1. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial?
$$y'' - y = 0$$
Ok, é o seguinte: esse exercício é bem simples. Muito, até demais. O que você tem que fazer é, simplesmente, derivar duas vezes a equação apresentada e subtrair a equação apresentada e ver se o resultado dá 0... Isso é bem óbvio, mas só pra explicar os passos.
Resolvendo:
$$a) e^x$$
$$y'' - y = (e^x)'' - e^x = (e^x)' = e^x = e^x - e^x = 0$$
O resultado deu 0, então sim, a função é solução da equação.
$$b) \sin{x}$$
$$y'' - y = (\sin{x})'' - \sin{x} = (\cos{x})' - \sin{x} = -\sin{x} - \sin{x} = -2 \sin{x} \neq 0$$
Logo, a função seno não é solução da equação.
$$c) 4e^{-x}$$
$$y'' - y = (4e^{-x})'' - 4e^{-x} = (-4e^{-x})' - 4e^{-x} = 4e^{-x} - 4e^{-x} = 0$$
Então a função é solução da equação.
$$d) 0$$
$$y'' - y = 0'' - 0 = 0' = 0$$
É solução de equação.
$$e) \dfrac{1}{2} x^2 + 1$$
$$y'' - y = (\dfrac{1}{2} x^2 + 1)'' - (\dfrac{1}{2} x^2 + 1) = (\dfrac{2}{2} x)' - (\dfrac{1}{2} x^2 + 1) \\
= x' - (\dfrac{1}{2} x^2 + 1) = 1 - (\dfrac{1}{2} x^2 + 1) = \dfrac{1}{2} x^2 \neq 0\\$$
Não é solução da equação.
2. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial?
$$y'' - 4y' + 4y = e^x$$
É o mesmo exercício, praticamente. Você substituirá y pelo valor imposto pelo exercício e derivará e multiplicará o tanto de vezes que estiver exposto na equação, e o resultado terá de ser igual a e elevado a x, ou a função não é solução.
$$a) e^x$$
$$y'' - 4y' + 4y = (e^x)'' - 4(e^x)' + 4(e^x) = (e^x)' - 4(e^x) + 4e^x = e^x - 4e^x + 4e^x = e^x$$
Logo, é solução da equação.
$$b) e^{2x}$$
$$y'' - 4y' + 4y = (e^{2x})'' - 4(e^{2x})' + 4e^{2x} = (2e^{2x})' - 8e^{2x} + 4e^{2x} = 4e^{2x} - 8e^{2x} + 4e^{2x} \\
= 8e^{2x} - 8e^{2x} = 0 \neq e^x\\$$
Logo, não é solução da equação.
$$c) e^{2x} + e^x$$
$$y'' - 4y' + 4y = (e^{2x} + e^x)'' - 4(e^{2x} + e^x)' + 4(e^{2x} + e^x) \\
= (2e^{2x} + e^x)' - 4(2e^{2x} + e^x) + 4e^{2x} + 4e^x \\
= 4e^{2x} + e^x - 8e^{2x} - 4e^x + 4e^{2x} + 4e^x = 8e^{2x} - 8e^{2x} + e^x = e^x$$
Logo, é solução da equação.
$$d) xe^{2x} + e^x$$
Já vou adiantando que empregaremos a regra da multiplicação (f'g + fg') na derivada do primeiro termo.
$$y'' - 4y' + 4y = (xe^{2x} + e^x)'' - 4(xe^{2x} + e^x)' + 4(xe^{2x} + e^x) \\
= ([e^{2x} + 2xe^{2x}] + e^x)' - 4([e^{2x} + 2xe^{2x}] + e^x) + 4xe^{2x} + 4e^x \\
= (2e^{2x} + [2e^{2x} + 4xe^{2x}] + e^x) - 4e^{2x} - 8xe^{2x} - 4e^x + 4xe^{2x} + 4e^x \\
= 2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x} + e^x - 4e^{2x} - 8xe^{2x} - 4e^x + 4xe^{2x} + 4e^x \\
= 4e^{2x} + 8xe^{2x} + 5e^x - 4e^{2x} - 8xe^{2x} - 4e^x = e^x$$
Logo, é solução. E deu trabalho.
$$e) e^{2x} + xe^x$$
$$y'' - 4y' + 4y = (e^{2x} + xe^x)'' - 4(e^{2x} + xe^x)' + 4(e^{2x} + xe^x) \\
= (2e^{2x} + [e^x + xe^x])' - 4(2e^{2x} + [e^x + xe^x]) + 4e^{2x} + 4xe^x \\
= (4e^{2x} + e^x + [e^x + xe^x]) - 8e^{2x} - 4e^x - 4xe^x + 4e^{2x} + 4xe^x \\
= 4e^{2x} + 2e^x + xe^x - 4e^{2x} - 4e^x = -2e^x + xe^x \neq e^x$$
Logo, não é solução.
