2 \sin{z}) - \dfrac{\partial}{\partial y}(3xyz^2)]\hat{k} =$
$[0 - (y^2 \cos{z})]\hat{i} - [e^{2z} - 3*(2z)xy]\hat{j} + [0-3xz^2]\hat{k} =$
$(-y^2 \cos{z})\hat{i} - (e^{2z} - 6xyz)\hat{j} - (3xz^2)\hat{k} = (-y^2 \cos{z})\hat{i} + (-e^{2z} + 6xyz)\hat{j} - (3xz^2)\hat{k}$

$\vec{\nabla} \bullet \vec{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}[3xyz^2] + \dfrac{\partial}{\partial y}[y^2 \sin{z}] + \dfrac{\partial}{\partial z}[xe^{2z}] = 3yz^2 + 2y \sin{z} + 2xe^{2z}$

3. Se $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$, prove que:
a) $\vec{\nabla} \bullet \vec{r} = 3$
$\vec{\nabla} \bullet \vec{r} = \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 $

b) $\vec{\nabla} \times \vec{r} = 0$
$\vec{\nabla} \times \vec{r} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
x & y & z \end{array}
\right) = [\dfrac{\partial z}{\partial y} - \dfrac{\partial y}{\partial z}]\hat{i} - [\dfrac{\partial z}{\partial x} - \dfrac{\partial x}{\partial z}]\hat{j} + [\dfrac{\partial y}{\partial x} - \dfrac{\partial x}{\partial y}]\hat{k} = 0$

c) $\vec{\nabla} ||\vec{r}|| = \dfrac{\vec{r}}{||\vec{r}||}$
Seguinte: sabemos que o módulo de um vetor xy é a raíz de suas componentes ao quadrado. Para xyz o mesmo ocorre, só que com uma direção a mais. Ou seja: 
$||\vec{r}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Como não há nenhum sinal na lista, fica mais difícil deduzir, mas será feito um produto escalar nesse caso. Como dito, a função ficará:
$\vec{\nabla} \times \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Para fazer o produto escalar por nabla, é só derivar a função em cada eixo. E como estamos trabalhando com módulo, usaremos a mesma função vetorial para todas as três derivadas parciais:
$\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{\partial}{\partial z}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} =$
$2x * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} + 2y * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} + 2z * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} =$
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{i} + \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{j} + \dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{k} = \dfrac{(x)\hat{i} + (y)\hat{j} + (z)\hat{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \dfrac{\vec{r}}{||\vec{r}||}$

4. Se $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ e a é um vetor constante, prove que:
a) $rot (\vec{a} \times \vec{r}) = 2\vec{a}$
Ok, aqui só uma observação deve ser feita antes de começar a fazermos contas enormes: um vetor constante a tem, em todas as suas direções (x, y, z), a componente a. Logo, quando formos fazer ou a matriz $\vec{a} \times \vec{r}$, vamos colocar a em toda a linha da primeira função. Ou da segunda, tanto faz. Como isso está entre parênteses, a prioridade é essa, então vamos resolver isso.
$\vec{a} \times \vec{r} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
x & y & z \end{array}
\right) = $
$[az-ay]\hat{i} - [az-ax]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k} = [az-ay]\hat{i} + [ax-az]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k} $

Resolvido isso, temos uma única função, que: na letra a, será multiplicada vetorialmente com o operador $\vec{\nabla}$; na letra b, será multiplicada escalarmente com esse mesmo operador. Primeiro, resolvendo a:
$rot([az-ay]\hat{i} + [ax-az]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k}) = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(az-ay) & (ax-az) & (ay-ax) \end{array}
\right) = $
$(\dfrac{\partial}{\partial y}[ay-ax] - \dfrac{\partial}{\partial z}[ax-az])\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}[ay-ax] - \dfrac{\partial}{\partial z}[az-ay])\hat{j}$
$+ (\dfrac{\partial}{\partial x}[ax-az] - \dfrac{\partial}{\partial y}[az-ay])\hat{k} = (a - [-a])\hat{i} - ([-a] - a)\hat{j} + (a - [-a])\hat{k} =$
$(2a)\hat{i} + (2a)\hat{j} + (2a)\hat{k} = 2a$

Ótimo, resolvida letra a. Agora letra b.
b) $div (\vec{a} \times \vec{r}) = 0$
Lembrando que a divergente é apenas a derivada parcial de x na direção i, de y na direção j e de z na direção k. Só colocar a função $\vec{a} \times \vec{r}$ nas derivadas:
$\dfrac{\partial}{\partial x}[az-ay] + \dfrac{\partial}{\partial y}[ax-az] + \dfrac{\partial}{\partial z}[ay-ax] = 0$

Mais fácil, mais rápida e a resposta é correta também. Próxima.

