Aula X - Circuitos Elétricos

Números complexos (imaginários)
$$j = \sqrt{-1}$$


Forma retangular:
$$a + (b)j$$
Forma polar:
$$C \angle{\theta°}$$
Representação gráfica:

Transformação de retangular para polar

$$c^2 = a^2 + b^2 \\ \theta = \tan^{-1}{\dfrac{b}{a}}$$

Exemplo:
$$3 + 4j \\ C = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \\ \theta = \tan^{-1}{\dfrac{4}{3}} \approx 53.1°$$
Na calculadora: aperte Pol, insira o valor real, vírgula, depois o valor imaginário, feche parênteses. Dando ok aparecerá o módulo C. Então apertando RCL e tangente, aparecerá o ângulo theta.

Transformação de polar para retangular
$$\sin{\theta} = \dfrac{b}{C} \\ b = C \sin{\theta}$$

$$\cos{\theta} = \dfrac{a}{C} \\ a = C \cos{\theta}$$
Na calculadora: aperte shift, Pol, insira o valor do módulo C, vírgula, ângulo theta, feche parênteses e dê ok. Aparecerá o valor de A. Apertando RCL e tangente, aparecerá o valor de B.

Operações matemáticas
$$A + a_1 + b_1 j \\ B = a_2 + b_2 j$$

Adição:
$$A+B = (a_1 + b_1 j) + (a_2 + b_2 j) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)j$$

Subtração:
$$A - B = (a_1 + b_1 j) - (a_2 + b_2 j) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)j$$

Multiplicação:
$$D = C_1 \angle{\theta_1} \\ E = C_2 \angle{\theta_2} \\ D \times E = C_1 \angle{\theta_1} \times C_2 \angle{\theta_2} = (C_1 \times C_2) \angle{\theta_1 + \theta_2}$$
Divisão:
$$\dfrac{D}{E} = \dfrac{C_1 \angle{\theta_1}}{C_2 \angle{\theta_2}} = \dfrac{C_1}{C_2} \angle{\theta_1 - \theta_2}$$

Exercícios:
Calcule:
a) $$\dfrac{(2+3j) \times 5\angle{30°}}{2 - 2j + 3 + 5j}$$

Vamos fazer da seguinte forma: é mais fácil multiplicar/dividir usando forma polar e mais fácil somar/subtrair usando forma retangular, então sempre converteremos antes de fazer operações por aí. Lá em cima tem uma multiplicação, então converteremos 2+3j para polar:
$$C_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.605 \\ \theta_1 = \tan^{-1}{\dfrac{3}{2}} \approx 56.31°$$
Lá embaixo está tudo convertido, então vamos continuar:
$$\dfrac{(3.605 \angle{56.31°}) \times (5 \angle{30°})}{2 - 2j + 3 + 5j} = \dfrac{18.025 \angle{86.31°}}{5 + 3j}$$
Convertamos o abaixo novamente:
$$C_2 = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.831 \\ \theta_2 = \tan^{-1}{\dfrac{3}{5}} \approx 30.964°$$
Voltando à conta:
$$\dfrac{18.025 \angle{86.31°}}{5.831 \angle{30.961°}} = 3.091 \angle{55.349°}$$

b) $$\dfrac{(2 + 5j)(3 - 2j)}{(1 + 2j)^2}$$
Ok, às conversões:
$$C_1 = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5.385 \\ \theta_1 = \tan^{-1}{\dfrac{5}{2}} \approx 68.199°$$
$$C_2 = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.605 \\ \theta_2 = \tan^{-1}{\dfrac{-2}{3}} \approx -33.69007°$$
$$C_3 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.236 \\ \theta_3 = \tan^{-1}{\dfrac{2}{1}} \approx 63.435°$$
E sim, fizemos C3 separado sem elevar ao quadrado porque fica melhor de enxergar assim. Veja adiante:
$$\dfrac{5.385 \angle{68.199°} \times 3.605 \angle{-33.6907°}}{2.236 \angle{63.435°} \times 2.236 \angle{63.435°}} = \dfrac{19.412925 \angle{34.5083°}}{4.999696 \angle{126.87°}} \approx 3.883 \angle{-92.3617}$$

Calcule:
$$A = 3 \angle{90°} \\ B = 2 \angle{0°} \\ C = 5 \angle{-90°}$$

a) $$\dfrac{A \times B}{A + B} = \dfrac{3 \angle{90°} \times 2 \angle{0°}}{3 \angle{90°} + 2 \angle{0°}} = \dfrac{6 \angle{90°}}{3j + 2}$$
Agora já vamos usar a calculadora pra converter de retangular pra polar, né. Já deu pra entender como funciona.
$$\dfrac{6 \angle{90°}}{3.605 \angle{56.31°}} = 1.664 \angle{33.69°}$$
b) $$\dfrac{C \times B}{C + B} + A \\ \dfrac{5 \angle{-90} \times 2 \angle{0°}}{-5j + 2} + 3j \approx \dfrac{10 \angle{-90}}{5.385 \angle{-68.199°}} + 3j \approx \\ 1.857 \angle{-21.801°} + 3j \approx 1.724 - 0.6897j + 3j = 1.72 + 2.3103j \approx 2.8803 \angle{53.333°}$$

Senóides e Fasores

$$V = A_m \times \sin{\omega t}$$


Fasores
$$V = A_m \times \sin{(\omega t \pm \theta)}$$
Domínio do tempo.
$$v = A \angle{\pm \theta°}$$
Domínio do fasor.

Não muito bem feito porque, ao contrário do previsto, eu não me lembrei de baixar software de plotar gráfico

$$v_1 = 2 \sin{(\omega t + \theta_1)} \\ v_2 = 1.5 \sin{(\omega t - \theta_2)}$$

Converta os seguintes fasores para o domínio do tempo, caso a frequência seja 60Hz.
a) $$v_1 = 10 \angle{20°}$$
Temos que ômega se torna 2pi vezes a frequência 60Hz. O resto é só usar o que está no exercício:
$$v_1 = 10 \sin{(\omega t + \theta)} = 10 \sin{((2\pi \times 60)t + 20°)} = 10 \sin{(120\pi t + 20°)}$$
b) $$v_2 = 12 \angle{-60°} \\ v_2 = 12 \sin{(120\pi t - 60°)}$$

Determine a defasagem entre as ondas e se i está adiantada ou atrasada em relação a v.
a) i = 2sen(377t - 30°), v = 5sen(377t - 40°)
A corrente i está adiantada com relação a v (-30 > -40), a defasagem (diferença de ângulo entre um e outro) é de 10°.

b) $$i = 3 \sin{(\omega t + 45°)} \\ v = 7 \sin{(\omega t - 35°)}$$
Mais uma vez, i está adiantado com relação a v (45 > -35). A defasagem, no caso, é de 80°.