3. Determine os C, de modo que a equação abaixo satisfaça as condições dadas. Determine se tais condições são iniciais ou de contorno.
$$y(x) = c_1 \sin{x} + c_2 \cos{x}$$
Então... O exercício é o seguinte. É um tipo de exercício semelhante a algum que caiu na prova, mas o da prova você tinha que resolver a equação primeiro e depois jogar os valores. Esse é bem o princípio dele, só jogando os valores trabalhando com a equação pronta.
Quanto às condições iniciais ou de contorno, é bem fácil: se as variáveis utilizadas na função incógnita forem iguais, foram usadas condições iniciais; se forem diferentes, foram usadas condições de contorno.
Antes de começar a série de exercícios, vamos resolver a derivada da função incógnita, porque grande parte dos exercícios usam ela:
$$y'(x) = (c_1 \sin{x})' + (c_2 \cos{x})' = c_1 \cos{x} - c_2 \sin{x}$$
$$a) y(0) = 1, y'(0) = 2$$
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 2 \\
c_2 = 2$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 2 \\
c_1 = 2$$
Tanto para a função incógnita quanto para sua derivada utilizamos o valor 0, então a condição é inicial.
$$b) y(0) = 2, y'(0) = 1$$
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 2 \\
c_2 = 2$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 1 \\
c_1 = 1$$
Condição inicial.
$$c) y(\dfrac{\pi}{2}) = 1, y'(\dfrac{\pi}{2}) = 2$$
$$y(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \sin{(\dfrac{\pi}{2})} + c_2 \cos{(\dfrac{\pi}{2})} = 1 \\
c_1 = 1$$
$$y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{(\dfrac{\pi}{2})} - c_2 \sin{(\dfrac{\pi}{2})} = 2 \\
-c_2 = 2 \\
c_2 = -2$$
Condição inicial.
$$d) y(0) = 1, y(\dfrac{\pi}{2}) = 1$$
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 1 \\
c_2 = 1$$
$$y(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \sin{(\dfrac{\pi}{2})} + c_2 \cos{(\dfrac{\pi}{2})} = 1 \\
c_1 = 1$$
Condição de contorno, os dois valores de x usados são diferentes.
$$e) y'(0) = 1, y'(\dfrac{\pi}{2}) = 1$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 1 \\
c_1 = 1$$
$$y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{(\dfrac{\pi}{2})} - c_2 \sin{(\dfrac{\pi}{2})} = 1 \\
-c_2 = 1 \\
c_2 = -1$$
Condição de contorno.
$$f) y(0) = 1, y'(\pi) = 1$$
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 1 \\
c_2 = 1$$
$$y'(\pi) = c_1 \cos{\pi} - c_2 \sin{\pi} = 1 \\
c_1 * -1 = 1 \\
-c_1 = 1 \\
c_1 = -1$$
Condição de contorno.
$$g) y(0) = 1, y(\pi) = 2$$
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 1 \\
c_2 = 1$$
$$y(\pi) = c_1 \sin{\pi} + c_2 \cos{\pi} = 2 \\
c_2 * -1 = 2 \\
-c_2 = 2 \\
c_2 = -2$$
Esse é um caso diferente em que não há solução que satisfaça c2, e provavelmente nem c1. No entanto, só pra não perder o costume, tentou-se uma condição de contorno.
$$h) y(0) = 0, y'(0) = 0$$
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 0 \\
c_2 = 0$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 0 \\
c_1 = 0$$
Condição inicial.
$$i) y(\dfrac{\pi}{4}) = 0, y(\dfrac{\pi}{6}) = 1$$
$$y(\dfrac{\pi}{4}) = c_1 \sin{(\dfrac{\pi}{4})} + c_2 \cos{(\dfrac{\pi}{4})} = 0 \\
c_1*\dfrac{\sqrt{2}}{2} + c_2*\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0 \\
c_1*\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -c_2*\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
c_1 = -c_2$$
Ok, por enquanto é isso. Temos duas incógnitas e não dá pra fazer nada com elas, mas sabemos que uma é oposta a outra, vamos para o próximo.
