De longe a mais fácil das listas, mas uma das mais úteis. É a primeira de equações diferenciais e trabalha só com classificação, que é essencial.
Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais:
a) ordem
b) grau (se possível)
c) linearidade
d) função incógnita
e) variável independente
1.
$$(y'')^2 - 3yy' + xy = 0$$
a) Segunda ordem. Essa é bem simples: o primeiro y é derivado duas vezes, e ninguém deriva mais que ele.
b) Segundo grau. O y que é derivado mais vezes está elevado ao quadrado.
c) Não-linear. Pra ser linear a equação precisa, já de cara, ser de primeiro grau.
d) y. Note que o y está sendo derivado, ou seja, ele é a função em questão.
e) x. Nada indica que ele é uma função incógnita.
2.
$$x^4 y^{(4)} + xy''' = e^x$$
a) Quarta ordem. Se o "expoente" do y está entre parênteses, indica que ele está sendo derivado, não elevado a alguma coisa.
b) Primeiro grau. Nenhuma vez y foi elevado a alguma coisa.
c) Linear, o argumento é o mesmo de definir o grau.
d) y. É quem está sendo derivado.
e) x. Mesmos motivos da 1.
3.
$$t^2 \ddot{s} - t \dot{s} = 1 - \sin{t}$$
a) Segunda ordem. A função s que mais é derivada está sendo derivada duas vezes.
b) Primeiro grau. Mesmos motivos da 2.
c) Linear.
d) s. Quem está sendo derivado.
e) t.
4.
$$y^{(4)} + xy''' + x^2 y'' - xy' + \sin{y} = 0$$
a) Quarta ordem. Essa funciona igual a 2.
b) Indefinido. Não há como definir grau nenhum se a função incógnita está dentro de uma função trigonométrica ou logarítmica.
c) Não-linear. Se ela não é de primeiro grau, questão encerrada.
d) y.
e) x.
5.
$$\dfrac{d^n x}{dy^n} = y^2 + 1$$
a) n-ésima ordem. Oras, a função x está sendo derivada n vezes.
b) Primeiro grau. A função x está elevada a 1 na única vez que aparece na equação.
c) Linear. É de primeiro grau.
d) x. Ao contrário da maioria, é a função x que está sendo derivada.
e) y. Nessa fica ainda mais claro, já que o modelo de derivada apresenta x sendo derivada com relação a y.
6.
$$(\dfrac{d^2 r}{dy^2})^2 + \dfrac{d^2 r}{dy^2} + y \dfrac{dr}{dy} = 0$$
a) Segunda ordem. Quando r é mais derivado, ele é derivado 2 vezes.
b) Segundo grau. A maior potência de quando r é derivado duas vezes é 2.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) r.
e) y.
7.
$$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{\frac{3}{2}} + y = x$$
a) Segunda ordem. É o número de vezes que y está sendo derivado quando é derivado.
b) Indefinido. Também não dá pra definir grau quando o expoente está fracionário.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) y.
e) x.
8.
$$(\dfrac{d^7 b}{dp^7}) = 3p$$
a) Sétima ordem. b é derivado SETE vezes nessa equação diferencial.
b) Primeiro grau. A potência da derivada de b é 1.
c) Linear. Se é de primeiro grau por causa de uma única derivada...
d) b
e) p
9.
$$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
a) Primeira ordem. b é derivado só uma vez.
b) Sétimo grau. Essa vez que b aparece, sendo derivado, tudo está elevado a sétima.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) b
e) p
UMA NOTA: não é sempre que uma equação diferencial é linear e de primeiro grau. Infelizmente o primeiro exercício que tivemos quando isso ocorre é na prova (virtual e presencial), então pra muita gente foi meio que chocante, mas... Existem casos em que a equação é de primeiro grau e não-linear. Note que pra definir o grau da equação diferencial você não pega o grau de qualquer função incógnita, e sim APENAS da função incógnita que está sendo derivada mais vezes.
No entanto, a linearidade não depende disso. Se você tem por exemplo uma função que é derivada oito vezes não elevada a nada, e outra função que é derivada uma vez só e é elevada ao cubo, você tem uma equação diferencial de primeiro grau, mas que não é linear porque a linearidade depende do expoente de todas as funções incógnitas.
Agora não aparecerão mais questões de classificação, acho. Mas você terá de classificar automaticamente para resolvê-las no futuro, então tome cuidado com isso.
Um bom dia a todos!
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