Aula VI - Mecânica dos Sólidos

Ainda em equilíbrio dos corpos rígidos...
Esse é o desenho passado. Deve ter no livro algum mais bonitinho, mas fiz rápido já na linha de ação porque foi assim que o professor fez.
Lembrando que os ângulos estão daquela maneira por limitação do paint, o ângulo a é $\alpha$ e o ângulo B é $\beta$. Poderíamos usar a e B, mas seria confuso demais, é melhor assim. O resto continua do jeito que está.

O único dado que nos é fornecido é $|P| = 2700N$, e o exercício quer $\vec{T_{AC}}$ e $\vec{T_{BC}}$.

A estratégia inicial é a mesma passada: usar as distâncias para descobrir os ângulos, depooois trabalhar com o resto. Veremos:
$\beta = \tan^{-1}{(\dfrac{36}{48}} = \tan^{-1}{0.75} \approx 36.87°$
$\alpha = \tan^{-1}{\dfrac{60}{63}} \approx 43.6°$
Lembrando que, como essas contas são feitas todas na calculadora pelo fato do ser humano ter esquecido o processo de tangente inversa (supondo que um dia já o soube), não tem muito o que explicar. Só saber usar. Mas ok, temos os ângulos, agora precisamos decompor os vetores.
$\vec{T_{AC}} = (T_{AC} \cos{36.87}N)(-\hat{i}) + (T_{AC} \sin{36.87})\hat{j} = (-T_{AC} \cos{36.87}N)\hat{i} + (T_{AC} \sin{36.87})\hat{j}$
$\vec{T_{BC}} = (T_{BC} \cos{43.6}N)\hat{i} + (T_{BC} \sin{43.6}N)\hat{j}$
$\vec{P} = (P \cos{90}N)\hat{i} + (P \sin{90}N)\hat{-j} = 0\hat{i} + (P N)\hat{-j} = (-2700N)\hat{j}$

Ótimo, agora precisamos só aplicar o equilíbrio dos corpos rígidos. A somatória das forças é igual a 0, então a somatória de suas componentes também é 0.
$\Sigma F = 0$
$\Sigma F_x = 0$
$\Sigma F_y = 0$

No eixo x, temos apenas as forças das trações $T_{AC}$ e $T_{BC}$. A soma delas é igual a 0. Fica dessa forma:
$(T_{AC})_x + (T_{BC})_x = 0$
$-T_{AC} \cos{36.87} + T_{BC} \cos{43.6} = 0$
$T_{BC} \cos{43.6} = T_{AC} \cos36.8$
$T_{AC} = \dfrac{T_{BC} \cos{43.6}}{\cos{36.87}}$
...E é tudo o que podemos fazer por enquanto. Vamos deixar essa equação assim, ela vai ser útil.

Façamos pra y agora, percebendo uma diferença: enquanto as forças $T_{AC}$ e $T_{BC}$ estão unidas no mesmo sentido, tem a tração P indo no sentido oposto delas. Ou seja:
$(T_{AC})_y + (T_{BC})y + P = 0$
(lembremos que o "sentido oposto" já está determinado na componente P lá em cima)
$T_{AC} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} - 2700 = 0$
$T_{AC} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} = 2700$
E agora a grandiosa jogada está aqui: podemos jogar a equação descoberta no eixo x no lugar de $T_{AC}$, e vai sobrar apenas a variável $T_{BC}$ nessa equação. Assim, será possível determiná-lo.
$\dfrac{T_{BC} \cos{43.6}}{\cos{36.87}} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} = 2700$
$T_{BC} \cos{43.6} \tan{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} \approx T_{BC} * 0.72 * 0.75 + T_{BC} * 0.69 = 0.54T_{BC} + 0.69T_{BC} = 1.23T_{BC}$
$1.23T_{BC} = 2700$
$T_{BC} = \dfrac{2700}{1.23} = 2195.12N$

Para $T_{AC}$, só jogar na outra equação agora:
$T_{AC} = \dfrac{2195.12 \cos{43.6}}{\cos{36.87}} \approx \dfrac{2195.12 * 0.72}{0.8} = 1975.61N$
E está resolvido o exercício.

Produto Vetorial

$\vec{P} \times \vec{Q} = area$

$\sin{\theta} = \dfrac{h}{|\vec{Q}|}$
$h = |\vec{Q}|\sin{\theta}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = B*h$
$\vec{P} \times \vec{Q} = |\vec{P}||\vec{Q}| \sin{\theta}$

Componentes retangulares por vetores
$\vec{P} = P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}$
$\vec{Q} = Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = (P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}) \times (Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k})$

$\vec{P} \times \vec{Q} = P_x Q_x \hat{i} \times \hat{i} + P_x Q_y \hat{i} \times \hat{j} + P_x Q_z \hat{i} \times \hat{k} +$
$P_y Q_x \hat{j} \times \hat{i} + P_y Q_y \hat{j} \times \hat{j} + P_y Q_z \hat{j} \times \hat{k} +$
$P_z Q_x \hat{k} \times \hat{i} + P_z Q_y \hat{k} \times \hat{j} + P_z Q_z \hat{k} \times \hat{k}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = 0 + P_x Q_y \hat{k} - P_x Q_z \hat{j} - P_y Q_x \hat{k} + 0 + P_y Q_z \hat{i} + P_z Q_x \hat{j} - P_z Q_y \hat{i} + 0$
$\vec{P} \times \vec{Q} = (P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k}$

Vetores unitários

Tinha mais um gráfico representando o plano 3D, mas não me recordo se era uma simples representação do plano ou se tinha algo a mais que não copiei rs. De qualquer forma, tudo isso de produto vetorial nos lembramos muito bem... Não necessariamente só da Física Geral, como de uma quantidade enorme de matérias aí que temos que usar isso.

Isso será bem usado de agora pra frente porque trabalharemos com mecânica em três dimensões, já que duas é pros fracos. Boa sorte, e um bom dia a todos.