$$y(\dfrac{\pi}{6}) = c_1 \sin{(\dfrac{\pi}{6})} + c_2 \cos{(\dfrac{\pi}{6})} = 1 \\
c_1 * \dfrac{1}{2} + c_2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 1$$
Jogando -c1 no lugar de c2:
$$\dfrac{1}{2} c_1 - c_1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 1 \\
\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2} c_1 = 1 \\
c_1 = \dfrac{2}{1 - \sqrt{3}}$$
E como sabemos que 1 menos a raíz de 3 vai dar um número negativo, já podemos inverter pra ficar mais bonitinho (diga-se, também, pra ficar igual a resposta do livro e pra ficar mais fácil de determinar c2):
$$c_1 = \dfrac{-2}{\sqrt{3} - 1}$$
Tendo o valor de c1 e determinando que c2 é seu oposto, é só inverter o sinal lá em cima que temos o valor de c2.
$$c_2 = -(\dfrac{-2}{\sqrt{3} - 1}) = \dfrac{2}{\sqrt{3} - 1}$$
Creio eu que esse seja o mais difícil dessa lista... Mas não se preocupem, haverão mais exercícios desse tipo (não com esses valores "estranhos") que aplicaremos alguma coisinha de álgebra linear pra vocês lembrarem bastante. Mas não foi difícil, de qualquer forma, foi?
Ah, antes que eu me esqueça: claro, foram usadas condições de contorno.
$$j) y(0) = 0, y'(\dfrac{\pi}{2}) = 1$$
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 0 \\
c_2 = 0$$
$$y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{(\dfrac{\pi}{2})} - c_2 \sin{(\dfrac{\pi}{2})} = 1 \\
-c_2 = 1 \\
c_2 = -1$$
Comparando os resultados, c2 não foi satisfeito com nenhum valor. Foi tentada uma condição de contorno.
4. Determine os C de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais prescritas.
$$a) y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + 4 \sin{x}; y(0) = 1, y'(0) = -1$$
Agora as coisas ficam um pouquinho mais apetitosas. Veja bem, cada exercício dado aqui é uma função diferente, mas a premissa é a mesma: colocar os valores e descobrir as duas variáveis incógnitas. Comecemos:
$$y(0) = c_1 e^0 + c_2 e^0 + 4 \sin{0} = 1 \\
c_1 + c_2 = 1$$
Antes de resolver para a derivada, primeiro derivemos:
$$y'(x) = (c_1 e^x)' + (c_2 e^{-x})' + (4 \sin{x})' = c_1 e^x - c_2 e^{-x} + 4 \cos{x}$$
Agora sim:
$$y'(0) = c_1 e^0 - c_2 e^0 + 4 \cos{0} = -1 \\
c_1 - c_2 + 4 = -1 \\
c_1 - c_2 = -1 - 4 = -5$$
Agora temos um sistema linear de facílima resolução, só resolver:
$$\begin{cases}c_1 + c_2 = 1 \\
c_1 - c_2 = -5 \end{cases}$$
Note que não precisamos fazer esforço nenhum pra cortar c2 no método da adição, então é só fazê-lo:
$$2c_1 = -4 \\
c_1 = -2$$
E agora resolver para c2, pegando a primeira equação que é mais fácil:
$$-2 + c_2 = 1 \\
c_2 = 1 + 2 = 3$$
Feito o primeiro exercício.
$$b) y(x) = c_1 x + c_2 + x^2 - 1; y(1) = 1, y'(1) = 2$$
Mais fácil que o primeiro. Vamos tentar resolver pela função normal:
$$y(1) = c_1 * 1 + c_2 + 1^2 - 1 = 1 \\
c_1 + c_2 + 1 - 1 = 1 \\
c_1 + c_2 = 1$$
Será que usaremos sistema linear de novo? Veremos. Vamos derivar a função primeiro:
$$y'(x) = (c_1 x)' + (c_2)' + (x^2)' - (1)' = c_1 + 0 + 2x - 0 = c_1 + 2x$$
E agora coloquemos os valores:
$$y'(1) = c_1 + 2*1 = 2 \\
c_1 = 2 - 2 = 0$$
Ótimo, conseguimos achar o valor de c1 sem nem ter que apelar pra sistema linear. Agora vamos substituir na equação anterior:
$$0 + c_2 = 1 \\
c_2 = 1$$
Resolvido. Próximo.
$$c) y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + 3 e^{3x}; y(0) = 0, y'(0) = 0$$
Ok... Vamos lá.
$$y(0) = c_1 e^0 + c_2 e^0 + 3 e^0 = 0 \\
c_1 + c_2 + 3 = 0 \\
c_1 + c_2 = -3$$
Agora derivemos:
$$y'(x) = (c_1 e^x)' + (c_2 e^{2x})' + 3 (e^{3x})' = c_1 e^x + 2c_2 e^{2x} + 9 e^{3x}$$
Valores:
$$y'(0) = c_1 e^0 + 2c_2 e^0 + 9 e^0 = 0 \\
c_1 + 2c_2 + 9 = 0 \\
c_1 + 2c_2 = -9$$
E sistema linear:
$$\begin{cases}c_1 + c_2 = -3 \\
c_1 + 2c_2 = -9 \end{cases}$$
Só multiplicar por -1, assim no método de adição tiraremos o c1 da jogada e trabalharemos com c2.
