1. Resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.
Bem, a maior parte estava integrando tudo do mesmo lado, mas uma coisa que eu gosto particularmente de fazer é isolar x e y um em cada canto ANTES dessa integração, porque aí rola menos trabalho. Costuma mudar apenas na hora do C, mas eu costumo ter um jeito de "igualar" ao do professor, então não se preocupem porque o resultado bate. Veja só:
a) xdx + ydy = 0
$$ydy = -xdx \\
\int y dy = - \int x dx \\
\dfrac{1}{2} y^2 = - \dfrac{1}{2} x^2 + C \\
y^2 = -x^2 + 2C \\
y = \pm \sqrt{2C - x^2} \\
K = 2C \\
y = \pm \sqrt{K - x^2}$$
b) xdx - y³dy = 0
$$y^3 dy = xdx \\
\int y^3 dy = \int xdx \\
\dfrac{1}{4} y^4 = \dfrac{1}{2} x^2 + C \\
y^4 = 2x^2 + 4C \\
y = \pm \sqrt{4C + 2x^2} \\
K = 4C \\
y = \pm \sqrt{K + 2x^2}$$
$$c) dx + \dfrac{1}{y^4} dy = 0 \\
\dfrac{1}{y^4} dy = -dx \\
y^{-4} dy = -dx \\
\int y^{-4} dy = - \int dx \\
- \dfrac{1}{3} y^{-3} = -x + C \\
\dfrac{1}{3} y^{-3} = x - C \\
y^{-3} = 3x - 3C \\
\dfrac{1}{y^3} = 3x - 3C \\
y^3 = \dfrac{1}{3x - 3C} \\
y = \dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3x - 3C}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3x - 3C}} \\
K = -3C \\
y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{K + 3x}}$$
$$d) (t + 1)dt - \dfrac{1}{y^2} dy = 0 \\
\dfrac{1}{y^2} dy = (t + 1)dt \\
y^{-2} dy = (t + 1)dt \\
\int y^{-2} dy = \int (t + 1)dt \\
-y^{-1} = \dfrac{1}{2} t^2 + t + C \\
- \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} t^2 + t + C \\
\dfrac{1}{y} = - \dfrac{1}{2} t^2 - t - C = - (\dfrac{1}{2} t^2 + t + C) \\
y = -(\dfrac{1}{2} t^2 + t + C)^{-1}$$
$$e) \dfrac{4}{t} dt - \dfrac{y - 3}{y} dy = 0 \\
\dfrac{y - 3}{y} dy = 4 (\dfrac{1}{t}) dt \\
1dy - 3 (\dfrac{1}{y}) dy = 4 (\dfrac{1}{t}) \\
\int dy - 3 \int \dfrac{1}{y} dy = 4 \int \dfrac{1}{t} \\
y - 3 \ln{|y|} = 4 \ln{|t|} + C \\
\ln{|y^3|} + \ln{|t^4|} = y - C \\
\ln{|y^3 * t^4|} = y - C \\
y^3 t^4 = e^{y - C} = e^y * e^{-C} \\
K = e^{-C} \\
y^3 t^4 = Ke^y$$
$$f) y' = \dfrac{xe^x}{2y} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xe^x}{2y} \\
2y dy = xe^x dx \\
\int 2y dy = \int xe^x dx \\
2 \dfrac{1}{2} y^2 = xe^x - \int e^x * 1 dx [1] \\
y^2 = xe^x - (e^x + C) = xe^x - e^x - C \\
y = \pm \sqrt{xe^x - e^x - C}$$
[1] integral por partes: u = x, dv = e elevado a x
$$g) y' = \dfrac{y}{x^2} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2} \\
\dfrac{1}{y} dy = \dfrac{1}{x^2} dx \\
\int \dfrac{1}{y} dy = \int x^{-2} dx \\
\ln{|y|} = - x^{-1} + C = - \dfrac{1}{x} + C \\
y = e^{1/x + C} = e^{1/x} + e^C \\
K = e^C \\
y = Ke^{1/x}$$
h) senx dx + y dy = 0; y(0) = -2
Ok, probleminha de valor inicial. Muda pouca coisa. Primeiro resolvamos:
$$y dy = - \sin{x} dx \\
\int y dy = - \int \sin{x} dx \\
\dfrac{1}{2} y^2 = - (- \cos{x}) + C = \cos{x} + C \\
y^2 = 2 \cos{x} + 2C \\
y = \pm \sqrt{2C + 2 \cos{x}} \\
K = 2C \\
y(0) = -2 \\
y = \pm \sqrt{K + 2 \cos{0}} = -2 \\
y = \pm \sqrt{K + 2} = -2 \\
y^2 = K + 2 = (-2)^2 = 4 \\
K + 2 = 4 \\
K = 4 - 2 = 2 \\
y = - \sqrt{2 + 2 \cos{x}}$$
$$i) xe^{x^2} dx + (y^5 - 1)dy = 0; y(0) = 0 \\
(y^5 - 1)dy = -xe^{x^2} dx \\
\int (y^5 - 1)dy = - \int xe^{x^2} dx \\
\dfrac{1}{6} y^6 - y = - \int xe^u \dfrac{du}{2x} = - \dfrac{1}{2} \int e^u du = - \dfrac{1}{2} e^u = - \dfrac{1}{2} e^{x^2} + C \\
\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\
y(0) = 0 \\
\dfrac{1}{2} e^0 + \dfrac{1}{6} * 0 - 0 = C \\
C = \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = \dfrac{1}{2}$$
$$j) (1 + x^2)dx + \dfrac{1}{y} dy = 0; y(-1) = 1 \\
\dfrac{1}{y} dy = -(1 + x^2)dx \\
\int \dfrac{1}{y} dy = - \int (1 + x^2)dx \\
\ln{|y|} = - (x + x^3 /3 + C) \\
y = e^{-(x + x^3 /3 + C)} \\
y(-1) = 1 \\
y = e^{-(-1 + (-1)^3 /3 + C)} = 1 \\
e^{-(-1 - 1/3 + C)} = 1 \\
e^{-(- 4/3 + C)} = 1 \\
e^{4/3 - C} = 1 \\
\dfrac{4}{3} - C = \ln{1} = 0 \\
C = \dfrac{4}{3} \\
y = e^{-(x + x^3 /3 + 4/3)} = e^{- (x^3 + 3x + 4)/3}$$
2. Determine se a equação diferencial apresentada é homogênea. Se for, resolva-a.
$$a) y' = \dfrac{y - x}{x}$$
O esquema aqui é o seguinte: vamos lembrar daquele método f(x, y) = f(tx, ty) pra ver se a equação é homogênea. O que acontece é que vamos trocar aonde tem x por tx, e aonde tem y por ty, e terá de ser a mesma coisa. Veja:
$$y' = \dfrac{ty - tx}{tx} = \dfrac{t(y - x)}{tx} = \dfrac{y - x}{x}$$
Os resultados batem, logo ela é homogênea. Sendo homogênea, resolveremos do método que o professor passou na aula, e com a prática entenderemos bem ele: usaremos um V, tal que V = y/x. E por definição, y' = V + xV'. Ok, ótimo, não deu pra entender nada? Vejamos na prática:
$$v = \dfrac{y}{x} \\
y = vx [1] \\
y' = v + xv' \\
y' = \dfrac{y - x}{x} \\
v + xv' = \dfrac{y - x}{x}$$
Lembremos de [1]:
$$v + xv' = \dfrac{vx - x}{x} = v - 1 \\
x \dfrac{dv}{dx} = v - 1 - v = -1 \\
\dfrac{dv}{dx} = - \dfrac{1}{x} \\
dv = - \dfrac{1}{x} dx \\
\int dv = - \int \dfrac{1}{x} dx \\
v = - \ln{|x|} + C$$
Jogando isso na [1]:
$$y = (-\ln{|x|} + C)x = x(C - \ln{|x|}) \\
\ln{|K|} = C \\
y = x(\ln{|K|} - \ln{|x|}) = x (\ln{|K/x|}$$
Honestamente, eu acho essa última parte mais que desnecessária: eu acho que ela atrapalha. Mas só pra chegar na resposta do livro, tá aí.
E sim, equação diferencial homogênea é bem mais chato mesmo. Essa é a mais fácil, inclusive.
$$b) y' = \dfrac{2y + x}{x}$$
Pra descobrir se é homogênea:
$$y' = \dfrac{2(ty) + tx}{tx} = \dfrac{t(2y + x)}{tx} = \dfrac{2y + x}{x}$$
Logo, é homogênea. Logo, bora usar o v = y/x.
$$y = vx \\
y' = v + xv' \\
y' = \dfrac{2y + x}{x} \\
v + xv' = \dfrac{2y + x}{x} = \dfrac{2vx + x}{x} = 2v + 1 \\
x \dfrac{dv}{dx} = 2v + 1 - v = v + 1 \\
\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v + 1}{x} \\
\dfrac{1}{v + 1} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{1}{v + 1} dv = \int \dfrac{1}{x} dx \\
\ln{|v + 1|} = \ln{|x|} + C \\
C = \ln{|K|} \\
\ln{|v + 1|} = \ln{|x|} + \ln{|K|} = \ln{|Kx|} \\
v + 1 = Kx \\
v = Kx - 1 \\
y = x(Kx - 1)$$
$$c) y' = \dfrac{2y^2 + x^2}{xy}$$
Vendo se é homogênea:
$$y' = \dfrac{2(ty)^2 + (tx)^2}{(tx)(ty)} = \dfrac{t^2 (2y^2 + x^2)}{t^2 (xy)} = \dfrac{2y^2 +
x^2}{xy}$$
Logo, é homogênea. Então vamos resolver:
$$y' = v + xv' = \dfrac{2y^2 + x^2}{xy} \\
y = vx \\
v + xv' = \dfrac{2(vx)^2 + x^2}{x(vx)} = \dfrac{2v^2 x^2 + x^2}{x^2 v} = \dfrac{x^2 (2v^2 +
1)}{x^2 v} = \dfrac{2v^2 + 1}{v} \\
v + xv' = 2v + \dfrac{1}{v} \\
x \dfrac{dv}{dx} = 2v + \dfrac{1}{v} - v = v + \dfrac{1}{v} \\
\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v + 1/v}{x} \\
\dfrac{1}{v + 1/v} dv = \dfrac{1}{x} dx$$
Pra ficar mais fácil, vamos fatorar o primeiro termo: multiplicar em cima e embaixo por v.
$$\dfrac{v}{v^2 + 1} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{v}{v^2 + 1} dv = \int \dfrac{1}{x} dx$$
Então. A integral com dx é facílima, mas a com dv é um pouquinho mais complicada. Nada realmente difícil: vamos usar regra da substituição, e veremos que vai dar certo. Chamamos 2v² + 1 de u, assim dv = du/(v² + 1)' = du/2v. Substiuímos o u e o du:
$$\int \dfrac{v}{u} \dfrac{du}{2v} = \int \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u} du = \int \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{1}{2} \ln{|u|} = \ln{|x|} + C \\
\ln{|u^{1/2}|} = \ln{|x|} + C$$
Fazemos o mesmo esquema geral pra unir a constante ao X, mas dessa vez vamos esperar um pouco
pra usar o K. Vocês vão ver porquê. Vamos trocar por A:
$$C = \ln{|A|} \\
\ln{|u^{1/2}|} = \ln{|x|} + \ln{|A|} = \ln{|Ax|} \\
u^{1/2} = Ax \\
u = A^2 x^2$$
Agora sim, vamos chamar A² de K. E lembrar que u = v² + 1:
$$u = Kx^2 \\
v^2 + 1 = Kx^2 \\
v^2 = Kx^2 - 1 \\
v = \sqrt{Kx^2 - 1}$$
Por fim, v = y/x. Logo:
$$\dfrac{y}{x} = \sqrt{Kx^2 - 1} \\
y = \pm x \sqrt{Kx^2 - 1}$$
Que é o exato mesmo resultado da lista.
$$d) y' = \dfrac{2x + y^2}{xy}$$
Verificaremos se é homogênea:
$$y' = \dfrac{2(tx) + (ty)^2}{(tx)(ty)} = \dfrac{2(tx) + t^2 y^2}{t^2 (xy)} \\
\dfrac{t (2x + ty^2)}{t^2 (xy)} = \dfrac{2x + ty^2}{txy} \neq \dfrac{2x + y^2}{xy}$$
Logo, não é homogênea e não nos convém resolvê-la.
$$e) y' = \dfrac{y^2 + x^2}{2xy}$$
Verificaremos se é homogênea:
$$y' = \dfrac{(ty)^2 + (tx)^2}{2(tx)(ty)} = \dfrac{t^2 (y^2 + x^2)}{2t^2 (xy)} = \dfrac{y^2 + x^2}{2xy}$$
Logo, é homogênea. Resolvendo:
$$y' = v + xv' = \dfrac{y^2 + x^2}{2xy} = \dfrac{(vx)^2 + x^2}{2x(vx)} = \dfrac{v^2 x^2 + x^2}{2vx^2} \\
v + xv' = \dfrac{x^2 (v^2 + 1)}{2vx^2} = \dfrac{v^2 + 1}{2v} = \dfrac{v}{2} + \dfrac{1}{2v} \\
x \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v}{2} - v + \dfrac{1}{2v} = \dfrac{1}{2v} - \dfrac{v}{2} \\
x \dfrac{dv}{dx} = 1/2v - 0.5v \\
\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{1/2v - 0.5v}{x} \\
\dfrac{1}{1/2v - 0.5v} dv = \dfrac{1}{x} dx$$
Vamos fatorar de maneira igual a c. E fazer a mesma substituição:
$$\dfrac{v}{0.5 - 0.5v^2} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{v}{0.5 - 0.5v^2} dv = \int \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{v}{u} \dfrac{du}{-1v} = \int \dfrac{1}{x} dx \\
- \int \dfrac{1}{u} du = \int \dfrac{1}{x} dx \\
- \ln{|u|} = \ln{|x|} + C \\
C = \ln{|A|} \\
- \ln{|u|} = \ln{|x|} + \ln{|A|} = \ln{|Ax|}$$
Podemos considerar -ln(u) como ln(1) - ln(u), o que fica:
$$\ln{| \dfrac{1}{u} |} = \ln{|Ax|} \\
\dfrac{1}{u} = Ax \\
\dfrac{1}{0.5 - 0.5v^2} = Ax \\
Ax (0.5 - 0.5v^2) = 1 \\
0.5Ax - 0.5Axv^2 = 1 \\
-0.5Axv^2 = 1 - 0.5Ax \\
Axv^2 = -2 + Ax \\
v^2 = \dfrac{-2}{Ax} + 1 \\
\dfrac{y^2}{x^2} = \dfrac{-2}{Ax} + 1 \\
y^2 = \dfrac{-2x^2}{Ax} + x^2 \\
y^2 = x^2 \\
y = \sqrt{x^2 - \dfrac{2x}{A}} \\
K = \dfrac{2}{A} \\
y = \pm \sqrt{x^2 - Kx}$$
Honestamente, é o que sempre digo: essas manipulações doidas de constante e tudo mais acho extremamente desnecessárias. Foi só pra chegar na resposta final de alguma forma mesmo.
$$f) y' = \dfrac{2xy}{y^2 - x^2}$$
Vendo se é homogênea:
$$y' = \dfrac{2(tx)(ty)}{(ty)^2 - (tx)^2} = \dfrac{2t^2 (xy)}{t^2 (y^2 - x^2)} = \dfrac{2xy}{y^2 - x^2}$$
Logo, é homogênea. Vamos resolver:
$$y' = v + xv' = \dfrac{2xy}{y^2 - x^2} = \dfrac{2x(vx)}{(vx)^2 - x^2} = \dfrac{2x^2 v}{v^2 x^2 - x^2} \\
v + xv' = \dfrac{2x^2 v}{x^2 (v^2 - 1)} = \dfrac{v}{v^2 - 1} \\
x \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v}{v^2 - 1} - v \\
\dfrac{dv}{dx} = ( \dfrac{v}{v^2 - 1} - v)x^{-1} \\
\dfrac{1}{v/(v^2 - 1) - v} dv = \dfrac{1}{x} dx$$
Fatorando a parte debaixo da fração ali (multiplicar tudo por (v² - 1) pra poder cortar aquela fração enxerida):
$$\dfrac{1}{v - v(v^2 - 1)} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{1}{v - v^3 + v} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{1}{2v - v^3} dv = \dfrac{1}{x} dx \\
\int \dfrac{1}{2v - v^3} dv = \int \dfrac{1}{x} dx$$
Então né, filhão. Pra mim tá bom por hoje, mas já estou postando porque vai ajudar muita gente que vai estudar essa madrugada. Essa não está resolvida e pelo que entendi precisa utilizar de artifícios legais como frações parciais pra resolver, mas quem tiver uma solução melhor (mais fácil, 1000x mais fácil, fração parcial é o inferno) já sou grato desde já.
No mais, boa noite e bons estudos.
quarta-feira, 12 de setembro de 2012
domingo, 2 de setembro de 2012
[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 2: forma padrão e forma diferencial
1. Escreva as equações diferenciais na forma padrão. (dy/dx = f(x, y))
a) xy' + y² = 0
$$xy' = -y^2 \\ y' = \dfrac{-y^2}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-y^2}{x}$$
b) $$e^x y' - x = y'$$
Esse exercício pegou muita gente, mas ele é bem fácil. Veja só, passe y' do lado direito dividindo tudo do lado esquerdo:
$$e^x - \dfrac{x}{y'} = 1$$
Agora tem só um y', só resolver:
$$- \dfrac{x}{y'} = 1 - e^x \\
-x = y'(1 - e^x) \\
y' = \dfrac{-x}{(1 - e^x)} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{(e^x - 1)}$$
c) $$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx - dy = 0$$
Parece confuso, mas é só juntar dy e dx, de modo que dy fique em cima e dx fique embaixo. Veja só:
$$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx = dy \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x+y)}{(x-y)}$$
d) (x-y)dx + y²dy = 0
$$(x-y)dx = -y^2 dy \\
(x-y) = -y^2 \dfrac{dy}{dx} \\
\dfrac{(x-y)}{-y^2} = \dfrac{dy}{dx} \\
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{(x-y)}{y^2} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y-x)}{y^2}$$
e) $$(e^{2x} - y)dx + e^x dy = 0 \\
e^x dy = (y - e^{2x})dx \\
e^x \dfrac{dy}{dx} = (y - e^{2x}) \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y - e^{2x})}{e^x} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{e^x} - e^x$$
2. Escreva as equações diferenciais na forma diferencial. (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) y' = xy
$$\dfrac{dy}{dx} = xy \\
dy = (xy)dx \\
(xy)dx - dy = 0$$
b) y' = xy + 1
$$\dfrac{dy}{dx} = xy + 1 \\
dy = (xy + 1)dx \\
(xy+1)dx - dy = 0$$
c) $$y' = \dfrac{x^2}{y^2} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y^2} \\
y^2 \dfrac{dy}{dx} = x^2 \\
y^2 dy = x^2 dx \\
x^2 dx - y^2 dy = 0$$
d) $$y' = \dfrac{-2y}{x} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2y}{x} \\
x \dfrac{dy}{dx} = -2y \\
x dy = -2y dx \\
-2y dx - x dy = 0$$
e) $$y' = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\
(x^2 y + y^3)dy = (xy^2)dx \\
(xy^2)dx - (x^2 y + y^3)dy = 0$$
f) y' = x³y + xy³
$$\dfrac{dy}{dx} = x^3 y + xy^3 \\
dy = (x^3 y + xy^3)dx \\
(x^3 y + xy^3)dx - dy = 0$$
E está resolvida a lista pra quem quiser estudar. Esqueci de postar logo após a entrega, mas de qualquer forma, aí está.
a) xy' + y² = 0
$$xy' = -y^2 \\ y' = \dfrac{-y^2}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-y^2}{x}$$
b) $$e^x y' - x = y'$$
Esse exercício pegou muita gente, mas ele é bem fácil. Veja só, passe y' do lado direito dividindo tudo do lado esquerdo:
$$e^x - \dfrac{x}{y'} = 1$$
Agora tem só um y', só resolver:
$$- \dfrac{x}{y'} = 1 - e^x \\
-x = y'(1 - e^x) \\
y' = \dfrac{-x}{(1 - e^x)} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{(e^x - 1)}$$
c) $$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx - dy = 0$$
Parece confuso, mas é só juntar dy e dx, de modo que dy fique em cima e dx fique embaixo. Veja só:
$$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx = dy \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x+y)}{(x-y)}$$
d) (x-y)dx + y²dy = 0
$$(x-y)dx = -y^2 dy \\
(x-y) = -y^2 \dfrac{dy}{dx} \\
\dfrac{(x-y)}{-y^2} = \dfrac{dy}{dx} \\
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{(x-y)}{y^2} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y-x)}{y^2}$$
e) $$(e^{2x} - y)dx + e^x dy = 0 \\
e^x dy = (y - e^{2x})dx \\
e^x \dfrac{dy}{dx} = (y - e^{2x}) \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y - e^{2x})}{e^x} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{e^x} - e^x$$
2. Escreva as equações diferenciais na forma diferencial. (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) y' = xy
$$\dfrac{dy}{dx} = xy \\
dy = (xy)dx \\
(xy)dx - dy = 0$$
b) y' = xy + 1
$$\dfrac{dy}{dx} = xy + 1 \\
dy = (xy + 1)dx \\
(xy+1)dx - dy = 0$$
c) $$y' = \dfrac{x^2}{y^2} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y^2} \\
y^2 \dfrac{dy}{dx} = x^2 \\
y^2 dy = x^2 dx \\
x^2 dx - y^2 dy = 0$$
d) $$y' = \dfrac{-2y}{x} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2y}{x} \\
x \dfrac{dy}{dx} = -2y \\
x dy = -2y dx \\
-2y dx - x dy = 0$$
e) $$y' = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\
(x^2 y + y^3)dy = (xy^2)dx \\
(xy^2)dx - (x^2 y + y^3)dy = 0$$
f) y' = x³y + xy³
$$\dfrac{dy}{dx} = x^3 y + xy^3 \\
dy = (x^3 y + xy^3)dx \\
(x^3 y + xy^3)dx - dy = 0$$
E está resolvida a lista pra quem quiser estudar. Esqueci de postar logo após a entrega, mas de qualquer forma, aí está.
sábado, 1 de setembro de 2012
[Cálculo Numérico] Aula 10: sistema hexadecimal
Sistema Hexadecimal
Composto de 16 valores (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). É um sinal digital com equivalentes em quatro dígitos binários conforme a tabela:| Decimal | Hexadecimal | Binário |
| 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 8 | 1000 |
| 9 | 9 | 1001 |
| 10 | A | 1010 |
| 11 | B | 1011 |
| 12 | C | 1100 |
| 13 | D | 1101 |
| 14 | E | 1110 |
| 15 | F | 1111 |
Converter de hexadecimal para decimal
a) FACADASó fazer normalmente aquela decomposição de cada algarismo:
Lembrando que F = 15, A = 10, C = 12 e D = 13. Fica:
$$10 * 16^0 + 13 * 16^1 + 10 * 16^2 + 12 * 16^3 + 10 * 16^4 + 15 * 16^5 \\
10 + 208 + 2560 + 49152 + 655360 + 15728640 = 16435930_{10}$$
b) BABACA
Antes: B = 11, A = 10, C = 12.
$$10 * 16^0 + 12 * 16^1 + 10 * 16^2 + 11 * 16^3 + 10 * 16^4 + 11 * 16^5 \\
10 + 192 + 2560 + 45056 + 655360 + 11534336 = 12237514_{10}$$
c) CABECA
Antes: C = 12, A = 10, B = 11, E = 14.
$$10 * 16^0 + 12 * 16^1 + 14 * 16^2 + 11 * 16^3 + 10 * 16^4 + 12 * 16^5 \\
10 + 192 + 3584 + 45056 + 655360 + 12582912 = 13287114_{10}$$
d) 2F4D0
Antes: F = 15, D = 13.
$$0 * 16^0 + 13 * 16^1 + 4 * 16^2 + 15 * 16^3 + 2 * 16^4 \\
0 + 208 + 1024 + 61440 + 131072 = 193744_{10}$$
Converter de hexadecimal para binário
Como ambos são sinais digitais, basta substituir pelos binários tabelados:2FB10
0010.1111.1011.0001.1100
Logo, 101111101100011100 na base 2.