Aula IX - Circuitos Elétricos

Indutores

Obviamente com muito, mas muito mais espiras

Armazenam energia.

$$V(t) = L \dfrac{dI}{dt} \\ I(t) = \dfrac{1}{L} \int V(t) dt$$

L: indutância. Unidade: henry (H).

Formas de onda

Indutores em série:

$$L_{eq} = L_1 + L_2 + ... + L_n$$


Indutores em paralelo:

$$\dfrac{1}{L_{eq}} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2} + ... + \dfrac{1}{L_n}$$


Exercícios:
A corrente em um indutor de 50H é mostrada no gráfico abaixo. Determine a tensão sobre o indutor:

Ok, esse exercício é extremamente semelhante ao do capacitor feito anteriormente. Vamos traçar uma série de equações de reta pra cada alteração que houver na corrente. A primeira equação é sempre padrão: não temos b porque a equação da reta começa em 0, e analisando o gráfico vemos que em 2 segundos a corrente atinge -10mA, sendo assim em 1 segundo ela atinge -5mA e podemos traçar a primeira equação como i = -5t. Sendo assim:
$$V_1 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times \dfrac{d}{dt}[-5t] = 50 \times -5 = -250mV$$
Para a segunda, temos uma variação que já não começa em 0, logo b tem algum valor relevante e temos duas incógnitas na função. Sendo assim, façamos aquela análise de sistemas. Primeiro, pegaremos os valores das extremidades: (t, I): (2, -10), (4, 5). Agora, façamos um sistema linear substituindo I e t na equação I = at + b:
$$\begin{cases} -10 = 2a + b \\ 5 = 4a + b \end{cases}$$
Como de praxe, multipliquemos uma das equações por (-1) pra cortar os b. A segunda. Na soma, resta então -10 = 2a e -5 = -4a, que dá -2a = -15, assim a = 7.5. Substituímos a em uma das equações para descobrir b:
$$2 \times 7.5 + b = -10 \\ b = -10 - 15 = -25$$
E temos a equação final:
$$I = 7.5t - 25$$
Que colocaremos na equação da tensão:
$$V_2 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times 7.5 = 375mV$$
Para a parte entre 4s e 6s, por favor, nem façamos análise. É uma reta constante, então sua derivada é 0, sendo assim a voltagem nesse ponto é 0. Resta então o ponto entre 6 e 8 segundos, que terá análise semelhante ao ponto entre 2 e 4.
Vejamos, os dois valores que podemos usar são: (t, I): (6, 5), (8,0). Sendo assim, o sistema fica:
$$\begin{cases} 5 = 6a + b \\ 0 = 8a + b \end{cases}$$
Multiplicando a equação de baixo por -1, eliminamos b, e sobra pra somar 5 = 6a e 0 = -8a, cujo resultado real é -2a = 5, e a = -2.5. Jogando a numa das equações para descobrir b:
$$8 \times -2.5 + b = 0 \\ b = 20 \\ I = -2.5t + 20$$
Assim, na equação da voltagem temos:
$$V_4 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times (-25) = -125mV$$

E temos tudo aí. Recapitulando para plotar o gráfico:
Entre 0s e 2s, a tensão é de -250mV.
Entre 2s e 4s, a tensão é de 375mV.
Entre 4s e 6s, a tensão é 0.
Entre 6s e 8s, a tensão é -125mV.
E o gráfico fica:

Encontre a indutância equivalente.

Exercício extremamente simples, mas desenhei os nós pra não enganar ninguém:

Quando os circuitos "se cruzam" mas tem uma dessas curvas no cruzamento, é porque um fio não encosta no outro, assim aquilo no meio não é um nó; entende mais fácil quem já jogou Zelda ou alguns RPGs 2D. Bem, de qualquer forma, bem simples.
Analisando, temos AB em paralelo, BC em paralelo, e AB em série com BC. Jogando tudo nas equações:
$$L_{AB} = \dfrac{6 \times 12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4H \\ L_{BC} = 2 || 2 = 1H \\ L_{eq} = L_{AB} + L_{BC} = 4 + 1 = 5H$$

Outro bem simples. Com os nós, vemos que os indutores de 2mH e 1mH que estão em série estão em curto. Sendo assim, sobra uma indutância equivalente entre os três de 6mH. E como sabemos, paralelo de valores iguais, você conta quantos dispositivos tem e divide o valor original por esse número. No caso, L = 6/3 = 2mH.

Viu só? Facílimo.

Aula VIII - Circuitos Elétricos

Capacitores
- Função: armazenar carga

$$C = \dfrac{Q}{V} \\ Q = C \times V$$
Onde:
C = capacitância em F (Faraday)
Q = carga em C (Coulombs)
V = tensão em V (Volts)

Temos que:
$$i = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \\ Q = C \times V \\ i = C \dfrac{\Delta V}{\Delta t} \\ i_C = C \dfrac{dV}{dt}$$
Integrando a equação da corrente, temos:
$$\int i_C dt = \int C \dfrac{dV}{dt} \\ \int i dt = C \times V \\ V_C = \dfrac{1}{C} \int i_C dt$$
Tendo:

Capacitância equivalente
Série:

$$V_{eq} = V_1 + V_2 + ... + V_n \\ \dfrac{1}{C_{eq}} \int i dt = \dfrac{1}{C_1} \int i dt + \dfrac{1}{C_2} \int i dt + ... + \dfrac{1}{C_n} \int i dt \\ \dfrac{1}{C_{eq}} \int i dt = (\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + ... + \dfrac{1}{C_n}) \int i dt \\ \dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + ... + \dfrac{1}{C_n}$$
Paralelo:

$$i_T = i_1 + i_2 + ... + i_n \\ C_{eq} \dfrac{dV}{dt} = C_1 \dfrac{dV}{dt} + C_2 \dfrac{dV}{dt} + ... + C_n \dfrac{dV}{dt} \\ C_{eq} \dfrac{dV}{dt} = (C_1 + C_2 + ... + C_n) \dfrac{dV}{dt} \\ C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_n$$

Exercícios:
1. Encontre a capacitância equivalente do circuito.