5. Determine se o campo vetorial $\vec{F}$ é conservativo.
a) Se $\vec{F} = (yz)\hat{i} + (xz)\hat{j} + (xy)\hat{k}$
Primeiro, temos que saber o que raios é um campo conservativo. Se há muito tempo respondestes a prova, sabes que o campo conservativo é um campo cujo sua multiplicação vetorial com o nabla dá 0. Vamos fazer o teste com esse primeiro.

$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(yz) & (xz) & (xy) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(xy) - \dfrac{\partial}{\partial z}(xz)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xy) - \dfrac{\partial}{\partial z}(yz)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(xz) - \dfrac{\partial}{\partial y}(yz)]\hat{k} =$
$[x-x]\hat{i} - [y-y]\hat{j} + [z-z]\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$
Ou seja, o campo é conservativo.

b) Se $\vec{F} = (ye^{-x})\hat{i} + (e^{-x})\hat{j} + (2z)\hat{k}$
Ok, matriz:

$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(ye^{-x}) & (e^{-x}) & (2z) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(2z) - \dfrac{\partial}{\partial z}(e^{-x})]\hat{i} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(2z) - \dfrac{\partial}{\partial z}(ye^{-x})]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(e^{-x}) - \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{-x})]\hat{k} =$
$(-e^{-x} - e^{-x})\hat{k} = (-2e^{-x})\hat{k}$
Logo, o campo não é conservativo.

c) Se $\vec{F} = (y^2 z^3)\hat{i} + (2xyz^3)\hat{j} + (3xy^2 z^2)\hat{k}$
Lá vamos nós de novo:

$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(y^2 z^3) & (2xyz^3) & (3xy^2 z^2) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2 z^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(2xyz^3)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2 z^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(y^2 z^3)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(2xyz^3) - \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2 z^3)]\hat{k} =$
$[3x(2y)z^2 - 2xy(3z^2)]\hat{i} - [3y^2 z^2 - y^2 (3z^2)]\hat{j} + [2yz^3 - 2yz^3]\hat{k} =$
$[6xyz^2 - 6xyz^2]\hat{i} - [3y^2 z^2 - 3y^2 z^2]\hat{j} + 0\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$
Ou seja, o campo é conservativo.

Resolvido mais um! Faltam dois agora. E bem de boas, veja só.

6. Seja $\vec{F} = \vec{M} \hat{i} + \vec{N} \hat{j} + \vec{P} \hat{k}$ um campo vetorial, mostre que $div(rot(\vec{F})) = 0$. Note a analogia $a \bullet (a \times b) = 0$.
Ok, parece meio confuso assim. Mas vamos resolver primeiro, ver no que dá isso tudo. Aí chegamos nas conclusões. Primeiro o rotacional (produto vetorial de nabla com a função vetorial), que está em prioridade ali, e depois o divergente do resultado.
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
M & N & P \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}P - \dfrac{\partial}{\partial z}M]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M]\hat{k} =$
$[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N]\hat{i} + [\dfrac{\partial}{\partial z}M - \dfrac{\partial}{\partial x}P]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M]\hat{k}$

Ok, não parece nada conclusivo, mas vamos fazer o divergente disso. Produto escalar de nabla pelas funções ijk.
$\dfrac{\partial}{\partial x}[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N] + \dfrac{\partial}{\partial y}[\dfrac{\partial}{\partial x}M - \dfrac{\partial}{\partial z}P] + \dfrac{\partial}{\partial z}[\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M] =$
$\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} - \dfrac{\partial^2 N}{\partial x \partial z} + \dfrac{\partial^2 M}{\partial y \partial z} - \dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x} + \dfrac{\partial^2 N}{\partial z \partial x} - \dfrac{\partial^2 M}{\partial z \partial y}$
"E agora?" você me pergunta. O esquema é o seguinte: aprendemos em cálculo II, lá no começo, que a ordem das incógnitas lá embaixo não altera o resultado. O que isso significa? Que tudo o que é igual em cima, e tem as mesmas incógnitas embaixo independente da ordem, é igual. "Coincidentemente", temos uma derivada parcial de P positiva com xy embaixo, e uma negativa com yx embaixo - podemos cortá-la; o mesmo ocorre com M e yz/zy, e N com zx/xz. Como vamos cortar tudo, o resultado final vai ser 0.
Que foi o que foi exigido inicialmente no exercício, não foi?