Converter de decimal para hexadecimal
Mesma coisa do resto: divisão por 16 e pegar o resto. Ou fazer aquele esquema de pegar o primeiro algarismo numa multiplicação. Veja bem:a) 1023
1023/16 = 63, resto 15 (F).
63/16 = 3, resto 15 (F).
3/16 = 0, resto 3.
Logo, 3FF na base 16.
b) 462,24
Parte inteira:
462/16 = 28, resto 14 (E).
28/16 = 1, resto 12 (C).
1/16 = 0, resto 1.
Logo, 1CE na base 16.
Parte fracionária:
0,24 x 16 = 3,84
0,84 x 16 = 13,44 (D)
0,44 x 16 = 7,04
0,04 x 16 = 0,64
E aqui tá bom, né. 3D7.
Assim, podemos considerar 462,24 como 1CE,3D7 na base 16.
c) 16
16/16 = 1, resto 0.
Logo, 10 na base 16.
Exercícios
1. Converta da base 8 para a base 2 ou vice-versa.a) 101011 na base 8.
NOTE BEM, aqui é a base 8. Não é um binário (não dá pra fazer a base 8 ali bonitinho sem LaTeX e LaTeX que não quebra linha não funciona em todos os navegadores, então só posso pedir para que preste bastante atenção).
Vai ficar assim:
(001)(000)(001)(000)(001)(001)
Ou seja: 1000001000001001 na base 2.
b) 1100 na base 2.
Decompondo: 001.100, que fica 1.4. Logo, 14 na base 8.
c) 11,01 na base 8.
(001)(001),(000)(001)
Logo: 1001,000001.
2. Converta da base 16 para a base 8 ou vice-versa.
Pra isso os srs. terão de converter primeiro pra binário, depois de volta pra base 8 ou pra base 16. Veja só:
a) 10 na base 8.
(001)(000), logo em binário 1000.
1000 na base 16 fica 8.
b) AB na base 16.
(1010)(1011), logo em binário 10101011.
10101011 na base 8 você decompõe da seguinte maneira:
10.101.011, que fica 2.5.3. Que fica 253 na base 8.
3. Converta os números seguintes para as demais bases:
Aqui o esquema é o seguinte: todos os números deverão ser convertidos para todas as bases. Veja só, decimal, binário, octal e hexadecimal: um deles será dado, os outros deverão ser descobertos através dele. Meu conselho é o seguinte:
Descubra sempre o hexadecimal primeiro. O hexadecimal simplifica todos os processos porque ele é o maior, e que vai precisar de menos contas pra resolver. De hexadecimal pra decimal você provavelmente só fará três divisões enquanto octal fará um pouco mais e binário será ridículo, de hexadecimal pra binário é uma tabela maior que octal mas também significa menos decomposição de números, e de hexadecimal pra octal... bem, pra que você vai fazer hexadecimal pra octal primeiro mesmo? "Ah, mas se me derem um octal, eu vou ter que descobrir binário primeiro." então descubra, ué, mas depois faça hexadecimal pra sofrer menos no decimal.
Veja só:
a) 124,5 na base 8.
Pra binário (não dá pra hexadecimal direto):
(001)(010)(100),(101), logo 1010100,101 na base 2.
Pra hexadecimal:
101.0100,1010, não esqueça desse último zero, logo 5.4,A. O que dá 54,A na base 16.
Pra decimal:
$$5 * 16^1 + 4 * 16^0 + \dfrac{10}{16} = 80 + 4 + 0.625 = 84.625_{10}$$
E está respondido o primeiro.
b) 322,21 na base 16.
Pra binário:
(0011)(0010)(0010),(0010)(0001), logo 1100100010,00100001 na base 2.
Pra octal:
1.100.100.010,001.000.010. O que dá 1.4.4.2,1.0.2. Logo, 1442,102 na base 8.
Pra decimal:
$$3 * 16^2 + 2 * 16^1 + 2 * 16^0 + \dfrac{2}{16} + \dfrac{1}{16^2} \\
768 + 32 + 2 + 0.125 + 0.00390625 = 802.12890625_{10}$$
E está respondido o segundo.
c) 100111101 na base 2.
Pra hexadecimal:
1.0011.1101. O que dá 1.3.D. Ou seja, 13D na base 16.
Pra octal:
100.111.101. O que dá 4.7.5. Logo, 475 na base 8.
Pra decimal:
Aqui vamos usar octal porque é mais conveniente que ficar usando letra (tanto octal quanto hexadecimal usam 3 algarismos mesmo). Mas é caso e caso, faça a análise que lhe convier.
5*1 + 7*8 + 4*8² = 5 + 56 + 256 = 317 na base 10.
Resolvido.
d) 7002 na base 10.
Pra hexadecimal:
7002/16 = 437, resto 10 (A).
437/16 = 27, resto 5.
27/16 = 1, resto 11 (B).
1/16 = 0, resto 1.
Ou seja, 1B5A na base 16.
Pra binário:
(0001)(1011)(0101)(1010), ou seja, 1101101011010 na base 2.
Pra octal:
1.101.101.011.010, ou seja, 1.5.5.3.2, logo 15532 na base 8.
E estão resolvidos todos.
Boa noite. \o\
[Cálculo Numérico] Aula 9: sinal digital pra decimal, sistema octal
1. Converta o sinal digital abaixo (binário) para decimal:
a) 10000001
Se é um sinal digital de 8 bits e está iniciando com 1, temos que é um número negativo. Então vamos convertê-lo pra positivo pra fazer a operação primeiro, fazendo o oposto que fazemos de positivo pra negativo: complemento de um, depois subtrai 1 (soma -1) já que na outra conversão se somava 1.
Complemento de 1
10000001
01111110
Soma (-1)
Primeiro, vale a pena lembrar quem é -1:
1 = 00000001
(Compl. de 1) + 1: (11111110) + 1 = 11111111
Logo, a operação final fica:
01111110 +
11111111
0+1 = 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
E isso se repete até a última casa, aonde fica 1+1 = 10, fica 0 e vai 1, que some porque sai da última casa do sinal digital.
Sendo assim, temos que esse binário fica: 01111101
Convertendo pra decimal:
$$-n = 1 * 2^0 + 0 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 + 1 * 2^4 + 1 * 2^5 + 1 * 2^6 + 0 * 2^7 \\
1 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 125_{10} \\
n = -125_{10}$$
Mas aí uma regra muito doida que eu não entendi se surgiu de algum lugar ou é apenas magia negra diz que você acrescenta -2 ao resultado final, sendo assim, o número é na verdade -127 em decimal. Simplesmente isso.
b) 10010011
Mesma coisa:
Complemento de 1
10010011
01101100
Soma (-1)
01101100 +
11111111
0+1 = 1
0+1 = 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1, que é desconsiderado porque explode os 8 bits
Resultado em binário: 01101011
Pra decimal:
$$-n = 1*2^0 + 1*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + 1*2^6 + 0*2^7 = \\
1 + 2 + 8 + 32 + 64 = 107 \\
n = -107_{10}$$
Menos 2, -109 decimal.
c) 11111111
Complemento de 1
11111111
00000000
Soma (-1)
00000000 +
11111111
= 11111111
Eu por algum motivo tenho anotado na aula +255 aqui, mas preciso de uma luz nesse. A lógica passada é a seguinte: vai dar -255, menos 2 vai estourar e ir pra +256 e depois +255, mas não lembro se sinal digital vai de -255 a +256 ou de -127 a +128, então para todos os efeitos fiquem com a resposta da aula e perguntemos ao professor depois.
123.3_8 = 83.375_{10}$$
223/8 = 27, resto 7.
27/8 = 3, resto 3.
3/8 = 0, resto 3.
O número então vai dar 0337, ou simplesmente 337 em octal.
495,25
Parte normal
495/8 = 61, resto 7.
61/8 = 7, resto 5.
7/8 = 0, resto 7.
Ou seja, 757.
Parte fracionária: você vai fazer mais ou menos como no binário, multiplicar por 8 o tanto de casas que for preciso e ir pegando o último número. Sobrando 0,00, chega-se à última casa.
0,25 x 8 = 2,00
Pega o 2, deixa o resto, fica 0,00. Então o resultado final é:
757,2
1011011001
Você vai fragmentar o binário de 3 em 3, contando a partir do primeiro, e vai formar algarismos de 0 a 7 com eles. Simples assim. Veja esse exemplo:
1.011.011.001
1.3.3.1, logo 1331 em octal. (lembrando que o primeiro, isolado, você pode considerar dois zero à esquerda se quiser)
1001110111,100101010
Antes da vírgula, da direita pra esquerda: 1.001.110.111<
1.1.6.7
Depois da vírgula, da esquerda pra direita: 100.101.010
4.5.2
Logo, 1167,452 em octal.
523 em octal
5 = 101
2 = 010
3 = 011
Logo, 101010011. Vale a pena lembrar que a não ser que vá sobrar zero à esquerda ou à direita no algarismo final (ou seja, último algarismo inteiro à esquerda, e fracionário à direita), você obrigatoriamente tem que conservar o 0 do binário.
a) 102,4
Parte inteira:
102/8 = 12, sobra 6.
12/8 = 1, sobra 4.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 146.
Parte fracionária:
0,4 x 8 = 3,2
0,2 x 8 = 1,6
0,6 x 8 = 4,8
0,8 x 8 = 6,4
Logo, 0,3146.
No total, fica: 146,3146 em octal.
b) 1004,5
Parte inteira:
1004/8 = 125, sobra 4.
125/8 = 15, sobra 5.
15/8 = 1, sobra 7.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 1754.
Parte fracionária:
0,5 x 8 = 4,0
Logo, 0,4.
No total: 1754,4 em octal.
c) 723,45
Parte inteira:
723/8 = 90, sobra 3.
90/8 = 11, sobra 2.
11/8 = 1, sobra 3.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 1323.
Parte fracionária:
0,45 x 8 = 3,6
0,6 x 8 = 4,8
0,8 x 8 = 6,4
0,4 x 8 = 3,2
Logo, 0,3463.
No total: 1323,3463.
2. Converta de octal para decimal:
a) 732,1
Só fazer a conta tradicional:
$$7 * 8^2 + 3 * 8^1 + 2 * 8^0 + \dfrac{1}{8} = 448 + 24 + 2 + 0.125 = 474.125_{10}$$
b) 423,6
$$4 * 8^2 + 2 * 8^1 + 3 * 8^0 + \dfrac{6}{8} = 256 + 16 + 3 + 0.75 = 275.75_{10}$$
c) 1004,123
$$1 * 8^3 + 0 * 8^2 + 0 * 8^1 + 4 * 8^0 + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8^2} + \dfrac{1}{8^3} \\
512 + 4 + 0.125 + 0.03125 + 0.005859375 = 516.162109375_{10}$$
3. Converta de binário para octal:
a) 11100111
011.100.111
3.4.7
Logo, 347.
b) 1100111
001.100.111
1.4.7
Logo, 147.
c) 1111011
001.111.011
1.7.3
Logo, 173.
d) 10,000010001
Parte inteira: 010. Logo, 2.
Parte fracionária:
000.010.001
0.2.1
Logo, 0,021.
Sendo assim, o total é 2,021.
Já vou postando a outra aula e a de equações diferenciais, não confirmo de algoritmo e estrutura de dados ainda porque acho melhor o professor passar o algoritmo dele e tal pra não confundir ninguém. Aliás, estou realmente cogitando postar estrutura de dados porque é uma matéria muito mais complexa que programação comum, mas ainda envolve muito código e acho código extremamente pessoal, daí não sei uma maneira de passar um "código didático" pra vocês que estão interessados.
Discutam aí, se alguém souber essa maneira e quiser passar aqui no blog também, sem problema.
No mais, bom dia a todos.
a) 10000001
Se é um sinal digital de 8 bits e está iniciando com 1, temos que é um número negativo. Então vamos convertê-lo pra positivo pra fazer a operação primeiro, fazendo o oposto que fazemos de positivo pra negativo: complemento de um, depois subtrai 1 (soma -1) já que na outra conversão se somava 1.
Complemento de 1
10000001
01111110
Soma (-1)
Primeiro, vale a pena lembrar quem é -1:
1 = 00000001
(Compl. de 1) + 1: (11111110) + 1 = 11111111
Logo, a operação final fica:
01111110 +
11111111
0+1 = 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
E isso se repete até a última casa, aonde fica 1+1 = 10, fica 0 e vai 1, que some porque sai da última casa do sinal digital.
Sendo assim, temos que esse binário fica: 01111101
Convertendo pra decimal:
$$-n = 1 * 2^0 + 0 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 + 1 * 2^4 + 1 * 2^5 + 1 * 2^6 + 0 * 2^7 \\
1 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 125_{10} \\
n = -125_{10}$$
Mas aí uma regra muito doida que eu não entendi se surgiu de algum lugar ou é apenas magia negra diz que você acrescenta -2 ao resultado final, sendo assim, o número é na verdade -127 em decimal. Simplesmente isso.
b) 10010011
Mesma coisa:
Complemento de 1
10010011
01101100
Soma (-1)
01101100 +
11111111
0+1 = 1
0+1 = 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1+1 = 11, fica 1 e vai 1
1+1 = 10, fica 0 e vai 1, que é desconsiderado porque explode os 8 bits
Resultado em binário: 01101011
Pra decimal:
$$-n = 1*2^0 + 1*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + 1*2^6 + 0*2^7 = \\
1 + 2 + 8 + 32 + 64 = 107 \\
n = -107_{10}$$
Menos 2, -109 decimal.
c) 11111111
Complemento de 1
11111111
00000000
Soma (-1)
00000000 +
11111111
= 11111111
Eu por algum motivo tenho anotado na aula +255 aqui, mas preciso de uma luz nesse. A lógica passada é a seguinte: vai dar -255, menos 2 vai estourar e ir pra +256 e depois +255, mas não lembro se sinal digital vai de -255 a +256 ou de -127 a +128, então para todos os efeitos fiquem com a resposta da aula e perguntemos ao professor depois.
Sistema Octal
Sistema de 8 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.Converter octal para decimal:
$$123.3_8 = 1 * 8^2 + 2 * 8^1 + 3 * 8^0 + 3 * 8^{-1} \\123.3_8 = 83.375_{10}$$
Converter decimal em octal:
223223/8 = 27, resto 7.
27/8 = 3, resto 3.
3/8 = 0, resto 3.
O número então vai dar 0337, ou simplesmente 337 em octal.
495,25
Parte normal
495/8 = 61, resto 7.
61/8 = 7, resto 5.
7/8 = 0, resto 7.
Ou seja, 757.
Parte fracionária: você vai fazer mais ou menos como no binário, multiplicar por 8 o tanto de casas que for preciso e ir pegando o último número. Sobrando 0,00, chega-se à última casa.
0,25 x 8 = 2,00
Pega o 2, deixa o resto, fica 0,00. Então o resultado final é:
757,2
Converter binário em octal
Esse é o mais simples, veja bem:1011011001
Você vai fragmentar o binário de 3 em 3, contando a partir do primeiro, e vai formar algarismos de 0 a 7 com eles. Simples assim. Veja esse exemplo:
1.011.011.001
1.3.3.1, logo 1331 em octal. (lembrando que o primeiro, isolado, você pode considerar dois zero à esquerda se quiser)
1001110111,100101010
Antes da vírgula, da direita pra esquerda: 1.001.110.111<
1.1.6.7
Depois da vírgula, da esquerda pra direita: 100.101.010
4.5.2
Logo, 1167,452 em octal.
Converter octal em binário
Faça o oposto: pegue cada algarismo do octal e trunque em binários. Veja esse exemplo:523 em octal
5 = 101
2 = 010
3 = 011
Logo, 101010011. Vale a pena lembrar que a não ser que vá sobrar zero à esquerda ou à direita no algarismo final (ou seja, último algarismo inteiro à esquerda, e fracionário à direita), você obrigatoriamente tem que conservar o 0 do binário.
Exercícios
1. Converta de decimal para octal com 4 dígitos na parte fracionária:a) 102,4
Parte inteira:
102/8 = 12, sobra 6.
12/8 = 1, sobra 4.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 146.
Parte fracionária:
0,4 x 8 = 3,2
0,2 x 8 = 1,6
0,6 x 8 = 4,8
0,8 x 8 = 6,4
Logo, 0,3146.
No total, fica: 146,3146 em octal.
b) 1004,5
Parte inteira:
1004/8 = 125, sobra 4.
125/8 = 15, sobra 5.
15/8 = 1, sobra 7.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 1754.
Parte fracionária:
0,5 x 8 = 4,0
Logo, 0,4.
No total: 1754,4 em octal.
c) 723,45
Parte inteira:
723/8 = 90, sobra 3.
90/8 = 11, sobra 2.
11/8 = 1, sobra 3.
1/8 = 0, sobra 1.
Logo, 1323.
Parte fracionária:
0,45 x 8 = 3,6
0,6 x 8 = 4,8
0,8 x 8 = 6,4
0,4 x 8 = 3,2
Logo, 0,3463.
No total: 1323,3463.
2. Converta de octal para decimal:
a) 732,1
Só fazer a conta tradicional:
$$7 * 8^2 + 3 * 8^1 + 2 * 8^0 + \dfrac{1}{8} = 448 + 24 + 2 + 0.125 = 474.125_{10}$$
b) 423,6
$$4 * 8^2 + 2 * 8^1 + 3 * 8^0 + \dfrac{6}{8} = 256 + 16 + 3 + 0.75 = 275.75_{10}$$
c) 1004,123
$$1 * 8^3 + 0 * 8^2 + 0 * 8^1 + 4 * 8^0 + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8^2} + \dfrac{1}{8^3} \\
512 + 4 + 0.125 + 0.03125 + 0.005859375 = 516.162109375_{10}$$
3. Converta de binário para octal:
a) 11100111
011.100.111
3.4.7
Logo, 347.
b) 1100111
001.100.111
1.4.7
Logo, 147.
c) 1111011
001.111.011
1.7.3
Logo, 173.
d) 10,000010001
Parte inteira: 010. Logo, 2.
Parte fracionária:
000.010.001
0.2.1
Logo, 0,021.
Sendo assim, o total é 2,021.
Já vou postando a outra aula e a de equações diferenciais, não confirmo de algoritmo e estrutura de dados ainda porque acho melhor o professor passar o algoritmo dele e tal pra não confundir ninguém. Aliás, estou realmente cogitando postar estrutura de dados porque é uma matéria muito mais complexa que programação comum, mas ainda envolve muito código e acho código extremamente pessoal, daí não sei uma maneira de passar um "código didático" pra vocês que estão interessados.
Discutam aí, se alguém souber essa maneira e quiser passar aqui no blog também, sem problema.
No mais, bom dia a todos.
terça-feira, 28 de agosto de 2012
[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 7: exatas e homogêneas
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem
Forma diferencial
$$y' = \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \\f(x, y)dx - dy = 0 \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} \\
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$
Exemplo:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x+y}{y^2} = \dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{x+y}}$$
Forma a: (x+y)dx - y²dy = 0
Forma b: $$(\dfrac{x+y}{y^2})dx - 1dy = 0; y \neq 0$$
Forma c: $$1dx - \dfrac{y^2}{x+y} dy = 0; x+y \neq 0$$
Classificação das Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem
Equação Diferencial Ordinária Linear$$y' + a_0 (x)y = f(x) \\ y' + p(x)y = q(x)$$
Equação Diferencial Ordinária Homogênea
y' = f(tx, ty) = f(x, y)
Exemplo: considere: $$f(x, y) = \dfrac{x+y}{y} \\
f(tx, ty) = \dfrac{tx + ty}{tx} = \dfrac{t(x + y)}{tx}$$
Isso nos dá: $$f(tx, ty) = f(x, y)$$
No caso geral: se f(x, y) é homogênea de grau n, então: $$f(tx, ty) = t^n f(x, y)$$
Se n = 0, então f(tx, ty) = f(x, y)
Equação Diferencial Ordinária Separável
M(x)dx + N(y)dy = 0
Equação Diferencial Ordinária Exata
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
A equação diferencial ordinária acima é exata quando é válida a relação:
$$\dfrac{\partial}{\partial y} M(x, y) = \dfrac{\partial}{\partial x} N(x, y)$$
Exemplo: resolva a equação diferencial ordinária A:
$$A = x^2 dx + xe^y dy = 0$$
a) Verifique se a EDO é separável.
