Então, galera. Essa é a primeira lista de equações diferenciais mesmo a se resolver, as outras eu ainda vou negociar com o professor se poderei postar durante o prazo de entrega ou só depois. Mas essa é a que dá a base de todas as equações que estamos resolvendo então, se você ainda tem dúvidas, essa é a hora de tirá-las.
Equações diferenciais que precisam apenas de integração
$$a) xdx + ydy = 0$$
Tradicional. Só precisamos integrar dos dois lados para resolver. Claro que podemos isolar tanto x quanto y, mas o livro padronizou tornar y a função incógnita e x a variável, então assim faremos pra todos os exercícios.
$$\int xdx + \int ydy = C \\
\dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{2} y^2 = C \\
\dfrac{1}{2} y^2 = C - \dfrac{1}{2} x^2 \\
y^2 = 2C - \dfrac{2}{2} x^2 = 2C - x^2 \\
y = \sqrt{2C - x^2}$$
Aqui já está ótimo, mas para colocar a "constante K" na função de acordo com o livro, vamos chamar 2C de K.
$$y = \sqrt{K - x^2}$$
Sendo assim, está todo resolvido. Eu vou fazer isso de chegar na resposta do livro e tal, mas até chegar no "resultado final" com C já é válido, jogar um K no lugar simples como eu fiz agora melhor ainda... Só que tem uns exercícios que eu sinceramente nem vejo a necessidade.
Mas não vou desrespeitar, talvez os matemáticos vejam.
$$b) \dfrac{1}{x} dx - \dfrac{1}{y} = 0$$
Essa é bem mais confusa, embora pareça bem simples. Lembrando sempre que integral de 1/x é ln|x| e, é claro, é o ln que vai dar trabalho... Mas nem tanto, vejam só.
$$\int \dfrac{1}{x} dx - \int \dfrac{1}{y} = C \\
ln|x| - ln|y| = C \\
-ln|y| = C - ln|x| \\
ln|y| = -C + ln|x|$$
A grande jogada é saber usar o nosso querido número de Euler pra anular os logaritmos neperianos:
$$e^{ln|y|} = e^{-C + ln|x|} \\
y = e^{-C} * e^{ln|x|} = e^{-C} * x$$
Chamando e elevado a -C de K:
$$y = Kx$$
Calma, vem por aí uns exercícios piores.
$$c) \dfrac{1}{x} dx + dy = 0$$
$$\int \dfrac{1}{x} dx + \int dy = C \\
ln|x| + y = C \\
y = C - ln|x|$$
Quer resposta melhor? O livro quer. Então, o que vamos fazer é o seguinte: chamar C de ln|K|, para tornar a resposta um termo só através daquela propriedade de ln de tal coisa menos ln de tal outra coisa é igual a ln de tal coisa dividido por tal outra coisa. Particularmente acho beeeem estranho, mas já que tá assim no livro:
$$y = ln|K| - ln|x| = ln|\dfrac{K}{x}|$$
$$d) xdx + \dfrac{1}{y} dy = 0$$
$$\int xdx + \int \dfrac{1}{y} dy = C \\
\dfrac{1}{2} x^2 + ln|y| = C \\
ln|y| = C - \dfrac{1}{2} x^2 \\
e^{ln|y|} = e^{C - x^2/2} \\
y = e^C * e^{-x^2/2}$$
Chamando e elevado a C de constante K:
$$y = Ke^{-x^2/2}$$
$$e) (x^2 + 1)dx + (y^2 + y)dy = 0$$
$$\int (x^2 + 1)dx + \int (y^2 + y)dy = C \\
\dfrac{1}{3} x^3 + x + \dfrac{1}{3} y^3 + \dfrac{1}{2} y^2 = C$$
Multiplicando tudo por 6 para que nada fique em fração:
$$2x^3 + 6x + 2y^3 + 3y^2 = 6C$$
E chamando 6C de uma constante K:
$$2x^3 + 6x + 2y^3 + 3y^2 = K$$
Parece meio estranho todas as incógnitas de um lado e a constante K do outro, mas essa é a maneira que o livro responde... E de qualquer forma seria impossível isolar completamente o y porque teria de ficar um y do outro lado.
