Aula VI - Circuitos Elétricos

Teorema de Thévenin

Consiste em substituir parte do circuito por uma resistência equivalente e uma fonte de tensão.

Passos:

1. Definir qual parte do circuito será substituída.
2. Calcular a resistência de Thévenin tirando as fontes de corrente e de tensão.
3. Calcular a tensão de Thévenin no circuito que será substituído.

Exemplo:

Aqui no desenho está representada uma parte que será, de fato, removida. Ficará dessa maneira:

Primeiro, nesse circuito todo, descobriremos a resistência de Thévenin. Isso inclui aquela resistência bem na ponta. Mas pra isso, retiramos todas as fontes de corrente e tensão, como especificado pelo segundo passo, e verificamos só a resistência equivalente:

Análise de um circuito deveras simples: da esquerda pra direita, duas resistências de 4 em paralelo, em série com uma de 2, em paralelo com uma de 4, em série com uma de 4. Vamos facilitar um pouco as contas lembrando que duas resistências em paralelo de mesmo valor têm uma equivalente que é esse valor dividido por 2.

Então ok: 4 paralelo com 4 dá 2, 2 em série com 2 dá 4, 4 em paralelo com 4 dá 2, 2 em série com 4 dá 6. Então a resistência de Thévenin desse circuito é de 6 ohms.

Agora vamos retornar as fontes de tensão para descobrir a tensão de Thévenin, que é o terceiro passo:

Já cortei direto a resistência de 4 para não reutilizar a mesma imagem só colocando o Vth ali. O esquema é o seguinte: agora temos um circuito comum e vamos medir a tensão de Thévenin, que é a tensão consumida pelo resistor na extrema borda direita - o de 4 ohms.

Bem, temos um circuito comum. O que faremos é usar o teorema da superposição a fim de descobrir essa voltagem. Primeiro, isolamos a fonte de 24V:

Bem simples, de fato. Primeiro temos que descobrir a corrente total, e pra isso resolvemos o circuito: da direita pra esquerda, 4 e 2 estão em série, o resultado fica em paralelo com 4, e esse resultado fica em série com 4. Essa análise de circuito eu presumo que já esteja na ponta da língua.

$$R_1 = 4+2 = 6\Omega \\ R_2 = \dfrac{4*6}{4+6} = \dfrac{24}{10} = 2.4\Omega \\ R = 2.4+4 = 6.4\Omega$$

Logo, para a corrente:

$$i = \dfrac{24V}{6.4\Omega} = 3.75A$$

Agora, para descobrir a voltagem de Thévenin ali, precisamos da corrente que passa por ela e da resistência - temos a resistência, falta a corrente. Para descobrir essa corrente, precisamos da resistência e da voltagem consumida pelos dois resistores - temos a resistência, falta a voltagem. Para descobrir essa voltagem, precisamos da resistência equivalente no ponto e da corrente total: temos ambos, então vamos resolver isso.

$$V_{4//6} = 3.75A * 2.4\Omega = 9V$$

Trabalhando como uma recursividade, vamos voltar para a corrente final que precisamos, agora que temos a resistência e a voltagem consumida por eles:

$$i_x = \dfrac{9V}{6\Omega} = 1.5A$$

E agora, que temos a corrente e a resistência no ponto que queremos, só jogar tudo na equação:

$$V'_{th} = 1.5A * 4\Omega = 6V$$

Resolvido o primeiro, vamos ao segundo:

Ainda mais de boa que o primeiro. Um circuito que começa com duas resistências em série (4, 2), e em série com uma terceira resistência que está em paralelo (4, 4). A voltagem é o tanto consumido pelo resistor de 4 ohms, que é o segundo desses resistores.