Resolução: dividindo cada termo por x:
$$\dfrac{x^2}{x} dx + \dfrac{x e^y}{x} dy = \dfrac{0}{x} \\
xdx + e^y dy = 0 \\
\int x dx + \int e^y dy = \int 0 \\
\dfrac{x^2}{2} + C_1 + e^y + C_2 = C_3 \\
\dfrac{x^2}{2} + e^y = C_3 - C_1 - C_2$$
Como os três termos são constantes, podemos concatená-los em uma única constante:
$$e^y = C - \dfrac{x^2}{2} \\
y(x) = \ln{|C - \dfrac{x^2}{2}|}$$
Exemplo com equação diferencial ordinária homogênea:
$$y' = f(tx, ty) = f(x, y), n = 0 (f(tx, ty) = t^n f(x, y))$$
Considere: $$z = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$
Identificando z = f(x, y).
$$z(tx, ty) = \dfrac{2(ty)^4 + (tx)^4}{(tx)(ty)^3} = \dfrac{t^4 2y^4 + t^4 x^4}{tx * t^3 y^3} = z(x, y)$$
Mudança de Variável
Considere y' = f(x, y), onde f(x, y) = f(tx, ty).Fazendo a seguinte mudança de variável:
$$v = \dfrac{y}{x} \\
y = vx$$
Temos a função:
$$y = vx \\
\dfrac{dy}{dx} = v \dfrac{dx}{dx} + x \dfrac{dv}{dx} = v + x \dfrac{dv}{dx} \\
x \dfrac{dv}{dx} + v = f(v) \\
x \dfrac{dv}{dx} = f(v) - v$$
O que é uma equação separável.
$$\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{dx}{x} \\
\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{1}{x} dx + C$$
Observação: a variável v = y/x para o caso em que:
$$y'(x, y) = f(x, x \dfrac{y}{x}) = f(1, v)$$
Já para:
$$y'(x, y) = f(y \dfrac{x}{y}, y) \\
v = \dfrac{x}{y}, f(v, 1)$$
Exemplo: considere a equação diferencial homogênea:
$$y' = \dfrac{x+y}{y}$$
a) Determine a função y(x):
Resolução: definido v = y/x:
$$y = vx \\
y' = v + xv'$$
Substituímos y' pelo valor dado inicialmente ali:
$$\dfrac{x+y}{y} = v + xv'$$
Podemos trocar y por vx, pela igualdade estabelecida logo abaixo da definição de v:
$$\dfrac{x + vx}{x} = v + xv'$$
Colocando x em evidência:
$$\dfrac{x (1+v)}{x} = v + xv' \\
(1+v) = v+xv' \\
1 + v - v = x \dfrac{dv}{dx} \\
1 = x \dfrac{dv}{dx} \\
\dfrac{dx}{x} = dv \\
\int \dfrac{1}{x} dx = dv \\
\ln{|x|} + C = v \\
\dfrac{y}{x} = \ln{|x|} + C \\
y(x) = x(\ln{|x|} + C)$$
Tentei explicar um pouquinho melhor essa última porque muita gente ainda pareceu empacadíssimo nela, mas não sei se fiz um bom trabalho. É tudo muito pré-estabelecido, 1000x mais fácil entender numa resolução de exercício de fato, que provavelmente será a próxima lista.
De qualquer forma, boa noite a todos.
sábado, 25 de agosto de 2012
[Cálculo Numérico] Aula 8: subtração de binários
Subtração de binários
Como os sinais digitais não reconhecem (-) como números negativos o processo de subtração entre A e B deve ser dado por A + (-B) onde -B representa o oposto de B.Esta determinação de oposto de um binário pode ocorrer de três formas:
1. sinal-magnitude: representado em sinais digitais de 8 bits onde o primeiro bit é o indicativo da magnitude.
Exemplo: (0)0001001 = +9, enquanto (1)0001001 = -9.
Ou seja, todo binário que possui N-1 = 0 é positivo e N-1 = 1 é negativo. Existe assim 2^8 possibilidades de combinação. 2^8 = 256 dígitos, sendo 128 positivos e 128 negativos, mas, observe que 00000000 = +0 e 10000000 = -0 assumem o mesmo valor. Logo:
127 combinações positivas, 127 combinações negativas, e 0. Um total de 255 combinações.
2. complemento de um: troca-se os 0 por 1 e os 1 por zero.
+9 = 00001001
-9 = 11110110
Novamente, 00000000 = +0 e 11111111 = -0. Por isso temos 255 valores de -127 a +127.
3. complemento de dois: realiza-se o complemento de um e soma-se mais um:
+9 = 00001001
-9 = 11110110 (comp. de um de 9) + 1 = 11110111
No caso de 0:
+0 = 00000000
-0 = 11111111 (comp. de um de 0) + 1 = 100000000
Como estamos falando de 8 bits, ignoramos o nono caracter à esquerda. Ou seja: -0 = 00000000. Sendo assim, esse sistema é o mais favorável, pois permite de -128 a +127.
Exercícios:
1. Resolva em binário:
a) (antes dele alterar) 5 - 2
5 + (-2)
5 é muito fácil, né:
4 - 2 - 1
1 - 0 - 1
Logo, 5 = 00000101
Já o -2 é um pouquinho mais complicado, mas nada demais. Lembrando que usaremos complemento de dois:
2 = 00000010
Comp.1 de 2 é 1111101. +1 = 11111110. Logo a operação fica:
00000101 +
11111110
Primeiro algarismo, 1. Segundo algarismo, 1. Terceiro algarismo, 10, fica 0 e vai 1. Aí vai dando 10 (fica 0 e vai 1) até estourar a oitava casa, o que dá: 00000011 (3 no sistema decimal). Mas note que estamos usando um número muito grande, então vamos usar do seguinte aconchego: só vamos até a última casa do número maior, passou disso começaremos a ignorar porque sabemos que vai estourar a oitava casa.
Perceba na b:
b) 3 - 2
3 + (-2)
Não precisamos fazer conta pra saber que 3 = 11.
2 = 10. Com complemento de 1, fica 01. Acrescentando 1, 10.
Logo a operação fica:
11 +
10
1 + 0, fica 1.
1 + 1, fica 0 e vai 1. Mas a última casa é essa, então ignoramos tudo depois dela.
Logo, 3 - 2 dá 01 que, bem, é igual a 1 em decimal.
a) (depois dele alterar) 5 - 1
5 + (-1)
Já sabemos que 5 = 101.
1 é 001. Complemento de 1 fica 110, somando 1 fica 111.
Logo, a conta será:
101 +
111
1+1 dá 10, fica 0 e sobe 1.
0+1+1 dá 10, fica 0 e sobe 1.
1+1+1 dá 11, fica 1 e sobe 1, que ignoramos.
Logo, 5 - 1 fica 100, que é 4.
c) 12 - 6
12 + (-6)
Pra 12:
8 - 4 - 2 - 1
1 - 1 - 0 - 0
Pra 6:
8 - 4 - 2 - 1
0 - 1 - 1 - 0
Complemento de 1: 1001. Soma-se 1: 1010.
Logo a operação fica:
1100 +
1010
0+0 = 0.
0+1 = 1.
1+0 = 1.
1+1 = 10, fica 0 e sobe 1, que ignoramos.
Logo, essa conta dá o resultado 110, que em decimal fica (obviamente) 6.
d) 7 - 5
7 + (-5)
Pra 7:
4 - 2 - 1
1 - 1 - 1
Pra 5:
4 - 2 - 1
1 - 0 - 1
Complemento de 1: 010. Soma-se 1: 011.
Logo a operação fica:
111 +
011
1+1 = 10, fica 0 e sobe 1.
1+1+1 = 11, fica 1 e sobe 1.
1+1 = 10, fica 0 e sobe 1, que ignoramos.
Logo, essa conta dá o resultado de 10, que em decimal fica 2.
E é basicamente isso. Mais uma vez lembro que não sei ao certo qual estrutura de post uso pra essa matéria de binários aqui, porque não sei se está claro dessa forma, ainda mais porque não consigo determinar a base sem usar o LaTeX só que me parece muito inconveniente usar o LaTeX nessa situação.
É vocês que me contatam e decidem. No mais, boa noite.
[Cálculo Numérico] Aula 7: fração decimal pra binária
Decimal para Binário (Nº fracionário)
Peguemos o número 35,625 na base 10. Vamos convertê-lo para binário.1º Passo: separamos as partes inteiras das fracionárias:
35 + 0,625
A parte inteira é bem fácil. Como o número é menor que 256, ao invés de fazer divisão, é mais fácil usar aquele método que o professor passou de ordenar decrescentemente as potências de 2:
32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
É intuitivo, deve ter um método matemático pra descobrir o que usar, mas honestamente... Não é necessário. É só pensar um pouquinho. Queremos chegar ao 35, então 32+2+1 resolve.
Logo:
32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
1 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1
Logo:
$$35_{10} = 100011_2$$
Para a fracionada, temos a seguinte metodologia: ao invés de sair dividindo como feito na aula passada, vamos multiplicando por 2, pegando o algarismo depois da vírgula e removendo ele pra colocar no binário. E repetindo até chegar no tanto de casas após a vírgula exigidas. Ao contrário do binário inteiro, o fracionário segue ordem normal.
Explicando fica meio complicado mesmo, então vamos fazer na prática que dá pra entender bem:
$$0.625 \times 2 = 1.250$$
Pegamos esse 1 depois da vírgula, deixamos 0,250 e multiplicamos ele por 2 de novo.
$$0.250 \times 2 = 0.5$$
Pegamos o 0, repetimos o processo:
$$0.5 \times 2 = 1$$
Pegamos o 1 e terminamos o número. Esse caso é bom porque é perfeito: o número tem um fim simples. Muitos deles serão gigantescos e o exercício exigirá um mínimo de casas, então não se preocupe tanto com isso. E o resultado final?
$$0.625_{10} = 0.101_2$$
Logo:
$$35.625_{10} = 100011.101_2$$
Exercícios:
1. Converter para decimal.
a) 11010101011
Binário pra decimal é deveras simples, está na outra aula o método. Só sair somando:
$$1*2^0 + 1*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + \\ 0*2^6 + 1*2^7 + 0*2^8 + 1*2^9 + 1*2^{10}$$
$$1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32 + 0 + 128 + 0 + 512 + 1024 \\
1707_{10}$$
b) 1,01010101
Mesma coisa, só que com valores mais feios:
$$(1 * 2^0) + (0 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} + 0 * 2^{-3} + 1 * 2^{-4} + \\ 0 * 2^{-5} + 1 * 2^{-6} + 0 * 2^{-7} + 1 * 2^{-8}$$
$$(1) + (0 + 0.25 + 0 + 0.0625 + 0 + 0.015625 + 0 + 0.00390625) \\
1 + (0.33203125) \\
1.33203125_{10}$$
c) 11011,1101
Agora juntando o útil ao agradável:
$$(1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0) + (1 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} + 0 * 2^{-3} + 1 * 2^{-4}) \\
(16 + 8 + 0 + 2 + 1) + (0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625) \\
27 + 0.8125 \\
27.8125_{10}$$
2. Converter para binário com 5 dígitos.
a) 234,435
Primeiro, a parte antes da vírgula (234):
128 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
128+64 = 192
192+32 = 224
224+16 = 240, então pulamos pro próximo.
224+8 = 232
Sabemos que é somando 2 que temos 234, óbvio, então:
128 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
1 - 1 - 1 - 0 - 1 - 0 - 1 - 0
234 = 11101010 em decimal
Pra parte depois da vírgula, 435:
0,435 x 2 = (0),87
0,870 x 2 = (1),74
0,740 x 2 = (1),48
0,480 x 2 = (0),96
0,960 x 2 = (1),92
E tá bom, né, pediu 5 casas decimais depois da vírgula.
Ou seja:
$$0.435 = 0.01101_2 \\
234.435 = 11101010.01101_2$$
b) 12,234
Parte depois da vírgula:
8 - 4 - 2 - 1
1 - 1 - 0 - 0
(acho que é muito "de cabeça" que 12 = 8 + 4)
Pro 0,234:
0,234 x 2 = (0),474
0,474 x 2 = (0),948
0,948 x 2 = (1),896
0,896 x 2 = (1),792
0,792 x 2 = (1),584
Logo:
$$0.234 = 0.00111_2 \\
12.234 = 1100.00111_2$$
c) 43,956
Parte depois da vírgula:
32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
32 + 16 = 48, passa.
32 + 8 = 40
40 + 4 = 44, passa.
40 + 2 = 42
42 + 1 = 43
Logo:
32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
1 - 0 - 1 - 0 - 1 - 1
Assim, 43 = 101011.
Agora, pro que vem depois da vírgula:
0,956 x 2 = (1),912
0,912 x 2 = (1),824
0,824 x 2 = (1),648
0,648 x 2 = (1),296
0,296 x 2 = (0),592
E 0,956 fica em 5 casas decimais até 0,11110. E:
$$43.956 = 101011.11110_2$$
Operações com binário
Adição de dois termos: escreva em binário o nº 2.$$2 + 2 = 4 \\
4_{10} = 10_2 + 10_2 \\
10_2 + 10_2 = 100_2$$
A regra é a seguinte:
0 + 0 = 0
1 + 1 = 10
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
Veja a seguinte conta (com o sinal do outro lado por conveniência):
1101101 +
1001101
Vamos fazer a operação normalmente de trás pra frente, passo a passo, como se fazia no primário. Lembrando que 1+1 = 10. Então fica 0 e sobe 1.
Primeira casa: 1+1 = 10. Fica 0, sobe 1.
Segunda casa: 0+0+1 = 1. Fica 1.
Terceira casa: 1+1 = 10. Fica 0, sobe 1.
Quarta casa: 1+1+1 = 11. Fica 1, sobe 1.
Quinta casa: 0+0+1 = 1. Fica 1.
Sexta casa: 1+0 = 1. Fica 1.
Sétima casa: 1+1 = 10. Como é a última casa, fica 10.
Pega tudo o que está na frente do "fica", obviamente na ordem inversa (da sétima pra primeira):
(10)(1)(1)(1)(0)(1)(0)
Logo, o resultado é: 10111010.
Se tiver qualquer dificuldade nisso, o mais recomendado é pegar algum livro de cálculo numérico ou eletrônica digital e sair queimando todos os exercícios até entender perfeitamente o que está acontecendo. Só dá trabalho, mas é facinho.
Também sei que a estrutura do post ficou meio estranha, não sei ao certo qual seria a melhor pra trabalhar aqui. Se ficou muito pouco claro pra quem tá estudando, sou aberto a sugestões de modelos diferentes.
Gratíssimo, boa noite.
[Física Experimental] Aula 3 e 4: relatório 1 e 2
Experimento 1: movimento retilíneo uniforme
Cuidados:- não movimentar o cavaleiro com o compressor desligado;
- não colocar o compressor em potência máxima;
- não alterar a potência do compressor durante o experimento;
- não permitir o choque do cavaleiro com o final do trilho;
- alinhar os sensores para evitar o choque com o cavaleiro;
- deixar os sensores perpendiculares ao trilho;
- utilizar para o tempo todos os dígitos do cronômetro.
- compressor de ar;
- trilho de ar;
- cavaleiro metálico;
- sensor de start;
- sensor de stop;
- cronômetro digital.
- sensor start: S0 = 0,2m;
- sensor stop: S1 = 0,5m; S2 = 0,6m; S3 = 0,7m; S4 = 0,8m; S5 = 0,9m;
- para cada ∆S determinar t1, t2, t3, t4 e t5.
Experimento 2: movimento retilíneo uniformemente variado (M.U.V.)
Equipamento:- tudo o que foi usado no relatório 1 (só por isso eu postei ele aqui)
- barbante
- suporte para massa
- massa de 50g
- não soltar o cavaleiro com a massa em movimento;
- o sensor de start deve ser colocado o mais próximo possível do início do movimento;
- não deixar o barbante fora da roldana.
- determinar a aceleração do sistema;
- determinar a velocidade final.
Função horária do deslocamento:
Aceleração: $$S = S_0 + V_0 t + \dfrac{at^2}{2}$$
Sendo V0 = 0, temos:
$$S - S_0 = \dfrac{at^2}{2} \\ \Delta S = \dfrac{at^2}{2} \\ 2 \Delta S = at^2 \\ a = \dfrac{2 \Delta S}{t^2}$$
Função horária da velocidade:
$$a = \dfrac{\Delta V}{t} \\ \dfrac{2 \Delta S}{t^2} = \dfrac{\Delta V}{t} \\ \dfrac{2 \Delta S}{t} = \Delta V$$
Lembrando que V0 = 0, e que delta V = V - V0:
$$V = \dfrac{2 \Delta S}{t}$$
Posições que serão/foram usadas no experimento:
S1 = 0,45m; S2 = 0,56m; S3 = 0,67m; S4 = 0,78m; S5 = 0,89m
Utilizar apenas uma massa.
Gráfico: V x t. Usar Microsoft Excel ou Origin 7.0.
[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 6: formas de equações diferenciais
b) y'' = 2; y(1) = 1; y'(-1) = 1
Primeiramente, sim, estamos utilizando graus.
$$y(1) = 1 \\ c_1 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1$$
$$y'(-1) = 1 \\ 2c_1 \cos{(-2)} - 2c_2 \sin{(-2)} = 1 \\ 2c_1 \cos{(2)} + 2c_2 \sin{(2)}$$
O professor explicou bem a mudança de sinais mas, pra quem não entendeu, cosseno de -90° a 90° é positivo e seno de -180° a 0° é negativo, então você pode igualar cosseno de -2 a cosseno de 2, e inverter o sinal de seno de -2 para obter seno de 2.
Mas bem, agora temos um sistema linear:
$$\begin{array}
c_1 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
E a solução que o professor nos arranjou foi a seguinte (creio que hajam outras e até mais fáceis, mas por questão de evitar confusão vou usar essa mesmo):
$$-2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}}$$
Multiplicamos a primeira expressão por esse termo:
$$\begin{array}
c_1 \sin{2} \times (-2) \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + c_2 \cos{2} \times (-2) \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
Vamos simplificar o máximo que podemos essa expressão:
$$\begin{array}
-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
Somamos o sistema agora:
$$-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} + 2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + 1$$
Vamos deixar c1 de um lado e c2 do outro pra ficar mais fácil de compreender o que vai acontecer. E aproveitar e trocar sen2/cos2 por tangente de 2 do outro lado:
$$(-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} + 2c_1 \cos{2}) + (2c_2 \sin{2} - 2c_2 \sin{2}) = (-2 \tan{2} + 1)$$
Veja bem: podemos cortar os c2, restando só c1 de variável:
$$2c_1 \cos{2} - 2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} = -2 \tan{2} + 1$$
Isolando 2c1:
$$2c_1 (\cos{2} - \tan{2} \sin{2}) = 1 - 2 \tan{2} \\ 2c_1 = \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})} \\ c_1 = \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{2(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})}$$
Jogando isso na nossa maravilhosa calculadora:
$$c_1 \approx \dfrac{0.930}{1.996} = 0.47$$
Substituindo c1 = 0.47 na primeira equação do sistema linear, temos:
$$0.47 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\ c_2 \cos{2} = 1 - 0.47 \sin{2} \\ c_2 = \dfrac{1 - 0.47 \sin{2}}{\cos{2}} = 0.98$$
Portanto para exemplo b) onde a EDO possui as tais condições iniciais, encontramos c1 = 0.47 e c2 = 0.98.
Resolvido isso, tem o slide com a apresentação das formas de equações diferenciais. Aqui estão os exercícios resolvidos:
Passagem para a forma padrão: (y' = f(x, y))
a) $$xy' - y^2 = 0 \\ xy' = y^2 \\ y' = \dfrac{y^2}{x}$$
b) $$e^x y' - e^{2x} y = \sin{x} \\ e^x y' = \sin{x} + e^{2x} y \\ y' = \dfrac{\sin{x} + e^{2x} y}{e^x} = \dfrac{\sin{x}}{e^x} + e^x y$$
c) $$(y - y')^5 = \sin{(\dfrac{y'}{x})}$$
Não creio que haja maneira de colocar isso na forma padrão, inclusive o professor também não. Se alguém conseguir, seria interessantíssimo mostrar. O dilema aqui é o seguinte: dentro do seno tem um y', e dentro do polinômio também. Pra retirar o y' do seno tem que fazer arco seno dos dois lados, daí pra você tirar o y' do polinômio depois você terá de fazer seno dos dois lados, e volta à situação inicial. É paradoxal, não tem como fazer, então deixa ele assim de boa.
Passagem para a forma diferencial: (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) $$y(yy' - 1) = x \\ y^2 y' - y = x \\ y^2 \dfrac{dy}{dx} = x + y \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y}{y^2} \\ y^2 dy = (x+y)dx \\ y^2 dy - (x+y)dx = 0$$
b) $$y' = \dfrac{y}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \\ xdy = ydx \\ xdy - ydx = 0$$
Identificar as equações lineares: (y' + a(x)y = f(x); y'' + a1(x)y' + a2(x)y = f(x); e por aí vai)
a) $$y' = (\sin{x})y + e^x \\ y' - (\sin{x})y = e^x$$
Perceba, y' correto, a(x) = -sen(x) e o y ali, e f(x) = e^x. Perfeito, é linear.
b) $$y' = y^2 + x$$
Pelo y² você já percebe que não é linear.
c) $$y' + xy^5 = 0$$
Mesmo motivo da b, só que com y elevado a quinta.
d) $$xy' + y = \sqrt{y}$$
Perceba que temos f(y) do outro lado, e y é a função incógnita. Pra ser linear, teria de ser f(x), já que x é a variável independente. Não é linear.
e) $$y' + xy = e^x y$$
Do outro lado temos f(x, y), não f(x). Não é linear.
f) $$y' + \dfrac{x}{y} = 0$$
y está elevado a -1, não a 1, então não é linear.
Sendo assim, a letra A é linear.
Essa aula aqui vai ajudar demais vocês na lista 2, já que ela é praticamente só isso. No mais, boa noite a todos.
Primeiramente, sim, estamos utilizando graus.
$$y(1) = 1 \\ c_1 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1$$
$$y'(-1) = 1 \\ 2c_1 \cos{(-2)} - 2c_2 \sin{(-2)} = 1 \\ 2c_1 \cos{(2)} + 2c_2 \sin{(2)}$$
O professor explicou bem a mudança de sinais mas, pra quem não entendeu, cosseno de -90° a 90° é positivo e seno de -180° a 0° é negativo, então você pode igualar cosseno de -2 a cosseno de 2, e inverter o sinal de seno de -2 para obter seno de 2.