$$f) \sin{x} dx + ydy = 0; y(0) = -2$$
$$\int \sin{x} dx + \int ydy = C \\
-\cos{x} + \dfrac{1}{2} y^2 = C \\
\dfrac{1}{2} y^2 = C + \cos{x} \\
y^2 = 2C + 2 \cos{x} \\
y = \sqrt{2C + 2 \cos{x}}$$
Foi fácil resolver a equação em si, agora tudo o que sobra é descobrir o valor da constante C através da substituição de x pelo valor especificado e colocando -2 no lugar de y.
$$y(0) = \sqrt{2C + 2 \cos{0}} = -2 \\
\sqrt{2C + 2} = -2$$
Pra sair dessa, vamos isolar a raiz de 2:
$$\sqrt{2} \sqrt{C + 1} = -2 \\
\sqrt{C + 1} = \dfrac{-2}{\sqrt{2}}$$
E agora a melhor saída é elevar os dois lados ao quadrado:
$$(\sqrt{C + 1})^2 = (\dfrac{-2}{\sqrt{2}})^2 \\
C+1 = \dfrac{4}{2} = 2 \\
C = 2 - 1 = 1$$
Jogando isso na equação, temos a função definitiva:
$$y = \sqrt{2*1 + 2 \cos{x}} = \sqrt{2 + 2 \cos{x}}$$
$$g) (x^2 + 1)dx + \dfrac{1}{y} dy = 0; y(-1) = 1$$
$$\int (x^2 + 1)dx + \int \dfrac{1}{y} dy = C \\
\dfrac{1}{3} x^3 + x + ln|y| = C \\
ln|y| = C - \dfrac{1}{3} x^3 - x \\
e^{ln|y|} = e^{C - (x^3/3) - x} \\
y = e^C * e^{(-x^3/3) - x}$$
Não vamos nem usar essa forma como equação final, é só uma maneira mais fácil de isolar o C. Agora vamos jogar os valores especificados no exercício pra isso, inclusive.
$$y(-1) = e^C * e^{(-(-1)^3/3) - (-1)} = 1 \\
e^C * e^{(1/3) + 1} = 1 \\
e^C * e^{4/3} = 1 \\
e^C = \dfrac{1}{e^{4/3}} = e^{-4/3}$$
Jogando ln dos dois lados para anular o número de Euler:
$$ln|e^C| = ln|e^{-4/3}| \\
C = \dfrac{-4}{3}$$
Agora é só jogar na equação e trabalhar ela de uma forma mais limpa:
$$y = e^{-4/3} * e^{-x^3/3 - x} = e^{-4/3 - x^3/3 - x}$$
Já parece satisfatório, mas vamos isolar essa fração para que lá dentro tenhamos apenas constantes reais:
$$y = e^{\dfrac{-1}{3} (4 + x^3 + 3x)}$$
E está resolvido. Exercício bem chatinho de trabalhar.
$$h) xe^{x^2} dx + (y^5 - 1)dy = 0; y(0) = 0$$
$$\int xe^{x^2}dx + \int (y^5 - 1)dy = C$$
A primeira integral resolveremos pelo método de substituição. Nosso u é x² e nosso du é a derivada de x², ou seja, 2x. O resto é o método mais simples possível:
$$\int xe^u \dfrac{du}{2x} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\
\dfrac{1}{2} e^u + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\
\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C$$
Esse é o melhor que conseguimos chegar com as incógnitas, mas já dá pra substituir e deixar o resultado bem fácil de alcançar. Veja:
$$\dfrac{1}{2} e^0 + \dfrac{1}{6} 0 - 0 = C \\
C = \dfrac{1}{2}$$
E agora jogando os valores:
$$\dfrac{1}{6} y^6 - y + \dfrac{1}{2} e^{x^2} = \dfrac{1}{2}$$
Equações diferenciais que exigem um pouco de manipulação algébrica
$$a) y' = \dfrac{y}{x^2}$$
Isso daqui soa um pouco mais complicado, mas o fato é o seguinte: temos x e temos y, e temos dx e dx, e precisamos arranjar uma forma de deixá-los acompanhados de suas devidas incógnitas para integrá-los em conjunto. É um tanto mais complicado, mas nem de perto como alguns exercícios do fator integrante... Mas vamos resolver esse primeiro pra entender melhor como funciona.
