Aula X - Mecânica dos Sólidos

Substitua o binário e a força mostrados na figura por uma força única equivalente aplicada à alavanca. Determine a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.

 

I. Cálculo do momento produzido pela força F = 400N

Ok, o cálculo de momento é bem claro. Sendo r vetorial F a fórmula, e tendo a força facilmente decomposta em -400N na direção j (veja o ângulo de 90° pra baixo), só precisamos descobrir o r que nomearemos por questão de praticidade de OB.
Veja bem, temos uma hipotenusa OB de 0.3m e um cateto adjacente (OBx) de 0.15m. Para OBy, então, vamos fazer a relação de cateto oposto:
$$\sin{\theta} = \dfrac{\vec{OB}_y}{|\vec{OB}|} \\ \vec{OB}_y = |\vec{OB}| \sin{\theta} \\ \vec{OB}_y = 0.3m \sin{60°} \approx 0.26m$$
Logo:
$$\vec{OB} = (0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}$$
Sendo o cálculo do momento o vetorial da distância r (no caso OB) com a força F, fazemos:
$$\vec{M} = \vec{OB} \times \vec{F} \\ = [(0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ =  [(0.15m)(-400N)]\hat{i} \times \hat{j} + [(0.26m)(-400N)]\hat{j} \times \hat{j} = \\ (-60Nm)\hat{k}$$

II. Cálculo do binário
Agora, ao cálculo do binário. Perceba o esquema da figura abaixo:

Vamos pegar com relação ao centro. O disco tem 60mm e, bem, temos que multiplicá-lo com as forças, que são iguais, e somar os resultados. O que significa que podemos resumir a expressão em:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \\ 2[(0.06m)\hat{j} \times (200N)\hat{i}] = \\ 2 * (-12Nm)\hat{k} = (-24Nm)\hat{k}$$

III. Soma dos momentos
Bem, autoexplicativo:
$$\vec{M}_R = (-60Nm)\hat{k} + (-24Nm)\hat{k} = (-84Nm)\hat{k}$$

IV. Cálculo do novo vetor posição de F = 400N
Agora é a hora de recalcular o vetor posição com essa consideração da soma dos momentos. Veja:
$$\vec{M}_A = \vec{OC} \times \vec{F}$$
Sendo OC a nova posição. Vamos substituir os valores:
$$(-84Nm)\hat{k} = [(OC \cos{60})\hat{i} + (OC \sin{60})\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ = [(OC \cos{60})(-400N)\hat{i} \times \hat{j}] + [(OC \sin{60})(-400N)\hat{j} \times \hat{j}] \\ = (-400N)(OC \cos{60})\hat{k}$$
Isolando OC:
$$OC = \dfrac{(-84Nm)}{(400N)\cos{60}} \approx 0.48m$$
E está resolvido o exercício.

Equilíbrio de corpos rígidos

Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg e é usado para suspender um caixote de 2400Kg. O guindaste é mantido na posição indicada na figura por um pino A e um basculante B. O centro de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine as componentes das reações em A e B.

(grato ao professor Renato por já disponibilizar uma imagem do exercício com o diagrama, facilita bastante... E acho que pro aprendizado é melhor assim. Ainda mais pra mostrar a importância do centro de gravidade na estrutura)

I. Cálculo de B

A condição de momento pro equilíbrio do corpo é:

$$\Sigma \vec{M}_i = 0$$

Sendo:

$$M = Fd$$

Somamos então todos os momentos do exercício e igualamos a zero:

$$B(1.5) - (9.81 \times 10^3)(2) - (23.5 \times 10^3)(6) = 0 \\ 1.5B = 19.62 \times 10^3 + 141 \times 10^3 \\ B = \dfrac{160.62}{1.5} \times 10^3 = 107.1kN$$

II. Cálculo de Ax

Outra das condições para que haja equilíbrio é:

$$\Sigma \vec{F} = 0$$

Sendo assim:

$$\Sigma \vec{F}_x = 0 \\ \Sigma \vec{F}_y = 0$$

Podemos usar a equação de x que pode ser resolvida agora com o valor de B:

$$A_x + B = 0 \\ A_x + 107.1kN = 0 \\ A_x = -107.1kN$$

III. Cálculo de Ay

Fazemos o mesmo para Ay agora:

$$A_y - 9.81 \times 10^3 - 23.5 \times 10^3 = 0 \\ A_y = 33.3kN$$

IV. Módulo de A

Teorema de Pitágoras basicão:

$$A^2 = A_x ^2 + A_y ^2 \\ A = \sqrt{(-107.1 \times 10^3)^2 + (33.3 \times 10^3)^2} = 112.2kN$$

V. Direção de A

$$\tan{\theta} = \dfrac{A_y}{A_x} = -0.31 \\ \theta = \tan^{-1}{-0.31} = -17.3°$$

Aula VI - Mecânica dos Sólidos

Ainda em equilíbrio dos corpos rígidos...
Esse é o desenho passado. Deve ter no livro algum mais bonitinho, mas fiz rápido já na linha de ação porque foi assim que o professor fez.
Lembrando que os ângulos estão daquela maneira por limitação do paint, o ângulo a é $\alpha$ e o ângulo B é $\beta$. Poderíamos usar a e B, mas seria confuso demais, é melhor assim. O resto continua do jeito que está.

O único dado que nos é fornecido é $|P| = 2700N$, e o exercício quer $\vec{T_{AC}}$ e $\vec{T_{BC}}$.