Bem simples. Vamos resolver o que está em paralelo primeiro, depois estabeleceremos uma equação geral pra resistência em série.
$$C_1 = 1+1 = 2 \mu F \\ C_2 = 3+3 = 6 \mu F$$
E agora...
$$\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{4+2+6+4+2+1+3}{12} = \dfrac{22}{12} = \dfrac{11}{6} \\ C_{eq} = \dfrac{1}{6} \approx 0.54 \mu F$$

2. Encontre a forma de onda da corrente em um capacitor de 1.4 microF quando temos a forma de onda da tensão abaixo:

Ok, seguinte situação: precisamos determinar a corrente em cada ponto a partir da equação do capacitor inteira. Sendo a equação a seguinte:
$$i = C \dfrac{dV}{dt}$$
Sim, a derivada. É que faremos tal procedimento: traçaremos a equação da reta do início ao fim de todos os segmentos da curva, e ela será o que colocaremos no lugar de V (veja bem, não dV/dt, apenas V). Siga o primeiro exemplo, a primeira reta:
(t, V): (0, 0), (1, 2)
Sendo uma reta, já fica bem claro que a equação da reta é 2t. Sendo assim, o gráfico da corrente entre t = 0 e t = 1 é:
$$i_{C1} = C \dfrac{dV}{dt} = C \dfrac{d}{dt} [2t] = C \times 2 = 1.4 \mu \times 2 = 2.8 \mu A$$
Fácil, não é? Se tem algum problema, ele é apenas traçar a equação da reta. E não é problema, de qualquer forma. Vamos pra segunda corrente, entre o tempo 1ms e o tempo 3ms - veja bem, a voltagem permanece 2 estático, então V = 2. Sendo assim:
$$i_{C2} = C \dfrac{d}{dt} [2] = C \times 0 = 0$$
Ótimo. Para a terceira voltagem, temos realmente que fazer os esquemas básicos pra equação da reta, mas bem simples. A equação da reta é a seguinte:
y = ax+b (y função, x variável)
Nesse caso, temos que:
V = at+b (V função, t variável)
Sendo assim, podemos jogar nos valores de V e de t o que temos no gráfico, que são os pontos. Os dois melhores exemplos sempre são os extremos, nesse caso (t, V): (3, 2), (5, -2). Formamos aí um sistema linear de equações:
$$\begin{cases} 2 = 3a + b \\ -2 = 5a + b \end{cases}$$
Multiplicamos a parte debaixo por (-1) pra poder cortar os b, e temos 2 = 3a e 2 = -5a pra somar. Assim, -2a = 4. Isolando, temos que a = -2. Substituímos a numa equação qualquer para descobrir b:
$$3 \times (-2) + b = 2 \\ b = 2 + 6 = 8$$
E temos que a equação final é V = -2t + 8. Colocamos isso na equação da corrente:
$$i_{C3} = C \dfrac{d}{dt} [-2t + 8] = 1.4 \mu \times (-2) = -2.8A$$
Ótimo, agora resta apenas uma equação da reta pra traçar. Ela é entre t = 5ms e t = 6ms, aonde há um aumento na voltagem. Assim como a última equação, vamos fazer uma análise dos pontos. (t, V): (5, -2), (6, 0).
E agora montar o sistema de equações:
$$\begin{cases} -2 = 5a + b \\ 0 = 6a + b \end{cases}$$
Aonde mais uma vez multiplicamos a segunda equação por (-1) pra anular os b, sobrando 5a = -2 e -6a = 0 na soma, e ficando -a = -2. Só inverter os sinais, temos a = 2. Então só colocar em alguma das duas equações pra descobrir b:
$$5 \times 2 + b = -2 \\ b = -2 - 10 = -12 \\ V = 2t - 12$$
Agora substituindo na equação da corrente:
$$i_{C4} = C \dfrac{d}{dt} [2t - 12] = 1.4\mu \times 2 = 2.8\mu A$$

Com isso dá pra plotar o gráfico da corrente com relação ao tempo. Mas pra ficar bem fácil e entendível, vamos fazer um sumário de tudo o que coletamos aqui.
Entre t = 0ms e t = 1ms, a corrente é 2.8 microA.
Entre t = 1ms e t = 3ms, a corrente é 0.
Entre t = 3ms e t = 5ms, a corrente é -2.8 microA.
Entre t = 5ms e t = 6ms, a corrente é 2.8 microA.

Assim, plotaremos o gráfico:

Viu? Até fácil, só trabalhosinho.

Sinto estar postando algo que talvez nem caia na prova, galera, mas tava vendo aqui e realmente não tem como não explicar capacitor e indutor antes de entrar na corrente alternada. Tem gente que tá entendendo errado as coisas até agora. Vou acelerar o que puder, ver se posto indutor ainda hoje e arriscar números complexos também.
No mais, bom dia a todos, e bons estudos.

A respeito do resto do terceiro semestre

Bom dia,
Gostaria primeiramente de agradecer às pessoas que veem o blog, sejam eles da universidade ou externos. Embora pouco dinheiro (que não era o intuito, mesmo, os ads são só pra falar que tem), o número de views foi muito maior do que eu esperava desde a criação daqui. Pra falar a verdade, eu esperava só uns 5 ou 6 acessos desesperados na semana de provas. Tive quase 2000 views em 3 ou 4 meses de blog... Pra blogueiro profissional e blablabla não é muito, mas esse é um blog exclusivamente pela ciência, não esperava ninguém vendo.

