Aula V - Circuitos Elétricos

Calcule $i_0$.

Desisti de desenhos mais bonitinhos... O tempo é curto e não somos designers

Ok, aí temos um monte de linhas diagonais que podemos redesenhar assim:

Agora que dá pra entender bem o que está acontecendo, vamos aplicar o Teorema da Superposição: deixar apenas uma fonte, resolver o circuito nela e anotar o resultado; depois deixar apenas outra, e apenas outra, até que tenhamos o resultado pra todas, e aí vamos juntar. Primeiro, vamos isolar a fonte de corrente de 4A.

A estratégia padrão pra esses circuitos é desmontá-los pra descobrir o valor total que falta. No caso, como temos uma fonte de corrente de 4A, essa é a corrente total. É possível descobrir a resistência equivalente, e com esses dois elementos juntos temos a voltagem. A partir daí, trabalhamos isoladamente parte a parte.
Vamos pela resistência, então. Perceba que, nesses nós, o que podemos trabalhar atualmente é a resistência em série entre os pontos CB e a paralela nos pontos AC.
$R_{CB} = 3+6 = 9\Omega$

$\dfrac{1}{R_{AC}} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$
$R_{AC} = \dfrac{12}{5} = 2.4\Omega$

Esses resistores AC e CB acabam ficando em série, formando um único resistor ACB. Perceba que estamos trabalhando as letras do primeiro ponto ao último ponto, pra ficar mais fácil de identificar.
$R_{ACB} =  2.4+9 = 11.4\Omega$

E esse resistor ACB, como vai de A a B, acaba ficando em paralelo com aquele outro resistor AB do outro lado do circuito.
$R_T = \dfrac{11.4 * 3}{11.4 + 3} = \dfrac{34.2}{14.4} = 2.375\Omega$

Com isso, podemos fazer a relação U = Ri para descobrir a voltagem total:
$V_T = 2.375\Omega * 4A = 9.5V$

Ótimo, temos os totais, então vamos fazer as outras partes agora. Vamos passo a passo no circuito, porque não dá pra simplesmente operar aquele ponto. Primeiro, veremos bem como estão as correntes: a corrente 4A se divide em duas, uma que vai para o resistor de 3, e outra que vai para toda aquela parafernália de resistores do outro lado.
Dessa outra, um pouco vai pra cima e todo o resto continua reto, ent... Basta. $i_0$ está nesse ponto, se você notar bem. Só que está no sentido oposto, ou seja: ele será o negativo da corrente que podemos descobrir nesse ponto. Claro que não dá pra descobrir direto, como eu disse: vamos ter que fazer passo a passo. Para descobrir essa corrente, é necessário saber a voltagem nessa resistência em paralelo e a resistência dos três últimos resistores (os que essa corrente vai atingir).
Primeiro a resistência, que é fácil:
$\dfrac{1}{R_0} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{4}{12}$
$R_0 = \dfrac{12}{4} = 3\Omega$

A voltagem fica um pouco mais complicada, mas nada muito absurdo. Veja bem, pra descobrir a voltagem nesse ponto (ACB), precisamos da resistência equivalente dele e da voltagem. Temos a resistência ACB de $11.4\Omega$, e a voltagem não se divide nos nós então ela é total. Logo:
$i_{ACB} = \dfrac{9.5}{11.4} \approx 0.83A$
Agora, sabemos que os resistores equivalentes consomem uma voltagem, o de 6 mais uma, e o de 3 o que sobrar. Só precisamos da voltagem dos resistores equivalentes, então:
$V_{AC} = \dfrac{9.5}{11.4}A * 2.4\Omega = \dfrac{22.8}{11.4}V = 2V$

Ótimo! Agora só descobrir a corrente pegando essa voltagem e o $R_0$ ali.
$i_{0+} = \dfrac{2V}{3\Omega} \approx 0.67A$
Se $i_0$ é o inverso disso:
$i_0 = -\dfrac{2}{3}A = \approx -0.67A$

Ok, a primeira $i_0$ está descoberta. A segunda a gente faz isolando a fonte de corrente 1A.