Para isso, precisamos da corrente total e da resistência no ponto. Temos a resistência (4), mas não a corrente total - para ela, precisamos da resistência total do circuito e da voltagem total. Como temos a voltagem e não a resistência, só resolver:

4 paralelo com 4, pela "regra" da divisão que eu usei mais acima, fica uma resistência de 2. 2 em série com 4, 6. Em série com 2, 8. Corrente total:

$$i = \dfrac{12V}{8\Omega} = 1.5A$$

Como dito desde o início, a corrente que passa pelo resistor de 4 é a total. Então é só fazer a multiplicação:

$$V''_{th} = 1.5A * 4\Omega = 6V$$

E, por fim, soma-se as duas tensões (os sinais são iguais) para descobrir a total.

$$V_{th} = 6+6 = 12V$$

Agora, o circuito fica assim:

Vê? Um simples circuito com dois resistores e uma fonte. Um resistor a gente deixou de lado quando cortou o circuito (o de 4), o outro é a resistência de Thévenin que descobrimos - e ela está em série com a tensão de Thévenin que é 12V. Agora só resolver somando as resistências e usando a lei de Ohm:

$$i = \dfrac{12V}{6\Omega + 4\Omega} = \dfrac{12V}{10\Omega} = 1.2A$$

É um método trabalhoso de se fazer, mas assim que se chega no final, fica muito fácil. Mais exemplos a seguir:

1. Encontre i0.

Ok... Vamos fatiar o último pedaço do circuito, com a resistência de 2. Primeiramente, tiraremos todas as fontes do circuito (lembrando da regra: fonte de tensão fecha o circuito, fonte de corrente abre o circuito) e deixaremos apenas as resistências para descobrir a resistência de Thévenin:

Como vê, duas em paralelo (3, 6) em série com uma de 4.

$$R_{th} = (3//6) + 4 = \dfrac{3*6}{3+6} + 4 = \dfrac{18}{9} + 4 = 2+4 = 6\Omega$$

Agora vamos pegar o circuito fatiado com todas as fontes. A tensão e a de corrente:

Aqui teremos que aplicar o teorema da Superposição. Retirar uma fonte e deixar a outra, pra de corrente sai a linha, pra de tensão fica a linha: o de sempre. Vamos lá:

Sempre bom lembrar que o resistor de 4 ohms, nesse caso, está em curto então nem conta. Queremos, então, medir a tensão no resistor de 6 ohms.

Temos um simples circuito com duas resistências em paralelo (3//6) e uma corrente de 2A determinada. Como, por lei, as duas resistências têm de consumir a mesma tensão, fica que a tensão total do circuito é a tensão de Thévenin que queremos:

$$V'_{th} = R_T * i = \dfrac{3*6}{3+6} \Omega * 2A = 2\Omega * 2A = 4V$$

Mais fácil ainda: são duas resistências em série, de 6 e 3 (4 está em curto). Temos que a tensão é só para o 6, então é só descobrir a corrente total e multiplicar pelo resistor de 6.

$$i = \dfrac{V}{R_T} = \dfrac{12}{3+6} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}A \approx 1.33A$$

$$V''_{th} = \dfrac{4}{3}A * 6\Omega = \dfrac{24}{3}V = 8V$$

Agora, para descobrir a tensão total, fazemos o somatório das tensões invertendo os sinais se é o caso das tensões estarem em sentidos opostos. Note que a fonte de corrente de 2A percorre o circuito inicialmente descendo, então indo a direita e subindo pelo trecho dos resistores de 3 e 6; então note a tensão de 12V, aonde a corrente desce o resistor de 6 e sobe o de 3. Sim, são sentidos opostos. Portanto é uma subtração:

$$V_{th} = 8V - 4V = 4V$$

Agora ficou bem fácil: a corrente total é a corrente i0. Logo, só precisamos associar os resistores em série e fazer a divisão:

$$i_0 = \dfrac{V}{R_T} = \dfrac{4V}{6\Omega +2\Omega} = \dfrac{4V}{8\Omega} = 0.5A$$

Próximo.