Mas enfim, vamos tratar de coisa séria. Temos uma última semana de provas por aí, a respeito de circuitos e materiais elétricos, além dos trabalhos... E, muito importante pra muita gente, temos a semana de exames. Eu gostaria que me respondessem via Facebook ou comentários daqui - já que não me encontrarei na sociedade até quinta - se desejam que eu continue postando o conteúdo todo para exame. Vou trabalhar intensamente circuitos (talvez pulando algumas aulas desnecessárias, estamos em capacitores de corrente contínua ainda e na prova provavelmente só cai corrente alternada) essa semana pra ajudar quem está pendurado na prova, e gostaria de saber porque, embora quase perfeito com cálculo III, o blog está devendo listas detalhadas ou aulas bem descritivas de todas as outras matérias.
Espero que ainda assim tenha ajudado um pouco em todas quem ficou checando. E foi realmente satisfatório ver que estava ajudando gente com as equações diferenciais. Agora que eu aprendi a lidar bem com o blog, quem sabe próximo semestre consigo estar a par de todas as matérias igualmente.
Se tiver alguém muito afim de ajudar com alguma coisa - próximo semestre tem eletrônica digital, tem gente na sala que trabalha com isso -, ou até mesmo tomar uma matéria pra si, pode conversar comigo e me deixar um recado na internet porque se não eu esqueço rs. Ninguém precisa se sentir compelido a ajudar, é só se for de interesse pessoal mesmo.

Sério mesmo, foi um prazer ajudar e estamos aí pro que precisar. Basta pedir. Integrai-vos.

Aula X - Mecânica dos Sólidos

Substitua o binário e a força mostrados na figura por uma força única equivalente aplicada à alavanca. Determine a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.

 

I. Cálculo do momento produzido pela força F = 400N

Ok, o cálculo de momento é bem claro. Sendo r vetorial F a fórmula, e tendo a força facilmente decomposta em -400N na direção j (veja o ângulo de 90° pra baixo), só precisamos descobrir o r que nomearemos por questão de praticidade de OB.
Veja bem, temos uma hipotenusa OB de 0.3m e um cateto adjacente (OBx) de 0.15m. Para OBy, então, vamos fazer a relação de cateto oposto:
$$\sin{\theta} = \dfrac{\vec{OB}_y}{|\vec{OB}|} \\ \vec{OB}_y = |\vec{OB}| \sin{\theta} \\ \vec{OB}_y = 0.3m \sin{60°} \approx 0.26m$$
Logo:
$$\vec{OB} = (0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}$$
Sendo o cálculo do momento o vetorial da distância r (no caso OB) com a força F, fazemos:
$$\vec{M} = \vec{OB} \times \vec{F} \\ = [(0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ =  [(0.15m)(-400N)]\hat{i} \times \hat{j} + [(0.26m)(-400N)]\hat{j} \times \hat{j} = \\ (-60Nm)\hat{k}$$

II. Cálculo do binário
Agora, ao cálculo do binário. Perceba o esquema da figura abaixo:

Vamos pegar com relação ao centro. O disco tem 60mm e, bem, temos que multiplicá-lo com as forças, que são iguais, e somar os resultados. O que significa que podemos resumir a expressão em:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \\ 2[(0.06m)\hat{j} \times (200N)\hat{i}] = \\ 2 * (-12Nm)\hat{k} = (-24Nm)\hat{k}$$

III. Soma dos momentos
Bem, autoexplicativo:
$$\vec{M}_R = (-60Nm)\hat{k} + (-24Nm)\hat{k} = (-84Nm)\hat{k}$$

IV. Cálculo do novo vetor posição de F = 400N
Agora é a hora de recalcular o vetor posição com essa consideração da soma dos momentos. Veja:
$$\vec{M}_A = \vec{OC} \times \vec{F}$$
Sendo OC a nova posição. Vamos substituir os valores:
$$(-84Nm)\hat{k} = [(OC \cos{60})\hat{i} + (OC \sin{60})\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ = [(OC \cos{60})(-400N)\hat{i} \times \hat{j}] + [(OC \sin{60})(-400N)\hat{j} \times \hat{j}] \\ = (-400N)(OC \cos{60})\hat{k}$$
Isolando OC:
$$OC = \dfrac{(-84Nm)}{(400N)\cos{60}} \approx 0.48m$$
E está resolvido o exercício.

Equilíbrio de corpos rígidos

Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg e é usado para suspender um caixote de 2400Kg. O guindaste é mantido na posição indicada na figura por um pino A e um basculante B. O centro de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine as componentes das reações em A e B.

(grato ao professor Renato por já disponibilizar uma imagem do exercício com o diagrama, facilita bastante... E acho que pro aprendizado é melhor assim. Ainda mais pra mostrar a importância do centro de gravidade na estrutura)

I. Cálculo de B

A condição de momento pro equilíbrio do corpo é:

$$\Sigma \vec{M}_i = 0$$

Sendo:

$$M = Fd$$

Somamos então todos os momentos do exercício e igualamos a zero:

$$B(1.5) - (9.81 \times 10^3)(2) - (23.5 \times 10^3)(6) = 0 \\ 1.5B = 19.62 \times 10^3 + 141 \times 10^3 \\ B = \dfrac{160.62}{1.5} \times 10^3 = 107.1kN$$

II. Cálculo de Ax

Outra das condições para que haja equilíbrio é:

$$\Sigma \vec{F} = 0$$

Sendo assim:

$$\Sigma \vec{F}_x = 0 \\ \Sigma \vec{F}_y = 0$$

Podemos usar a equação de x que pode ser resolvida agora com o valor de B:

$$A_x + B = 0 \\ A_x + 107.1kN = 0 \\ A_x = -107.1kN$$

III. Cálculo de Ay

Fazemos o mesmo para Ay agora:

$$A_y - 9.81 \times 10^3 - 23.5 \times 10^3 = 0 \\ A_y = 33.3kN$$

IV. Módulo de A

Teorema de Pitágoras basicão:

$$A^2 = A_x ^2 + A_y ^2 \\ A = \sqrt{(-107.1 \times 10^3)^2 + (33.3 \times 10^3)^2} = 112.2kN$$

V. Direção de A

$$\tan{\theta} = \dfrac{A_y}{A_x} = -0.31 \\ \theta = \tan^{-1}{-0.31} = -17.3°$$