7. Seja $\vec{F} = \nabla f$ (campo de gradientes), mostre que $\vec{F}$ é conservativo.
É o seguinte: nessa questão, temos um operador nabla multiplicando um campo "f". Ou seja, a função que será colocada na matriz será $\nabla f$: cada operador, derivada parcial, estará multiplicando esse f desconhecido. Será evidentemente uma matriz, e ela ficará assim:
$\vec{\nabla} \times \vec{\nabla f} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\dfrac{\partial}{\partial x}f & \dfrac{\partial}{\partial y}f & \dfrac{\partial}{\partial z}f \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}]\hat{i} - [\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} - \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \partial x}]\hat{j} + [\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} - \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}]\hat{k} =$
$0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$

E é isso aí. Está resolvida toda essa lista, que acho que não vai ser muito cobrada mas, bem, de qualquer forma se precisar já há um lugar pra estudar.

Aula V - Cálculo Diferencial e Integral III

Equações Diferenciais

- São equações que envolvem a função incógnita e suas derivadas. Exemplo:
$\dfrac{dT}{dt} = -K(T_c - T_m)$
Variável independente: t
Variável dependente: T

Equação Diferencial Ordinária: 1 variável independente
Equação Diferencial Parcial: 2 ou mais variáveis independentes
Exemplo de EDP:
$\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} - \dfrac{4\partial^2y}{\partial t^2} = 0$

Notação

$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dot{y}$
$y'' = \dfrac{d^2y}{dx^2} = \ddot{y}$
$y''', y^{(4)}, ...$

Classificação

 

Ordem

- A ordem de uma equação diferencial é a ordem da equação de maior ordem. Exemplo:
$\dfrac{d^2y}{dx^2} + 2\dfrac{dy}{dx} = e^x$
A equação de maior ordem é a primeira, que é de segunda ordem. Logo, essa é uma equação diferencial de segunda ordem.

 

Grau

- A maior potência da derivada de maior ordem. Exemplo:
$(\dfrac{dy}{dx})^2 - 3\dfrac{dy}{dx} = e^x$
As duas derivadas são da mesma ordem (1ª), enquanto a primeira derivada está elevada ao quadrado, o que configura em uma equação diferencial de segundo grau.

 

Linearidade 

Para que uma equação diferencial seja linear:
- A função incógnita e suas derivadas como de 1º grau;
- Cada coeficiente depende da mesma variável independente.
Exemplo de função que não é linear:
$y''' + y^2 = 0$
Note que a função y está elevada ao quadrado, assim tornando a equação de segundo grau, e não satisfazendo a primeira condição de uma equação diferencial linear.

Solução da Equação Diferencial

- É uma função y = f(x) a qual, juntamente com suas derivadas, satisfaz a equação dada. Exemplos:

Verifique se $y = x^2+5x$ é solução de $xy'' - y' + 5 = 0$.
Ok, esse exercício, como qualquer introdutório, é bem fácil: primeiro vamos descobrir as derivadas das duas ordens.
$y' = (x^{2})' + 5x' = 2x + 5$
$y'' = (2x+5)' = 2x' + 5' = 2 + 0 = 2$
E agora substituir na equação:
$x(2) - (2x+5) + 5 = 0$
$2x - 2x - 5 + 5 = 0$
$0 = 0$
Logo, a equação está satisfeita e o valor $y = x^2+5x$ é solução.

Verifique se, caso $y = \dfrac{1}{x^2+C}$, $y' = -2xy^2$.
Esse já é mais chatinho, mas calma, é só o final que tem um truquezinho básico. Só precisamos derivar, a princípio, veja:
$y' = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{x^2+c}) = \dfrac{d}{dx}(1*(x^2+c)^{-1}) = -(2x)*(x^2+c)^{-2}$
A quem não lembra o que foi feito aí, o que eu não acho difícil, puríssima regra da cadeia. Clássico do Cálculo I. A derivada da função de dentro, que fica 2x, vezes a derivada da função de fora, em que você trata a função de dentro como uma variável elevada a -1 e faz a regra do tombo com ele (cai -1, o expoente fica -2).
Agora, à manipulação:
$y' = -2x*(\dfrac{1}{x^2+c})^2$
Notem que tudo o que está elevado ao quadrado é o valor original de y, lá em cima, logo:
$y' = -2xy^2$

Os resultados batem, então sim, y e y' estão expressadas corretamente no enunciado.

