Aula VIII - Mecânica dos Sólidos

Momento de uma força em relação a um eixo

Gráfico generalista:

É recomendável ver o desenho no seu tamanho original

Aonde:
d é a distância perpendicular de 0 até a linha de ação do vetor F.

$$\vec{M_0} = \vec{r} \times \vec{F} = |\vec{r}||\vec{F}| \sin{\theta}$$

Esse é o momento, ele é perpendicular ao plano que contém o ponto 0 e F, e é dado em Nm (Newtons-metro).

r é o vetor posição.
F é o vetor força.

Análise da figura

$$\sin{\theta} = \dfrac{d}{r} \\ d = r \sin{\theta} \\ |\vec{M_0}| = Fd$$

1. Uma força vetorial de 450N é aplicada na extremidade de uma alavanca que está ligada a um eixo O. Determine:

a) o momento da força de 450N em relação a O;

b) a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O;

c) a força mínima aplicada a A que gera o mesmo momento em relação a O;

d) a que distância do eixo deve estar uma força vertical de 1080N para gerar o mesmo momento em relação a O.

Ok, por onde começar... Seguinte. Não se assustem tanto com o gráfico acima todo 3D e tal, essa figura trabalha apenas em dois eixos, o que significa que só teremos x e y. Precisamos primeiro descobrir o momento dessa figura aí, crua, sem fazer nenhuma alteração. Lembrando que momento se dá em Newtons-metro, já vamos fazer a conversão necessária:

x = 60cm = 0.6m

Agora vamos trabalhar de fato. Vamos terminar uma linha de ação pra força de 450N e traçar uma reta perpendicular que sai do ponto O e vai até essa linha de ação. Assim:

Veja bem, a trigonometria básica nos diz que:
$$\cos{\theta} = \dfrac{CA}{h}$$

No caso, d é o cateto adjacente e a hipotenusa é 0.6m. O ângulo theta é 60°.

$$d = 0.6m * \cos{60°} = 0.3m$$

O momento se dá por Fd. Temos F, e agora temos d...

$$\vec{M_0} = 450N * 0.3m = 135Nm$$

Agora a letra B é o seguinte. Ela pede uma força horizontal em A que tenha o mesmo momento anterior, ou seja, M está determinado 135Nm.

O que vamos fazer é inverter a direção da força, que está no eixo y, para o eixo x. Ficará assim:

Agora é simples: é só fazer a mesma associação que fizemos pra A, pra B, pra descobrir o d. Depois jogar na fórmula pra descobrir o F. Primeiro, o gráfico fica bem assim:

A "descoberta" do ângulo tem que ser óbvia. Conhece-se o 60, pra fechar 90 falta 30. Bem, agora vamos fazer as contas para d, sabendo que ele é o cateto adjacente.

$$d = 0.6 \cos{30°} \approx 0.52m$$

E então jogar na equação do momento:

$$135Nm = F * 0.52m \\ F = \dfrac{135Nm}{0.52m} \approx 259.61N$$

Ótimo. Agora letra C: o F mínimo para que A gere o momento de 135Nm que descobrimos anteriormente. Vamos ver como é a equação da força nessa situação:

$$|\vec{M_0}| = Fd \\ F = \dfrac{|\vec{M_0}|}{d}$$

Se queremos a força mínima, matematicamente falando queremos o maior valor de d possível. Não é? Quanto maior o dividendo, menor o resultado, etc. Isso é fundamental. Temos que d se dá por uma relação trigonométrica (dependendo do ponto que você pegar, cosseno ou seno). Façamos a análise:

$$d = 0.6 \cos{\theta}$$

O cosseno de alguma coisa varia sempre de 0 a 1, não tem como sair disso. Então o valor mínimo para d é 0, e o valor máximo só pode ser 0.6 (0.6 vezes 1). Logo, o valor máximo que queremos pegar de d é esse 0.6. Jogando tudo na equação:

$$F = \dfrac{135Nm}{0.6m} = 225N$$

Por último, letra D. Essa é a mais fácil, junto com a primeira, porque não tem nenhuma análise a fazer exceto se você quiser bolar um gráfico bonitinho pra confirmar a teoria - vai dar certo, mecânica é mágica. Só sabemos que queremos o mesmo momento de sempre (135Nm) a uma força de 1080N. Então:

$$|\vec{M_0}| = Fd \\ d = \dfrac{|\vec{M_0}|}{F} = \dfrac{135Nm}{1080N} = 0.125m$$

Lembrando que o d é a perpendicular entre o ponto inicial e a linha de ação da força. Inclusive, para descobrir d em todos os outros exercícios, tivemos que pegar aquele x = 0.6m e multiplicar pelo cosseno de alguma coisa. Dessa vez será o oposto:

$$d = x \cos{\theta} \\ x = \dfrac{d}{\cos{\theta}} = \dfrac{0.125m}{0.5} = 0.25m$$

Essa é a distância pra você ter aquele momento aplicando a força de 1080N. E é só isso mesmo. Esse exercício é fundamental pros próximos de momento que vem por aí, que são bem mais pesados, então é bom que entendam bem esse.

Um bom dia a todos!