Mas bem, agora temos um sistema linear:
$$\begin{array}
c_1 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
E a solução que o professor nos arranjou foi a seguinte (creio que hajam outras e até mais fáceis, mas por questão de evitar confusão vou usar essa mesmo):
$$-2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}}$$
Multiplicamos a primeira expressão por esse termo:
$$\begin{array}
c_1 \sin{2} \times (-2) \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + c_2 \cos{2} \times (-2) \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
Vamos simplificar o máximo que podemos essa expressão:
$$\begin{array}
-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
Somamos o sistema agora:
$$-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} + 2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + 1$$
Vamos deixar c1 de um lado e c2 do outro pra ficar mais fácil de compreender o que vai acontecer. E aproveitar e trocar sen2/cos2 por tangente de 2 do outro lado:
$$(-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} + 2c_1 \cos{2}) + (2c_2 \sin{2} - 2c_2 \sin{2}) = (-2 \tan{2} + 1)$$
Veja bem: podemos cortar os c2, restando só c1 de variável:
$$2c_1 \cos{2} - 2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} = -2 \tan{2} + 1$$
Isolando 2c1:
$$2c_1 (\cos{2} - \tan{2} \sin{2}) = 1 - 2 \tan{2} \\ 2c_1 = \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})} \\ c_1 = \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{2(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})}$$
Jogando isso na nossa maravilhosa calculadora:
$$c_1 \approx \dfrac{0.930}{1.996} = 0.47$$
Substituindo c1 = 0.47 na primeira equação do sistema linear, temos:
$$0.47 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\ c_2 \cos{2} = 1 - 0.47 \sin{2} \\ c_2 = \dfrac{1 - 0.47 \sin{2}}{\cos{2}} = 0.98$$
Portanto para exemplo b) onde a EDO possui as tais condições iniciais, encontramos c1 = 0.47 e c2 = 0.98.
Resolvido isso, tem o slide com a apresentação das formas de equações diferenciais. Aqui estão os exercícios resolvidos:
Passagem para a forma padrão: (y' = f(x, y))
a) $$xy' - y^2 = 0 \\ xy' = y^2 \\ y' = \dfrac{y^2}{x}$$
b) $$e^x y' - e^{2x} y = \sin{x} \\ e^x y' = \sin{x} + e^{2x} y \\ y' = \dfrac{\sin{x} + e^{2x} y}{e^x} = \dfrac{\sin{x}}{e^x} + e^x y$$
c) $$(y - y')^5 = \sin{(\dfrac{y'}{x})}$$
Não creio que haja maneira de colocar isso na forma padrão, inclusive o professor também não. Se alguém conseguir, seria interessantíssimo mostrar. O dilema aqui é o seguinte: dentro do seno tem um y', e dentro do polinômio também. Pra retirar o y' do seno tem que fazer arco seno dos dois lados, daí pra você tirar o y' do polinômio depois você terá de fazer seno dos dois lados, e volta à situação inicial. É paradoxal, não tem como fazer, então deixa ele assim de boa.
Passagem para a forma diferencial: (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) $$y(yy' - 1) = x \\ y^2 y' - y = x \\ y^2 \dfrac{dy}{dx} = x + y \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y}{y^2} \\ y^2 dy = (x+y)dx \\ y^2 dy - (x+y)dx = 0$$
b) $$y' = \dfrac{y}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \\ xdy = ydx \\ xdy - ydx = 0$$
Identificar as equações lineares: (y' + a(x)y = f(x); y'' + a1(x)y' + a2(x)y = f(x); e por aí vai)
a) $$y' = (\sin{x})y + e^x \\ y' - (\sin{x})y = e^x$$
Perceba, y' correto, a(x) = -sen(x) e o y ali, e f(x) = e^x. Perfeito, é linear.
b) $$y' = y^2 + x$$
Pelo y² você já percebe que não é linear.
c) $$y' + xy^5 = 0$$
Mesmo motivo da b, só que com y elevado a quinta.
d) $$xy' + y = \sqrt{y}$$
Perceba que temos f(y) do outro lado, e y é a função incógnita. Pra ser linear, teria de ser f(x), já que x é a variável independente. Não é linear.
e) $$y' + xy = e^x y$$
Do outro lado temos f(x, y), não f(x). Não é linear.
f) $$y' + \dfrac{x}{y} = 0$$
y está elevado a -1, não a 1, então não é linear.
Sendo assim, a letra A é linear.
Essa aula aqui vai ajudar demais vocês na lista 2, já que ela é praticamente só isso. No mais, boa noite a todos.
[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 5: soluções de equações e problemas de valor inicial
Equações Diferenciais Ordinárias
Introdução: uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.Ex.: $$y' = 2x + 3; y'' = 2 \\ \dfrac{d^2 y}{dy^2} + (\dfrac{dy}{dx})^2 = 1 \\ y''' + \sin{(x)} y'' + 5xy = 0 \\ y''' - 2y'' + 2y = \sin{(x)}$$
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares
São do tipo:$$y' + a_0 (x) y = f(x) \\ y'' + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = f(x)$$
Ex.: $$y'' + \sin{(x)} y' + xy = \cos{(x)}$$
É dada linear, pois y¹.
Caso não-linear:
$$(1 + y^2) \dfrac{d^2 y}{dy^2} + t \dfrac{dy}{dx} + y = e^t$$
É dada não-linear, pois y².
De modo geral, temos a seguinte condição:
$$\sum_{i = 1}^{n} a_1 (x) \dfrac{d^{(i)} y}{dx^{(i)}} = f(x) \\ a_n (x) \neq 0$$
E x pertencendo aos números reais.
Notação:
$$y(x) \\ y' = \dfrac{dy}{dx}; y'' = \dfrac{d^2 y}{dx^2}; y^{[n]} = \dfrac{d^n y}{dx^n}$$
$$x(t) \\ \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} \\ \ddot{x} = \dfrac{d^2 x}{dt^2}$$
Exemplo de Solução Verdadeira
y'' + 4y = 0. Verifique se y = sen(2x) e y = cos(2x) são soluções da EDO.a) Solução para y = sen(2x).
$$y = \sin{(2x)} \\ y' = 2 \cos{(2x)} \\ y'' = -4 \sin{(2x)}$$
Substituindo na EDO, temos:
$$-4 \sin{(2x)} + 4 \sin{(2x)} = 0$$
Logo, y = sen(2x) é solução.
Se procedermos de maneira análoga, verificaremos que y = cos(2x) também é solução da EDO em questão. Portanto a soma das duas soluções também será uma solução. De modo geral, a solução linear das soluções:
$$y_{geral} = y_1 + y_2$$
Onde, nesse caso:
$$y_1 = c_1 \sin{(2x)} \\ y_2 = c_2 \cos{(2x)}$$
Portanto,
$$y_{geral} = c_1 \sin{(2x)} + c_2 \cos{(2x)}$$
E a solução particular se dá por:
$$\begin{array}
y_1 = c_1 \sin{(2x)} \\
y_2 = c_2 \cos{(2x)} \end{array}$$
Onde c1 e c2 pertencem aos números reais.
A determinação dos coeficientes constantes c1 e c2 se dá por meio de:
1. condições iniciais (PVI - problema de valor inicial)
2. condições de contorno (PVC - problema de valor de contorno)
Inserindo uma condição inicial qualquer no y geral que usamos no outro exercício:
y'' = 2; y'(0) = 0; y(0) = 0
Aplicamos as condições e temos:
$$y(x) = c_1 \sin{(2x)} + c_2 \cos{(2x)}$$
$$y(0) = 0 \\ 0 = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 0 + c_2 * 1 \\ c_2 = 0$$
$$y'(x) = 2c_1 \cos{(2x)} - 2c_2 \sin{(2x)} \\ y(0) = 0 \\ 0 = 2c_1 \cos{0} - 2c_2 \sin{0} = 2c_1 * 1 - 0 = 2c_1 \\ c_1 = 0$$
A segunda eu vou deixar todinha pra outra aula, embora tenha se iniciado nessa. É melhor pra todos.
quinta-feira, 23 de agosto de 2012
[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 1: classificações, soluções e valores iniciais e de contorno
1. Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente para cada uma das equações diferenciais dadas.
a) (y'') - 3yy' + xy = 0
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y, logo, y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x (não tem outra variável na equação), então, x.
b) t²s'' - ts' = 1 - sen(t)
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é s.
Variável independente: s está sendo derivada com relação a t.
c) $$\dfrac{d^2 x}{dy^2} = y^2 + 1$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é x.
Variável independente: x está sendo derivada com relação a y.
d) $$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{3/2} + y = x$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x.
e) $$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado uma vez, logo primeira ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é b.
Variável independente: b está sendo derivada com relação a p.
2. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 5y = 0?
Só sair testando, o resultado tem que dar 0:
a) y = 5
(5)' - 5(5) = 0 - 25 = -25
Logo, não é solução.
b) y = 5x
(5x)' - 5(5x) = 5 - 25x
Logo, não é solução.
c)
$$y = x^5 \\ (x^5)' - 5(x^5) = 5x^4 - 5x^5 \neq 0$$
Logo, não é solução.
d)
$$y = e^{5x} \\ (e^{5x})' - 5(e^{5x}) = 5e^{5x} - 5e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.
e)
$$y = 2e^{5x} \\ (2e^{5x})' - 5(2e^{5x}) = 2(5e^{5x}) - 10e^{5x} = 10e^{5x} - 10e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.
f)
$$y = 5e^{5x} \\ (5e^{5x})' - 5(5e^{5x}) = 5(5e^{5x}) - 25e^{5x} = 25e^{5x} - 25e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.
3. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 3y = 6?
a) y = -2
(-2)' - 3(-2) = 0 + 6 = 6
Logo, é solução.
b) y = 0
0' - 3(0) = 0 - 0 = 0
Logo, não é solução.
c)
$$y = e^{3x} - 2 \\ (e^{3x} - 2)' - 3(e^{3x} - 2) = 3e^{3x} - 3e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$
Logo, é solução.
d)
$$y = e^{2x} - 3 \\ (e^{2x} - 3)' - 3(e^{2x} - 3) = 2e^{2x} - 3e^{2x} + 9 = -e^{2x} + 9$$
Logo, não é solução.
e)
$$y = 4e^{3x} - 2 \\ (4e^{3x} - 2)' - 3(4e^{3x} - 2) = 12e^{3x} - 12e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$
Logo, é solução.
4. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial A?
$$A = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$
Essa é complicada. Vamos fazer o seguinte: está permitido passar os valores de um lado pro outro, se os dois lados se igualarem no final está certo. Então:
a) y = x
$$\dfrac{dx}{dx} = \dfrac{2x^4 + x^4}{x(x^3)} \\ 1 = \dfrac{3x^4}{x^4} = 3 \neq 1$$
Logo, não é solução.
b) Não sei se recomendo estudarem esse
$$y = x^8 - x^4 \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4] = \dfrac{2[x^8 - x^4]^4 + x^4}{x[x^8 - x^4]^3} \\ 8x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4)^4 + x^4}{x(x^8 - x^4)^3} \\ (8x^8 - 4x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8)(x^8 - x^4)^3 - 4(x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8) - 4(x^4) = 2(x^8 - x^4) + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 2x^8 - x^4 = \dfrac{(x^8 - x^4)}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 2 - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} = 1 \\ 2 = 1 + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 1 = \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 4 = \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4(x^8 - x^4)^3 = x^4 \\ 4(x^8 - x^4)^3 - x^4 = 0$$
E se isso não te provar que é ridículo isso ser solução geral pra equação, sugiro trocar o curso pra bacharel em matemática. De qualquer forma, um breve resumo informal do porque não é solução geral é que x a oitava vai ser sempre positivo então mesmo se por algum motivo mágico os x a quarta se anulassem, sobraria x^24 (x^8 garantidamente vai se multiplicar 3 vezes) positivo que, pra dar 0, só sendo x = 0.
c) Outro horrível
$$y = \sqrt{x^8 - x^4} \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4]^{1/2} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (x^8 - x^4)^{-1/2} \times (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^2} \\ (4x^7 - 2x^3) = 2 + \dfrac{x^3}{(x^8 - x^4)^2} \\ \dfrac{(4x^7 - 2x^3)}{(x^8 - x^4)} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ \dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4 - 2 = \dfrac{2x(x^8 - x^4)^2 + x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\ \dfrac{2x}{(x^8 - x^4)} + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\
2x + x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 \\
x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 - 2x \\
x^4 = (2x^8 - 2x^4 - 2x)(x^{16} - 2x^{12} + x^8) \\
x^4 = (2x^{24} - 4x^{20} + 2x^{16} - 2x^{20} + 4x^{16} - 2x^{12} - 2x^{17} + 4x^{13} - 2x^9) \\
x^4 = 2x^{24} - 6x^{20} - 2x^{17} + 6x^{16} + 4x^{13} - 2x^9$$
Desnecessário dizer, a igualdade é falsa, logo não é solução.
d) A esperança
$$y = \sqrt[4]{(x^8 - x^4)} \\ \dfrac{d}{dx} [(x^8 - x^4)^{1/4}] = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/4}} = \dfrac{1}{4} (x^8 - x^4)^{-3/4} (8x^7 - 4x^3) \\ 2x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x} = 2x^7 - 2x^3 + x^3 = 2x^7 - 4x^3$$
E se as igualdades batem, a letra d é solução da equação. Ufa?
5. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y'' - xy' + y = 0?
a) y = x²
Felizmente muito mais fácil, né. Vejamos:
(x²)'' - x(x²)' + x² = (2x)' - x(2x) + x² = 2 - 2x² + x² = 2 - x²
O que não configura solução da equação.
b) y = x
(x)'' - x(x)' + x = (1)' - x(1) + x = 0 - x + x = 0
Logo, é solução.
c) y = 1 - x²
(1 - x²)'' - x(1 - x²)' + (1 - x²) = (-2x)' - x(-2x)' + 1 - x² = -2 + 2x² + 1 - x² = -1 + x²
O que não é solução.
d) y = 2x² - 2
(2x² - 2)'' - x(2x² - 2)' + (2x² - 2) = (4x)' - x(4x) + 2x² - 2 = 4 - 4x² + 2x² - 2 = 2 - 2x²
O que não é solução.
e) y = 0
(0)'' - x(0) + 0 = 0 - 0 + 0 = 0
É solução.
6. Solução de A.
$$A = x'' + 4x' + 4x = e^t$$
Essa é chatíssima, não recomendo. Mas é fácil, veja:
$$a) x = e^t \\ (e^t)'' + 4(e^t)' + 4e^t = (e^t)' + 4e^t + 4e^t = e^t + 4e^t + 4e^t = 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$b) x = e^{2t} \\ (e^{2t})'' + 4(e^{2t})' + 4e^{2t} = 2(e^{2t})' + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 4e^{2t} + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 16e^{2t} \neq e^{2t}$$
Logo, não é solução.
$$c) x = e^{2t} + e^t \\ (e^{2t} + e^t)'' + 4(e^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + e^t) = (2e^{2t} + e^t)' + 4(2e^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 4e^t = \\ (4e^{2t} + e^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4e^{2t} + 4e^t = 12e^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
$$d) x = te^{2t} + e^t \\ (te^{2t} + e^t)'' + 4(te^{2t} + e^t)' + 4(te^{2t} + e^t) = \\ (e^{2t} + 2te^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + 2te^{2t} + e^t) + 4te^{2t} + 4e^t = \\ (2e^{2t} + 2e^{2t} + 4te^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 8te^{2t} + 4e^t + 4te^{2t} + 4e^t = \\ 8e^{2t} + 16te^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$e) x = e^{2t} + te^t \\ (e^{2t} + te^t)'' + 4(e^{2t} + te^t)' + 4(e^{2t} + te^t) = \\ (2e^{2t} + e^t + te^t)' + 4(2e^{2t} + e^t + te^t) + 4e^{2t} + 4te^t = \\ (4e^{2t} + e^t + e^t + te^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4te^t + 4e^{2t} + 4te^t = \\ 16e^{2t} + 6e^t + 9te^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
7. Determine c de modo que y(x) = c(1-x²) satisfaça a condição:
a) y(0) = 1
É só substituir y e x. y, no caso, por 1; x, no caso, por 0. Não tem segredo:
1 = c(1-0²) = c, logo c = 1
b) y(1) = 0
$$0 = c(1-1^2) \\ c = \dfrac{0}{0}$$
Logo c é indeterminado.
8. Especifique c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x) satisfaça as condições indicadas. Determine se tais condições são condições iniciais ou de contorno.
a) y(0) = 1; y'(0) = 2
É só substituir, também.
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 1 \\ y(0) = c_2 = 1$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 2 \\ y'(0) = c_1 = 2$$
Todos os valores de x usados são o mesmo, as condições são iniciais.
$$b) y(\dfrac{\pi}{2}) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 2 \\ y = c_1 \sin{\dfrac{\pi}{2}} + c_2 \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 1 \\ y = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = 2 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = -c_2 = 2 \\ c_2 = -2$$
Condições iniciais pelo mesmo motivo.
$$c) y(0) = 1, y(\dfrac{\pi}{2}) = 1$$
Pro y(0) é só você repetir o processo que fez na letra A. Pro y(pi/2) só repetir o que fez na B.
Aí você encontra que c2 = 1 e c1 = 1.
Quanto a condição: os valores de x diferem, então é condição de contorno.
$$d) y'(0) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 1 \\ y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = -c_2 = 1 \\ c_2 = -1$$
Pelo mesmo motivo da anterior ele usa condições de contorno.
a) (y'') - 3yy' + xy = 0
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y, logo, y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x (não tem outra variável na equação), então, x.
b) t²s'' - ts' = 1 - sen(t)
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é s.
Variável independente: s está sendo derivada com relação a t.
c) $$\dfrac{d^2 x}{dy^2} = y^2 + 1$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é x.
Variável independente: x está sendo derivada com relação a y.
d) $$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{3/2} + y = x$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x.
e) $$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado uma vez, logo primeira ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é b.
Variável independente: b está sendo derivada com relação a p.
2. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 5y = 0?
Só sair testando, o resultado tem que dar 0:
a) y = 5
(5)' - 5(5) = 0 - 25 = -25
Logo, não é solução.
b) y = 5x
(5x)' - 5(5x) = 5 - 25x
Logo, não é solução.
c)
$$y = x^5 \\ (x^5)' - 5(x^5) = 5x^4 - 5x^5 \neq 0$$
Logo, não é solução.
d)
$$y = e^{5x} \\ (e^{5x})' - 5(e^{5x}) = 5e^{5x} - 5e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.
e)
$$y = 2e^{5x} \\ (2e^{5x})' - 5(2e^{5x}) = 2(5e^{5x}) - 10e^{5x} = 10e^{5x} - 10e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.
f)
$$y = 5e^{5x} \\ (5e^{5x})' - 5(5e^{5x}) = 5(5e^{5x}) - 25e^{5x} = 25e^{5x} - 25e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.
3. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 3y = 6?
a) y = -2
(-2)' - 3(-2) = 0 + 6 = 6
Logo, é solução.
b) y = 0
0' - 3(0) = 0 - 0 = 0
Logo, não é solução.
c)
$$y = e^{3x} - 2 \\ (e^{3x} - 2)' - 3(e^{3x} - 2) = 3e^{3x} - 3e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$
Logo, é solução.
d)
$$y = e^{2x} - 3 \\ (e^{2x} - 3)' - 3(e^{2x} - 3) = 2e^{2x} - 3e^{2x} + 9 = -e^{2x} + 9$$
Logo, não é solução.
e)
$$y = 4e^{3x} - 2 \\ (4e^{3x} - 2)' - 3(4e^{3x} - 2) = 12e^{3x} - 12e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$
Logo, é solução.
4. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial A?
$$A = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$
Essa é complicada. Vamos fazer o seguinte: está permitido passar os valores de um lado pro outro, se os dois lados se igualarem no final está certo. Então:
a) y = x
$$\dfrac{dx}{dx} = \dfrac{2x^4 + x^4}{x(x^3)} \\ 1 = \dfrac{3x^4}{x^4} = 3 \neq 1$$
Logo, não é solução.
b) Não sei se recomendo estudarem esse
$$y = x^8 - x^4 \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4] = \dfrac{2[x^8 - x^4]^4 + x^4}{x[x^8 - x^4]^3} \\ 8x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4)^4 + x^4}{x(x^8 - x^4)^3} \\ (8x^8 - 4x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8)(x^8 - x^4)^3 - 4(x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8) - 4(x^4) = 2(x^8 - x^4) + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 2x^8 - x^4 = \dfrac{(x^8 - x^4)}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 2 - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} = 1 \\ 2 = 1 + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 1 = \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 4 = \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4(x^8 - x^4)^3 = x^4 \\ 4(x^8 - x^4)^3 - x^4 = 0$$
E se isso não te provar que é ridículo isso ser solução geral pra equação, sugiro trocar o curso pra bacharel em matemática. De qualquer forma, um breve resumo informal do porque não é solução geral é que x a oitava vai ser sempre positivo então mesmo se por algum motivo mágico os x a quarta se anulassem, sobraria x^24 (x^8 garantidamente vai se multiplicar 3 vezes) positivo que, pra dar 0, só sendo x = 0.
c) Outro horrível
$$y = \sqrt{x^8 - x^4} \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4]^{1/2} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (x^8 - x^4)^{-1/2} \times (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^2} \\ (4x^7 - 2x^3) = 2 + \dfrac{x^3}{(x^8 - x^4)^2} \\ \dfrac{(4x^7 - 2x^3)}{(x^8 - x^4)} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ \dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4 - 2 = \dfrac{2x(x^8 - x^4)^2 + x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\ \dfrac{2x}{(x^8 - x^4)} + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\
2x + x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 \\
x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 - 2x \\
x^4 = (2x^8 - 2x^4 - 2x)(x^{16} - 2x^{12} + x^8) \\
x^4 = (2x^{24} - 4x^{20} + 2x^{16} - 2x^{20} + 4x^{16} - 2x^{12} - 2x^{17} + 4x^{13} - 2x^9) \\
x^4 = 2x^{24} - 6x^{20} - 2x^{17} + 6x^{16} + 4x^{13} - 2x^9$$
Desnecessário dizer, a igualdade é falsa, logo não é solução.
d) A esperança
$$y = \sqrt[4]{(x^8 - x^4)} \\ \dfrac{d}{dx} [(x^8 - x^4)^{1/4}] = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/4}} = \dfrac{1}{4} (x^8 - x^4)^{-3/4} (8x^7 - 4x^3) \\ 2x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x} = 2x^7 - 2x^3 + x^3 = 2x^7 - 4x^3$$
E se as igualdades batem, a letra d é solução da equação. Ufa?
5. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y'' - xy' + y = 0?
a) y = x²
Felizmente muito mais fácil, né. Vejamos:
(x²)'' - x(x²)' + x² = (2x)' - x(2x) + x² = 2 - 2x² + x² = 2 - x²
O que não configura solução da equação.
b) y = x
(x)'' - x(x)' + x = (1)' - x(1) + x = 0 - x + x = 0
Logo, é solução.
c) y = 1 - x²
(1 - x²)'' - x(1 - x²)' + (1 - x²) = (-2x)' - x(-2x)' + 1 - x² = -2 + 2x² + 1 - x² = -1 + x²
O que não é solução.
d) y = 2x² - 2
(2x² - 2)'' - x(2x² - 2)' + (2x² - 2) = (4x)' - x(4x) + 2x² - 2 = 4 - 4x² + 2x² - 2 = 2 - 2x²
O que não é solução.
e) y = 0
(0)'' - x(0) + 0 = 0 - 0 + 0 = 0
É solução.
