Aula VIII - Cálculo Diferencial e Integral III

Circuitos Elétricos

Tipo RL

$$\Sigma U = 0 \\
-E + RI + L \dfrac{dI}{dt} = 0 \\
I' + \dfrac{R}{L} I = \dfrac{E}{L}$$
Grandezas
R: resistência em ohms
E: tensão em volts
L: indutância em henries
I: corrente em ampère

Tipo RC

$$-E + RI + \dfrac{q}{C} = 0 \\
R \dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = E \\
q' + \dfrac{q}{RC} = \dfrac{E}{R}$$
Grandezas além do RL
C: capacitância em farads

Exercício 1

$$E = 5V \\
R = 50\Omega \\
L = 1H \\
I(0) = 0$$
Ou seja, temos um circuito RL e alguns valores definidos. Lembre-se que a equação do circuito RL, que é I' + RI/L = E/L. Temos aí o E, o R e o L. É só substituir e manipular a equação diferencial pra chegar ao que queremos.
$$I' + \dfrac{R}{L} I = \dfrac{E}{L} \\
I' + \dfrac{50\Omega}{1H} I = \dfrac{5V}{1H} \\
I' + 50I = 5$$
No caso, vemos que p(t) é esse 50 que acompanha o I. Então o fator integrante será:
$$I(t, i) = e^{\int p(t) dt} = e^{50 \int dt} = e^{50t}$$
Multiplicando tudo pelo fator integrante:
$$e^{50t} [I' + 50I] = 5e^{50t}$$
Usando a propriedade de Newton:
$$\dfrac{d}{dt} [e^{50t} I] = 5e^{50t}$$
Integrando os dois lados:
$$e^{50t} I = \int 5e^{50t}dt = 5 \int e^{50t}dt = \dfrac{5}{50} e^{50t} + C = \dfrac{1}{10} e^{50t} + C$$
Isolando I:
$$I = \dfrac{e^{50t}}{10e^{50t}} + \dfrac{C}{e^{50t}} = \dfrac{1}{10} + Ce^{-50t}$$
Essa é a equação sem determinar a constante C. Para isso, o exercício nos dá a informação de que I(0) = 0. Vamos substituir esses valores na equação:
$$I(0) = \dfrac{1}{10} + Ce^{0} = 0 \\
\dfrac{1}{10} + C = 0 \\
C = -\dfrac{1}{10}$$
Logo:
$$I = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{10} e^{-50t}$$
E está resolvido o exercício.

Um detalhe interessante a se apresentar é que, quando o tempo tende a infinito, tende a sobrar apenas aquela constante 1/10 que é o que chamamos de corrente estacionária. Quando consideramos a equação toda, temos a corrente transitória.

Exercício 2

Escreva a equação da corrente estacionária (1) na forma de (2):
$$1. \dfrac{30}{101} \sin{2t} - \dfrac{3}{101} \cos{2t} \\
2. I = A \sin{(2t - \phi)}$$
Ok, aqui precisaremos tratar tudo muito matematicamente. Primeiro, queremos aquele modelo lá com dois elementos dentro do seno. Sabemos que a propriedade trigonométrica pra dois termos subtraindo é:
$$\sin{(a - b)} = \sin{a} \cos{b} - \sin{b} \cos{a}$$
Se multiplicarmos a expressão por A, temos:
$$A \sin{(a - b)} = A \sin{a} \cos{b} - A \sin{b} \cos{a}$$
Agora substituindo os termos:
$$A \sin{(2t - \phi)} = A \sin{2t} \cos{\phi} - A \sin{\phi} \cos{2t}$$
Perceba que temos uma expressão ligeiramente semelhante à equação 1. Fora os senos/cossenos de phi. Mas é um termo A multiplicando um seno/cosseno de 2t. Podemos então fazer a seguinte analogia:
$$A \sin{2t} \cos{\phi} = (A \cos{\phi}) \sin{2t} \\
A \cos{2t} \sin{\phi} = (A \sin{\phi}) \cos{2t}$$
E sabemos que o que está multiplicando o seno de 2t na primeira equação é 30/101 e o cosseno -3/101. Então podemos, de certa forma, concluir que:
$$A \cos{\phi} = \dfrac{30}{101} \\
A \sin{\phi} = -\dfrac{3}{101}$$
Ao invés de trabalhar a equação toda, vamos trabalhar SÓ essas duas equações para descobrir o valor de A. Temos a seguinte soma:
$$A \cos{\phi} + A \sin{\phi} = \dfrac{30}{101} - \dfrac{3}{101} \\
A (\cos{\phi} + \sin{\phi}) = \dfrac{30}{101} + \dfrac{-3}{101}$$
E como escapar disso? Elevemos tudo ao quadrado:
$$A^2 (\cos^2{\phi} + \sin^2{\phi}) = (\dfrac{30}{101})^2 + (\dfrac{-3}{101})^2$$
Por relação trigonométrica, temos que cos² + sin² = 1. Então podemos simplesmente tirá-los da equação. Temos que:
$$A^2 * 1 = \dfrac{909}{101^2}$$
Sendo assim, passando a potência pro outro lado em forma de raiz, temos:
$$A = \sqrt{\dfrac{909}{101^2}} = \sqrt{\dfrac{9*101}{101^2}} = \sqrt{\dfrac{9}{101}} = \dfrac{3}{\sqrt{101}}$$
Poderíamos arredondar, fazer um monte de coisa... Mas o livro deixou assim, provavelmente por não ser muito fã de arredondamentos. Mas enfim, vamos brincar um pouquinho mais com essas duas expressões pra poder descobrir o ângulo phi. Bolemos a seguinte divisão:
$$\dfrac{A \sin{\phi}}{A \cos{\phi}}$$
Notem que temos os dois termos, então vamos dividi-los:
$$\dfrac{A \sin{\phi}}{A \cos{\phi}} = \dfrac{\dfrac{-3}{101}}{\dfrac{30}{101}} = \dfrac{-3 * 101}{101 * 30} = \dfrac{-3}{30} = \dfrac{-1}{10}$$
Temos também que Asin/Acos você acaba cortando os A, então:
$$\dfrac{\sin{\phi}}{\cos{\phi}} = \dfrac{-1}{10} \\
\tan{\phi} = \dfrac{-1}{10} \\
\phi = \tan^{-1}{\dfrac{-1}{10}}$$

Jogamos todas as informações fresquinhas na equação 2:
$$I = \dfrac{3}{\sqrt{101}} \sin{(2t - \tan^{-1}{\dfrac{-1}{10}})}$$

Equação da carga do capacitor

t = 0, q = 0
$$q' + \dfrac{q}{RC} = \dfrac{E}{R}
\dfrac{q(t)}{C} = V = E (1 - e^{-t/RC})$$

Equação da descarga do capacitor

E = 0, t = 0, q = máximo
$$V = Ee^{-t/RC}$$

Tinha também uns detalhezinhos tipo momento de carga e descarga do capacitor. Mas não me recordo com embasamento o suficiente pra passar. De qualquer forma, agora está em dia todo o conteúdo das aulas de cálculo, se tiver um tempinho é possível que eu consiga passar as páginas do livro resolvidas no futuro pra fixar bem essa matéria... Apesar de que não é difícil, é questão de pegar as manhas.
Bom dia a todos!