Lista VII - Cálculo Diferencial e Integral III

21. Coloca-se um corpo à temperatura de 0°F em um quarto mantido à temperatura constante de 100°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 25°, determine:
a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50° F;
b) a temperatura do corpo após 20 minutos.
Exercício bem simples, bem começo de lista mesmo. O esquema é lembrar já de cara da equação de Newton... Aquela mesmo:
$$T' + KT = KT_m$$
Vamos precisar trabalhar essa equação a partir do fator integrante pra descobrir uma expressão válida pra T. Veja bem. T' é dT/dt, K é uma constante que não temos, T é a temperatura e Tm é a temperatura do ambiente. Disso tudo, fomos informados que o quarto tem temperatura constante de 100°F, e nada mais; então é a única coisa que podemos substituir.
$$T' + KT = 100K$$
Agora vamos resolver a equação diferencial:
$$I(t, T) = e^{\int Kdt} = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 100K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 100K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 100K dt = 100e^{Kt} + C \\ T = 100 + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
(se não entendeu a resolução, é recomendável que revise a lista anterior de cálculo)
Ok, temos essa pré-equação aí, mas temos duas constantes não-resolvidas aí. C e K. Temos também duas informações prévias que podemos usar agora, mas não fazia sentido anteriormente. Primeiro, a temperatura do corpo ao ser colocada no ambiente é 0°F, o que indica que sua temperatura inicial T(0) é 0°F. Outra informação é que, em T(10) é 25°F. A informação mais conveniente no momento é T(0) para determinar C.
Veja:
$$T(0) = 100 + Ce^{-0K} = 0 \\ 100 + Ce^0 = 0 \\ 100 + C = 0 \\ C = -100$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-Kt}$$
E agora convém usar a segunda informação a nosso favor.
$$T(10) = 100 - 100e^{-10K} = 25 \\ -100e^{-10K} = 25-100 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} \approx 0.029$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-0.029t}$$
Agora dá pra resolver o exercício.

O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50°F. Temos que T(t) = 50°F. Queremos descobrir o valor de t e, colocando o resultado, vemos que t é a única variável que sobra, então podemos resolver.
$$T(t) = 100 - 100e^{-0.029t} = 50 \\ -100e^{-0.029t} = 50 - 100 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Ou seja, em aproximadamente 23.9 minutos.

A temperatura do corpo após 20 minutos. Mais fácil que o primeiro, bem mais fácil. Temos o valor de t, não temos a resposta, então é só jogar no lugar de t na equação e resolver.
$$T = 100 - 100e^{-0.029 \times 20} = 100 - \dfrac{100}{e^{0.58}} = 100 - 55.99 \approx 44.01°F$$
Resolvido. Próximo.

22. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0°F. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40°F e após 40 minutos é 20, determine a temperatura inicial do corpo.
Ok, temos a seguinte informação inicial pra equação: a temperatura do ambiente é 0°F. Nada mais, só isso. E é suficiente pra resolver bem a equação, quer ver?
$$T' + KT = 0K = 0 \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = 0 \\ e^{Kt}T = C \\ T = Ce^{-Kt}$$
Vejamos agora. Temos duas informações, a primeira é: T(20) = 40, T(40) = 20. Se você analisar, nenhuma delas vai anular alguma variável pra gente trabalhar com a outra, então vamos ver:
$$Ce^{-20K} = 40 \\ \ln{Ce^{-20K}} = \ln{40} \\ \ln{C} + \ln{e^{-20K}} \approx 3.69 \\ \ln{C} - 20K = 3.69$$
$$Ce^{-40K} = 20 \\ ln{Ce^{-40K}} = \ln{20} \\ ln{C} + \ln{e^{-40K}} \approx 2.99 \\ \ln{C} - 40K = 2.99$$
Temos aqui um sistema linear com duas variáveis e duas expressões. Bem simples, podemos resolvê-lo simplesmente invertendo o sinal de uma das expressões pra cortar o lnC, assim:

$$\begin{cases} \ln{C} - 20K = 3.69 \\
-\ln{C} + 40K = -2.99 \end{cases} \\ 20K = 0.7 \\ K = \dfrac{0.7}{20} = 0.035$$
Ok, agora para C:
$$\ln{C} - 20 \times 0.035 = 3.69 \\ \ln{C} = 3.69 + 0.7 = 4.39 \\ C = e^{4.39} \approx 80.64$$
Logo, a equação final é:
$$T = 80.64e^{-0.035t}$$
Sendo assim, o T inicial T(0) é:
$$T(0) = 80.64e^{-0.035 \times 0} = 80.64e^0 = 80.64$$
E essa é a resposta do exercício.

23. Um corpo à temperatura de 50°F é colocado em um forno cuja temperatura é mantida a 150°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 75°F, determine o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 100°F.
Temperatura ambiente Tm é 150°F. O resto não tem nada. Já basta pra iniciar a equação diferencial:
$$T' + KT = 150K \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 150K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 150K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 150K dt = 150e^{Kt} + C \\ T = 150 + Ce^{-Kt}$$
Agora outras informações: T(0) = 50, T(10) = 75. T(0) sempre é conveniente pra descobrir a constante C, então usaremos ele:
$$T(0) = 150 + Ce^0 = 50 \\ C = 50 - 150 = -100 \\ T = 150 - 100e^{-Kt}$$
$$T(10) = 150 - 100e^{-10K} = 75 \\ -100e^{-10K} = 75 - 150 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} = 0.029 \\ T = 150 - 100e^{-0.029t}$$
Equação igualzinha a de outro exercício lá. Agora vamos resolver o exercício T(t) = 100. Veja bem:
$$T = 150 - 100e^{-0.029t} = 100 \\ -100e^{-0.029t} = 100 - 150 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Sim. É o mesmo resultado da 21. Próxima.

24. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Se, para uma quantidade inicial de uma substância de 100 miligramas, se observa um decréscimo de 5% após dois anos, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante no tempo t;
b) o tempo necessário para uma redução de 10% da quantidade inicial.
Crescimento e decrescimento é sempre o mais fácil, porque sempre depende de pouca coisa. Veja, a equação diferencial pra decrescimento é: N' - KN = 0. Sendo a massa da substância N e K uma constante da equação. Vamos resolvê-la:
$$I(t, N) = e^{\int -Kdt} = e^{-Kt} \\ e^{-Kt} [N' - KN] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{-Kt} N] = 0 \\ e^{-Kt} N = C \\ N = Ce^{Kt}$$
Ok, ok. Sabemos que N é a massa, e que a massa inicial N(0) é igual a 100mg. Substituímos os valores na equação:
$$100 = Ce^0 = C \\ N = 100e^{Kt}$$
E temos que essa massa diminui 5% após dois anos. Se temos 100mg e diminuímos 5%, temos 95mg (hurr). O tempo é 2 anos. Substituímos na equação:
$$95 = 100e^{2K} \\ e^{2K} = \dfrac{95}{100} = 0.95 \\ 2K = \ln{0.95} \approx -0.051 \\ K = \dfrac{-0.051}{2} = -0.026 \\ N = 100e^{-0.026t}$$
Precisamos agora determinar o tempo necessário pra uma redução de 10% da quantidade inicial. Retirando 10% de 100mg temos 90mg, então só substituir N:
$$90 = 100e^{-0.026t} \\ e^{-0.026t} = 0.9 \\ -0.026t = \ln{0.9} = -0.105 \\ t = \dfrac{-0.105}{-0.026} \approx 4.05$$
Ou seja, 4.05 anos. Essa é a resposta.

25. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após uma hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a "meia-vida" (half life) da substância. (Sugestão: designe por N0 a quantidade inicial da substância. Não é preciso conhecer N0 explicitamente)
Nem precisamos trabalhar a equação pra saber que será a mesma coisa da anterior. Não tem valor do outro lado, não tem nem como mudar.
Então, vamos seguir a dica do exercício e determinar um N0 para o momento inicial N(0):
$$N_0 = Ce^{0} = C \\ N = N_0 e^{Kt}$$
Agora temos a informação de que há redução de 10% da quantidade inicial quando se passa uma hora. A massa restante, obviamente, é 90%. Representamos 90% da massa inicial por 0.9N0, assim:
$$0.9N_0 = N_0 e^{1K} \\ e^K = 0.9 \\ K = \ln{0.9} \approx -0.105 \\ N = N_0 e^{-0.105t}$$
A meia-vida da substância é quanto ela tem metade, 50%, da massa inicial. Sendo assim, 0.5N0:
$$0.5N_0 = N_0 e^{-0.105t} \\ e^{-0.105t} = 0.5 \\ -0.105t = \ln{0.5} = -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.105} \approx 6.6$$
Exato, 6.6 horas.

26. Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial.
A equação é a mesma: N' - KN = 0. Como tal, vamos usar a solução inicial das outras questões de crescimento/decrescimento. Também podemos nos estender ainda mais e usar aquela solução com N0 do exercício passado. No caso:
$$N = N_0 e^{Kt}$$
Temos duas informações: após 10 anos, a população triplica, ou seja, é de 3N0. Após 20 anos, é de 150k habitantes. Perceba que se usarmos N0 do outro lado, podemos cortar os dois N0 e deixar apenas K de variável, assim podendo determiná-la... Então, bem, compensa mais usar a informação que temos com 10 anos.
$$3N_0 = N_0 e^{10K} \\ e^{10K} = 3 \\ 10K = \ln{3} \approx 1.099 \\ K = \dfrac{1.099}{10} \approx 0.109 \\ N = N_0 e^{0.109t}$$
Agora podemos usar a segunda informação para isolar e descobrir N0, veja:
$$150000 = N_0 e^{0.109 \times 20} = N_0 e^{2.18} \\ N_0 = \dfrac{150000}{e^{2.18}} \approx 16956$$
Ou seja, a população inicial era de aproximadamente 16956 habitantes.

Sendo assim, estão resolvidos todos os exercícios do livro recomendado a respeito de variação de temperatura e crescimento/decrescimento de dados diversos. Os próximos são os de circuitos, e os próximos de queda livre. Posso chegar a resolver os de escoamento e de trajetória ortogonal também, mas como não foi conteúdo em sala, não creio que vá cair na prova e não darei prioridade nenhuma a eles.
No mais, é isso. Bom dia a todos!

Aula IX - Mecânica dos Sólidos

Exercício 2

O que o exercício nos pede é o momento com relação ao ponto B. Já está tudo expresso no gráfico dessa vez, mas é bom treinar para resolver a prova e saber resolver qualquer caso - a lista provavelmente ajudará bastante, mas isso é matéria de fácil aplicação em casos inúmeros da vida profissional e até mesmo com alguns probleminhas em casa.
De qualquer forma, como eu disse, já está tudo expresso no gráfico, é só fazer uma análise minuciosa de cada detalhe de lá - depois disso, vemos o que usaremos mesmo.

Primeiro, temos um vetor posição que mostra aonde está, numa parede, a força aplicada e aponta positivamente no eixo y e negativamente no eixo x. Com relação a B, a parede tem uma distância de 200mm (0.2m, considerando o sentido, -0.2m). A altura da força com relação a B é de 160mm, 0.16m positivo.
Temos um vetor posição representado assim:
$$\vec{r}_{AB} = -(0.2m)\hat{i} + (0.16m)\hat{j}$$
Quanto à força, é nos dado um módulo de 800N e um ângulo de 60° que se localiza no eixo x. Sendo assim, x está relacionado com o cosseno e y com o seno:
$$F_x = F \cos{60} = 800 \times \dfrac{1}{2} = 400N \\ F_y = F \sin{60} = 800 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 693N \\ \vec{F} = (400N)\hat{i} + (693N)\hat{j}$$

Lembrando que o exercício pede o momento com relação ao ponto B. A fórmula para o momento de um ponto é o produto vetorial entre a posição e a força, então temos que a resolução se dá simplesmente por:
$$\vec{M}_B = \vec{r}_{AB} \times \vec{F} = [(-0.2m)\hat{i} + (0.16m)\hat{j}] \times [(400N)\hat{i} + (693N)\hat{j}] \\ = [-0.2m \times 400N]\hat{i} \times \hat{i} + [-0.2m \times 693N]\hat{i} \times \hat{j} + [0.16m \times 400N]\hat{j} \times \hat{i} + [0.16m \times 693N]\hat{j} \times \hat{j} \\ 0 + (-138.6Nm)\hat{k} + (64Nm)-\hat{k} + 0 = (-138.6Nm - 64Nm)\hat{k} = -202.6Nm$$

E está resolvido.

Exercício 3

Mais uma vez, o gráfico já foi expresso previamente nesse. Temos um módulo de força de 135N sobre um ângulo alfa desconhecido.
Mas veja bem, para esse ângulo alfa, podemos usar uma simples relação do teorema de Tales. A figura te dá um triângulo supostamente análogo ALÉM da força e ainda, de quebra, dá um ângulo de 20°. Veja bem, por associação, podemos ver que o ângulo fecha com o eixo imaginário x 50°... Sabemos que a parte superior tem 20°, então alfa é o que resta, 30°.
Visto isso, prossigamos.


