Aula XII - Física Geral II

Lei de Biot-Savart

$$d\vec{B} = \dfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$$
De forma modular:
$$dB = \dfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{dl \sin{\theta}}{r^2}$$

Exemplo: campo magnético gerado por uma espira no ponto P sobre o eixo.

$$dB_{x} = |dB| \cos{\alpha}$$
Aplicando a lei de Biot-Savart:
$$dB = \dfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{dl \sin{\theta}}{r^2}$$
Nota que o ângulo theta entre o eixo absoluto x e o eixo absoluto z é 90° - regra da mão direita: o módulo dB tem componentes em ij, a resultante da regra dá k, por regra a transição de um eixo pro outro dessa maneira simples é 90°. O r, notando pela figura, é uma hipotenusa formada por um triângulo com R e x de cateto, logo é aplicado o teorema de Pitágoras:
$$dB = \dfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{dl \sin{90}}{(\sqrt{R^2 + x^2})^2} = \dfrac {\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{dl}{R^2 + x^2}$$
Relacionando o triângulo, percebemos que o cosseno de alfa é o cateto adjacente R pela hipotenusa r. Logo:
$$\cos{\alpha} = \dfrac{R}{r} = \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}}$$
Agora só jogar na equação:
$$dB_{x} = |dB| \cos{\alpha} = \dfrac{\mu_0 i dl}{4 \pi (R^2 + x^2)} \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}} = \dfrac{\mu_0 i dl R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}}$$
Querendo saber o B, e não apenas dB, temos que integrar os dois lados:
$$\int dB =  \int \dfrac{\mu_0 i dl R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} \\ B = \dfrac{\mu_0 i R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} \int dl = \dfrac{\mu_0 i R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} \int^{2\pi}_{0} \int^{R}_{0} dr d\theta \\ = \dfrac{\mu_0 i R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} (2\pi R) = \dfrac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$$

E a aula foi só isso e slides. É provável que não esteja tão fácil de entender, mas fica como desafio tentar entender tudinho porque o desenho dá essas informações necessárias todas. Inclusive o fato do desenho ser dado pronto atrapalha um pouco explicar detalhadamente, mas bem, a lei de Biot-Savart vai ser mais usado como truque da matemática então deixo as explicações detalhadas pro portfolio.
Boa noite a todos.

(quanto aos desenhos ainda piores, estou usando versão mais antiga do Paint... É pouca zueira??)