Vejam os senhores o seguinte: o circuito começa na fonte de corrente 1A e ela se divide para dois pontos, uma sequência de dois resistores de $3\Omega$ e pro outro lado. No outro lado, há um resistor de 6 em série com 4 resistências em paralelo (3 delas com 12, uma com 6). A corrente que queremos é $i_0$ que está entre o primeiro e segundo resistor de 12, ou seja: nesse ponto um pouquinho vai pro primeiro de 12, e o resto, que vai passar pelas outras três resistências, é $i_0$.
Continua parecendo complicadinho, mas dá pra resolver de boa. Veja bem, primeiro vamos descobrir a tensão porque ela é essencial. Para isso, vamos fazer a equivalência de todas as resistências do circuito:
$R_{ACB} = 3+3 = 6\Omega$
$\dfrac{1}{R_{DB}} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$
$R_{DB} = \dfrac{12}{5} = 2.4\Omega$
$R_{ABD} = 2.4+6 = 8.4\Omega$
$R_T = \dfrac{8.4*6}{8.4+6} = \dfrac{50.4}{14.4} = 3.5\Omega$
Logo:
$V = 3.5\Omega * 1A = 3.5V$
Então ok, vamos primeiro descobrir qual a corrente que foi para o lado com todas aquelas resistências em paralelo, porque o outro é irrelevante:
$i_{ABD} = \dfrac{3.5V}{8.4\Omega} \approx 0.42A$
Ótimo, agora descobriremos a voltagem no ponto das quatro resistências em paralelo:
$V_{DB} = \dfrac{3.5}{8.4}A * 2.4\Omega = \dfrac{8.4}{8.4}V = 1V$
Com isso, podemos descobrir $i_0$ de duas maneiras: descobrindo a resistência equivalente entre apenas os três resistores por onde ele passa, ou descobrindo o i que vai para o primeiro resistor e subtraindo-o do $i_{ABD}$, porque aí sobra só o que continua para os três resistores. O segundo método é definitivamente mais fácil, então vamos fazer:
$i''_0 = \dfrac{2.5}{6} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{2.5 - 0.5}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0.33A$
Certo? No caso, só pra deixar bem claro: a primeira corrente é tudo o que foi praquele lado, a segunda é o que desceu. Logo, o que sobrou foi $i_0$. Próximo circuito!

Ok, ok, vamos primeiro analisar o circuito. Temos uma fonte de 12V e o circuito segue a direita, aonde passa por uma resistência em paralelo e volta ao normal (no caso, a corrente volta a ser total, a tensão já foi consumida), depois a corrente se divide em mais três partes que têm a mesma resistência total.
Vamos primeiro descobrir qual é essa corrente total, através da resistência total:
$R_{AC} = \dfrac{12*6}{12+6} = 4\Omega$
$R_{BCa} = \dfrac{12*12}{12+12} = \dfrac{144}{24} = 6\Omega$
$R_{BDC} = 3+3+6 = 12\Omega$
$R_{BC} = \dfrac{6*12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$
$R_T = 4+4 = 8\Omega$
$i_T = \dfrac{12V}{8\Omega} = 1.5A$
Agora não precisamos fazer mais nada, se não usar do nosso raciocínio lógico: na segunda parte do circuito, temos uma corrente de 1.5A que se divide por três resistências de 12, iguais. Ou seja: 0.5A pra cada. $i_0$ é a corrente que sobra após 1.5A se dividir entre o primeiro e os outros dois, e sabemos que 0.5A vai para o primeiro, logo:
$i'''_0 = 1.5 - 0.5 = 1A$

Somando tudo agora:
$i_0 = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{3} \approx 2.33A$

Próximo exercício.


Calcule $V_0$.

Ok, primeiro vamos isolar a tensão de 72V.