Ok, então decompomos os dois. A força e o vetor posição. O vetor posição podemos referenciar ao ângulo de 50, assim trabalhando x no cosseno e y no seno:
$$\vec{r} = [0.9m \cos{50}]\hat{i} + [0.9m \sin{50}]\hat{j} = (0.58m)\hat{i} + (0.69m)\hat{j}$$
E a força, com o ângulo que descobrimos:
$$\vec{F} = [135N \cos{30}]\hat{i} + [135N \sin{30}]\hat{j} = (116.91N)\hat{i} + (67.5N)\hat{j}$$

Agora lembremos da expressão pro momento, que é o produto vetorial entre a distância e a força. Assim como o professor, resolveremos essa em forma de matriz:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{pmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0.58m & 0.69m & 0 \\
116.91N & 67.5N & 0
\end{pmatrix}  = ([0.69m \times 0] - [0 \times 67.5N])\hat{i} \\ - ([0.58m \times 0] - [0 \times 116.91N])\hat{j} + ([0.58m \times 67.5N] - [0.69m \times 116.91])\hat{k} \\ = [39.15Nm - 80.67Nm]\hat{k} = -41.52Nm$$

Lista VI - Cálculo Diferencial e Integral III

Bem, essa lista (ou essas páginas) são todinhas de resolução de equações diferenciais com o uso do fator integrante. Nenhuma aplicação, nada, só a resolução pura. Bom pra treinar inicialmente.

1.
$$y' - 7y = e^x$$
Se pensarmos no formado y' + p(x)y = q(x), temos que p(x) é -7. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x}$$
Multiplicando o fator integrante dos dois lados:
$$e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \times e^{x} = e^{-6x}$$
Aplicando a propriedade I(x, y) * [y' - 7y] = d[I(x, y) * y]/dx, fica:
$$\dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = e^{-6x}$$
Integrando os dois lados:
$$e^{-7x} \times y = \int e^{-6x}dx = -\dfrac{1}{6} e^{-6x} + C$$
Isolando y:
$$y = -\dfrac{e^{-6x}}{6 e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = - \dfrac{1}{6 e^{-x}} + Ce^{-7x} = - \dfrac{1}{6} e^x + Ce^{7x}$$

2.
$$y' -  7y = 14x$$
p(x) = -7, assim como no exercício anterior. Sendo assim, vamos apenas repetir os passos de antes:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = 14x \times e^{-7x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = 14x \times e^{-7x}$$
$$e^{-7x} \times y = \int 14x \times e^{-7x} dx = \\ 14 \int xe^{-7x} dx = 14 [x(\dfrac{e^{-7x}}{-7}) - \int \dfrac{e^{-7x}}{-7} \times 1 dx] = \\ 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} + \dfrac{1}{7} \dfrac{e^{-7x}}{-7}] = 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} - \dfrac{e^{-7x}}{49}] = \\ 2xe^{-7x} - \dfrac{2}{7} e^{-7x} + C$$
$$y = \dfrac{-2xe^{-7x}}{e^{-7x}} - \dfrac{2e^{-7x}}{e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = -2x - \dfrac{2}{7} + Ce^{7x}$$
Foi usado o conceito de integral por partes aqui, presumo que estejam familiarizados.

3.
$$y' - 7y = \sin{2x}$$
p(x) continua sendo o mesmo.
$$I(x, y) = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \sin{2x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} y] = e^{-7x} \sin{2x}$$
Pela existência de um número de Euler e um seno ambos no mesmo grau, já dá pra se presumir que haverá uma integral ciclica. E sim, haverá, aí vem:
$$e^{-7x} y = \int e^{-7x} \sin{2x} dx = e^{-7x} (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) - \int (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \cos{2x} dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [e^{-7x} (\dfrac{\sin{2x}}{2}) - \int (\dfrac{\sin{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [\dfrac{1}{2} e^{-7x} \sin{2x} + \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \sin{2x} dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x} - \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
Como essa é a volta ao ciclo inicial, só jogar pro outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx + \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{53}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
E jogar a fração de volta dividindo tudo o que está do outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{4}{53} [-\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x}] = \\ -\dfrac{4}{106} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{28}{212} e^{-7x} \sin{2x} = \\ -\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C$$
Ok, ok, é esse o resultado da integral. Mas ainda precisamos passar o número de Euler dividindo:
$$y = \dfrac{1}{e^{-7x}}[-\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C] \\ = -\dfrac{2}{53} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} \sin{2x} + Ce^{7x}$$
Complicadinha, mas resolvida.

4..
$$y' + x^2 y = x^2$$
p(x) agora é x², logo:
$$I(x, y) = e^{\int x^2 dx} = e^{x^3/3} \\ e^{x^3/3} [y' + x^2 y] = e^{x^3/3} x^2 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^3/3} y] = e^{x^3/3} x^2$$
Integrando dos dois lados:
$$e^{x^3/3} y = \int e^{x^3/3} x^2 dx = \int e^u x^2 \dfrac{du}{\dfrac{3x^2}{3}} = \int e^u du = e^u + C = e^{x^3/3} + C$$
Passando número de Euler pro outro lado:
$$y = \dfrac{e^{x^3/3}}{e^{x^3/3}} + \dfrac{C}{e^{x^3/3}} = 1 + Ce^{-x^3/3}$$

5.
$$y' + \dfrac{2}{x} y = x; y(1) = 0$$
Agora há um diferencial: tem um valor inicial dado pra gente descobrir C, mas fora isso é igual todas as outras. Primeiro, como todas as outras, vamos resolver a parte que não precisa jogar valor:
p(x), como visto, é 2/x. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int \dfrac{2}{x} dx} = e^{2 \int \dfrac{1}{x} dx} = e^{2 ln|x|} = e^{ln|x^2|} = x^2$$
Multiplicando os dois lados:
$$x^2 [y' + \dfrac{2}{x} y] = x^2 x \\ \dfrac{d}{x} [yx^2] = x^3$$
Integrando os dois lados:
$$yx^2 = \dfrac{x^4}{4} + C$$
Isolando y:
$$y = \dfrac{x^4}{4x^2} + \dfrac{C}{x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{C}{x^2}$$
Agora sim. Temos que, quando x é 1, y é 0. Então vamos substituir os valores e isolar C:
$$0 = \dfrac{1}{4} \times 1^2 + \dfrac{C}{1^2} = \dfrac{1}{4} + C \\ C = -\dfrac{1}{4}$$
Substituindo C na equação final:
$$y = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4} x^{-2} = \dfrac{1}{4} [x^2 - x^{-2}]$$