A estratégia inicial é a mesma passada: usar as distâncias para descobrir os ângulos, depooois trabalhar com o resto. Veremos:
$\beta = \tan^{-1}{(\dfrac{36}{48}} = \tan^{-1}{0.75} \approx 36.87°$
$\alpha = \tan^{-1}{\dfrac{60}{63}} \approx 43.6°$
Lembrando que, como essas contas são feitas todas na calculadora pelo fato do ser humano ter esquecido o processo de tangente inversa (supondo que um dia já o soube), não tem muito o que explicar. Só saber usar. Mas ok, temos os ângulos, agora precisamos decompor os vetores.
$\vec{T_{AC}} = (T_{AC} \cos{36.87}N)(-\hat{i}) + (T_{AC} \sin{36.87})\hat{j} = (-T_{AC} \cos{36.87}N)\hat{i} + (T_{AC} \sin{36.87})\hat{j}$
$\vec{T_{BC}} = (T_{BC} \cos{43.6}N)\hat{i} + (T_{BC} \sin{43.6}N)\hat{j}$
$\vec{P} = (P \cos{90}N)\hat{i} + (P \sin{90}N)\hat{-j} = 0\hat{i} + (P N)\hat{-j} = (-2700N)\hat{j}$

Ótimo, agora precisamos só aplicar o equilíbrio dos corpos rígidos. A somatória das forças é igual a 0, então a somatória de suas componentes também é 0.
$\Sigma F = 0$
$\Sigma F_x = 0$
$\Sigma F_y = 0$

No eixo x, temos apenas as forças das trações $T_{AC}$ e $T_{BC}$. A soma delas é igual a 0. Fica dessa forma:
$(T_{AC})_x + (T_{BC})_x = 0$
$-T_{AC} \cos{36.87} + T_{BC} \cos{43.6} = 0$
$T_{BC} \cos{43.6} = T_{AC} \cos36.8$
$T_{AC} = \dfrac{T_{BC} \cos{43.6}}{\cos{36.87}}$
...E é tudo o que podemos fazer por enquanto. Vamos deixar essa equação assim, ela vai ser útil.

Façamos pra y agora, percebendo uma diferença: enquanto as forças $T_{AC}$ e $T_{BC}$ estão unidas no mesmo sentido, tem a tração P indo no sentido oposto delas. Ou seja:
$(T_{AC})_y + (T_{BC})y + P = 0$
(lembremos que o "sentido oposto" já está determinado na componente P lá em cima)
$T_{AC} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} - 2700 = 0$
$T_{AC} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} = 2700$
E agora a grandiosa jogada está aqui: podemos jogar a equação descoberta no eixo x no lugar de $T_{AC}$, e vai sobrar apenas a variável $T_{BC}$ nessa equação. Assim, será possível determiná-lo.
$\dfrac{T_{BC} \cos{43.6}}{\cos{36.87}} \sin{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} = 2700$
$T_{BC} \cos{43.6} \tan{36.87} + T_{BC} \sin{43.6} \approx T_{BC} * 0.72 * 0.75 + T_{BC} * 0.69 = 0.54T_{BC} + 0.69T_{BC} = 1.23T_{BC}$
$1.23T_{BC} = 2700$
$T_{BC} = \dfrac{2700}{1.23} = 2195.12N$

Para $T_{AC}$, só jogar na outra equação agora:
$T_{AC} = \dfrac{2195.12 \cos{43.6}}{\cos{36.87}} \approx \dfrac{2195.12 * 0.72}{0.8} = 1975.61N$
E está resolvido o exercício.

Produto Vetorial

$\vec{P} \times \vec{Q} = area$

$\sin{\theta} = \dfrac{h}{|\vec{Q}|}$
$h = |\vec{Q}|\sin{\theta}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = B*h$
$\vec{P} \times \vec{Q} = |\vec{P}||\vec{Q}| \sin{\theta}$

Componentes retangulares por vetores
$\vec{P} = P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}$
$\vec{Q} = Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = (P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}) \times (Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j} + Q_z \hat{k})$

$\vec{P} \times \vec{Q} = P_x Q_x \hat{i} \times \hat{i} + P_x Q_y \hat{i} \times \hat{j} + P_x Q_z \hat{i} \times \hat{k} +$
$P_y Q_x \hat{j} \times \hat{i} + P_y Q_y \hat{j} \times \hat{j} + P_y Q_z \hat{j} \times \hat{k} +$
$P_z Q_x \hat{k} \times \hat{i} + P_z Q_y \hat{k} \times \hat{j} + P_z Q_z \hat{k} \times \hat{k}$

$\vec{P} \times \vec{Q} = 0 + P_x Q_y \hat{k} - P_x Q_z \hat{j} - P_y Q_x \hat{k} + 0 + P_y Q_z \hat{i} + P_z Q_x \hat{j} - P_z Q_y \hat{i} + 0$
$\vec{P} \times \vec{Q} = (P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} + (P_z Q_x - P_x Q_z)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k}$

Vetores unitários

Tinha mais um gráfico representando o plano 3D, mas não me recordo se era uma simples representação do plano ou se tinha algo a mais que não copiei rs. De qualquer forma, tudo isso de produto vetorial nos lembramos muito bem... Não necessariamente só da Física Geral, como de uma quantidade enorme de matérias aí que temos que usar isso.

Isso será bem usado de agora pra frente porque trabalharemos com mecânica em três dimensões, já que duas é pros fracos. Boa sorte, e um bom dia a todos.