Temos um circuito bem simples. Ele passa inicialmente por uma resistência de 4 e se divide em três resistores, de 4, 2 e 3 (2+1) respectivamente. A tensão foi medida no último, no ponto aonde há apenas um resistor de 1. Bem, parece complicadinho, mas vamos por partes: primeiro descobrir a corrente total, ela é importante. Sempre é.
$R_S = 2+1 = 3\Omega$
$R_{eq1} = \dfrac{3*2}{3+2} = \dfrac{6}{5} = 1.2\Omega$
$R_{eq2} = \dfrac{1.2*4}{1.2+4} = \dfrac{4.8}{5.2} = \dfrac{1.2}{1.3} \approx 0.92\Omega$
$R_T = 4+\dfrac{1.2}{1.3} = \dfrac{5.2+1.2}{1.3} = \dfrac{6.4}{1.3} \approx 4.92\Omega$
(lembrando que era mais fácil simplesmente somar 4 ao valor aproximado, de fato, mas eu já especifiquei porque eu sempre trabalho com fração com valores imprecisos)
$i_T = \dfrac{72}{\dfrac{6.4}{1.3}} = \dfrac{72*1.3}{6.4} = \dfrac{93.6}{6.4} = 14.625A$
(coisa que não daria exato se eu não usasse fração)
Agora descobriremos a tensão nos três resistores em paralelo:
$V_{eq} = 14.625A*\dfrac{1.2}{1.3}\Omega = \dfrac{17.55}{1.3}V = 13.5V$
E agora, a corrente que vai para aqueles dois resistores que analisaremos a tensão $V'_0$:
$i_0 = \dfrac{13.5V}{3\Omega} = 4.5A$
E $V'_0$...
$V'_0 = 4.5A*1\Omega = 4.5V$

Ótimo, agora o segundo.

Temos outro circuito simples: ele inicia na fonte de 12V e se divide as correntes entre um ponto com uma resistência de 2 e duas resistências em série (2 e 1) em paralelo, depois retorna a corrente total e se divide novamente em dois resistores de 4 em paralelo. Nisso, já deve ter notado que é bem menos complicado que muita coisa por aí.
Primeiro, infelizmente não é daqueles que dá pra descobrir o que queremos sem desmontar todo e descobrir a corrente total... Então façamos isso:
$R_{ACD} = 2+1 = 3\Omega$
$R_{AD} = \dfrac{3*2}{3+2} = \dfrac{6}{5} = 1.2\Omega$
$R_{BD} = \dfrac{4*4}{4+4} = \dfrac{16}{8} = 2\Omega$
$R = 1.2 + 2 = 3.2\Omega$
$i = \dfrac{12V}{3.2\Omega} = 3.75A$
Ótimo. Temos que a corrente total é de 3.75A... E queremos saber a voltagem consumida pelo resistor de $1\Omega$. Como já é uma divisão que ocorrerá em seguida, precisamos nos preocupar em descobrir a corrente no ponto. Pra isso, podemos descobrir a voltagem consumida pelos dois resistores juntos - que, no caso, é a voltagem do resistor equivalente de 3 com 1 que fizemos lá em cima.
Usaremos a corrente total e a resistência equivalente pra isso:
$V_{AD} = 3.75A*1.2\Omega = 4.5V$
E depois só usar essa voltagem com os resistores em série do ponto que queremos para descobrir a corrente:
$i_{ACD} = \dfrac{4.5V}{3\Omega} = 1.5A$
Por último, a voltagem que queremos usando a corrente com o resistor de 1:
$V''_0 = 1.5A*1\Omega = 1.5V$

Resolvido. Resta juntar as voltagens agora e descobrir o resultado final. Lembrando que uma voltagem se opõe a outra porque no caso da fonte de 72V a corrente entra no polo positivo e sai no negativo, e no caso da fonte de 12V ela entra no negativo e sai no positivo. Então subtrairemos para descobrir o resultado final:
$V_0 = 4.5 - 1.5 = 3V$

Next.

Calcule $i_0$.

Superposição de cara. Vamos separar o circuito em três: um com a fonte de tensão de 24V, outro com a de corrente de 4A, outro com a fonte de 36V.

O esquema é o seguinte: circuito bem fácil. Uma tensão é consumida já inicialmente pelo resistor de 12 e o resto é dividido entre os três em paralelo (4, 4, 6). A corrente que precisamos descobrir é a do resistor de 4 do centro (que é a mesma do resistor de 4 do lado, por questões matemáticas). Para isso, precisamos descobrir qual é a corrente total no circuito primeiro desmontando ele todo.
$\dfrac{1}{R_eq} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$
$\dfrac{1}{R_eq} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12}$
$\dfrac{1}{R_eq} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$
$R_eq = \dfrac{3}{2} = 1.5\Omega$

$R = 1.5\Omega + 12\Omega = 13.5\Omega$
$i = \dfrac{24}{13.5} = \dfrac{16}{9} \approx 1.78A$

