Aula IV - Cálculo Diferencial e Integral III

Integrais de Linha

Integrais sobre curvas

Parametrização

Quando uma partícula se move pelo espaço durante um intervalo de tempo I, pensamos nas coordenadas da partícula como funções definidas sobre I.
x = f(t)
y = g(t)

y = x²
x = t
y = t²

Ou P(x, y, z) = P(f(t), g(t), h(t)), $t \in I$, formam a curva que chamamos de trajetória da partícula.

Comprimento da Curva (L)

x = g(t)
y = h(t)

$d\vec{s} = dx\widehat{i} + dy\widehat{j}$
1

$\dfrac{dx}{dt} = g'(t)$
$dx = g'(t)dt$
2

$\dfrac{dy}{dt} = h'(t)$
$dy = h'(t)dt$
3

$||d\vec{s}|| = \sqrt{dx^2 + dy^2}$
4

Substituindo o termo dx pela fórmula 2 e o termo dy pela fórmula 3:
$||d\vec{s}|| = \sqrt{(g'(t)dt)^2 + (h'(t)dt)^2} = \sqrt{(g'(t))^2+(h'(t))^2}dt$

Definição: vamos supor que g'(t) e h'(t) sejam contínuas no intervalo fechado [a, b] e L seja o comprimento da curva C, então:
$L = \int ||d\vec{s}|| = \int \sqrt{(g'(t))^2+(h'(t))^2}dt$

Exemplo: seja y = x, calcule L.
x = 0 ... 2

Dispensa qualquer explicação, é só considerar o conteúdo.

Solução: parametrização:
x = t = g(t)
g'(t) = 1

y = t = h(t)
h'(t) = 1

$0 \le t \le 2$

$L = \int^2_0 \sqrt{1^2 + 1^2}dt = \sqrt{2} \int^2_0 dt = \sqrt{2}t = 2\sqrt{2} uC$

Prova real:

$L^2 = 2^2 + 2^2$ 
$L = \sqrt{4*2} = 2\sqrt{2} uC$

Exemplo 2:
x²+y² = 4 
Básico de geometria analítica. Um círculo de raio 2. Como fica inviável resolver com xy, vamos usar características geométricas básicas (cos = x/r, sen = y/r) pra resolver.

Parametrização:
$\cos(t) = \dfrac{x}{2}$
$x = 2\cos(t)$
$g(t) = 2\cos(t)$

$\sin(t) = \dfrac{y}{2}$
$y = 2\sin(t)$
$h(t) = 2\sin(t)$

$g'(t) = -2\sin(t)$
$h'(t) = 2\cos(t)$

$L = \int^{2\pi}_0 \sqrt{(-2\sin(t))^2 + (2\cos(t))^2}dt = \int^{2\pi}_0 \sqrt{4\sin^2(t) + 4\cos^2(t)}dt =$
$\int^{2\pi}_0 2\sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)}dt = 2\int^{2\pi}_0 dt = 2t = 4\pi uC$

Prova real:
$C = 2\pi R$
$C = 2\pi2 = 4\pi uC$


Quanto às listas em sala que não valem nota, ainda estou devendo de perguntar pro professor... Mas não se preocupem, é mais fácil postar cálculo então se eu obter autorização já posto tudo.

Aula IV - Circuitos Elétricos

Teoremas para Análise de Circuitos

- Teorema da Superposição

- Teorema de Thévenin

- Teorema de Norton

Teorema da Superposição

- Podemos aplicar este teorema [...] (eu cheguei atrasado essa aula, quem tiver e puder me passar essa parte, fico grato rs)

- Quantidade de fontes independentes é igual ao número de circuitos a serem analisados.

Exemplos:
Determine $i_0$:

O esquema é o seguinte: temos um circuito simples com duas fontes de tensão diferentes. Como o exemplo é pra mostrar como funciona a Superposição, não vamos nem nos dar ao trabalho de analisar e ver qual método é melhor. Simplesmente vamos seguir o método à risca.