E foi essa a última aula de cálculo. Espero que entendam bem esse início, porque EDO é o conteúdo que vamos carregar por esse cálculo e muito provavelmente por parte do próximo.

Lista Virtual I - Física Geral II

É provável que isso nem mesmo caia em alguma prova de física, mas a quem ficou interessado no conteúdo:

1. Considere um capacitor a ar, consistindo de duas placas paralelas bastante próximas, com capacitância de $1000pF$. A carga elétrica de cada placa é de $1\mu C$.
Lembrando que a fórmula básica é:
A capacitância é igual a carga sobre a tensão. Ou seja:
$C = \dfrac{Q}{V}$

O exercício nos dá um capacitor com capacitância 1000pF ($1000*10^{-12}F$) e uma carga $1\mu C$ ($1*10^{-6}C$), é só manipular a equação e obteremos o resultado:
$V = \dfrac{C}{Q}$
$V = \dfrac{1000*10^{-12}F}{1*10^{-6}C} = 1000*10^{-6}V = 1000\mu V$

Facílimo! Próximo.

2. Se a carga for mantida constante, qual é a ddp entre as placas se a separação for duplicada?
Aqui a lógica é a seguinte: a carga se mantém a mesma, então a separação afeta a capacitância... Para que tudo continue funcionando perfeitamente com as mesmas cargas, a capacitância será duplicada. Sendo duplicada a capacitância, temos o seguinte resultado:
$V = \dfrac{2000*10^{-12}F}{1*10^{-6}C} = 2000*10^{-6}V = 2000\mu V$

Ótimo? Sim.

3. Considere a figura abaixo, onde $C_1 = 3\mu F$ e $C_2 = 2\mu F$.

Calcule a capacitância equivalente entre os pontos 'a' e 'b'.
Exercício fácil, mas fácil de confundir também. Temos uma relação do tipo derivada/integral com capacitor/resistor, já que um é o oposto do outro e se você começar a resolver, vai acabar confundindo e fazendo coisa de resistor pra capacitor e vice-versa. Felizmente, circuitos elétricos ainda está sem isso.
De qualquer forma, temos aí três capacitores $C_1$ em série (aqueles entre c e d), tudo em paralelo com um capacitor $C_2$, que ficará em série com os outros dois $C_1$.
Vamos resolver? É simples.
$C_{cd1} = \dfrac{3*3}{3+3} = \dfrac{9}{6} = 1.5\mu F$
$C_{cd2} = \dfrac{1.5*3}{1.5+3} =  \dfrac{4.5}{4.5} = 1\mu F$
$C_{cd} = 1+2 = 3\mu F$
$C_{ab1} = \dfrac{3*3}{3+3} = 1.5\mu F$
$C_{T} = \dfrac{1.5*3}{1.5+3} = 1\mu F$

E é essa a capacitância total. $1\mu F$.

Calcule a carga em cada um dos capacitores $C_1$ mais próximos de 'a' e 'b' quando $V_{ab} = 900V$.
A lógica é a seguinte: o ponto dos capacitores $C_1$ inicial e final são vistos com a capacitância total, já que $1\mu F$ é distribuído igualmente a cada $C_1$. Assim, podemos só jogar esse valor na equação da carga:
$C = \dfrac{Q}{V}$
$Q = C*V = 1\mu F * 900V = 900\mu C$

E está tudo resolvido! É só um pontapé inicial pros capacitores, já que tem muita, mas muita coisa sobre eles que talvez nem vejamos esse semestre ou nem mesmo vejamos (embora ache improvável, circuitos passa por RC e RLC).