Deixei dessa forma 16/9 pra ficar mais fácil de trabalhar com fração depois. É muito mais fácil que trabalhar com 13.5, e qualquer uma das duas formas é melhor que trabalhar com o valor aproximado. De qualquer forma, a voltagem no ponto que queremos a corrente é a voltagem da resistência equivalente entre os três resistores, que descobrimos ser 1.5.
Como temos a corrente, é só fazer:
$V_0 = 1.5\Omega * \dfrac{16}{9}A = \dfrac{24}{9}V = \dfrac{8}{3}V \approx 2.67A$

E a corrente é só pegar essa voltagem e colocar sobre a resistência que queremos, que é a de 4:
$i'_0 = \dfrac{\dfrac{8}{3}V}{4\Omega} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \approx 0.67A$

Agora vem os outros dois:

Análise rápida: uma fonte de corrente distribui 4A pra baixo, e a corrente se divide entre dois pontos: um com uma resistência de 12, outro com três resistências em paralelo (4, 4, 6); ou seja, essas duas partes estão em paralelo. A corrente que queremos está descendo, no entanto é fácil notar que a corrente estará subindo nesse caso, então ela será o oposto da corrente no ponto com resistência de 4.
Primeiro a voltagem total, que inclusive usaremos para calcular a corrente, visto que os resistores em paralelo consomem a voltagem total. (o outro resistor de 12 também)
É desnecessário fazer o cálculo da resistência equivalente se ela é a mesma do circuito passado, então já a definiremos como:
$R_{eq} = 1.5\Omega$
E a resistência total será isso em paralelo com 12:
$R = \dfrac{1.5*12}{1.5+12} = \dfrac{18}{13.5} = \dfrac{4}{3} \approx 1.33\Omega$
$V = 4A * \dfrac{4}{3}\Omega = \dfrac{16}{3}V \approx 5.33\Omega$

Logo, para a corrente que queremos porém no sentido original, usaremos essa tensão e a resistência de 4:
$i_x = \dfrac{\dfrac{16}{3}V}{4\Omega} = \dfrac{16}{12}A = \dfrac{4}{3}A \approx 1.33A$
Invertemos o sinal para descobrir a corrente desejada:
$i''_0 = -i_x = -\dfrac{4}{3}A \approx -1.33A$

E o último circuito:

Análise rápida: uma fonte de 36V distribui uma corrente desconhecida pelo circuito. Um resistor de 6 consome um pouco dessa tensão, então ela vai para três resistores em paralelo (4, 4, 12). A corrente desejada está logo abaixo do primeiro resistor de 4, inclusive no sentido original.
É meio inviável descobrir essa corrente sem ter a total, então vamos resolver o circuito todo:
$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1+3+3}{12} = \dfrac{7}{12}$
$R_{eq} = \dfrac{12}{7} \approx 1.71\Omega$
Lembrando que não é confortável usar um valor aproximado, então vamos usar a fração.
$R = \dfrac{12}{7} + 6 = \dfrac{12 + 42}{7} = \dfrac{54}{7} \approx 7.71\Omega$
Com isso, podemos descobrir a corrente:
$i = \dfrac{36V}{\dfrac{54}{7}\Omega} = \dfrac{36*7}{54}A = \dfrac{252}{54}A = \dfrac{14}{3}A \approx 4.67A$
Com essa corrente, podemos descobrir a voltagem nos três resistores em paralelo:
$V_0 = \dfrac{14}{3}A * \dfrac{12}{7}\Omega = \dfrac{168}{21}V = 8V$
E com a voltagem e a resistência de 4, temos o resultado final:
$i'''_0 = \dfrac{8V}{4\Omega} = 2A$

Somamos todas as correntes e temos o resultado final:
$i_0 = \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} + 2 = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{3} \approx 1.33A$


Mil perdões pelo atraso na aula... Acho que tenho no mínimo mais 4 aulas pra postar. Circuitos é fácil de explicar mas demora bastante porque os exercícios são extensos, e os circuitos são horríveis de desenhar de qualquer forma. Acho que vou sofrer nas próximas duas aulas (teorema de Thevenin e de Norton), mas quando entrar capacitância e indutância ficará mais de boa... Pra adiantar, vou ver se consigo fazer alguma coisa nos finais de semana que não tiver estudando.
De qualquer forma, aí está! Perdão pela demora. Como ainda tem bastante gente com dificuldades na base de circuitos, isso ainda pode ter serventia, mesmo tão atrasado.