Para redesenhar o circuito, há um procedimento simples: toda vez que você tira uma fonte de tensão, você deixa a linha lá, vazia. Toda vez que você tira uma fonte de corrente, você retira a linha também. Haverá caso aonde o resistor perderá a referência e ficará pra fora do circuito no caso das fontes de corrente, mas por enquanto não vamos nos importar.

Vamos redesenhar o primeiro circuito, retirando a fonte de 64V.

Ok, agora o que temos aqui é algo muito simples: uma fonte de 12V, um resistor de 3Ω e uma divisão: uma com um resistor de 3Ω, outra com um resistor de 6Ω e a corrente $i_0$ que queremos descobrir.
A análise agora é muito simples: primeiro, temos que descobrir a corrente total, então é só desmontar tudo.

Isso daí vai se juntar com o resistor de 3Ω, mostrando que o circuito totaliza 5Ω de resistência. Como temos a voltagem total de 12V, a corrente total é só a divisão de 12V por 5Ω, que resulta em 2,4A.
Agora precisamos descobrir o primeiro $i_0$, que chamaremos de $i'_0$ pelo fato de ser apenas um deles. Sabemos que a corrente $i'_0$ é a que passa no resistor de 6Ω, então é só descobrir a voltagem consumida por ele e temos como calculá-la.
As leis dos circuitos determinam que, numa divisão em paralelo, a mesma tensão vai para os dois lados sem se dividir. O cálculo para ela é dado pela corrente total vezes a resistência equivalente, a corrente total sabemos que é 2,4A, e lá em cima fizemos o cálculo de resistência equivalente que deu 2Ω, então temos que:

$V = 2.4A*2\Omega = 4.8V$

Ótimo, podemos saber a corrente que passa pela resistência de 6Ω dividindo essa tensão por ela. Simples assim:

$i'_0 = \dfrac{4.8V}{6\Omega} = 0.8A$

Agora precisamos descobrir a segunda corrente. Vamos redesenhar o circuito novamente, dessa vez apenas com a fonte de tensão de 64V. Como o item removido é uma fonte de tensão (a de 12V), o circuito permanecerá o mesmo, só que sem ela.

Esse é ainda mais fácil, a corrente total é a corrente $i''_0$: perceba que a corrente que está indo para a fonte no positivo é a própria $i''_0$. A única diferença é que, como ela vai pro positivo (e sai no negativo), ela está claramente em seu sentido oposto e por isso para descobri-la precisamos inverter o sinal da corrente total.

Primeiramente, para descobrir essa corrente total, precisamos descobrir a resistência total do circuito. Temos uma resistência de $6\Omega$, seguida de duas resistências de $3\Omega$ em paralelo. É só resolver as em paralelo e somar com a em série:

$R_T = R_1 + R_{eq1} = 6 + \dfrac{3*3}{3+3} = 6 + \dfrac{9}{6} = 6 + 1.5 = 7.5\Omega$

Temos a voltagem total de 24V já especificada desde o início, façamos então a corrente total:

$i_T = \dfrac{64V}{7.5\Omega} = 3.2A$

Logo: $i''_0 = -3.2A$

Tendo essas duas correntes, o que precisamos fazer é somar $i'_0$ com $i''_0$ para obter $i_0$ total. Vamos fazer?

$i_0 = 0.8 + (-3.2) = 0.8 - 3.2 = -2.4A$

Resolvido esse problema, vamos ao próximo.

Encontre $i_0$.

Agora temos uma fonte de corrente e uma fonte de tensão. Foi explicado no outro exercício como se faz com uma fonte de corrente, mas não foi aplicado ainda: dessa vez, será mostrado na prática essa de "retirar a linha da fonte de corrente quando ela é eliminada".

Redesenhe o circuito, retirando a linha, sem se preocupar com como vai ficar, se parece resolvível ou etc. Apenas retire. Esse será o resultado:

Ótimo. Ficou um circuito bem fácil, não é? Temos duas resistências ($4\Omega$ e $8\Omega$) em série, em paralelo com uma de $6\Omega$, tudo isso em série com uma de $2\Omega$. Vamos fazer algumas associações lógicas pra evitar contas desnecessárias: todos os resistores em paralelo estão em série com $2\Omega$, o que significa que há de sobrar uma tensão para ele no final, logo é impossível que eles consumam todos os 36V. Precisamos descobrir essa tensão antes de descobrir a corrente $i'_0$, e para descobri-la, precisamos saber qual é a corrente total.

