Aula VII - Mecânica dos Sólidos

Bem, essa aula foi basicamente no slide e a resolução de um exercício então será bem simples postar. Aí vai:

Prove através da maneira distributiva e matricial que:
$$\vec{P} \times \vec{Q} \neq \vec{Q} \times \vec{P}$$
O que vou fazer aqui é o seguinte: resolver os produtos vetoriais dos dois lados simultaneamente para mostrar a desigualdade. Acho que consome menos linha de caderno, embora aqui eu tenha espaço o suficiente pra escrever o quanto quiser... Mas acho favorável.
$$(P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}) \times (Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k}) \neq (Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k}) \times (P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k})$$
$$(P_x Q_x \hat{i} \times \hat{i} + P_x Q_y \hat{i} \times \hat{j} + P_x Q_z \hat{i} \times \hat{k}) + (P_y Q_x \hat{j} \times \hat{i} + P_y Q_y \hat{j} \times \hat{j} + P_y Q_z \hat{j} \times \hat{k}) + \\
(P_z Q_x \hat{k} \times \hat{i} + P_z Q_y \hat{k} \times \hat{j} + P_z Q_z \hat{k} \times \hat{k} \neq (Q_x P_x \hat{i} \times \hat{i} + Q_x P_y \hat{i} \times \hat{j} + Q_x P_z \hat{i} \times \hat{k}) + \\
(Q_y P_x \hat{j} \times \hat{i} + Q_y P_y \hat{j} \times \hat{j} + Q_y P_z \hat{j} \times \hat{k}) + (Q_z P_x \hat{k} \times \hat{i} + Q_z P_y \hat{k} \times \hat{j} + Q_z P_z \hat{k} \times \hat{k})$$
$$(0 + P_x Q_y \hat{k} - P_x Q_z \hat{j}) + (-P_y Q_x \hat{k} + 0 + P_y Q_z \hat{i}) + (P_z Q_x \hat{j} - P_z Q_y \hat{i} + 0) \neq\\
(0 + Q_x P_y \hat{k} - Q_x P_z \hat{j}) + (-Q_y P_x \hat{k} + 0 + Q_y P_z \hat{i}) + (Q_z P_x \hat{j} - Q_z P_y \hat{i} + 0)$$
$$(P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k} \neq\\
(Q_y P_z - Q_z P_y)\hat{i} + (Q_z P_x - Q_x P_z)\hat{j} + (Q_x P_y - Q_y P_x)\hat{k}$$
O que é verdadeiro.

Para a maneira matricial:

$$\begin{pmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
P_x & P_y & P_z \\
Q_x & Q_y & Q_z
\end{pmatrix} \neq
\begin{pmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
Q_x & Q_y & Q_z \\
P_x & P_y & P_z
\end{pmatrix}$$
$$-[(P_y Q_x)\hat{k} + (P_z Q_y)\hat{i} + (P_x Q_z)\hat{j}] + [(P_y Q_z)\hat{i} + (P_z Q_x)\hat{j} + (P_x Q_y)\hat{k})]\\
\neq -[(Q_y P_x)\hat{k} + (Q_z P_y)\hat{i} + (Q_x P_z)\hat{j}] + [(Q_y P_z)\hat{i} + (Q_z P_y)\hat{j} + (Q_x P_y)\hat{k}]$$

$$(P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k} \neq\\
(Q_y P_z - Q_z P_y)\hat{i} + (Q_z P_x - Q_x P_z)\hat{j} + (Q_x P_y - Q_y P_x)\hat{k}$$
O que também é verdadeiro, e inclusive igual à resposta anterior.

De qualquer forma, se você der uma analisada aí, vai perceber que os dois não são iguais porque, na verdade, um é o oposto do outro. Inverta os sinais do lado oposto (não-igual) e você terá a operação original:
$$(P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k} =\\
-[(Q_y P_z - Q_z P_y)\hat{i} + (Q_z P_x - Q_x P_z)\hat{j} + (Q_x P_y - Q_y P_x)\hat{k}]$$
Ou seja, naqueles cálculos de momentum do slide, tome cuidado com a ordem dos fatores utilizados.


E foi só isso mesmo o mais essencial para se anotar em aula. Bom dia!