Aula VI - Cálculo Diferencial e Integral III

Fator integrante

Em qual a equação diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 não é exata, por vezes é possível transformar a equação 1 em uma equação exata, mediante multiplicação de um fator adequado.

Exemplo 1:
Verifique se o termo abaixo é fator integrante da equação diferencial ydx - xdy = 0.
$$\dfrac{-1}{x^2}$$
Chamamos ydx de M e xdy de N. Percebamos que a igualdade abaixo não é real:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$
Já que:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = -1$$
E 1 é diferente de -1. Então temos uma equação diferencial não-exata.
Agora imagine que multiplicamos aquele termo dado por toda a equação diferencial, assim:
$$\dfrac{-1}{x^2} * ydx - \dfrac{-1}{x^2} * xdy = \dfrac{-y}{x^2}dx + \dfrac{1}{x}dy = 0$$
Vamos confirmar isso derivando ambos termos novamente e vendo se dão o mesmo resultado:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} [\dfrac{-y}{x^2}] = \dfrac{-1}{x^2} \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} [\dfrac{1}{x}] = \dfrac{-1}{x^2}$$
Como vê, o mesmo resultado. Agora se tornou exata.

Equação diferencial de primeira ordem

Definição: y' + p(x)y = q(x)

I(x, y) da equação acima é:

$$e^{\int p(x)dx}$$

Método de resolução:

Multiplique a primeira equação por I(x, y). O lado esquerdo da equação resultante será:

$$\dfrac{d}{dx} [y, I(x, y)]$$

A solução vem da integral dos dois lados da equação.

Exemplo 2:

Resolução de y' - 2xy = x.

A equação está diretamente no modelo apresentado agora pouco: y' + p(x)y = q(x)

Aonde p(x) é (-2x) e q(x) é x. Vamos então descobrir esse fator integrante:
$$I(x, y) = e^{\int p(x)dx} = e^{\int (-2x)dx} = e^{-x^2}$$

Descoberto esse termo, vamos multiplicar os dois lados da equação por ele:

$$e^{-x^2}[y' - 2xy] = e^{-x^2}x$$

Isso por padrão se transforma em:

$$\dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}] = e^{-x^2}x$$

Agora é só jogar a integral dos dois lados:

$$\int \dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}]dx = \int e^{-x^2}xdx \\ ye^{-x^2} = \int e^u x \dfrac{du}{-2x} = \dfrac{1}{-2} e^u + C = -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C \\ y = -\dfrac{1}{2} \dfrac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}} + \dfrac{C}{e^{-x^2}} \\ y = Ce^{x^2} - \dfrac{1}{2}$$

Me perdoem pelo atraso, eu simplesmente tinha esquecido que a gente está tendo conteúdo postável e tava postando todas as listas de cálculo, só no final de semana passado que me caiu a ficha! Mas está aí. Vou ver se posto mais outra aula (a de variação de temperatura) ainda hoje, a de circuitos provavelmente vai ficar pra próxima.

Bom dia a todos.