Ok, bastante coisa pra resolver de qualquer forma.

Primeira associação: série - $R_s = 4 + 8 = 12\Omega$

Segunda associação: paralelo - $R_{eq} = \dfrac{6*12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: série - $R_T = 4 + 2 = 6\Omega$

Temos a resistência total, temos a tensão total:
$i_T = \dfrac{36V}{6\Omega} = 6A$

Com isso, podemos descobrir quanto aquele resistor final de $2\Omega$ consome. É fácil, já que temos a corrente e a resistência:

$V_{2\Omega} = 6A*2\Omega = 12V$

Sabemos então que V no ponto aonde está a corrente $i'_0$ que queremos descobrir é 36V, menos o que esse resistor consumiu, 12. Acaba que:

$V_0 = 36-12 = 24V$

Assim, a corrente naquele ponto depende dessa voltagem 24V e da resistência fornecida pela malha aonde ela está. Note que a corrente corre pelo ponto aonde há $4\Omega$ e $8\Omega$ apenas, então ela depende desses dois resistores, que já associamos em série ter $12\Omega$.

$i'_0 = \dfrac{24V}{12\Omega} = 2A$

Ótimo. Segunda parte, com a fonte de corrente: lembrando que a fonte de corrente fica, e a fonte de tensão vai embora, mas deixa a linha vazia. Redesenhando:

Temos o seguinte: os resistores de 4 e 8 em série, em paralelo com um de 6, tudo isso em paralelo com o de 2. Não é difícil enxergar isso, inclusive creio ser desnecessário redesenhar, mas se for podem me avisar. Ao contrário do circuito anterior, a corrente 12A se divide para os dois lados quando sai, então a resistência de 2 não pode estar em série com ninguém.

Primeiro vamos descobrir a voltagem total, ou seja, primeiro mesmo vamos descobrir a resistência total para que seja possível essa voltagem.

Resistência em série de 4 com 8: $R_s = 4+8 = 12\Omega$

Resistência em paralelo de 12 com 6: $R_{eq} = \dfrac{12*6}{12+6} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: $R_T = \dfrac{2*4}{2+4} = \dfrac{8}{6} \approx 1.33\Omega$

Claro que esse resultado de 1.33 é simbólico, porque trabalharemos com a fração nas próximas equações. Acaba ajudando na precisão do resultado, embora ele costume ser impreciso mesmo assim. A voltagem total é a multiplicação dessa resistência pela corrente total, que é 12A, determinada pela fonte de corrente. Logo:

$V = (\dfrac{8}{6}\Omega)*12A = \dfrac{96}{6}V = 16V$

Percebamos também que essa tensão é a mesma que vai para o resistor de $2\Omega$ e que vai, bem, para a divisão de 6 com 12. Logo, a tensão em todos esses pontos é 16V, o que significa que só precisamos pegar essa tensão e colocar sobre a resistência no ponto para descobrir a corrente $i''_0$.

$i''_0 = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3} \approx 1.33A$

Lembremos do exercício: só somar as correntes encontradas e temos a final.

$i_0 = 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{6+4}{3} = \dfrac{10}{3} \approx 3.33A$

Mais um resolvido. Próximo.

Determine $i_0$.

Ok, esse parece bem mais complicado. De fato é pelas associações em diferentes, mas nem tanto assim, vamos resolvê-lo. Primeiro, retiraremos a fonte de corrente e deixaremos aquela linha vazia:

Ok, temos o seguinte: de um lado, dois resistores de 6; do outro, um único resistor de 6; no meio, outro de 6. Se formos resolver, os dois de 6 ficarão em série, e essa série está em paralelo com de 6 do outro lado. O resultado disso estará em série com o de 6, no meio. Não é muito confuso se você observar atentamente.