6. Solução de A.
$$A = x'' + 4x' + 4x = e^t$$
Essa é chatíssima, não recomendo. Mas é fácil, veja:
$$a) x = e^t \\ (e^t)'' + 4(e^t)' + 4e^t = (e^t)' + 4e^t + 4e^t = e^t + 4e^t + 4e^t = 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$b) x = e^{2t} \\ (e^{2t})'' + 4(e^{2t})' + 4e^{2t} = 2(e^{2t})' + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 4e^{2t} + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 16e^{2t} \neq e^{2t}$$
Logo, não é solução.
$$c) x = e^{2t} + e^t \\ (e^{2t} + e^t)'' + 4(e^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + e^t) = (2e^{2t} + e^t)' + 4(2e^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 4e^t = \\ (4e^{2t} + e^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4e^{2t} + 4e^t = 12e^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
$$d) x = te^{2t} + e^t \\ (te^{2t} + e^t)'' + 4(te^{2t} + e^t)' + 4(te^{2t} + e^t) = \\ (e^{2t} + 2te^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + 2te^{2t} + e^t) + 4te^{2t} + 4e^t = \\ (2e^{2t} + 2e^{2t} + 4te^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 8te^{2t} + 4e^t + 4te^{2t} + 4e^t = \\ 8e^{2t} + 16te^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$e) x = e^{2t} + te^t \\ (e^{2t} + te^t)'' + 4(e^{2t} + te^t)' + 4(e^{2t} + te^t) = \\ (2e^{2t} + e^t + te^t)' + 4(2e^{2t} + e^t + te^t) + 4e^{2t} + 4te^t = \\ (4e^{2t} + e^t + e^t + te^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4te^t + 4e^{2t} + 4te^t = \\ 16e^{2t} + 6e^t + 9te^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
7. Determine c de modo que y(x) = c(1-x²) satisfaça a condição:
a) y(0) = 1
É só substituir y e x. y, no caso, por 1; x, no caso, por 0. Não tem segredo:
1 = c(1-0²) = c, logo c = 1
b) y(1) = 0
$$0 = c(1-1^2) \\ c = \dfrac{0}{0}$$
Logo c é indeterminado.
8. Especifique c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x) satisfaça as condições indicadas. Determine se tais condições são condições iniciais ou de contorno.
a) y(0) = 1; y'(0) = 2
É só substituir, também.
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 1 \\ y(0) = c_2 = 1$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 2 \\ y'(0) = c_1 = 2$$
Todos os valores de x usados são o mesmo, as condições são iniciais.
$$b) y(\dfrac{\pi}{2}) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 2 \\ y = c_1 \sin{\dfrac{\pi}{2}} + c_2 \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 1 \\ y = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = 2 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = -c_2 = 2 \\ c_2 = -2$$
Condições iniciais pelo mesmo motivo.
$$c) y(0) = 1, y(\dfrac{\pi}{2}) = 1$$
Pro y(0) é só você repetir o processo que fez na letra A. Pro y(pi/2) só repetir o que fez na B.
Aí você encontra que c2 = 1 e c1 = 1.
Quanto a condição: os valores de x diferem, então é condição de contorno.
$$d) y'(0) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 1 \\ y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = -c_2 = 1 \\ c_2 = -1$$
Pelo mesmo motivo da anterior ele usa condições de contorno.
domingo, 19 de agosto de 2012
[Cálculo Numérico] Aula 6: sistemas de numeração
Sistemas de Numeração
Surge com a necessidade de contar e tem seus primeiros sistemas relacionados com o homem primitivo.As primeiras contagens são relacionadas aos dedos da mão (sistema fingers). Com a necessidade de aumento é incorporado o sistema toes (dedos do pé) que leva ao surgimento dos sistemas decimais e vigesimais.
Os sistemas são utilizados para descrever o que chamamos de Sinais (eventos que ocorrem em relação a um determinado tempo).
Sinal Analógico
São sinais contínuos no tempo, neste tipo de sinal ocorre a passagem de um evento de forma suave e podem assumir qualquer valor.
Sinal Digital
São sinais descontínuos com valores discretos (não assumem qualquer valor).
Exemplo: imagine um termômetro digital e um analógico. Enquanto o digital retorna valores discretos, pode-se, com a utilização de uma lupa, devolver valores suaves para um termômetro analógico.
Os fenômenos físicos ocorrem todos com sinal analógico.
Contudo, os sinais digitais apresentam algumas vantagens:
- são mais fáceis de projetar;
- facilidade em seu armazenamento;
- menos suscetível a ruídos.
Descrição de Números
Todo sistema de numeração, seja ele digital ou analógico, segue um padrão de representação padrão. Este é dado por:$$... + XB^y + ...$$
Onde:
X = dado do sistema de numeração
B = base do sistema de numeração
Y = posição do dígito com relação a vírgula
Obs.: y = 0 para o primeiro dígito à esquerda da vírgula, y = -1 para o primeiro dígito à direita da vírgula.
$$\epsilon = 323841.52_{10} \\ 3*10^5 + 2*10^4 + 3*10^3 + 8*10^2 + 4*10^1 + 1*10^0 + 5*10^{-1} + 2*10^{-2}$$
Quando um número não apresenta indicativo de base a direita, sua base é 10.
Sistema Binário
São representados pela base 2 e apresentam apenas dois dígitos: 1 e 0. O sistema binário possui uma correspondência direta entre os sinais analógicos e digitais, uma vez que sua conversão ocorre de forma direta.Exemplo:
$$1001101_2 \\ 1*2^6 + 0*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = \\ 64+0+0+8+4+0+1 = 77_{10}$$
Ocorre assim a conversão de binário em decimal. Como realizar o processo inverso?
Duas maneiras:
1. Vá dividindo por 2 e coletando os restos. Exemplo: para 23 na base 10:
23/2 = 11, resto 1
11/2 = 5, resto 1
5/2 = 2, resto 1
2/2 = 1, resto 0
Agora veja bem: você pega o resultado da primeira divisão, 1, e vai acrescentando ao número os restos em ordem inversa (ou seja, nesse caso, de baixo pra cima). 23 em binário fica 10111.
2. Para até 8 bits, faça a seguinte fila:
1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256
Ou seja, 2 elevado a um número de 0 a 8. Aí é só localizar o número entre esses e analisar qual soma é necessária pra chegar a ele. Peguemos 23 novamente:
- ele está antes do 32 e depois do 16, então já convém pegar o 16;
- 16+8 = 24, passou de 23, não compensa pegar o 8. 16+4 = 20;
- 20+2 = 22;
- 22+1, 23.
1 - 2 - 4 - 8 - 16
1 - 1 - 1 - 0 - 1
Invertendo, temos 10111. O mesmo resultado usando a outra maneira. Essa é meio pior de explicar porque depende bastante da prática, mas é só ir pegado.
Números fracionários
$$1101.111_2$$
Agora você vai imaginar o seguinte: 2 elevado a -1 é 0.5, a -2 é 0.25, a -3 0.125, e a cada expoente n+1 você vai dividindo o resultado por 2 (lógico).
Mas a conversão em si de binário pra decimal é bem fácil. É só decompor os números normalmente:
$$1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^{-1} + 1*2^{-2} + 1*2^{-3} \\ 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 13 + 0.875 = 13.875$$
E essa foi a aula de sexta. Boa tarde a todos.
terça-feira, 14 de agosto de 2012
[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 4: solução e classificação de equações diferenciais
Bom, eu sei que tivemos uma infinidade de exercícios passados em uma lista, mas a entrega é segunda então a partir de terça-feira estará quentinho aqui. Mas deixarei em registro os exercícios que fizemos em sala, possivelmente ajudarão bastante.
1. A equação A é solução geral de y'' + 4y = 0?
A: $$y = c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}$$
Ok, simples pra caramba. Vamos pegar o y fornecido em A e substituir pelos y da equação passada, e ver se os lados se igualam.
$$(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x})'' + 4(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}) = 0 \\ (2c_1 \cos{2x} + 2c_2 \sin{2x})' + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0 \\ (-4c_1 \sin{2x} + 4c_2 \cos{2x}) + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0$$
Como vemos, os senos se anulam e os cossenos também. Logo, a expressão é verdadeira e a equação A é solução de y'' + 4y = 0.
2. A equação y = x² - 1 é solução geral de B?
B: $$(y')^4 + y^2 = -1$$
(vale a pena lembrar que estou usando isso de equação A, B, etc. por conveniência de formatação apenas)
Vamos fazer a mesma coisa: jogar x² - 1 em tudo que é y e ver se os resultados batem.
$$((x^2 - 1)')^4 + (x^2 - 1)^2 = -1 \\ (2x)^4 + (x^4 - 2x^2 + 1) = -1 \\ 16x^4 + x^4 - 2x^2 + 1 = -1 \\ 17x^4 - 2x^2 + 2 = -1$$
Só de bater o olho já dá pra perceber que x² - 1 não é solução geral de B. Dá pra passar -1 pro outro lado como +1 e fazer uma resolução de equação do segundo grau, mas será pra uma solução particular com valores particulares, não uma solução geral. Exercício resolvido.
3. Determine a ordem, função incógnita e variável independente das equações diferenciais abaixo: (vou postar uma forma alternativa sempre que achar necessário, pra ficar mais fácil de enxergar)
a) $$y''' - 5xy' = e^x + 1 \\ \dfrac{d^3 y}{dx^3} - 5x \dfrac{dy}{dx} = e^x + 1$$
O termo mais derivado é derivado três vezes, logo terceira ordem. Veja que a função derivada é y com relação a x (dy em cima, dx embaixo), logo a função incógnita é y e a variável independente é x.
b) $$ty'' + t^2 y' - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1 \\ t \dfrac{d^2 y}{dt^2} + t^2 \dfrac{dy}{dt} - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1$$
O termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem. A função derivada é y com relação a t, então função incógnita y e variável independente t.
c) $$s^2 \dfrac{d^2 t}{ds^2} + st \dfrac{dt}{ds} = s$$
(não creio ser necessário a forma alternativa porque acredito ser muito mais visível essa forma que a outra, com a função incógnita em cima e a variável independente embaixo e tal, apesar de nem sempre ser assim)
O termo mais derivado é derivado duas vezes, segunda ordem. A função derivada é t com relação a s, função incógnita t e variável independente s.
E foi só isso mesmo. Já está pronta a lista aqui, e não pretendo demorar a deixá-la pronta no blog também, postarei o mais cedo possível pra ter bastante conteúdo pra estudar pras provas... Já que essa é uma das três? matérias com provas que podem ser bem pesadas.
Vale a pena lembrar também que estamos só vendo como matéria específica algo que vimos generalizado no cálculo III, então pra esse começo o conteúdo desse blog de Cálculo Diferencial e Integral III ajudará muito.
1. A equação A é solução geral de y'' + 4y = 0?
A: $$y = c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}$$
Ok, simples pra caramba. Vamos pegar o y fornecido em A e substituir pelos y da equação passada, e ver se os lados se igualam.
$$(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x})'' + 4(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}) = 0 \\ (2c_1 \cos{2x} + 2c_2 \sin{2x})' + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0 \\ (-4c_1 \sin{2x} + 4c_2 \cos{2x}) + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0$$
Como vemos, os senos se anulam e os cossenos também. Logo, a expressão é verdadeira e a equação A é solução de y'' + 4y = 0.
2. A equação y = x² - 1 é solução geral de B?
B: $$(y')^4 + y^2 = -1$$
(vale a pena lembrar que estou usando isso de equação A, B, etc. por conveniência de formatação apenas)
Vamos fazer a mesma coisa: jogar x² - 1 em tudo que é y e ver se os resultados batem.
$$((x^2 - 1)')^4 + (x^2 - 1)^2 = -1 \\ (2x)^4 + (x^4 - 2x^2 + 1) = -1 \\ 16x^4 + x^4 - 2x^2 + 1 = -1 \\ 17x^4 - 2x^2 + 2 = -1$$
Só de bater o olho já dá pra perceber que x² - 1 não é solução geral de B. Dá pra passar -1 pro outro lado como +1 e fazer uma resolução de equação do segundo grau, mas será pra uma solução particular com valores particulares, não uma solução geral. Exercício resolvido.
3. Determine a ordem, função incógnita e variável independente das equações diferenciais abaixo: (vou postar uma forma alternativa sempre que achar necessário, pra ficar mais fácil de enxergar)
a) $$y''' - 5xy' = e^x + 1 \\ \dfrac{d^3 y}{dx^3} - 5x \dfrac{dy}{dx} = e^x + 1$$
O termo mais derivado é derivado três vezes, logo terceira ordem. Veja que a função derivada é y com relação a x (dy em cima, dx embaixo), logo a função incógnita é y e a variável independente é x.
b) $$ty'' + t^2 y' - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1 \\ t \dfrac{d^2 y}{dt^2} + t^2 \dfrac{dy}{dt} - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1$$
O termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem. A função derivada é y com relação a t, então função incógnita y e variável independente t.
c) $$s^2 \dfrac{d^2 t}{ds^2} + st \dfrac{dt}{ds} = s$$
(não creio ser necessário a forma alternativa porque acredito ser muito mais visível essa forma que a outra, com a função incógnita em cima e a variável independente embaixo e tal, apesar de nem sempre ser assim)
O termo mais derivado é derivado duas vezes, segunda ordem. A função derivada é t com relação a s, função incógnita t e variável independente s.
E foi só isso mesmo. Já está pronta a lista aqui, e não pretendo demorar a deixá-la pronta no blog também, postarei o mais cedo possível pra ter bastante conteúdo pra estudar pras provas... Já que essa é uma das três? matérias com provas que podem ser bem pesadas.
Vale a pena lembrar também que estamos só vendo como matéria específica algo que vimos generalizado no cálculo III, então pra esse começo o conteúdo desse blog de Cálculo Diferencial e Integral III ajudará muito.
quinta-feira, 9 de agosto de 2012
[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 3: revisão de integrais
Integrais simples
a)
$$\int x^8 dx = (\dfrac{1}{9} x^9) + C = \dfrac{x^9}{9} + C$$
b)
$$\int \dfrac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = (\dfrac{1}{-2} x^{-2}) = \dfrac{-1}{2x^2} + C$$
c)
$$\int \sqrt[3]{x^2} dx = \int x^{2/3} dx = (\dfrac{3}{5} x^{5/3}) = \dfrac{3 \sqrt[3]{x^5}}{5} + C$$
d)
$$\int (5x^3 + 2 \cos{x}) dx = 5 \int x^3 dx + 2 \int \cos{x} dx = 5 (\dfrac{1}{4}) x^4 + 2 \sin{x} = \\ \dfrac{5}{4} x^4 + 2 \sin{x} + C$$
e)
$$\int (8t^2 + 6e^t + \dfrac{1}{t})dt = 8 \int t^2 dt + 6 \int e^t dt + \int \dfrac{1}{t} dt = 8 (\dfrac{1}{3} t^3) + 6e^t + \ln{t} = \\ \dfrac{8}{3} t^3 + 6e^t + \ln{t} + C$$
f)
$$\int \dfrac{(x-1)^2}{x^2} dx = \int \dfrac{(x^2 - 2x + 1)}{x^2} dx = \int \dfrac{x^2}{x^2} dx - 2 \int \dfrac{x}{x^2} dx + \int \dfrac{1}{x^2} dx = \\ \int 1 dx - 2 \int \dfrac{1}{x} dx + \int x^{-2} dx = x - 2 \ln{x} + (-x^{-1}) = x - 2 \ln{x} - \dfrac{1}{x} + C$$
g)
$$\int \dfrac{\sin{x}}{\tan{x}} dx = \int \dfrac{\sin{x}}{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}} dx = \int \dfrac{\sin{x} \cos{x}}{\sin{x}} = \int \cos{x} dx = \sin{x} + C$$
Integrais por substituição
a)
$$\int (x^2 + 3x)^3 (2x + 3)dx \\ u = x^2 + 3x, du = (2x + 3)dx \\ \int u^3 du = \dfrac{1}{4} u^4 = \dfrac{1}{4} (x^2 + 3x)^4 + C$$
b)
$$\int \dfrac{5x}{(x^2 + 1)} dx \\ u = x^2 + 1, du = (2x)dx \\ \int \dfrac{5x}{u} \dfrac{du}{2x} = \dfrac{5}{2} \int \dfrac{1}{u} du = \dfrac{5}{2} \ln{|u|} = \dfrac{5}{2} \ln{|(x^2 + 1)|} + C$$
c)
$$\int \dfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 - 2x^3}} dx = \int x^2 ((1 - 2x^3)^{-1/3} dx \\ u = 1 - 2x^3, du = (-6x^2)dx \\ \int x^2 u^{-1/3} \dfrac{du}{-6x^2} = \dfrac{-1}{6} \int u^{-1/3} du = \\ \dfrac{-1}{6} (\dfrac{3}{2} u^{2/3}) = - \dfrac{3}{12} (1 - 2x^3)^{2/3} = - \dfrac{1}{4} \sqrt[3]{(1 - 2x^3)^2} + C$$
d)
$$\int 2e^{-x} dx \\ u = -x, du = (-1)dx \\ 2 \int e^u \dfrac{du}{-1} = -2e^u = -2e^{-x} + C$$
e)
$$\int \sin{3x} dx \\ u = 3x, du = 3dx \\ \sin{u} \dfrac{du}{3} = - \dfrac{1}{3} \cos{3x} + C$$
f)
$$\int 2x \cos{x^2} dx \\ u = x^2, du = (2x)dx \\ \int \cos{u} du = \sin{u} = \sin{x^2} + C$$
g)
$$\int \sin{x} \cos{x} dx \\ u = \sin{x}, du = \cos{x} dx \\ \int u du = \dfrac{1}{2} u^2 = \dfrac{1}{2} \sin^2 {x} + C$$
Integrais por partes
a)
$$\int x \ln{x} dx \\ u = \ln{x}, du = \dfrac{1}{x}, dv = (x)dx, v = \dfrac{x^2}{2} \\ \int x \ln{x} dx = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \int \dfrac{1}{2} x^2 \dfrac{1}{x} dx = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{1}{2} \int x dx = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{2} x^2) = \\ \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{x^2}{2} (\ln{x} - \dfrac{1}{2})$$
b)
$$\int x \sin{x} dx \\ u = x, du = 1, dv = \sin{x} dx, v = - \cos{x} \\ \int x \sin{x} dx = x (- \cos{x}) - \int (- \cos{x})*1 dx = \\ -x \cos{x} + \int \cos{x} dx = -x \cos{x} + \sin{x} + C$$
c)
$$\int xe^{2x} dx \\ u = x, du = 1, dv = e^{2x} dx, v = \dfrac{e^{2x}}{2} \\ \int xe^{2x} dx = x (\dfrac{e^{2x}}{2}) - \int \dfrac{e^{2x}}{2} dx = \dfrac{xe^{2x}}{2} - \dfrac{1}{2} \dfrac{e^{2x}}{2} = \dfrac{xe^{2x}}{2} - \dfrac{e^{2x}}{4} = \dfrac{e^{2x}}{2} (x - \dfrac{1}{4}) + C$$
d) Integral cíclica (vou sempre pegar os números de Euler como u e as trigonométricas como v)
$$\int e^{x} \cos{x} dx = e^{x} \sin{x} - \int e^{x} \sin{x} dx = e^{x} \sin{x} - [e^{x} (- \cos{x}) - \int (- \cos{x}) e^{x} dx] = \\ e^{x} \sin{x} - [-e^x \cos{x} + \int e^{x} \cos{x} dx] = e^{x} \sin{x} + e^x \cos{x} - \int e^{x} \cos{x} dx \\ 2 \int e^{x} \cos{x} dx = e^{x} \sin{x} + e^x \cos{x} \\ \int e^{x} \cos{x} dx = \dfrac{1}{2} (e^{x} \sin{x} + e^{x} \cos{x}) = \dfrac{e^x}{2} (\sin{x} + \cos{x}) + C$$
e)
$$\int x^2 e^{-x} dx \\ u = x^2, du = 2x, dv = e^{-x} dx, v = -e^{-x} \\ \int x^2 e^{-x} dx = x^2 (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) 2x dx = -x^2 e^{-x} + \int e^{-x} 2x dx \\ u = 2x, du = 2, dv = e^{-x} dx, v = -e^{-x} \\ -x^2 e^{-x} + [2x (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) 2 dx] = -x^2 e^{-x} + [-2xe^{-x} + 2 \int e^{-x} dx] = \\ -x^2 e^{-x} + [-2xe^{-x} - 2e^{-x}] = -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} = \\ -e^{-x} (x^2 + 2x + 2)$$
É isso aí, galera. Acho que agora não tem mais como enrolar e vamos voltar a ver EDOs, mas só vendo pra saber. Boa noite a todos.