Aula VI - Física Geral II

Conteúdo: campo elétrico, lei de Gauss

Exercício 1. Um campo elétrico não uniforme dado por $\vec{E} = 3.0x(\hat{i}) + 4.0(\hat{j})$ atravessa o cubo gaussiano abaixo. Qual o fluxo elétrico nas faces direita, esquerda e superior do cubo? ($E$ dado em $\dfrac{N}{C}$, e x = 2m)

Esse exercício é horrível de entender. Não, sério mesmo, horrível. Como qualquer conteúdo de Física II. Ou talvez eu seja negativamente tendencioso com as equações de Maxwell. O fato é que temos um cubo e, como todo cubo, ele tem seis faces: superior, inferior, dianteira, traseira, lateral direita e lateral esquerda. Todos eles têm um fluxo elétrico calculável, mesmo que seja nulo. Esse exercício nos pede o fluxo elétrico de três partes apenas.

Primeiramente, lembremos a equação do fluxo elétrico:
$\Phi = \oint \vec{E} \bullet d\vec{S}$
Ótimo, agora a pergunta mais legal vem aí: o que isso quer dizer? Quer dizer que a integral da superfície do campo elétrico escalar $d\vec{S}$, que é um pedacinho infinitesimal da superfície do cubo, é igual ao fluxo elétrico. Muito esclarecedor? Eu sei que não, mas vamos fazer o seguinte.
São três fluxos diferentes, não é? Vamos resolver um inicial para que fique mais "fácil" entender já que, entendendo o primeiro, dá pra entender o resto mais de boa. Vamos pegar a lateral direita.

$\Phi_{dir} = \oint \vec{E} \bullet d\vec{S}$

Ok, e agora? Vamos decompor isso em uma função para vetores unitários. O campo E já está definido no enunciado do exercício, já dS... a lógica é a seguinte: temos que o fluxo elétrico dessa lateral direita age movendo-se, bem, para a direita. Por isso:
$d\vec{S} = dSa\hat{i}$
Assim, podemos fazer a escalar E com dS:
$\vec{E} \bullet d\vec{S} = \vec{E} \bullet dS(\hat{i}) = (3x\hat{i} + 4\hat{j}) \bullet dS\hat{i} = (3x(\hat{i} \bullet \hat{i}) + 4(\hat{j} \bullet \hat{i})dS = (3x)dS$
Ótimo, agora temos uma função realmente integrável. Só precisamos resolver o que vai acontecer com aquela integral de superfície ali, porque daquele jeito fica difícil. Mas acredite, essa integral é bem simples: só precisamos descobrir a área de uma das faces, e pra isso podemos pegar a dianteira mesmo já que todas as faces são iguais (cubo hurr).
O eixo x varia de 1 a 3, e não temos a variação do eixo y... Mas é um cubo, então ele precisa ter o mesmo tamanho de x. Sabemos que o cubo começa em 0 no eixo y, o que significa que ele vai até 2. Logo, claro que sim, temos uma integral dupla dxdy aonde os limites de x são de 1 a 3 e os de y são de 0 a 2. Sabemos também que nessa face do cubo, o x tem um valor estável de 3. O que faria o fluxo lateral direito ficar assim:
$\Phi_{dir} = \int^3_1 \int^2_0 (3*3)dydx$
Então é só resolver:
$\Phi_{dir} = 9 \int^3_1 \int^2_0 dydx = 9*2 \int^3_1 dx = 18*[3-1] = 18*2 = 36(Nm^2)/C$

Ótimo, descoberto um dos fluxos. Faltam... Três outros. O bom é que temos o raciocínio, o ruim é que ainda continua chatíssimo. Vamos pegar o lateral esquerdo. O primeiro ponto é que o fluxo age em um movimento pela esquerda, o sentido oposto ao cartesiano comum, por isso:
$d\vec{S} = dSa(-\hat{i})$
Fazendo a escalar:
$\vec{E} \bullet d\vec{S} = (3x\hat{i} + 4\hat{j}) \bullet dS(-\hat{i}) = (3x(\hat{i} \bullet -\hat{i}) + 4(\hat{j} \bullet -\hat{i}) dS = (-3x)dS$
Ótimo, não precisamos fazer a análise da integral dupla porque ela é a mesma pra todas as faces, como já constatei antes. Dessa vez, o que muda, além da função em si, é que x tem valor estável de 1. Logo, a integral fica:
 $\Phi_{esq} = \int^3_1 \int^2_0 (-3*1)dydx = -3 \int^3_1 \int^2_0 dydx = -3*2*[3-1] = -6*2 = -12(Nm^2)/C$