Já note também que a corrente que vai para os dois lados sobe, se divide, desce e retorna; ou seja, $i'_0$ está oposto a esse sentido e será negativo. Para descobrir essa corrente, primeiro precisamos descobrir a voltagem naquele ponto; e para chegar nela, só desmontando tudo e descobrindo a corrente total.

Fazendo as equivalências:

Resistores em série: $R_s = 6+6 = 12\Omega$

Associação em paralelo: $R_{eq} = \dfrac{6*12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: $R_T = 4+6 = 10\Omega$

Logo, a corrente total será:

$i_T = \dfrac{30V}{10\Omega} = 3A$

Agora podemos descobrir a voltagem nos dois lados do circuito, que será útil para definir a corrente $i'_0$. Ela se dá pela multiplicação dessa corrente total pela resistência equivalente de todos eles, que já definimos ali ser 4.

$V_0 = 4\Omega*3A = 12V$

Ótimo, agora só dividir isso pela resistência em série do lado que queremos, que é 12. Temos a corrente naquele ponto. Como já definimos desde o início que a corrente $i'_0$ é negativa, já coloquemos o sinal em sua conta:

$i'_0 = -\dfrac{12V}{12\Omega} = -1A$

Primeira corrente descoberta, falta a outra. Agora peguemos aquele circuito inicial e retiremos a fonte de tensão de 30V, mas apenas ela, deixe a linha intacta.

Ok? Esse daí já não é tão fácil de visualizar o que está em série e o que está em paralelo. Uma boa dica que foi ensinada em aula é marcar os nós com letras: se não há nada de um nó a outro, coloque a mesma letra pra ambos; se há algum resistor, coloque outra letra no outro nó, e vá repetindo até ter marcado todos os nós.

Desenhando, vai ficar assim:

OK, agora o esquema é o seguinte: os resistores que estão entre as mesmas duas letras estão em paralelo, e se houver alguma ligação entre eles que não for essa, estarão em série. Por exemplo, os dois de $6\Omega$ ali do lado, eles estão entre A e B, ambos; estão em paralelo.

Podemos redesenhar novamente, mas acho desnecessário essa parte. Fica claro que esses dois estão em série com o de baixo, e o resultante estará em paralelo com o de cima. Espero que tenham conseguido visualizar, descobrindo os resultados vou redesenhá-lo nesse passo após a resistência em série porque facilitará bastante descobrir a corrente $i''_0$.

Mas ok, vamos resolver as equivalências que encontramos:

$R_{eq} = \dfrac{6*6}{6+6} = \dfrac{36}{12} = 3\Omega$

$R_s = 3+6 = 9\Omega$

$R_T = \dfrac{9*6}{9+6} = \dfrac{54}{15} = 3.6\Omega$

Com isso, a voltagem total é fácil:

$V = 3.6\Omega*10A = 36V$

E o $i''_0$? Note bem o circuito redesenhado. Eu me dei ao trabalho de fazê-lo porque ele torna muito mais fácil a interpretação e análise do $i''_0$, sem ter de ficar se confundido com aqueles dois resistores de 6. Essa corrente leva em conta toda a parte de baixo do circuito, que tem o total de 36V, já que eles vão igualmente para o resistor de 6 de cima e o de 9 embaixo.

Ou seja: a corrente $i''_0$ se dá pela simples divisão da tensão 36V pela resistência total de $9\Omega$ naquele ponto:

$i''_0 = \dfrac{36V}{9\Omega} = 4A$

Pronto, agora para descobrir $i_0$ total, é só somar os resultados dos dois circuitos:

$i_0 = -1+4 = 3A$

E está resolvido mais um exercício.

Determine $i_0$.

Ok, outro que parece desafiador, e até é um pouco sim... Mas pela sua segunda parte, a primeira é facílima. Quer ver? Retire a fonte de corrente e a linha pertencente a ela, teremos o seguinte circuito:

O que temos aqui? Algo extremamente óbvio. De um lado, dois circuitos em série; do outro, mais dois circuitos em série. Tudo isso em paralelo. Mas quem se importa? A corrente $i'_0$ está no lado esquerdo do circuito, e temos a voltagem total, então só precisamos dividi-la pela resistência em série naquele ponto. E, claro, lembrar que a fonte de tensão é positiva pra baixo, por isso a corrente está no sentido oposto e seu sinal será negativo.