a)
$$\int x^8 dx = (\dfrac{1}{9} x^9) + C = \dfrac{x^9}{9} + C$$
b)
$$\int \dfrac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = (\dfrac{1}{-2} x^{-2}) = \dfrac{-1}{2x^2} + C$$
c)
$$\int \sqrt[3]{x^2} dx = \int x^{2/3} dx = (\dfrac{3}{5} x^{5/3}) = \dfrac{3 \sqrt[3]{x^5}}{5} + C$$
d)
$$\int (5x^3 + 2 \cos{x}) dx = 5 \int x^3 dx + 2 \int \cos{x} dx = 5 (\dfrac{1}{4}) x^4 + 2 \sin{x} = \\ \dfrac{5}{4} x^4 + 2 \sin{x} + C$$
e)
$$\int (8t^2 + 6e^t + \dfrac{1}{t})dt = 8 \int t^2 dt + 6 \int e^t dt + \int \dfrac{1}{t} dt = 8 (\dfrac{1}{3} t^3) + 6e^t + \ln{t} = \\ \dfrac{8}{3} t^3 + 6e^t + \ln{t} + C$$
f)
$$\int \dfrac{(x-1)^2}{x^2} dx = \int \dfrac{(x^2 - 2x + 1)}{x^2} dx = \int \dfrac{x^2}{x^2} dx - 2 \int \dfrac{x}{x^2} dx + \int \dfrac{1}{x^2} dx = \\ \int 1 dx - 2 \int \dfrac{1}{x} dx + \int x^{-2} dx = x - 2 \ln{x} + (-x^{-1}) = x - 2 \ln{x} - \dfrac{1}{x} + C$$
g)
$$\int \dfrac{\sin{x}}{\tan{x}} dx = \int \dfrac{\sin{x}}{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}} dx = \int \dfrac{\sin{x} \cos{x}}{\sin{x}} = \int \cos{x} dx = \sin{x} + C$$
Integrais por substituição
a)
$$\int (x^2 + 3x)^3 (2x + 3)dx \\ u = x^2 + 3x, du = (2x + 3)dx \\ \int u^3 du = \dfrac{1}{4} u^4 = \dfrac{1}{4} (x^2 + 3x)^4 + C$$
b)
$$\int \dfrac{5x}{(x^2 + 1)} dx \\ u = x^2 + 1, du = (2x)dx \\ \int \dfrac{5x}{u} \dfrac{du}{2x} = \dfrac{5}{2} \int \dfrac{1}{u} du = \dfrac{5}{2} \ln{|u|} = \dfrac{5}{2} \ln{|(x^2 + 1)|} + C$$
c)
$$\int \dfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 - 2x^3}} dx = \int x^2 ((1 - 2x^3)^{-1/3} dx \\ u = 1 - 2x^3, du = (-6x^2)dx \\ \int x^2 u^{-1/3} \dfrac{du}{-6x^2} = \dfrac{-1}{6} \int u^{-1/3} du = \\ \dfrac{-1}{6} (\dfrac{3}{2} u^{2/3}) = - \dfrac{3}{12} (1 - 2x^3)^{2/3} = - \dfrac{1}{4} \sqrt[3]{(1 - 2x^3)^2} + C$$
d)
$$\int 2e^{-x} dx \\ u = -x, du = (-1)dx \\ 2 \int e^u \dfrac{du}{-1} = -2e^u = -2e^{-x} + C$$
e)
$$\int \sin{3x} dx \\ u = 3x, du = 3dx \\ \sin{u} \dfrac{du}{3} = - \dfrac{1}{3} \cos{3x} + C$$
f)
$$\int 2x \cos{x^2} dx \\ u = x^2, du = (2x)dx \\ \int \cos{u} du = \sin{u} = \sin{x^2} + C$$
g)
$$\int \sin{x} \cos{x} dx \\ u = \sin{x}, du = \cos{x} dx \\ \int u du = \dfrac{1}{2} u^2 = \dfrac{1}{2} \sin^2 {x} + C$$
Integrais por partes
a)
$$\int x \ln{x} dx \\ u = \ln{x}, du = \dfrac{1}{x}, dv = (x)dx, v = \dfrac{x^2}{2} \\ \int x \ln{x} dx = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \int \dfrac{1}{2} x^2 \dfrac{1}{x} dx = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{1}{2} \int x dx = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{2} x^2) = \\ \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{x^2}{2} (\ln{x} - \dfrac{1}{2})$$
b)
$$\int x \sin{x} dx \\ u = x, du = 1, dv = \sin{x} dx, v = - \cos{x} \\ \int x \sin{x} dx = x (- \cos{x}) - \int (- \cos{x})*1 dx = \\ -x \cos{x} + \int \cos{x} dx = -x \cos{x} + \sin{x} + C$$
c)
$$\int xe^{2x} dx \\ u = x, du = 1, dv = e^{2x} dx, v = \dfrac{e^{2x}}{2} \\ \int xe^{2x} dx = x (\dfrac{e^{2x}}{2}) - \int \dfrac{e^{2x}}{2} dx = \dfrac{xe^{2x}}{2} - \dfrac{1}{2} \dfrac{e^{2x}}{2} = \dfrac{xe^{2x}}{2} - \dfrac{e^{2x}}{4} = \dfrac{e^{2x}}{2} (x - \dfrac{1}{4}) + C$$
d) Integral cíclica (vou sempre pegar os números de Euler como u e as trigonométricas como v)
$$\int e^{x} \cos{x} dx = e^{x} \sin{x} - \int e^{x} \sin{x} dx = e^{x} \sin{x} - [e^{x} (- \cos{x}) - \int (- \cos{x}) e^{x} dx] = \\ e^{x} \sin{x} - [-e^x \cos{x} + \int e^{x} \cos{x} dx] = e^{x} \sin{x} + e^x \cos{x} - \int e^{x} \cos{x} dx \\ 2 \int e^{x} \cos{x} dx = e^{x} \sin{x} + e^x \cos{x} \\ \int e^{x} \cos{x} dx = \dfrac{1}{2} (e^{x} \sin{x} + e^{x} \cos{x}) = \dfrac{e^x}{2} (\sin{x} + \cos{x}) + C$$
e)
$$\int x^2 e^{-x} dx \\ u = x^2, du = 2x, dv = e^{-x} dx, v = -e^{-x} \\ \int x^2 e^{-x} dx = x^2 (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) 2x dx = -x^2 e^{-x} + \int e^{-x} 2x dx \\ u = 2x, du = 2, dv = e^{-x} dx, v = -e^{-x} \\ -x^2 e^{-x} + [2x (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) 2 dx] = -x^2 e^{-x} + [-2xe^{-x} + 2 \int e^{-x} dx] = \\ -x^2 e^{-x} + [-2xe^{-x} - 2e^{-x}] = -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} = \\ -e^{-x} (x^2 + 2x + 2)$$
É isso aí, galera. Acho que agora não tem mais como enrolar e vamos voltar a ver EDOs, mas só vendo pra saber. Boa noite a todos.
terça-feira, 7 de agosto de 2012
[Física Experimental] Aula 2: erros de medição
Ok, hoje tivemos bastante matéria nova, então trarei aqui uma síntese do que nos foi passado e todos os "exercícios" (de certa forma foram mesmo exercícios) também. Claro, a parte de cálculos, o resto o professor disponibiliza tudo no slide bonitinho que é muito melhor que eu explicando do meu jeito enrolado.
As equações usadas:
1. Valor médio.
$$V_{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x}{n}$$
2. Desvio absoluto.
$$\delta_a = |V_m - V_{ex}|$$
3. Valor medido.
$$V_{mdo} = |V_m \pm \delta_m|$$
4. Desvio médio.
$$\delta_{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} \delta_{ai}}{n}$$
5. Erro relativo.
$$\delta_R = \dfrac{\delta_a}{V_m} \times 100\%$$
Não chegamos a usar operações básicas com erros então deixo as fórmulas pra um momento mais apropriado. Todas essas estão nos slides, estou deixando essas porque é uma justificativa para o que usaremos a seguir.
Tivemos que montar uma tabela com os seguintes valores experimentais:
Ok? Primeiro, calculemos o valor médio. Feito isso, teremos os valores para jogar na equação dos desvios absolutos. E tendo o desvio absoluto, podemos calcular o desvio médio, que é o que usaremos junto com o valor médio para descobrir aquele desvio relativo no final da tabela. Um leva ao outro, não tem erro - piadas infames de lado.
À média:
$$V_m = \dfrac{5.84 + 5.90 + 5.80 + 5.82 + 5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.83 + 5.84 + 5.83}{10} = \dfrac{58.36}{10} \\ V_m = 5.836 \approx 5.84$$
Lembrando que aqui vamos sempre arredondar para ter duas casas decimais e seguir o padrão proposto até agora. Atualizando a tabela:
O próximo passo é descobrir os desvios absolutos. São dez desvios, mais o médio, que faremos com facilidade efetuando a soma de todos os desvios e dividindo por 10.
$$\delta_{a1} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a2} = |5.84 - 5.90| = 0.06 \\ \delta_{a3} = |5.84 - 5.80| = 0.04 \\ \delta_{a4} = |5.84 - 5.82| = 0.02 \\ \delta_{a5} = |5.84 - 5.81| = 0.03 \\ \delta_{a6} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a7} = |5.84 - 5.85| = 0.01 \\ \delta_{a8} = |5.84 - 5.83| = 0.01 \\ \delta_{a9} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a10} = |5.84 - 5.83| = 0.01$$
Agora para o desvio médio:
$$\delta_m = \dfrac{0.00 + 0.06 + 0.04 + 0.02 + 0.03 + 0.00 + 0.01 + 0.01 + 0.00 + 0.01}{10} = \dfrac{0.18}{10} = \\ \delta_m = 0.018 \approx 0.02$$
E agora por fim os erros relativos:
$$\delta_{R1} = \delta_{R6} = \delta_{R9} = \dfrac{0}{5.84} \times 100\% = 0 \times 100\% = 0.00\% \\ \delta_{R2} = \dfrac{0.06}{5.84} \times 100\% \approx 0.0103 \times 100\% = 1.03\% \\ \delta_{R3} = \dfrac{0.04}{5.84} \approx 0.0068 \times 100\% \approx 0.68\% \\ \delta_{R4} = \delta_{Rm} = \dfrac{0.02}{5.84} \times 100\% \approx 0.0034 \times 100\% = 0.34\% \\ \delta_{R5} = \dfrac{0.03}{5.84} \times 100\% \approx 0.0051 \times 100\% = 0.51\% \\ \delta_{R7} = \delta_{R8} = \delta_{R10} = \dfrac{0.01}{5.84} \times 100\% \approx 0.0017 \times 100\% = 0.17\%$$
Colocando tudo na tabela:
O resto era questão de arredondamento de algarismos significativos. Mais uma vez, coisa simples. Como não vou usar LaTeX e sim texto normal usarei o símbolo de igual mesmo, mas fica claro que estamos aproximando valores. É que será um recurso útil pra deixar em negrito os mais importantes e deixar catalogada aquela regrinha de arredondamento passada:
a) 2.75 = 2.8
b) 2.49 = 2.5
c) 3.95 = 4.0
d) 4.0501 = 4.1
e) 7.95002 = 8.0
f) 6.95 = 7.0
g) 7.849 = 7.8
h) 3.45 = 3.4
Os dois negritados nos levam àquela regra que o professor passou no quadro:
"Se o dígito a ser eliminado for 5, temos os seguintes casos:
- se o antecessor for par, continua par;
- se o antecessor for ímpar, vira par (ou seja, logicamente, é arredondado pra cima);"
E é isso aí. Não sei dizer se vou colocar muita coisa disso de física experimental porque será mais relatório, e relatório é pessoal, mas o que tiver de matéria mais suave assim é bom postar pra ter referência.
Boa noite a todos.
As equações usadas:
1. Valor médio.
$$V_{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x}{n}$$
2. Desvio absoluto.
$$\delta_a = |V_m - V_{ex}|$$
3. Valor medido.
$$V_{mdo} = |V_m \pm \delta_m|$$
4. Desvio médio.
$$\delta_{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} \delta_{ai}}{n}$$
5. Erro relativo.
$$\delta_R = \dfrac{\delta_a}{V_m} \times 100\%$$
Não chegamos a usar operações básicas com erros então deixo as fórmulas pra um momento mais apropriado. Todas essas estão nos slides, estou deixando essas porque é uma justificativa para o que usaremos a seguir.
Tivemos que montar uma tabela com os seguintes valores experimentais:
- 5.84
- 5.90
- 5.80
- 5.82
- 5.81
- 5.84
- 5.85
- 5.83
- 5.84
- 5.83
| Medida | $$V_{exp} (cm)$$ | $$\delta_a (cm)$$ | $$\delta_R (\%)$$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 5.84 | ||
| 2 | 5.90 | ||
| 3 | 5.80 | ||
| 4 | 5.82 | ||
| 5 | 5.81 | ||
| 6 | 5.84 | ||
| 7 | 5.85 | ||
| 8 | 5.83 | ||
| 9 | 5.84 | ||
| 10 | 5.83 | ||
| Média |
À média:
$$V_m = \dfrac{5.84 + 5.90 + 5.80 + 5.82 + 5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.83 + 5.84 + 5.83}{10} = \dfrac{58.36}{10} \\ V_m = 5.836 \approx 5.84$$
Lembrando que aqui vamos sempre arredondar para ter duas casas decimais e seguir o padrão proposto até agora. Atualizando a tabela:
| Medida | $$V_{exp} (cm)$$ | $$\delta_a (cm)$$ | $$\delta_R$$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 5.84 | ||
| 2 | 5.90 | ||
| 3 | 5.80 | ||
| 4 | 5.82 | ||
| 5 | 5.81 | ||
| 6 | 5.84 | ||
| 7 | 5.85 | ||
| 8 | 5.83 | ||
| 9 | 5.84 | ||
| 10 | 5.83 | ||
| Média | 5.84 |
$$\delta_{a1} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a2} = |5.84 - 5.90| = 0.06 \\ \delta_{a3} = |5.84 - 5.80| = 0.04 \\ \delta_{a4} = |5.84 - 5.82| = 0.02 \\ \delta_{a5} = |5.84 - 5.81| = 0.03 \\ \delta_{a6} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a7} = |5.84 - 5.85| = 0.01 \\ \delta_{a8} = |5.84 - 5.83| = 0.01 \\ \delta_{a9} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a10} = |5.84 - 5.83| = 0.01$$
Agora para o desvio médio:
$$\delta_m = \dfrac{0.00 + 0.06 + 0.04 + 0.02 + 0.03 + 0.00 + 0.01 + 0.01 + 0.00 + 0.01}{10} = \dfrac{0.18}{10} = \\ \delta_m = 0.018 \approx 0.02$$
| Medida | $$V_{exp} (cm)$$ | $$\delta_a (cm)$$ | $$\delta_R$$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 5.84 | 0.00 | |
| 2 | 5.90 | 0.06 | |
| 3 | 5.80 | 0.04 | |
| 4 | 5.82 | 0.02 | |
| 5 | 5.81 | 0.03 | |
| 6 | 5.84 | 0.00 | |
| 7 | 5.85 | 0.01 | |
| 8 | 5.83 | 0.01 | |
| 9 | 5.84 | 0.00 | |
| 10 | 5.83 | 0.01 | |
| Média | 5.84 | 0.02 |
$$\delta_{R1} = \delta_{R6} = \delta_{R9} = \dfrac{0}{5.84} \times 100\% = 0 \times 100\% = 0.00\% \\ \delta_{R2} = \dfrac{0.06}{5.84} \times 100\% \approx 0.0103 \times 100\% = 1.03\% \\ \delta_{R3} = \dfrac{0.04}{5.84} \approx 0.0068 \times 100\% \approx 0.68\% \\ \delta_{R4} = \delta_{Rm} = \dfrac{0.02}{5.84} \times 100\% \approx 0.0034 \times 100\% = 0.34\% \\ \delta_{R5} = \dfrac{0.03}{5.84} \times 100\% \approx 0.0051 \times 100\% = 0.51\% \\ \delta_{R7} = \delta_{R8} = \delta_{R10} = \dfrac{0.01}{5.84} \times 100\% \approx 0.0017 \times 100\% = 0.17\%$$
Colocando tudo na tabela:
| Medida | $$V_{exp} (cm)$$ | $$\delta_a (cm)$$ | $$\delta_R$$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 5.84 | 0.00 | 0.00% |
| 2 | 5.90 | 0.06 | 1.03% |
| 3 | 5.80 | 0.04 | 0.68% |
| 4 | 5.82 | 0.02 | 0.34% |
| 5 | 5.81 | 0.03 | 0.51% |
| 6 | 5.84 | 0.00 | 0.00% |
| 7 | 5.85 | 0.01 | 0.17% |
| 8 | 5.83 | 0.01 | 0.17% |
| 9 | 5.84 | 0.00 | 0.00% |
| 10 | 5.83 | 0.01 | 0.17% |
| Média | 5.84 | 0.02 | 0.34% |
O resto era questão de arredondamento de algarismos significativos. Mais uma vez, coisa simples. Como não vou usar LaTeX e sim texto normal usarei o símbolo de igual mesmo, mas fica claro que estamos aproximando valores. É que será um recurso útil pra deixar em negrito os mais importantes e deixar catalogada aquela regrinha de arredondamento passada:
a) 2.75 = 2.8
b) 2.49 = 2.5
c) 3.95 = 4.0
d) 4.0501 = 4.1
e) 7.95002 = 8.0
f) 6.95 = 7.0
g) 7.849 = 7.8
h) 3.45 = 3.4
Os dois negritados nos levam àquela regra que o professor passou no quadro:
"Se o dígito a ser eliminado for 5, temos os seguintes casos:
- se o antecessor for par, continua par;
- se o antecessor for ímpar, vira par (ou seja, logicamente, é arredondado pra cima);"
E é isso aí. Não sei dizer se vou colocar muita coisa disso de física experimental porque será mais relatório, e relatório é pessoal, mas o que tiver de matéria mais suave assim é bom postar pra ter referência.
Boa noite a todos.
segunda-feira, 6 de agosto de 2012
[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 2: revisão de derivadas
Boa noite, galera. Como tivemos que resolver nossos primeiros exercícios, por mais fáceis que eles sejam, aqui apareço para deixar suas resoluções matemáticas (não creio que haja como ficar explicando passo-a-passo como se deriva, nem mesmo sei como) pra todo mundo.
Parte 1: derivadas simples
$$y = t^5 - t^4 + 6 \\ y' = (t^5)' - (t^4)' + (6)' = 5t^4 - 4t^3 + 0 = 5t^4 - 4t^3$$
$$y = 2t - \dfrac{1}{t^2} + \sin{t} \\ y' = (2t)' - (t^{-2})' + (\sin{t})' = 2 - (-2t^{-3}) + \cos{t} = 2 + \dfrac{2}{t^3} + \cos{t}$$
$$y = \dfrac{\sqrt{t}}{2} + \ln{t} \\ y' = (\dfrac{1}{2} t^{1/2})' + (\ln{t})' = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{2} t^{-1/2} + \dfrac{1}{|t|} = \dfrac{1}{4t^{1/2}} + \dfrac{1}{|t|} = \dfrac{1}{4 \sqrt{t}} + \dfrac{1}{|t|}$$
$$f(t) = e^t \sin{t} \\ f'(t) = (e^t)' \sin{t} + e^t (\sin{t})' = e^t \sin{t} + e^t \cos{t}$$
$$y = \dfrac{x^2 - 1}{x + 3} \\ y' = \dfrac{(x^2 - 1)' (x + 3) - (x^2 - 1) (x+3)'}{(x+3)^2} = \dfrac{(2x)(x + 3) - (x^2 - 1)(1)}{(x+3)^2} \\ = \dfrac{2x^2 + 6x - x^2 + 1}{(x+3)^2} = \dfrac{x^2 + 6x + 1}{(x+3)^2}$$
$$y = \tan{z} \\ y' = (\dfrac{\sin{z}}{\cos{z}})' = (\sin{z} \cos^{-1}{z})' = (\sin{z})' \cos^{-1}{z} + \sin{z} (\cos^{-1}{z})' = \\ \dfrac{\cos{z}}{\cos{z}} + \sin{z} [(-1)(\cos^{-2}{z}) \times \sin{z}] = \\ 1 - (\sin{z}) (\cos^{-2}{z}) (\sin{z}) = 1 - \dfrac{\sin^2 {z}}{\cos^2 {z}} = 1 - \tan^2 {z}$$
Parte 2: regra da cadeia (destaquei entre colchetes o que é a derivada "de fora", e o que é a derivada "de dentro")
$$f(x) = (x^2 - 5x + 1)^4 \\ f'(x) = [2x - 5][4(x^2 -5x + 1)^3] = (8x - 20)(x^2 - 5x + 1)^3$$
$$f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \\ f'(x) = ((x^2 - 4)^{1/2})' = [2x][\dfrac{1}{2} (x^2 - 4)^{-1/2}] = x(x^2 - 4)^{-1/2} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$$
$$y = \dfrac{2}{(3x+7)^5} \\ y' = (2(3x+7)^{-5})' = 2[3][(-5)(3x+7)^{-6}] = \dfrac{-30}{(3x+7)^6}$$
$$y = \sin{3x} \\ y' = [3][\cos{3x}] = 3 \cos{3x}$$
$$y = e^{2x} \\ y' = [2][e^{2x}] = 2e^{2x}$$
$$y = \ln{2x} \\ y' = [2][\dfrac{1}{|x|}] = \dfrac{2}{|x|}$$
$$y = \ln{\dfrac{x}{x+1}} \\ y' = (\ln{x} - \ln{x+1})' = (\ln{x})' - (\ln{x+1})' = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$$
E esses foram todos os exercícios passados. Pode ajudar alguns a revisarem porque o professor não chegou a resolver todos os de regra da cadeia, e sei que lááááááá do primeiro semestre ainda tem gente que tem dúvida como funciona.
É uma resolução bem boba e puramente matemática, eu sei, pode não estar muito detalhada de fato. Sintam-se livres pra perguntar qualquer coisa e bem-vindos de volta.
Parte 1: derivadas simples
$$y = t^5 - t^4 + 6 \\ y' = (t^5)' - (t^4)' + (6)' = 5t^4 - 4t^3 + 0 = 5t^4 - 4t^3$$
$$y = 2t - \dfrac{1}{t^2} + \sin{t} \\ y' = (2t)' - (t^{-2})' + (\sin{t})' = 2 - (-2t^{-3}) + \cos{t} = 2 + \dfrac{2}{t^3} + \cos{t}$$
$$y = \dfrac{\sqrt{t}}{2} + \ln{t} \\ y' = (\dfrac{1}{2} t^{1/2})' + (\ln{t})' = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{2} t^{-1/2} + \dfrac{1}{|t|} = \dfrac{1}{4t^{1/2}} + \dfrac{1}{|t|} = \dfrac{1}{4 \sqrt{t}} + \dfrac{1}{|t|}$$
$$f(t) = e^t \sin{t} \\ f'(t) = (e^t)' \sin{t} + e^t (\sin{t})' = e^t \sin{t} + e^t \cos{t}$$
$$y = \dfrac{x^2 - 1}{x + 3} \\ y' = \dfrac{(x^2 - 1)' (x + 3) - (x^2 - 1) (x+3)'}{(x+3)^2} = \dfrac{(2x)(x + 3) - (x^2 - 1)(1)}{(x+3)^2} \\ = \dfrac{2x^2 + 6x - x^2 + 1}{(x+3)^2} = \dfrac{x^2 + 6x + 1}{(x+3)^2}$$
$$y = \tan{z} \\ y' = (\dfrac{\sin{z}}{\cos{z}})' = (\sin{z} \cos^{-1}{z})' = (\sin{z})' \cos^{-1}{z} + \sin{z} (\cos^{-1}{z})' = \\ \dfrac{\cos{z}}{\cos{z}} + \sin{z} [(-1)(\cos^{-2}{z}) \times \sin{z}] = \\ 1 - (\sin{z}) (\cos^{-2}{z}) (\sin{z}) = 1 - \dfrac{\sin^2 {z}}{\cos^2 {z}} = 1 - \tan^2 {z}$$
Parte 2: regra da cadeia (destaquei entre colchetes o que é a derivada "de fora", e o que é a derivada "de dentro")
$$f(x) = (x^2 - 5x + 1)^4 \\ f'(x) = [2x - 5][4(x^2 -5x + 1)^3] = (8x - 20)(x^2 - 5x + 1)^3$$
$$f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \\ f'(x) = ((x^2 - 4)^{1/2})' = [2x][\dfrac{1}{2} (x^2 - 4)^{-1/2}] = x(x^2 - 4)^{-1/2} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$$
$$y = \dfrac{2}{(3x+7)^5} \\ y' = (2(3x+7)^{-5})' = 2[3][(-5)(3x+7)^{-6}] = \dfrac{-30}{(3x+7)^6}$$
$$y = \sin{3x} \\ y' = [3][\cos{3x}] = 3 \cos{3x}$$
$$y = e^{2x} \\ y' = [2][e^{2x}] = 2e^{2x}$$
$$y = \ln{2x} \\ y' = [2][\dfrac{1}{|x|}] = \dfrac{2}{|x|}$$
$$y = \ln{\dfrac{x}{x+1}} \\ y' = (\ln{x} - \ln{x+1})' = (\ln{x})' - (\ln{x+1})' = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$$
E esses foram todos os exercícios passados. Pode ajudar alguns a revisarem porque o professor não chegou a resolver todos os de regra da cadeia, e sei que lááááááá do primeiro semestre ainda tem gente que tem dúvida como funciona.