$$\begin{cases}c_1 + c_2 = -3 \\
-c_1 - 2c_2 = 9 \end{cases} \\
c_2 - 2c_2 = -3 + 9 \\
-c_2 = 6 \\
c_2 = -6$$
E agora usando a primeira equação para descobrir c1:
$$c_1 - 6 = -3 \\
c_1 = -3 + 6 = 3$$
Resolvido.
$$d) y(x) = c_1 \sin{x} + c_2 \cos{x} + 1; y(\pi) = 0, y'(\pi) = 0$$
Deve ser o mais fácil porque essencialmente é a equação que tanto trabalhamos nos exercícios passados, mas com um 1 intruso ali. Vamos resolver:
$$y(\pi) = c_1 \sin{\pi} + c_2 \cos{\pi} + 1 = 0 \\
c_2 * -1 + 1 = 0 \\
-c_2 + 1 = 0 \\
-c_2 = -1 \\
c_2 = 1$$
Derivando:
$$y'(x) = (c_1 \sin{x})' + (c_2 \cos{x})' + 1' = c_1 \cos{x} - c_2 \sin{x}$$
E botando os valores:
$$y'(\pi) = c_1 \cos{\pi} - c_2 \sin{\pi} = 0 \\
-c_1 = 0 \\
c_1 = 0$$
Resolvido.
$$e) y(x) = c_1 e^x + c_2 xe^x + x^2 e^x; y(1) = 1, y'(1) = -1$$
Enfim, o último exercício dessa lista. Talvez o mais complicado, também. Vejamos:
$$y(1) = c_1 e^1 + c_2 1*e^1 + 1^2 * e^1 = 1 \\
e c_1 + e c_2 + e = 1 \\
e (c_1 + c_2 + 1) = 1 \\
c_1 + c_2 + 1 = \dfrac{1}{e} \\
c_1 + c_2 = \dfrac{1}{e} - 1$$
Ótimo, agora derivando:
$$y'(x) = (c_1 e^x)' + (c_2 xe^x)' + (x^2 e^x)' = c_1 e^x + c_2 (e^x + xe^x) + (2xe^x + x^2 e^x) \\
= c_1 e^x + c_2 e^x + c_2 xe^x + 2xe^x + x^2 e^x = e^x (c_1 + c_2 + c_2 x + 2x + x^2)$$
Eu sei que parece um resultado meio inválido, mas é o melhor que podemos chegar por enquanto. Vamos jogar os valores:
$$y'(1) = e^1 (c_1 + c_2 + c_2*1 + 2*1 + 1^2) = -1 \\
e (c_1 + c_2 + c_2 + 2 + 1) = -1 \\
c_1 + 2c_2 + 3 = \dfrac{-1}{e} \\
c_1 + 2c_2 = \dfrac{-1}{e} - 3$$
...Não parece tão fácil resolver um sistema linear desse tipo, mas vamos ter que resolver. É só tentar:
$$\begin{cases} c_1 + c_2 = \dfrac{1}{e} - 1 \\
c_1 + 2c_2 = \dfrac{-1}{e} - 3 \end{cases}$$
O negócio é inverter os sinais pra eliminar c1, como da outra vez:
$$\begin{cases} c_1 + c_2 = \dfrac{1}{e} - 1 \\
-c_1 - 2c_2 = \dfrac{1}{e} + 3 \end{cases} \\
c_2 - 2c_2 = \dfrac{1}{e} - 1 + \dfrac{1}{e} + 3 \\
-c_2 = \dfrac{2}{e} + 2 \\
c_2 = \dfrac{-2}{e} - 2$$
Substituindo na equação mais fácil para descobrir c1:
$$c_1 + (\dfrac{-2}{e} - 2) = \dfrac{1}{e} - 1 \\
c_1 = \dfrac{1}{e} - 1 - (\dfrac{-2}{e} - 2) = \dfrac{1}{e} - 1 + \dfrac{2}{e} + 2 = \dfrac{3}{e} + 1$$
E está respondido. Se quiser um valor aproximado, só fazer na calculadora, mas acho desnecessário especialmente em cálculo puro que não está se aplicando em nenhum aparelho.
E é isso, galera. Tentarei postar a última lista do bimestre passado até semana que vem pra ajudar quem ainda não entendeu muito bem a sacada das equações diferenciais basiconas pra resolver as mais complicadinhas que estamos usando agora, até mais!
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