$R_s = 4+12 = 16\Omega$

$i'_0 = \dfrac{32V}{16\Omega} = -2A$

Um desses bem que poderia cair na prova, rs.

Agora vamos redesenhar tirando a fonte de tensão e deixando a de corrente apenas, que vai ficar assim:

Esse é um pouquinho mais difícil, mas nada muito absurdo também. Vamos colocar as letras daquela forma que fizemos na 3:

Vemos aí que ambas resistências de 6 e 12 vão de A a B, e ambas de 4 e 12 (a outra de 12) vão de B a C. Logo, são duas resistências em paralelo, que acabarão em série. Queremos saber $i''_0$ que está passando unicamente pelo resistor de $4\Omega$, podemos fazer isso através de sua tensão por essa resistência... E como ele está em paralelo com um resistor de 12, sua tensão é descoberta pela corrente total (lembrem-se: esses dois estão em série com os outros dois) vezes a resistência equivalente.

Primeiro, vamos descobrir a resistência equivalente:

$R_{eq} = \dfrac{12*4}{12+4} = \dfrac{48}{16} = 3\Omega$

E agora, façamos a multiplicação disso pela corrente total:

$V_0 = 12A*3\Omega = 36V$

Por fim, para descobrir $i''_0$, o que já falamos antes: isso sobre a resistência equivalente. O sinal é positivo, a corrente está no sentido correto se considerarmos a fonte de corrente acima.

$i''_0 = \dfrac{36V}{4\Omega} = 9A$

E ok, agora é somar as duas correntes e descobrir a final:

$i_0 = -2+9 = 7A$

E estão resolvidos todos os exercícios da aula. Da aula, não das listas.

Aliás, eu sei que isso não é a lista e estão mais ansiosos pra lista que pra isso que vocês já têm no caderno. Mas é o que já ando falando em sala: só posto esse tipo de coisa que não é resolvido lá com autorização do professor, e como ainda não conversei com a professora a respeito (e é provável que não tenha aprovação porque, bem, são listas que valem nota), posto só isso por enquanto.

No entanto, o conteúdo é o mesmo: salvo alguns detalhes, se você entendeu isso que postei, é bem provável que consiga resolver aqueles três exercícios da sala. Bom dia, e boa sorte a todos!

Aula IV - Mecânica dos Sólidos

Ontem tivemos uma aula um pouco mais razoavelmente difícil de mecânica, ainda girando completamente em torno de exercícios. No entanto, nada muito problemático. Tentarei explicar bem os exercícios aqui.

4. As duas forças P e Q atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.

Ótimo. Aqui, ao contrário dos outros exercícios passados até agora, não conseguimos enxergar um triângulo retângulo formado pelos dois vetores. Aliás, são duas componentes que não estão retas nem no eixo x nem no y.
Primeiramente, usaremos o famoso elefantinho para ajudar na representação gráfica.

No caso, o que eu fiz aí foi o seguinte: coloquei a cauda do segundo vetor na ponta do primeiro e tracei uma reta que liga a cauda do primeiro à ponta do segundo. No futuro haverão exercícios com vários vetores, e você pode fazer isso com quantos quiser, é bem prático.
Agora vamos fazer uma cópia idêntica ali embaixo, só que com os vetores invertidos

"E como ficam os ângulos?" você me pergunta. É o seguinte: o ângulo de 25° acima de P continua ali. O ângulo oposto à hipotenusa R é 155° por associação, lei de Tales que mostrarei a vocês no próximo desenho. Já o último ângulo é desconhecido e teremos de descobrir, já que ele determina o sentido da resultante das forças.

Ok. Agora temos informação o suficiente para descobrir a força resultante, através da lei dos cossenos.

Certo? Temos que a intensidade da força resultante é de aproximadamente 97,72 Newtons. Resta-nos encontrar seu ângulo para definir seu sentido. Para isso, utilizarei-me da lei dos senos. Primeiro, redesenhando o triângulo com as variáveis pra ficar mais claro.

