Aula XI - Física Geral II

Temos aí que a força magnética age de uma maneira semelhante à força centrípeta no movimento circular uniforme. Lembrando a força centrípeta:
$$F_C = \dfrac{mV^2}{r}$$
A fórmula da força no campo magnético é:
$$F_B = qV \times B = qVB \sin{\theta}$$
E note que o ângulo entre o V e o B nesse campo circular será de 90°, então substituindo o theta temos:
$$F_B = qVB$$
Igualamos os dois lados:
$$qVB = \dfrac{mV^2}{r} \\ qB = \dfrac{mV}{r} \\ r = \dfrac{mV}{qB} \\ V = \dfrac{qBr}{m}$$
Temos também a fórmula da velocidade angular:
$$\omega = \dfrac{V}{r} = \dfrac{qBr}{rm} = \dfrac{qB}{m}$$
A frequência é:
$$\mu = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{qB}{2 \pi m}$$
Sendo o período o inverso da frequência:
$$T = \dfrac{1}{\mu} = \dfrac{2 \pi m}{qB}$$

Lei de Ampére

$$\oint \vec{B} \bullet d\vec{l} = \mu_0 i$$


Vemos que:
$$\vec{B} \bullet d\vec{l} = Bdl \cos{\theta}$$
Sendo o ângulo entre dl e a direção do campo B 0:
$$\vec{B} \bullet d\vec{l} = Bdl$$
$$B \oint dl = \mu_0 i \\ B(2 \pi r) = \mu_0 i \\ B = \dfrac{\mu_0 i}{2 \pi r}$$

Interação entre dois condutores paralelos

Queremos descobrir qual é a influência do campo gerado pela corrente A no campo B. Lembrando que a fórmula da força magnética com relação à corrente é:
$$\vec{F}_B = i \vec{l} \times \vec{B} = ilB \sin{\theta}$$
A relação de ângulo permanece a mesma do primeiro exemplo, antes da lei de Ampére. A corrente vai para um lado, faz-se a regra da mão direita e descobre-se um ângulo de 90° de diferença em um outro eixo. Ficando assim a fórmula (já colocando as legendas bonitinho pra indicar qual é de B, e qual é de A):
$$\vec{F}_B = i_B l_B B_A$$
Note que o B (campo magnético uniforme) considerado é de A, não de B. Usando a outra fórmula que conhecemos recentemente:
$$\vec{F}_B = i_B l_B \dfrac{\mu_0 i_A}{2 \pi r}$$
Sendo r = d:
$$\vec{F}_B = \dfrac{l_B i_B i_A \mu_0}{2 \pi d}$$

Exercício:
1. Um elétron de 10eV gira num plano perpendicular a um campo magnético uniforme B. Qual o raio da órbita no ciclotron?
$$K = 10eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 16 \times 10^{-19} J \\ m = 9.1 \times 10^{-31} Kg \\ B = 1 \times 10^{-4}T$$
Queremos saber do raio, e para isso lembremos da fórmula que acabamos de aprender a respeito de força magnética centrípeta:
$$r = \dfrac{mV}{qB}$$
Para a velocidade, temos uma resolução realmente semelhante ao exercício da aula passada. Se temos a energia em Joules e temos massa, podemos fazer a relação raiz de 2K/m para a velocidade. O resto temos os valores dados:
$$V = \sqrt{\dfrac{2K}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1.6 \times 10^{19}J}{9.1 \times 10^{-31}Kg}} = \sqrt{\dfrac{32 \times 10^{12}J}{9.1Kg}} = \sqrt{3.55 \times 10^{12} Kg m^2/Kg s^2} \\ = 1.88 \times 10^6 m/s$$
Jogando na fórmula:
$$r = \dfrac{(9.1 \times 10^{-31}Kg) \times (1.88 \times 10^6 m/s)}{(1.6 \times 10^{-19}C) \times (1 \times 10^{-4} T)} = \dfrac{17.108 \times 10^{25} Kg m}{1.6 \times 10^{-23} Cs (Kg/Cs)} \\ = 10.6925 \times 10^{-2} (Kg m Cs / Kgs) = 10.6925 \times 10^{-2} m = 10.6925cm$$
O professor aproximou o resultado para 11cm. A parte mais difícil dessa equação, talvez, seja a conversão de medidas na parte do Tesla para quilogramas por carga-segundo... Mas é matemática básica, só usar.

Matéria rápida, mas capaz de complicar bastante... Boa sorte a todos, e um bom dia!