Aplicações de equações diferenciais
Variação de temperatura
Equação de Newton:
$$\dfrac{dT}{dt} = -K(T - T_m)$$
Resfriamento:
$$T > T_m \\
\dfrac{dT}{dt} < 0$$
Aquecimento:
$$T_m > T \\
\dfrac{dT}{dt} > 0$$
Agora perceba que:
$$T' = -K(T - T_m) \\
T' = -KT + KT_m \\
T' + KT = KT_m$$
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
Exemplo:
Um corpo à temperatura inicial de 50°F é colocado ao ar livre onde a temperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) t para T = 75°F.
b) T para t = 20 minutos.
Primeiro, vamos trabalhar na equação da variação de temperatura:
$$T' + KT = KT_m$$
A única informação estável que a temperatura do ambiente é cravada 100°F. Inclusive podemos jogar isso na equação pra facilitar bastante nossa vida:
$$T' + KT = 100K$$
Vamos resolver a partir do fator integrante:
$$y' + p(x)y = g(x)$$
Perceba que y' no caso é T', y é T, p(x) que vira p(K) acaba sendo K e g(x) que vira g(K) é 100K. Vamos jogar então na equação do fator integrante:
$$I(t, T) = e^{\int K dt} = e^{Kt}$$
Multiplicando os dois lados:
$$e^{Kt}[T' + KT] = e^{Kt}*100K$$
Trocando a primeira expressão pela derivada d[y * I(x, y)]/dx, que nesse caso é d[T * I(t, T)]/dt, ficamos com:
$$\dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}] = 100Ke^{Kt}$$
Integrando os dois lados:
$$\int \dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}]dt = \int 100Ke^{Kt} dt \\
Te^{Kt} = 100 \int Ke^u \dfrac{du}{K} = 100e^{Kt} + C \\
T = 100 \dfrac{e^{Kt}}{e^{Kt}} + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
Para calcular essa constante C, temos a informação de que a temperatura inicial é de 50°F. Vai ser útil usar a temperatura inicial porque aí podemos anular K, que ainda não temos, já que o tempo inicial é por padrão 0 minutos.
$$t = 0, T = 50°F \\
50 = 100 + Ce^0 = 100 + C \\
C = 50 - 100 = -50 \\
T = 100 - 50e^{-Kt}$$
E agora, para descobrir K, temos a informação de que a temperatura após 5 minutos é 60°F. Vamos jogar esses termos na equação e o que sobra é só K:
$$t = 5, T = 60°F \\
60 = 100 - 50e^{-5K} \\
50e^{-5K} = 100 - 60 = 40 \\
e^{-5K} = \dfrac{40}{50} = 0.8 \\
\ln{|e^{-5K}|} = \ln{|0.8|} \\
-5K \approx -0.22314 \\
K = \dfrac{-0.223}{-5} \approx 0.045$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 50e^{-0.045t}$$
Agora, vamos resolver a letra A, que pede o tempo quando a temperatura é de 75°F. Só jogar na equação:
$$75 = 100 - 50e^{-0.045t} \\
50e^{-0.045t} = 100-75 = 25 \\
e^{-0.045t} = \dfrac{25}{50} = 0.5 \\
\ln{|e^{-0.045t}|} = \ln{|0.5|} \\
-0.045t \approx -0.693 \\
t = \dfrac{-0.693}{-0.045} \approx 15.4$$
Ou seja, aproximadamente em 15.4 minutos a temperatura do corpo fica a 75°F.
A letra B te dá um tempo de 20 minutos e te pede a temperatura. É ainda mais simples, veja bem:
$$T = 100 - 50e^{-0.045*20} = 100 - \dfrac{50}{e^{0.9}} \approx 100 - \dfrac{50}{2.46} \approx 100 - 20.32 = 79.68°F$$
E está resolvido o exercício.
$$\dfrac{dT}{dt} = -K(T - T_m)$$
Resfriamento:
$$T > T_m \\
\dfrac{dT}{dt} < 0$$
Aquecimento:
$$T_m > T \\
\dfrac{dT}{dt} > 0$$
Agora perceba que:
$$T' = -K(T - T_m) \\
T' = -KT + KT_m \\
T' + KT = KT_m$$
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
Exemplo:
Um corpo à temperatura inicial de 50°F é colocado ao ar livre onde a temperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) t para T = 75°F.
b) T para t = 20 minutos.