Tentei mostrar já direto as ligações mas não sei se ficou muito bom. No caso, na lei, o lado a estará relacionado com seu ângulo oposto A. O mesmo ocorre para b e B, e c e C. É uma relação que diz o seguinte: a divisão de a pelo seno de seu ângulo oposto será igual à divisão de b pelo seno de seu ângulo oposto, que também será igual à divisão de c pelo seno de seu ângulo oposto. Discurso grande, numa conta fica assim:

Simples, né? Você pode escolher tanto aA quanto cC, já que temos o valor e o ângulo de ambos. Escolheremos aA.

Temos que o seno de A é aproximadamente 0,259. Agora pegaremos nossa calculadora, de preferência científica; minto, essencialmente científica, e descobriremos o ângulo através do arco seno desse valor.

Ok, temos que o ângulo da resultante das forças acaba dando 15,13 graus. Só precisamos lembrar de mais uma coisa: mesmo o vetor mais baixo já está 20 graus acima de x. Temos então que o ângulo final é a soma de 15,13 com os 20 graus.
E o resultado final é 15,13+20 = 35,13°.

E está resolvido o primeiro exercício.


5. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é uma força de 22,250N dirigida ao longo do eixo da barcaça:
a) determine a força de tração em cada um dos cabos, sabendo que o ângulo $\alpha$ = 45º.
b) o valor de $\alpha$ para o qual a tração do cabo 2 é mínima.

Ok. Soa mais complicado que o anterior e sim, é. Mas é só um pouquinho. Primeiro, vamos redesenhar o exercício com as informações que temos nos planos:

Bem... Temos poucas informações aí, né. Mas vamos aos exercícios em si.
A letra a) nos dá um ângulo de 45 graus e temos que nos virar com o resto. O que facilita muito porque, tendo dois ângulos, podemos descobrir o terceiro e fazer uma lei dos senos para descobrir tudo o que falta. Temos que o ângulo que falta precisa fechar 180 graus, então para descobri-lo é só fazer a operação 180-30-45 = 105.
Agora sabemos que o ângulo oposto ao 22,250N é de 105°, enquanto o oposto a F1 é 45° e o oposto a F2 é 30°. A lei dos senos total fica:

Isolando a primeira expressão com a expressão de F1, temos:

Agora F2:

Exercício a resolvido.

Agora vamos ao b), muito mais complicado... De entender, no caso. Depois que entendeu, é a mesma coisa. Aliás, vou mostrar um método puramente matemático porque é o que eu domino mais, se alguém se dispor a explicar aquele outro da perpendicularidade que o professor passou eu estou dispostíssimo a colocar aqui.
Mas é o seguinte, vamos lá. Observe a última imagem que eu coloquei do triângulo, com o ângulo $\alpha$ = 30°. Imagine que eu considere o terceiro ângulo, também desconhecido, na equação da lei dos senos como uma variável $\beta$. Na conta ficará mais claro, mas é o seguinte: não sabemos o valor de $\alpha$, mas temos um dos ângulos, e na lei dos senos ele está acima de F2. Pegaremos a parte F2 e a parte com 22,250N.

"Tá, e o que esse valor me diz?" Tudo! O seno de $\beta$ só pode ir de 0 a 1, sendo que quanto mais distante ele estiver de 1, maior será o resultado de F2. Queremos o mínimo. Logo, o seno de $\beta$ tem de ser igual a 1. Não precisamos nem fazer arco seno pra saber que, para que o valor de seno seja 1, o ângulo tem que ser de 90 graus. Logo, o ângulo oposto à resultante é de 90°.
De quebra, descobrimos que o valor de F2 é 11,125N.
Agora nos resta descobrir F1 e o ângulo $\alpha$. Temos um triângulo no mesmo formato do anterior, que totaliza 180°. Temos dois ângulos dos três, então só precisamos subtrai-los de 180. Com isso, descobrimos que $\alpha$ = 180-90-30 = 60°.
Essa é a resposta do exercício, mas só pra termos todos os resultados, F1 por lei é:

"Só" isso, galera. Aguardem porradas maiores próxima aula.
E um bom dia a todos!