Melhor ver a imagem em tamanho completo

Ok, primeiro vamos pegar a parte que não está cortada e fazer a resistência de Thévenin pra ela. Tiramos todas as fontes aplicando o esquema de deixar a linha pra tensão e retirar a linha pra corrente. Sobrando só as resistências fica:

Beeeeeeeeeeeem simples, aliás. Só duas resistências de 12 em paralelo (12//12 = 6) e em série com uma de 2 (6+2 = 8). Logo, a resistência de Thévenin é 8 ohms. Agora vamos aplicar o teorema da superposição e começar com a fonte de 12V:

Já retirei o resistor de 2 que ficaria em curto do circuito. Vemos aí que a descoberta é a voltagem no resistor de 12, que é bem simples. Precisamos da voltagem de 12, para isso precisamos da resistência e da corrente - temos a resistência, não temos a corrente.

Precisamos da corrente do circuito todo: temos a voltagem total, mas não a resistência total.

Precisamos da resistência total... É um simples circuito em série, então só somar (12+12 = 24) e encontraremos uma resistência de 24 ohms.

Agora que temos essa resistência voltemos à corrente. A corrente é a divisão da voltagem total pela resistência total, então:

$$i = \dfrac{12V}{24\Omega} = 0.5A$$

Temos a corrente total, então é só descobrir a voltagem no ponto que queremos:

$$V'_{th} = 12\Omega * 0.5A = 6V$$

Feito. Agora isolando a fonte de corrente de 3A:

Uma nota interessante é: sim, quando a fonte é que está mais próxima da parte cortada, ela conterá a tensão de Thévenin. O que significa que se fosse uma fonte de tensão ali, nem haveria puzzle, seria só colocar o valor. Como é uma de corrente, ainda precisamos descobrir a tensão total do circuito. Primeiro a resistência em paralelo ali que, como todos sabemos, é de 6 ohms (paralelo com mesmo valor = metade do valor na equivalente).

Tendo isso, só multiplicar pela corrente:

$$V''_{th} = 6\Omega * 3A = 18V$$

Como vê, dessa vez permanece a resistência de 2 ohms porque ela vem depois de 5A falando da direita pra esquerda. De qualquer forma, mais uma vez a tensão de Thévenin é a tensão total do circuito, já que é a tensão fornecida pela única fonte dele. Temos duas resistências de 12 em paralelo (12//12 = 6), em série com uma de 2 (6+2 = 8), o que indica que a resistência total do circuito é de 8 ohms, e uma corrente de 5A. Só multiplicar uma pela outra e temos a tensão de Thévenin nesse circuito:

$$V'''_{th} = 8\Omega * 5A = 40V$$

AGORA, vamos ver como vamos efetuar essa soma. Já fica claro que as fontes de corrente estão opostas no circuito final, enquanto a associação que fazemos pra fonte de tensão é ver que as polaridades estão a favor da fonte de 3A (+ pra cima, - pra baixo; 3A distribui corrente pra cima), então os sentidos das duas são iguais. Então façamos a seguinte associação:

$$V_{th} = 6V + 18V - 40V = -16V$$

Um caso interessante de voltagem negativa na tensão de Thévenin. O que acontece? Simples: invertemos as polaridades da tensão. Ao invés de positivo pra cima e negativo pra baixo, positivo pra baixo e negativo pra cima. No final, fica assim:

Simples, não? A corrente é a corrente total do circuito. Temos duas fontes em série e dois resistores também em série. Para ambos, podemos simplesmente somar. A voltagem total fica 12+16 = 28V e a resistência total 4+8 = 12 ohms. Para descobrir essa corrente, só fazer a divisão de um pelo outro:

$$i_0 = \dfrac{28V}{12\Omega} = \dfrac{7}{3}A \approx 2.33A$$

E é isso a aula de teorema de Thévenin, a próxima é Norton e daí já entramos em capacitores e balblablabl até chegar na corrente alternada que estamos hoje. Peço desculpas pela demora, galera, circuitos custa um tempo danado com ou sem software pra desenhar, mas vou começar a pegar mais pesado pra postar a respeito porque é uma matéria que tá dando dor de cabeça pra muita gente... De qualquer forma, não é de todo mal postar os teoremas antigos aqui ao invés de pular já que está tão atrasado, visto que vamos usar tudo de novo só que com números imaginários num futuro bem próximo.

Bem, bom dia a todos!