Lembrando que y' é igual a dy/dx.
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$$
Mais fácil de visualizar, mas nem tanto. O melhor é deixar dy e dx sempre em cima, não importando muito aonde estão as variáveis em si. Como dy já está multiplicando em cima, vamos jogar dx pro outro lado multiplicando também para que fique em cima.
$$dy = \dfrac{y dx}{x^2}$$
Ok, ok. De um lado, dy... Fácil integrar. Mas do outro, temos y, x² e dx. Se você perceber, dá pra jogar o y pro outro lado dividindo e é isso que faremos:
$$\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x^2}$$
Já é resolvível. Pra você enxergar melhor:
$$\dfrac{1}{y} dy = \dfrac{1}{x^2} dx$$
Deixamos as duas partes juntas para que fique um modelo igual aos usados anteriormente:
$$\dfrac{1}{y} dy - x^{-2} dx = 0 \\
\int \dfrac{1}{y} dy - \int x^{-2} dx = C \\
ln|y| - (-x^{-1}) = C \\
ln|y| + x^{-1} = C \\
ln|y| = C - x^{-1}$$
Jogando número de Euler:
$$e^{ln|y|} = e^{C - 1/x} \\
y = e^C * e^{-1/x}$$
Vamos chamar e elevado a C de uma constante K:
$$y = Ke^{-1/x}$$
E está resolvido o primeiro exercício. Os passos usados para todos os outros (...bem, são apenas mais dois) é semelhantíssimo, no máximo umas fatorações relevantes a mais.
Próximo.
$$b) y' = \dfrac{xe^x}{2y}$$
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xe^x}{2y}$$
Já vamos jogar cada coisa pro seu canto pra ser mais rápido:
$$2y dy = xe^x dx \\
2y dy - xe^x dx = 0 \\
\int 2y dy - \int xe^x dx = C$$
Integral por partes na parte com x, mas sem preocupações, facílima de resolver.
$$2 \dfrac{1}{2} y^2 - (xe^x - \int e^x dx) = C \\
y^2 - xe^x + e^x = C \\
y^2 = C + xe^x - e^x \\
y = \sqrt{C + xe^x - e^x}$$
Desnecessário dizer, se quiser substituir C por K, faça. Mas acho irrelevante já que não altera absolutamente nada na solução.
$$c) y' = \dfrac{x^2 y - y}{y+1}; y(3) = -1$$
Essa é a mais chata porque precisa de uma sacadinha de fatoração. Nada muito absurdo, bem simples até, mas vamos resolvendo:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2 y - y}{y+1}$$
Note que temos x²y - y juntos e não podemos isolar assim... A solução, no caso, é isolar y de lá, assim:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y(x^2 - 1)}{y+1}$$
Agora é só jogar as coisas pros seus respectivos cantos:
$$\dfrac{(y+1)dy}{y} = (x^2 - 1)dx \\
(1 + \dfrac{1}{y})dy - (x^2 - 1)dx = 0 \\
\int (1 + \dfrac{1}{y})dy - \int (x^2 - 1)dx = C \\
y + ln|y| - \dfrac{1}{3} x^3 - x = C$$
Como queremos saber C a princípio (temos um valor para x e seu respectivo y), é bom que deixemos a equação assim mesmo.
$$C = (-1) + ln|-1| - \dfrac{3^3}{3} - 3 = -1 + ln1 - 9 + 3 = -7 + 0 = -7$$
Agora só jogar na equação:
$$y + ln|y| - \dfrac{1}{3} x^3 - x = -7$$
E está resolvida a primeira lista.
Como eu disse no início, posso providenciar as próximas... Mas preciso falar com o professor antes. No entanto, se vocês precisarem da base pra resolução de equações diferenciais, podem procurar por aqui a qualquer momento. Qualquer dúvida que brotar a respeito do assunto podem perguntar nos comentários, me contatar, etc.
Boa noite a todos!
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