Ok, ok. Só mais um! O superior. Dessa vez o esquema vai ser um pouco diferente porque o vetor unitário dS não está em i, está em j, note como será a multiplicação:
$d\vec{S} = dSa\hat{j}$
$\vec{E} \bullet d\vec{S} = (3x\hat{i} + 4\hat{j}) \bullet dS\hat{j} = (3x(\hat{i} \bullet \hat{j}) + 4(\hat{j} \bullet \hat{j})dS = 4dS$
Veja só, um resultado sem variáveis, o que evita uma análise pra descobrir o valor estável de y. De qualquer forma, a integral é essa:
$\Phi_{sup} = \int^3_1 \int^2_0 4dydx = 4*2*[3-1] = 8*2 = 16(Nm^2)/C$

E está resolvido o primeiro exercício.


2. Calcule a carga que gera tal campo.
Oh, mas que coisa... Mas essa não é difícil. Veja só, a equação da carga é assim nesse caso:
$\varepsilon_0\Phi = q_{env}$
Esse $\Phi$ aí significa o seguinte: o somatório do fluxo elétrico de todas as faces do cubo. Sim, inclusive aquelas que não calculamos! Mas não precisamos calcular nada, só assumir algumas coisas lógicas.
Primeiro para o fluxo inferior: note que ele vai na direção -j, e que de resto, nada é alterado na integral do fluxo superior. Logo, o fluxo inferior é simplesmente o oposto do fluxo superior. -16Nm²/C.
Para o fluxo dianteiro e traseiro, é só perceber que nem mesmo há função z(k) no exercício, então as cargas são nulas. 0.
$\varepsilon_0$ é uma constante $8.85*10^{-12}C^2/Nm^2$, então temos tudo o que precisamos pra resolver a equação.
$q_{env} = (8.85*10^{-12}C^2/Nm^2) * ((36-12+16-16+0+0)Nm^2/C)$
$q_{env} = (8.85*10^{-12} * 24)(C^2/Nm^2 * Nm^2/C) = 2.1*10^{-10}C$

Pronto.


3. Remake do exercício do fio condutor infinito.

Ok, a análise é a seguinte: o campo elétrico que está nesse fio condutor pode ser analisado analiticamente como um cilindro. Desenhando esse campo, fica assim:

Como não vamos usar nenhum valor fixo, vamos estabelecer algumas coisas aqui:
$\lambda = \dfrac{q}{r}$
$\varepsilon_0 \oint \vec{E} \bullet d\vec{S} = \lambda h$
Precisamos descobrir o E nesse exercício porque, bem, o outro exercício era esse. E não faz parte dessa integral e pode ser jogado pra fora, enquanto dS pode ser usado sem notação de vetor. Quanto a integral de linha do cilindro, corresponde à área lateral, e geometria analítica básica nos diz que isso equivale a $2\pi rh$. Fazendo tudo isso, fica:
$\varepsilon_0 E(2\pi rh) = \lambda h$
$E = \dfrac{1}{2\pi \varepsilon_0}*\dfrac{\lambda}{r}$
(lembro que teve gente que perguntou na aula o que aconteceu com o h, mas é fácil perceber que podemos cortá-lo dos dois lados)

E está resolvido.


4. Calcule o campo gerado pelo plano infinito não condutor; considere o campo uniforme e a densidade superficial de cargas $\sigma$.

Veja bem a segunda figura. A primeira é uma representação mais real, mas a segunda é mais fácil de compreender, ainda mais considerando que é um plano infinito como o primeiro mas pelo sentido das cargas dá limitar um cilindro.
Algumas considerações aqui serão:
$\sigma = q/A$
$q = \sigma A$
$\varepsilon_0 \oint \vec{E} \bullet d\vec{S} = q_{env}$
E agora é o seguinte: vamos considerar os dois lados do plano. Em um, tanto o campo quanto o elemento infinitesimal dS são positivos. Em outro, ambos são negativos. Sabemos que a integral de superfície dS acaba sendo a área, que não é definida pelo exercício. Ou seja:

$\varepsilon_0 \oint \vec{E} \bullet d\vec{S} = \varepsilon_0 ((+E)(+A_b) + (-E)(-A_b))$
$\varepsilon_0 (EA_b + EA_b) = 2\varepsilon_0 EA_b = \sigma A_b$
$E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

E esse é o resultado. Sério! Não vamos obter resultados constantes nesses exercícios, desista.


Dois planos

$E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

--

$E = \dfrac{2\sigma}{\varepsilon_0}$