É uma resolução bem boba e puramente matemática, eu sei, pode não estar muito detalhada de fato. Sintam-se livres pra perguntar qualquer coisa e bem-vindos de volta.
terça-feira, 10 de julho de 2012
Portfolio I Capítulo 22 - Física Geral II
Capítulo 22 - Campo elétrico
1. Na figura, as linhas do campo elétrico do lado esquerdo têm uma separação duas vezes maior que as linhas do lado direito.
a) Se o módulo do campo elétrico no ponto A é 40N/C, qual é o módulo da força a que é submetido um próton no ponto A?
b) Qual é o módulo do campo elétrico no ponto B?
Esse exercício deve ser o único realmente fácil do capítulo 22, junto com o 5. Inclusive, esse é realmente fácil. Só precisamos saber de duas informações para resolver a A:
$$F = Eq \\
q_{p} = 1.6*10^{-19}C$$
No caso, que a força é igual ao campo elétrico vezes a carga inserida e que a carga de um próton é de 1.6 vezes 10 a -19 Coulombs positivo. Se temos o módulo do campo elétrico e temos a carga, resolver a força é bem fácil:
$$F = (40N/C) * 1.6*10^{-19}C = 64*10^{-19}N$$
Para a B, é só saber que, no campo elétrico, quanto maior a distância entre as linhas de campo, menor é seu módulo. Como a distância entre as linhas de campo no ponto B é o dobro da distância de no ponto A:
$$E_b = \dfrac{E_a}{2} = \dfrac{40N/C}{2} = 20N/C$$
Resolvido.
5. O núcleo de um átomo de plutônio-239 contém 94 prótons. Suponha que o núcleo é uma esfera com 6.64fm de raio e que a carga dos prótons está distribuída uniformemente nessa esfera. Determine:
a) o módulo;
b) o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo.
Primeiro, vamos analisar as informações que temos:
$$q = 94*1.6*10^{-19}C = 150.4*10^{-19}C \\
r = 6.64*10^{-15}m$$
No caso, a carga do plutônio é a carga contida em 94 prótons, e o raio da esfera é igual a 6.64 vezes 10 a -15 metros.
Para determinar o módulo do campo elétrico, temos a seguinte equação:
$$E = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q}{d^2} = 8.99*10^9 Nm^2/C^2 * \dfrac{150.4*10^{-19}C}{6.64*10^{-15}m}^2 = \dfrac{1352.096*10^{-10} Nm^2/C}{44.0896*10^{-30}m^2} \\
\approx 30.667*10^{20} N/C$$
Bem-respondida está a letra A.
Quanto a letra B, não tem o que equacionar. A carga do próton é positiva, então o campo elétrico produzido pelos prótons é divergente, ou seja, para fora.
6. Duas partículas são mantidas fixas sobre o eixo x: a partícula 1, de carga q1 no ponto x = 6.00cm, e a partícula q2 no ponto x = 21.0cm. Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas, em termos dos vetores unitários?
$$q_1 = -2.00*10^{-7}C \\
q_2 = +2.00*10^{-7}C \\
x_1 = 6.00cm = 0.06m \\
x_2 = 21.0cm = 0.21m$$
Outro exercício bem fácil, mas pega na questão da distância, de maneira um pouco diferente daqueles exercícios do capítulo 21. A distância é a seguinte: você vai fixar o campo elétrico num ponto entre a primeira partícula e a segunda, e a distância será entre esse ponto e o x da partícula.
Primeiro, o ponto entre a primeira e a segunda:
$$x_E = \dfrac{0.21m + 0.06m}{2} = \dfrac{0.27m}{2} = 0.135m$$
Depois, as distâncias (que logicamente tem de ter módulo igual, mas sinais opostos):
$$d_1 = 0.135m - 0.06m = 0.075m\\
d_2 = 0.135m - 0.21m = -0.075m$$
Agora, se o campo elétrico total é a soma do campo com relação à primeira partícula e com relação à segunda:
$$E_T = E_1 + E_2 = K \dfrac{|q_1|}{d_1 ^2} + K \dfrac{|q_2|}{d_2 ^2} = K (\dfrac{|2*10^{-7}C|}{(0.075m)^2} + {|2*10^{-7}C|}{(-0.075m)^2}\\
= K (\dfrac{2*10^{-7}C}{0.005625m^2} + \dfrac{2*10^{-7}C}{0.005625m^2}) = K \dfrac{4*10^{-7}C}{0.005625m^2} \\
\approx 8.99*10^9 Nm^2/C^2 * 711.11*10^{-7}C/m^2 = 6392.8789*10^2 N/C$$
Se for pra expressar em termos dos vetores unitários, bem, o exercício especifica que as partículas são mantidas fixas no eixo x, aonde y = 0. Se o campo trabalha completamente no eixo x, o ângulo trabalhado é 0 - a equação no eixo x será multiplicada por cosseno de 0, e no eixo y pelo seno de 0.
Logo, ele é equivalente ao módulo em x e, por consequência, igual a 0 em y.
10. Na figura, as quatro partículas são mantidas fixas e têm cargas q1 = q2 = +5e, q3 = +3e e q4 = -12e. A distância d = 5.0 micrômetros. Qual é o módulo do campo elétrico no ponto P?
Esse exercício é facílimo de interpretar e dá pra responder sem fazer nenhuma conta, apenas usando deduções, mas se quiser usar as equações fica um pouquinho mais complicado. Não muito, de qualquer forma. Queremos saber o campo resultante dos 4 campos com relação ao ponto P, então o ponto de partida é esse:
$$E = E_1 + E_2 + E_3 + E_4$$
Uma informação que podemos ver pelo gráfico é que, com relação ao ponto P, a primeira carga está oposta à segunda, então vamos estabelecer a seguinte relação:
$$E_1 = -E_2$$
Também é bom lembrar que a distância entre P e q4 não é d, e sim 2d, como podemos notar pelo próprio gráfico. E que, com relação a P, um dos campos elétricos têm de ter carga negativa, já que a carga 3 é positiva e a carga 4 é negativa. Agora é só terminar o trabalho com a equação:
$$E = E_1 - E_1 + E_3 + E_4 = E_3 + E_4 = -K \dfrac{q_3}{d_3 ^2} + K \dfrac{q_4}{d_4 ^2}] = K (- \dfrac{3e}{d^2} + \dfrac{12e}{(2d)^2}) \\
K (-\dfrac{3e}{d^2} + \dfrac{12e}{4d^2}) = K * 0 = 0$$
Logo, o módulo do campo elétrico no ponto P é 0. Isso é facilmente explicado: todas as linhas de campo são na direção de 4, a única carga oposta, e como nenhuma delas é forte o suficiente para tocar o campo P "por acaso", o campo em P é nulo.
13. Na figura, as três partículas são mantidas fixas no lugar e têm cargas q1 = q2 = +e e q3 = +2e. A distância a = 6.00 micrômetros. Determine:
a) o módulo e b) a direção do campo elétrico no ponto P.
Outro exercício semelhante a um que maior parte patinou na prova, e de fato era chatinho, em especial pela questão da distância, mas nem tão problemático assim. Temos um ponto de partida extremamente semelhante ao exercício passado porque, se você perceber bem, com relação ao ponto P a primeira e a segunda carga se anulam. Exatamente porque as duas têm cargas iguais e o ponto P está entre elas.
Visto isso, notamos que o campo elétrico em P está integralmente relacionado ao campo elétrico da terceira carga. Logo:
$$E_P = E_3$$
Temos que a carga de 3 corresponde a dois elétrons, que resulta em:
$$q_3 = 2*1.6*10^{-19}C = 3.2*10^{-19}C$$
E o problema maior é a distância, mas podemos facilmente fazer essa relação notando que P está entre a primeira e a segunda carga, que estão em eixos opostos no plano cartesiano. O P está no meio da hipotenusa de um triângulo fechado pelas cargas q1 e q2. Se cada cateto é a distância a (6 micrômetros), temos que a hipotenusa é:
$$h = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} \mu m$$
Ótimo, temos a hipotenusa... Mas algo que pegou muita gente é que a distância entre q3 e o ponto P não é a hipotenusa. O ponto P está no centro dessa hipotenusa, ou seja:
$$d = \dfrac{\sqrt{72}}{2} \mu m = \dfrac{\sqrt{72}}{2}*10^{-6}m$$
(lembrando que não aproximei o resultado porque elevaremos ele ao quadrado e podemos descobrir algo mais exato)
Com essa distância, temos tudo o que precisamos para descobrir o módulo do campo elétrico:
$$E = K \dfrac{q}{d^2} = 8.99*10^9 Nm^2/C^2 * \dfrac{3.2*10^{-19}C}{(\dfrac{\sqrt{72}}{2} * 10^{-6}m)^2} = \dfrac{28.768*10^{-10} Nm^2/C}{\dfrac{72}{4} * 10^{-12}m^2} \\
\dfrac{28.768*4*10^2 N/C}{72} \approx 1.598*10^2 N/C \approx 160N/C$$
E essa é a resposta. Parece complicadinho, mas depois de deixar de estriar com a distância o exercício fica praticamente pronto.
Quanto ao ângulo (direção), é fácil de deduzir. Ainda no triângulo q1-q2-q3, temos um triângulo cujos dois catetos são iguais, logo têm dois ângulos de 45 graus e um de 90 - esse, no caso, é q3. Mas não estamos tratando desse triângulo, estamos tratando de um triângulo q1-q3-P ou q2-q3-P.
Não seria difícil fazer essa relação geometricamente falando, mas o exercício nos dá uma dica valiosíssima que não nos deixa perder tempo: o ângulo no ponto P do triângulo q2-q3-P é 90°. Se q2 continua tendo 45°, q3 nessa ocasião só pode ter 45° também.
Logo, a direção desse campo elétrico é de 45°.
16. A figura mostra um anel de plástico de raio R = 50.0cm. Duas pequenas contas coloridas estão sobre um anel: a conta 1, de carga +2.00 microC, que é mantida fixa na extremidade esquerda, e a conta 2, de carga +6.00 microC, que pode ser deslocada ao longo do anel. As duas contas, juntas, produzem um campo elétrico de módulo E no centro do anel. Determine:
a) um valor positivo do ângulo para o dado valor de E e b) um valor negativo.
$$E = 2.00*10^5 N/C \\
q_1 = +2.00 \mu C = +2.00*10^{-6} C \\
q_2 = +6.00 \mu C = +6.00*10^{-6} C \\
R = 50cm = 0.5m$$
Esse exercício é outro que precisa de umas sacadinhas de trigonometria pra resolver, mas não é nada realmente preocupante. Veja bem, temos um campo elétrico total que nos foi dado, mas sabemos que esse campo total é o que fica entre a primeira e a segunda conta. Ou seja, ele leva em conta tanto a primeira conta quanto a segunda.
$$E = E_1 + E_2$$
Mas lembremos que não podemos simplesmente somar os campos elétricos da primeira e da segunda conta para descobrir o que está no centro. Perceba que eles são grandezas vetoriais e, como tais, têm seu próprio sentido - o campo elétrico da primeira "aponta" para frente com relação ao centro, enquanto o segundo aponta para trás e para baixo numa direção desconhecida (que, inclusive, é o que queremos saber); sendo assim, seu sentido é negativo.
Vamos montar as equações de cada campo em cada direção pra exemplificar melhor:
$$E_1 = (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2} \cos{0})\hat{i} + (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2} \sin{0})\hat{j} = (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2})\hat{i} \\
E_2 = -(\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \cos{\theta})\hat{i} - (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \sin{\theta})\hat{j}$$
Perceba que já defini o ângulo do campo da primeira conta como 0, afinal, ela está no eixo x.
Agora o que faremos é uma soma disso:
$$E = E_1 + E_2 = ((\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2})\hat{i}) + (-(\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \cos{\theta})\hat{i} - (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \sin{\theta})\hat{j})$$
Vamos separar os i dos j:
$$E = (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2} - \dfrac{q_2}{R^2} \cos{\theta}) - (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \sin{\theta})\hat{j})$$
Agora temos que fazer uma análise trigonométrica do caso: queremos o ângulo theta, mas estamos com equações vetoriais e precisamos convertê-las para que fique escalar. Normalmente usaríamos o teorema de Pitágoras, mas o próprio ângulo é uma incógnita e... Inclusive a que queremos saber. Convém-nos então utilizar a lei dos cossenos (ou teorema de Pitágoras level 2 pros que gostam de associar):
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2ab \cos{\theta}$$
Substituindo os valores por uma hipotenusa E, uma direção Ei e outra direção Ej:
$$E^2 = (K \dfrac{q_1}{R^2})^2 + (K \dfrac{q_2}{R^2})^2 - 2(K \dfrac{q_1}{R^2})(K \dfrac{q_2}{R^2}) \cos{\theta} \\
E^2 = K^2 \dfrac{q_1 ^2}{(R^2)^2} + K^2 \dfrac{q_2 ^2}{(R^2)^2} - 2 K^2 \dfrac{q_1 * q_2}{(R^2)^2} \cos{\theta} \\
E^2 = K^2 \dfrac{q_1 ^2}{R^4} + K^2 \dfrac{q_2 ^2}{R^4} - 2 K^2 \dfrac{q_1 * q_2}{R^4} \cos{\theta} \\
E^2 = \dfrac{K^2}{R^4} (q_1 ^2 + q_2 ^2 - 2 q_1 q_2 \cos{\theta})$$
Agora vamos isolar quem realmente interessa: quem está com o theta.
$$E + \dfrac{K^2}{R^4}*(2 q_1 q_2 \cos{\theta}) = \dfrac{K^2}{R^4} (q_1 ^2 + q_2 ^2) \\
\dfrac{K^2}{R^4} * (2 q_1 q_2 \cos{\theta}) = \dfrac{K^2}{R^4} (q_1 ^2 + q_2 ^2) - E^2 \\
2 q_1 q_2 \cos{\theta} = \dfrac{K^2 * R^4}{R^4 * K^2} (q_1 ^2 + q_2 ^2) - \dfrac{R^4}{K^2} E^2 \\
2 q_1 q_2 \cos{\theta} = q_1 ^2 + q_2 ^2 - \dfrac{R^4}{K^2} E^2 \\
\cos{\theta} = \dfrac{q_1 ^2 + q_2 ^2 - \dfrac{R^4}{K^2} E^2}{2 q_1 q_2} \\
\theta = \cos^{-1}{\dfrac{q_1 ^2 + q_2 ^2 - \dfrac{R^4}{K^2} E^2}{2 q_1 q_2}}$$
Agora substitua as variáveis dessa equação pelos valores dados pelo exercício na sua companheira calculadora científica. Ou no seu Matlab. A conta é extremamente extensa e cansativa, mas é algo que a calculadora pode fazer sem nenhum trabalho.
A resposta tem que dar aproximadamente 67.8°.
Quanto ao ângulo negativo... Ele será, bem, -67.8° mesmo.
19. A figura mostra um dipolo elétrico. Determine:
a) o módulo;
b) a orientação (em relação ao semi-eixo x positivo) do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto P situado a uma distância r >> d.
É um exercício de raciocínio simples. O campo elétrico está no centro e, como tal, tem influência do campo gerado pela carga positiva e pela carga negativa. E, claro, como uma carga está divergindo e outra está convergindo, elas não se anulam e sim se acumulam num ponto só. Essa é a sacada do dipolo, que aliás é simplíssimo - o bom é que não é dado valor nenhum, então não há resultado constante a se considerar, é pra chegar numa equação de dipolo genérica.
Mas veja bem, como eu disse: as cargas não se acumulam, elas se juntam. Só com isso já dá pra imaginar o resultado do campo elétrico... Mas façamos uma análise mais minuciosa, pra não pecar em não entender o exercício como um todo.
Note que as duas cargas estão no mesmo eixo y, de ângulo desconhecido, mas possivelmente ignorando o eixo x. Como dito, elas se "complementam", então estão no mesmo sentido. Com isso concluímos que:
$$E_+ = E_{+y}\hat{j} = E \sin{\theta} \hat{j} \\ E_- = E_{-y}\hat{j} = E \sin{\theta} \hat{j} = E \hat{j} \\ E_{+x} = E_{-x} \\ |\vec{E}| = E_+ + E_- = E\hat{j} + E\hat{j} = 2E \sin{\theta}$$
Até aqui ok, vem agora outra parte: definir a equação completa pro campo. Talvez a pior.
Lembremos que a equação básica do campo elétrico é:
$$E = K \dfrac{q}{d^2}$$
Não temos o valor de q então ele ficará no resultado final, enquanto a distância d pode ser descoberta através da seguinte relação:
Ainda não defini a resultante porque se não dá aquele problema do cara querer chegar na resposta final direto e whatever. O fato é: veja que formamos triângulos retângulos entre o eixo x e y e essas linhas, logo essas linhas são hipotenusas. Podemos considerar o eixo x desse campo a variável r, enquanto o eixo y é representado por d/2. Pelo teorema de Pitágoras:
$$d_{E} = \sqrt{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}$$
Jogando na equação já final:
$$|\vec{E}| = 2(K \dfrac{q}{(\sqrt{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2})^2}) \sin{\theta} = 2(K \dfrac{q}{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}) \sin{\theta}$$
Quanto ao seno de theta, vamos fazer relações trigonométricas básicas do ensino médio. O básico, seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. De uma série de maneiras, uma delas sendo o fato de saber que d/2 está relacionado com o seno (quanto mais perto de 90° o ângulo, mais perto o vetor chega de d/2 absoluto), podemos definir o cateto oposto como d/2. A hipotenusa acabamos de expressar. Logo, no lugar de seno colocamos:
$$\sin{\theta} = \dfrac{\dfrac{d}{2}}{\sqrt{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}}$$
E jogamos na equação final:
$$|\vec{E}| = 2 \times (K \dfrac{q}{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}) \times \dfrac{\dfrac{d}{2}}{\sqrt{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}} = \dfrac{2Kqd}{2 \sqrt{((\dfrac{d}{2})^2 + r^2)^3}} = \dfrac{Kqd}{ \sqrt{((\dfrac{d}{2})^2 + r^2)^3}}$$
Sabemos que r >> d, logo, acrescentar qualquer valor de d para r se torna razoavelmente insignificante, então podemos simplesmente descartá-lo e deixar a equação dessa maneira:
$$|\vec{E}| = \dfrac{Kqd}{(\sqrt{r^2})^3} = \dfrac{Kqd}{r^3}$$
E está respondido o primeiro.
O segundo acabamos considerando a resposta no meio do raciocínio do primeiro. Em algum momento, dissemos da relação de d/2 com o seno e concluímos que ele tem 90°. Lembrando que as linhas vão em sentido à carga negativa, então o ângulo correto é -90°.
25. Na figura, duas barras curvas de plástico, uma de carga +q e outra de carga -q, formam uma circunferência de raio R = 8.50cm no plano xy. O eixo x passa pelos dois pontos de ligação entre os arcos, e a carga está distribuída uniformemente nos dois arcos. Se q = 15.0 picoC, determine:
a) o módulo;
b) a orientação (em relação ao semi-eixo x positivo) do campo elétrico E no ponto P, situado no centro da circunferência.
a) Se o módulo do campo elétrico no ponto A é 40N/C, qual é o módulo da força a que é submetido um próton no ponto A?
b) Qual é o módulo do campo elétrico no ponto B?
$$F = Eq \\
q_{p} = 1.6*10^{-19}C$$
No caso, que a força é igual ao campo elétrico vezes a carga inserida e que a carga de um próton é de 1.6 vezes 10 a -19 Coulombs positivo. Se temos o módulo do campo elétrico e temos a carga, resolver a força é bem fácil:
$$F = (40N/C) * 1.6*10^{-19}C = 64*10^{-19}N$$
Para a B, é só saber que, no campo elétrico, quanto maior a distância entre as linhas de campo, menor é seu módulo. Como a distância entre as linhas de campo no ponto B é o dobro da distância de no ponto A:
$$E_b = \dfrac{E_a}{2} = \dfrac{40N/C}{2} = 20N/C$$
Resolvido.
5. O núcleo de um átomo de plutônio-239 contém 94 prótons. Suponha que o núcleo é uma esfera com 6.64fm de raio e que a carga dos prótons está distribuída uniformemente nessa esfera. Determine:
a) o módulo;
b) o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo.
Primeiro, vamos analisar as informações que temos:
$$q = 94*1.6*10^{-19}C = 150.4*10^{-19}C \\
r = 6.64*10^{-15}m$$
No caso, a carga do plutônio é a carga contida em 94 prótons, e o raio da esfera é igual a 6.64 vezes 10 a -15 metros.
Para determinar o módulo do campo elétrico, temos a seguinte equação:
$$E = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q}{d^2} = 8.99*10^9 Nm^2/C^2 * \dfrac{150.4*10^{-19}C}{6.64*10^{-15}m}^2 = \dfrac{1352.096*10^{-10} Nm^2/C}{44.0896*10^{-30}m^2} \\
\approx 30.667*10^{20} N/C$$
Bem-respondida está a letra A.
Quanto a letra B, não tem o que equacionar. A carga do próton é positiva, então o campo elétrico produzido pelos prótons é divergente, ou seja, para fora.
6. Duas partículas são mantidas fixas sobre o eixo x: a partícula 1, de carga q1 no ponto x = 6.00cm, e a partícula q2 no ponto x = 21.0cm. Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas, em termos dos vetores unitários?
$$q_1 = -2.00*10^{-7}C \\
q_2 = +2.00*10^{-7}C \\
x_1 = 6.00cm = 0.06m \\
x_2 = 21.0cm = 0.21m$$
Outro exercício bem fácil, mas pega na questão da distância, de maneira um pouco diferente daqueles exercícios do capítulo 21. A distância é a seguinte: você vai fixar o campo elétrico num ponto entre a primeira partícula e a segunda, e a distância será entre esse ponto e o x da partícula.