6.
$$y' + 6xy = 0; y(\pi) = 5$$
Obviamente, p(x) = 6x. Então:
$$I(x, y) = e^{\int 6x dx} = e^{3x^2} \\ e^{3x^2} [y' + 6xy] = 0 \\ \dfrac{d}{x} [e^{3x^2} y] = 0 \\ e^{3x^2} y = C \\ y = \dfrac{C}{e^{3x^2}} = Ce^{-3x^2}$$
Jogando os valores:
$$Ce^{-3\pi^2} = 5 \\ \dfrac{C}{e^{3\pi^2}} = 5 \\ C = 5e^{3\pi^2}$$
E é isso aí mesmo, o livro não fica arredondando então não tem pra que a gente fazer isso. Só substituir:
$$y = 5e^{3\pi^2} \times e^{-3x^2} = 5e^{3(\pi^2 - x^2)}$$
E pra ficar da mesma maneira do livro, invertemos os sinais lá em cima só:
$$y = 5e^{-3(x^2 - \pi^2)}$$

7.
$$y' - \dfrac{3}{x^2}y = \dfrac{1}{x^2}$$
p(x) fica -3/x², assim:
$$I(x, y) = e^{\int -3/x^2} = e^{3/x} \\ e^{3/x} [y' - \dfrac{3}{x^2}y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{3/x} y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ e^{3/x} y = \int \dfrac{e^{3/x}}{x^2} dx = \int \dfrac{e^u}{x^2} \dfrac{dx}{\dfrac{-3}{x^2}} = \dfrac{-1}{3} e^u = \dfrac{-1}{3} e^{3/x} + C \\ y = -\dfrac{1}{3} + Ce^{-3/x}$$

8.
$$y' = \cos{x}$$
Não entendi ao certo porque essa questão tá aqui, mas pela praticidade vamos só integrar por favor:
$$\dfrac{dy}{dx} = \cos{x} \\ y = \int \cos{x} dx = \sin{x} + C$$

9.
$$y' + 2xy = 2x^3; y(0) = 1$$
p(x) é facilmente identificável como 2x.
$$I(x, y) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2} \\ e^{x^2} [y' + 2xy] = e^{x^2} 2x^3 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^2} y] = e^{x^2} 2x^3 \\ e^{x^2} y = \int e^{x^2} 2x^3 dx$$
Essa integral é massa. Não, sério. O truque que vou fazer aqui é muito bom, milagre da lógica: vamos chamar x² de u pra ver no que vai dar:
$$\int e^u u 2x dx$$
Eita... Agora notem o seguinte: deriva x² pra ver no que dá. 2x, certo? Não bate com o que sobrou ali? Podemos então chamar 2xdx de du. Fica assim:
$$e^{x^2} y = \int e^u udu = u e^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C = x^2 e^{x^2} - e^{x^2} + C \\ y = x^2 - 1 + Ce^{-x^2}$$
Jogando os valores:
$$y(0) = 0 - 1 + Ce^0 = 1 \\ -1 + C = 1 \\ C = 1+1 = 2$$
E substituindo C:
$$y = x^2 - 1 + 2e^{-x^2}$$

O resto eu até consegui resolver, mas foi de uma metodologia estranha usando tangente hiperbólica e coisa pior ainda que foi só usando calculadora mesmo, não entendi nada. Então deixo pra vocês até aqui mesmo, já em seguida vou botar os exercícios de aplicação que consegui.
Bom dia a todos!

Aula XII - Física Geral II

Lei de Biot-Savart

$$d\vec{B} = \dfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$$
De forma modular:
$$dB = \dfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{dl \sin{\theta}}{r^2}$$

Exemplo: campo magnético gerado por uma espira no ponto P sobre o eixo.

$$dB_{x} = |dB| \cos{\alpha}$$
Aplicando a lei de Biot-Savart:
$$dB = \dfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{dl \sin{\theta}}{r^2}$$
Nota que o ângulo theta entre o eixo absoluto x e o eixo absoluto z é 90° - regra da mão direita: o módulo dB tem componentes em ij, a resultante da regra dá k, por regra a transição de um eixo pro outro dessa maneira simples é 90°. O r, notando pela figura, é uma hipotenusa formada por um triângulo com R e x de cateto, logo é aplicado o teorema de Pitágoras:
$$dB = \dfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{dl \sin{90}}{(\sqrt{R^2 + x^2})^2} = \dfrac {\mu_0 i}{4 \pi} \dfrac{dl}{R^2 + x^2}$$
Relacionando o triângulo, percebemos que o cosseno de alfa é o cateto adjacente R pela hipotenusa r. Logo:
$$\cos{\alpha} = \dfrac{R}{r} = \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}}$$
Agora só jogar na equação:
$$dB_{x} = |dB| \cos{\alpha} = \dfrac{\mu_0 i dl}{4 \pi (R^2 + x^2)} \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}} = \dfrac{\mu_0 i dl R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}}$$
Querendo saber o B, e não apenas dB, temos que integrar os dois lados:
$$\int dB =  \int \dfrac{\mu_0 i dl R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} \\ B = \dfrac{\mu_0 i R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} \int dl = \dfrac{\mu_0 i R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} \int^{2\pi}_{0} \int^{R}_{0} dr d\theta \\ = \dfrac{\mu_0 i R}{4 \pi (R^2 + x^2)^{3/2}} (2\pi R) = \dfrac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$$

E a aula foi só isso e slides. É provável que não esteja tão fácil de entender, mas fica como desafio tentar entender tudinho porque o desenho dá essas informações necessárias todas. Inclusive o fato do desenho ser dado pronto atrapalha um pouco explicar detalhadamente, mas bem, a lei de Biot-Savart vai ser mais usado como truque da matemática então deixo as explicações detalhadas pro portfolio.
Boa noite a todos.

(quanto aos desenhos ainda piores, estou usando versão mais antiga do Paint... É pouca zueira??)