Primeiro, vamos trabalhar na equação da variação de temperatura:
$$T' + KT = KT_m$$
A única informação estável que a temperatura do ambiente é cravada 100°F. Inclusive podemos jogar isso na equação pra facilitar bastante nossa vida:
$$T' + KT = 100K$$
Vamos resolver a partir do fator integrante:
$$y' + p(x)y = g(x)$$
Perceba que y' no caso é T', y é T, p(x) que vira p(K) acaba sendo K e g(x) que vira g(K) é 100K. Vamos jogar então na equação do fator integrante:
$$I(t, T) = e^{\int K dt} = e^{Kt}$$
Multiplicando os dois lados:
$$e^{Kt}[T' + KT] = e^{Kt}*100K$$
Trocando a primeira expressão pela derivada d[y * I(x, y)]/dx, que nesse caso é d[T * I(t, T)]/dt, ficamos com:
$$\dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}] = 100Ke^{Kt}$$
Integrando os dois lados:
$$\int \dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}]dt = \int 100Ke^{Kt} dt \\
Te^{Kt} = 100 \int Ke^u \dfrac{du}{K} = 100e^{Kt} + C \\
T = 100 \dfrac{e^{Kt}}{e^{Kt}} + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
Para calcular essa constante C, temos a informação de que a temperatura inicial é de 50°F. Vai ser útil usar a temperatura inicial porque aí podemos anular K, que ainda não temos, já que o tempo inicial é por padrão 0 minutos.
$$t = 0, T = 50°F \\
50 = 100 + Ce^0 = 100 + C \\
C = 50 - 100 = -50 \\
T = 100 - 50e^{-Kt}$$
E agora, para descobrir K, temos a informação de que a temperatura após 5 minutos é 60°F. Vamos jogar esses termos na equação e o que sobra é só K:
$$t = 5, T = 60°F \\
60 = 100 - 50e^{-5K} \\
50e^{-5K} = 100 - 60 = 40 \\
e^{-5K} = \dfrac{40}{50} = 0.8 \\
\ln{|e^{-5K}|} = \ln{|0.8|} \\
-5K \approx -0.22314 \\
K = \dfrac{-0.223}{-5} \approx 0.045$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 50e^{-0.045t}$$
Agora, vamos resolver a letra A, que pede o tempo quando a temperatura é de 75°F. Só jogar na equação:
$$75 = 100 - 50e^{-0.045t} \\
50e^{-0.045t} = 100-75 = 25 \\
e^{-0.045t} = \dfrac{25}{50} = 0.5 \\
\ln{|e^{-0.045t}|} = \ln{|0.5|} \\
-0.045t \approx -0.693 \\
t = \dfrac{-0.693}{-0.045} \approx 15.4$$
Ou seja, aproximadamente em 15.4 minutos a temperatura do corpo fica a 75°F.
A letra B te dá um tempo de 20 minutos e te pede a temperatura. É ainda mais simples, veja bem:
$$T = 100 - 50e^{-0.045*20} = 100 - \dfrac{50}{e^{0.9}} \approx 100 - \dfrac{50}{2.46} \approx 100 - 20.32 = 79.68°F$$
E está resolvido o exercício.
Crescimento e Decrescimento Populacional
Como a equação de Newton, o crescimento populacional acaba se tornando uma equação diferencial que usa fator integrante. A fórmula que determina isso basicamente é:
$$\dfrac{d}{dt} N(t) = KN$$
O que implica em:
$$N' - KN = 0$$
Não nos foi passado nada além disso, se não me engano, apenas a página com a definição completa e exercícios pra resolver logo em seguida. Quando eu for postar as novas listas (alguém me lembra de falar com o professor por favor!) eu pego bastante no pé de explicar isso melhor. O post foi mais pra explicar a parte de variação de temperatura mesmo, que tem uma série de exercícios a entregar a respeito.
De qualquer forma, bom dia a todos. :)
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