Primeiro, o ponto entre a primeira e a segunda:
$$x_E = \dfrac{0.21m + 0.06m}{2} = \dfrac{0.27m}{2} = 0.135m$$
Depois, as distâncias (que logicamente tem de ter módulo igual, mas sinais opostos):
$$d_1 = 0.135m - 0.06m = 0.075m\\
d_2 = 0.135m - 0.21m = -0.075m$$
Agora, se o campo elétrico total é a soma do campo com relação à primeira partícula e com relação à segunda:
$$E_T = E_1 + E_2 = K \dfrac{|q_1|}{d_1 ^2} + K \dfrac{|q_2|}{d_2 ^2} = K (\dfrac{|2*10^{-7}C|}{(0.075m)^2} + {|2*10^{-7}C|}{(-0.075m)^2}\\
= K (\dfrac{2*10^{-7}C}{0.005625m^2} + \dfrac{2*10^{-7}C}{0.005625m^2}) = K \dfrac{4*10^{-7}C}{0.005625m^2} \\
\approx 8.99*10^9 Nm^2/C^2 * 711.11*10^{-7}C/m^2 = 6392.8789*10^2 N/C$$
Se for pra expressar em termos dos vetores unitários, bem, o exercício especifica que as partículas são mantidas fixas no eixo x, aonde y = 0. Se o campo trabalha completamente no eixo x, o ângulo trabalhado é 0 - a equação no eixo x será multiplicada por cosseno de 0, e no eixo y pelo seno de 0.
Logo, ele é equivalente ao módulo em x e, por consequência, igual a 0 em y.
10. Na figura, as quatro partículas são mantidas fixas e têm cargas q1 = q2 = +5e, q3 = +3e e q4 = -12e. A distância d = 5.0 micrômetros. Qual é o módulo do campo elétrico no ponto P?
$$E = E_1 + E_2 + E_3 + E_4$$
Uma informação que podemos ver pelo gráfico é que, com relação ao ponto P, a primeira carga está oposta à segunda, então vamos estabelecer a seguinte relação:
$$E_1 = -E_2$$
Também é bom lembrar que a distância entre P e q4 não é d, e sim 2d, como podemos notar pelo próprio gráfico. E que, com relação a P, um dos campos elétricos têm de ter carga negativa, já que a carga 3 é positiva e a carga 4 é negativa. Agora é só terminar o trabalho com a equação:
$$E = E_1 - E_1 + E_3 + E_4 = E_3 + E_4 = -K \dfrac{q_3}{d_3 ^2} + K \dfrac{q_4}{d_4 ^2}] = K (- \dfrac{3e}{d^2} + \dfrac{12e}{(2d)^2}) \\
K (-\dfrac{3e}{d^2} + \dfrac{12e}{4d^2}) = K * 0 = 0$$
Logo, o módulo do campo elétrico no ponto P é 0. Isso é facilmente explicado: todas as linhas de campo são na direção de 4, a única carga oposta, e como nenhuma delas é forte o suficiente para tocar o campo P "por acaso", o campo em P é nulo.
13. Na figura, as três partículas são mantidas fixas no lugar e têm cargas q1 = q2 = +e e q3 = +2e. A distância a = 6.00 micrômetros. Determine:
a) o módulo e b) a direção do campo elétrico no ponto P.
Visto isso, notamos que o campo elétrico em P está integralmente relacionado ao campo elétrico da terceira carga. Logo:
$$E_P = E_3$$
Temos que a carga de 3 corresponde a dois elétrons, que resulta em:
$$q_3 = 2*1.6*10^{-19}C = 3.2*10^{-19}C$$
E o problema maior é a distância, mas podemos facilmente fazer essa relação notando que P está entre a primeira e a segunda carga, que estão em eixos opostos no plano cartesiano. O P está no meio da hipotenusa de um triângulo fechado pelas cargas q1 e q2. Se cada cateto é a distância a (6 micrômetros), temos que a hipotenusa é:
$$h = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} \mu m$$
Ótimo, temos a hipotenusa... Mas algo que pegou muita gente é que a distância entre q3 e o ponto P não é a hipotenusa. O ponto P está no centro dessa hipotenusa, ou seja:
$$d = \dfrac{\sqrt{72}}{2} \mu m = \dfrac{\sqrt{72}}{2}*10^{-6}m$$
(lembrando que não aproximei o resultado porque elevaremos ele ao quadrado e podemos descobrir algo mais exato)
Com essa distância, temos tudo o que precisamos para descobrir o módulo do campo elétrico:
$$E = K \dfrac{q}{d^2} = 8.99*10^9 Nm^2/C^2 * \dfrac{3.2*10^{-19}C}{(\dfrac{\sqrt{72}}{2} * 10^{-6}m)^2} = \dfrac{28.768*10^{-10} Nm^2/C}{\dfrac{72}{4} * 10^{-12}m^2} \\
\dfrac{28.768*4*10^2 N/C}{72} \approx 1.598*10^2 N/C \approx 160N/C$$
E essa é a resposta. Parece complicadinho, mas depois de deixar de estriar com a distância o exercício fica praticamente pronto.
Quanto ao ângulo (direção), é fácil de deduzir. Ainda no triângulo q1-q2-q3, temos um triângulo cujos dois catetos são iguais, logo têm dois ângulos de 45 graus e um de 90 - esse, no caso, é q3. Mas não estamos tratando desse triângulo, estamos tratando de um triângulo q1-q3-P ou q2-q3-P.
Não seria difícil fazer essa relação geometricamente falando, mas o exercício nos dá uma dica valiosíssima que não nos deixa perder tempo: o ângulo no ponto P do triângulo q2-q3-P é 90°. Se q2 continua tendo 45°, q3 nessa ocasião só pode ter 45° também.
Logo, a direção desse campo elétrico é de 45°.
16. A figura mostra um anel de plástico de raio R = 50.0cm. Duas pequenas contas coloridas estão sobre um anel: a conta 1, de carga +2.00 microC, que é mantida fixa na extremidade esquerda, e a conta 2, de carga +6.00 microC, que pode ser deslocada ao longo do anel. As duas contas, juntas, produzem um campo elétrico de módulo E no centro do anel. Determine:
a) um valor positivo do ângulo para o dado valor de E e b) um valor negativo.
$$E = 2.00*10^5 N/C \\
q_1 = +2.00 \mu C = +2.00*10^{-6} C \\
q_2 = +6.00 \mu C = +6.00*10^{-6} C \\
R = 50cm = 0.5m$$
$$E = E_1 + E_2$$
Mas lembremos que não podemos simplesmente somar os campos elétricos da primeira e da segunda conta para descobrir o que está no centro. Perceba que eles são grandezas vetoriais e, como tais, têm seu próprio sentido - o campo elétrico da primeira "aponta" para frente com relação ao centro, enquanto o segundo aponta para trás e para baixo numa direção desconhecida (que, inclusive, é o que queremos saber); sendo assim, seu sentido é negativo.
Vamos montar as equações de cada campo em cada direção pra exemplificar melhor:
$$E_1 = (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2} \cos{0})\hat{i} + (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2} \sin{0})\hat{j} = (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2})\hat{i} \\
E_2 = -(\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \cos{\theta})\hat{i} - (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \sin{\theta})\hat{j}$$
Perceba que já defini o ângulo do campo da primeira conta como 0, afinal, ela está no eixo x.
Agora o que faremos é uma soma disso:
$$E = E_1 + E_2 = ((\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2})\hat{i}) + (-(\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \cos{\theta})\hat{i} - (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \sin{\theta})\hat{j})$$
Vamos separar os i dos j:
$$E = (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_1}{R^2} - \dfrac{q_2}{R^2} \cos{\theta}) - (\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} * \dfrac{q_2}{R^2} \sin{\theta})\hat{j})$$
Agora temos que fazer uma análise trigonométrica do caso: queremos o ângulo theta, mas estamos com equações vetoriais e precisamos convertê-las para que fique escalar. Normalmente usaríamos o teorema de Pitágoras, mas o próprio ângulo é uma incógnita e... Inclusive a que queremos saber. Convém-nos então utilizar a lei dos cossenos (ou teorema de Pitágoras level 2 pros que gostam de associar):
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2ab \cos{\theta}$$
Substituindo os valores por uma hipotenusa E, uma direção Ei e outra direção Ej:
$$E^2 = (K \dfrac{q_1}{R^2})^2 + (K \dfrac{q_2}{R^2})^2 - 2(K \dfrac{q_1}{R^2})(K \dfrac{q_2}{R^2}) \cos{\theta} \\
E^2 = K^2 \dfrac{q_1 ^2}{(R^2)^2} + K^2 \dfrac{q_2 ^2}{(R^2)^2} - 2 K^2 \dfrac{q_1 * q_2}{(R^2)^2} \cos{\theta} \\
E^2 = K^2 \dfrac{q_1 ^2}{R^4} + K^2 \dfrac{q_2 ^2}{R^4} - 2 K^2 \dfrac{q_1 * q_2}{R^4} \cos{\theta} \\
E^2 = \dfrac{K^2}{R^4} (q_1 ^2 + q_2 ^2 - 2 q_1 q_2 \cos{\theta})$$
Agora vamos isolar quem realmente interessa: quem está com o theta.
$$E + \dfrac{K^2}{R^4}*(2 q_1 q_2 \cos{\theta}) = \dfrac{K^2}{R^4} (q_1 ^2 + q_2 ^2) \\
\dfrac{K^2}{R^4} * (2 q_1 q_2 \cos{\theta}) = \dfrac{K^2}{R^4} (q_1 ^2 + q_2 ^2) - E^2 \\
2 q_1 q_2 \cos{\theta} = \dfrac{K^2 * R^4}{R^4 * K^2} (q_1 ^2 + q_2 ^2) - \dfrac{R^4}{K^2} E^2 \\
2 q_1 q_2 \cos{\theta} = q_1 ^2 + q_2 ^2 - \dfrac{R^4}{K^2} E^2 \\
\cos{\theta} = \dfrac{q_1 ^2 + q_2 ^2 - \dfrac{R^4}{K^2} E^2}{2 q_1 q_2} \\
\theta = \cos^{-1}{\dfrac{q_1 ^2 + q_2 ^2 - \dfrac{R^4}{K^2} E^2}{2 q_1 q_2}}$$
Agora substitua as variáveis dessa equação pelos valores dados pelo exercício na sua companheira calculadora científica. Ou no seu Matlab. A conta é extremamente extensa e cansativa, mas é algo que a calculadora pode fazer sem nenhum trabalho.
A resposta tem que dar aproximadamente 67.8°.
Quanto ao ângulo negativo... Ele será, bem, -67.8° mesmo.
19. A figura mostra um dipolo elétrico. Determine:
a) o módulo;
b) a orientação (em relação ao semi-eixo x positivo) do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto P situado a uma distância r >> d.
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Mas veja bem, como eu disse: as cargas não se acumulam, elas se juntam. Só com isso já dá pra imaginar o resultado do campo elétrico... Mas façamos uma análise mais minuciosa, pra não pecar em não entender o exercício como um todo.
Note que as duas cargas estão no mesmo eixo y, de ângulo desconhecido, mas possivelmente ignorando o eixo x. Como dito, elas se "complementam", então estão no mesmo sentido. Com isso concluímos que:
$$E_+ = E_{+y}\hat{j} = E \sin{\theta} \hat{j} \\ E_- = E_{-y}\hat{j} = E \sin{\theta} \hat{j} = E \hat{j} \\ E_{+x} = E_{-x} \\ |\vec{E}| = E_+ + E_- = E\hat{j} + E\hat{j} = 2E \sin{\theta}$$
Até aqui ok, vem agora outra parte: definir a equação completa pro campo. Talvez a pior.
Lembremos que a equação básica do campo elétrico é:
$$E = K \dfrac{q}{d^2}$$
Não temos o valor de q então ele ficará no resultado final, enquanto a distância d pode ser descoberta através da seguinte relação:
$$d_{E} = \sqrt{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}$$
Jogando na equação já final:
$$|\vec{E}| = 2(K \dfrac{q}{(\sqrt{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2})^2}) \sin{\theta} = 2(K \dfrac{q}{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}) \sin{\theta}$$
Quanto ao seno de theta, vamos fazer relações trigonométricas básicas do ensino médio. O básico, seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. De uma série de maneiras, uma delas sendo o fato de saber que d/2 está relacionado com o seno (quanto mais perto de 90° o ângulo, mais perto o vetor chega de d/2 absoluto), podemos definir o cateto oposto como d/2. A hipotenusa acabamos de expressar. Logo, no lugar de seno colocamos:
$$\sin{\theta} = \dfrac{\dfrac{d}{2}}{\sqrt{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}}$$
E jogamos na equação final:
$$|\vec{E}| = 2 \times (K \dfrac{q}{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}) \times \dfrac{\dfrac{d}{2}}{\sqrt{(\dfrac{d}{2})^2 + r^2}} = \dfrac{2Kqd}{2 \sqrt{((\dfrac{d}{2})^2 + r^2)^3}} = \dfrac{Kqd}{ \sqrt{((\dfrac{d}{2})^2 + r^2)^3}}$$
Sabemos que r >> d, logo, acrescentar qualquer valor de d para r se torna razoavelmente insignificante, então podemos simplesmente descartá-lo e deixar a equação dessa maneira:
$$|\vec{E}| = \dfrac{Kqd}{(\sqrt{r^2})^3} = \dfrac{Kqd}{r^3}$$
E está respondido o primeiro.
O segundo acabamos considerando a resposta no meio do raciocínio do primeiro. Em algum momento, dissemos da relação de d/2 com o seno e concluímos que ele tem 90°. Lembrando que as linhas vão em sentido à carga negativa, então o ângulo correto é -90°.
25. Na figura, duas barras curvas de plástico, uma de carga +q e outra de carga -q, formam uma circunferência de raio R = 8.50cm no plano xy. O eixo x passa pelos dois pontos de ligação entre os arcos, e a carga está distribuída uniformemente nos dois arcos. Se q = 15.0 picoC, determine:
a) o módulo;
b) a orientação (em relação ao semi-eixo x positivo) do campo elétrico E no ponto P, situado no centro da circunferência.
Galera, eu tinha uma resposta quase certa mas fracassei num detalhe que compromete toda a conta... No caso, um pi³ no lugar de um pi² no divisor. De qualquer forma, a expressão usada por uma resolução automática é decompor a carga dessa maneira:
$$q = \lambda \pi R$$
E jogar na equação do campo elétrico:
$$|\vec{E}| = E_+ + E_- = 2E \sin{\theta}$$
(até aí, igualzinho ao exercício anterior)
$$|\vec{E}| = 2 \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \dfrac{\lambda \pi R}{\pi R^2} \sin{\theta} = \dfrac{\lambda \pi R}{2R^2 \pi^2 \varepsilon_0} (\sin{-90} - \sin{90}) = \\ \dfrac{\lambda}{2R \pi \varepsilon_0} \times (-2) = -\dfrac{q}{\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$$
Daí jogando os valores:
$$|\vec{E}| = -\dfrac{15 \times 10^{-12}}{\pi^2 \varepsilon_0 (0.085)^2} = -\dfrac{15 \times 10^{-12}C}{8.85 \times 10^{-12} \times \pi^2 \times 0.007225} \\ = -\dfrac{15}{0.06394125 \pi^2} \approx \dfrac{234.59}{\pi^2} \approx 23.77N/C$$
E é isso aí. Deve ter reconhecido um problema no piR², ou está certo e eu estou confuso na matemática básica, sei lá. Mas o resultado é esse.
Quanto ao ângulo, perceba que a carga negativa está na parte inferior do círculo. É a mesma associação do exercício passado, -90°. Ao menos isso eu entendi bem, rs. Perdão pelo exercício, galera. Próximo.
30. Uma barra fina não-condutora, com uma distribuição uniforme de carga positiva Q, tem a forma de um círculo de raio R. O eixo central do anel é o eixo z, com a origem no centro do anel. Determine o módulo do campo elétrico:
a) no ponto z = 0;
b) no ponto z tendendo a infinito;
c) em termos de R, para que valor positivo de z o módulo do campo é máximo?
d) se R = 2.00cm e Q = 4.00 microC, qual é o valor máximo do campo?
Ok, essa questão é chata... Acho que caiu na primeira prova, até. Aqui o esquema é o seguinte: podemos fazer uma análise por equações prontas que o livro do Halliday nos ensina. Podemos fazer aquela análise por integral também. Vou fazer o completo (aproveitar que o livro tem tudo rs) mas a parte importante mesmo é só a equação final.
Veja bem:
$$\cos{\theta} = \dfrac{z}{r} = \dfrac{z}{(z^2 + R^2)^{1/2}}$$
(o r menor virar aquilo é devido ao fato do r menor ser a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelos catetos z e R)
Sendo:
$$dE = K \dfrac{\lambda ds}{(z^2 + R^2)}$$
Juntamos dE com o cosseno:
$$dE \cos{\theta} = K \lambda \dfrac{z}{(z^2 + R^2)^{3/2}} ds$$
Integramos os dois lados (s sendo o arco do anel, indo de 0 a 2piR):
$$E = \int dE \cos{\theta} = \int K \lambda \dfrac{z}{(z^2 + R^2)^{3/2}} ds = K \lambda \dfrac{z}{(z^2 + R^2)^{3/2}} 2 \pi R$$
O lambda com o 2piR forma uma carga q, o resto permanece igual:
$$E = \dfrac{Kqz}{(z^2 + R^2)^{3/2}}$$
Essa é a equação fixa do anel. Para o exercício A, precisamos substituir z por 0.
$$E = \dfrac{Kq}{(0 + R^2)^{3/2}} \times 0 = 0$$
Para o exercício B, jogamos um limite de z tendendo a infinito após trabalhar a equação:
$$E = \lim_{z\to\infty} Kq \dfrac{z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}$$
Dá pra escapar daqui por um monte de método, mas no blog é bom economizar espaço. Vamos então aplicar o teorema de L'Hopital (aquele do cálculo I, lembram?), derivar em cima e embaixo com relação a z pra facilitar as coisas:
$$E = \lim_{z\to\infty} Kq \dfrac{1}{2z \times \dfrac{3}{2} (z^2 + R^2)^{1/2}} = \lim_{z\to\infty} Kq \dfrac{1}{3z \times (z^2 + R^2)^{1/2}}$$
Jogue os limites, o resultado tende a 0. Grato ao arroba @armiquilino (Alexandre Miquilino) por me lembrar do L'Hopital. (começando as participações especiais no blog!)
Para o exercício C, queremos o valor de z para o campo máximo. A conclusão a se chegar é fácil, o único chato é fazer mesmo. Quando queremos o valor máximo de alguma coisa usando alguma variável, já nos vem de cara setar a derivada da função incógnita com relação à variável a 0. Assim, em prática:
$$\dfrac{df(x)}{dx} = 0$$
No caso:
$$\dfrac{df(z)}{dz} = \dfrac{d}{dz} [Kq \dfrac{z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}] = Kq \dfrac{d}{dz} [z \times (z^2 + R^2)^{-3/2}] = \\ Kq [(1 \times (z^2 + R^2)^{-3/2}) + (z \times (2z \times \dfrac{-3}{2} (z^2 + R^2)^{-5/2}))] = \\ Kq [\dfrac{1}{(z^2 + R^2)^{3/2}} - \dfrac{3z^2}{(z^2 + R^2)^{5/2}}] = \\ Kq [\dfrac{(z^2 + R^2) - 3z^2}{(z^2 + R^2)^{5/2}}] = Kq \dfrac{R^2 - 2z^2}{(z^2 + R^2)^{5/2}} = 0$$
Agora queremos isolar o z, não é? Vamos fazer o seguinte então. Note que a expressão acima pode ser vista também como:
$$Kq \dfrac{R^2}{(z^2 + R^2)^{5/2}} - Kq \dfrac{2z^2}{(z^2 + R^2)^{5/2}} = 0$$
Passando a parte do -2z pro outro lado como positivo:
$$Kq \dfrac{2z^2}{(z^2 + R^2)^{5/2}} = Kq \dfrac{R^2}{(z^2 + R^2)^{5/2}}$$
Cortando as partes iguais dos dois lados:
$$2z^2 = R^2 \\ z^2 = \dfrac{R^2}{2} \\ z = \sqrt{\dfrac{R^2}{2}} = \dfrac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707R$$
Isso, claro, porque queremos o valor positivo de z. Poderia ser -0.707R também por causa da raiz.
Bem trabalhoso, não é?
Para o exercício D, temos dois valores dados, a carga C (4 microC) e o raio R (2cm). O valor de z é o máximo, logo vamos substituir z pelo valor descoberto no exercício passado. Só jogar tudo na equação do anel:
$$E = Kq\dfrac{z}{(z^2 + R^2)^{3/2}} = (8.99 \times 10^9 Nm^2/C^2) \times (4 \times 10^{-6} C) \times \dfrac{\dfrac{R}{\sqrt{2}}}{((\dfrac{R}{\sqrt{2}})^2 + (0.02m)^2)^{3/2}} = \\ 35.96 \times 10^3 Nm^2/C \times \dfrac{\dfrac{0.02m}{\sqrt{2}}}{((\dfrac{0.02m}{\sqrt{2}})^2 + 0.0004m^2)^{3/2}} = \\ 35.96 \times 10^3 Nm^2/C \times \dfrac{0.02m}{\sqrt{2} \times ((\dfrac{0.0004m^2}{2}) + 0.0004m^2)^{3/2}} = \\ 35.96 \times 10^3 Nm^2/C \times \dfrac{0.02m}{\sqrt{2} \times (0.0002m^2 + 0.0004m^2)^{3/2}} = \\ 35.96 \times 10^3 Nm^2/C \times \dfrac{0.02m}{\sqrt{2} \times (0.0006m^2)^{3/2}} \approx \\ 35.96 \times 10^3 Nm^2/C \times \dfrac{0.02m}{\sqrt{2} \times (1.47 \times 10^{-5})} = \\ 35.96 \times 10^3 Nm^2/C \dfrac{1360.83}{\sqrt{2} m^2} = \\ \dfrac{48935 \times 10^3 Nm^2/C}{\sqrt{2} m^2} \approx 34602.59 \times 10^3 N/C \approx 3.5 \times 10^7 N/C$$
Enfim está encerrado. Acho que esse 30 é o mais escroto do capítulo 22. Depois disso é tudo mais pacífico.
O resto eu não vou fazer por motivos de: já passou o semestre e eu nem tenho mais as coisas aqui, e o exame já foi e etc. Então fiquem com esses exercícios mesmo, talvez sejam úteis. :Ç
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