Aula IX - Mecânica dos Sólidos

Exercício 2

O que o exercício nos pede é o momento com relação ao ponto B. Já está tudo expresso no gráfico dessa vez, mas é bom treinar para resolver a prova e saber resolver qualquer caso - a lista provavelmente ajudará bastante, mas isso é matéria de fácil aplicação em casos inúmeros da vida profissional e até mesmo com alguns probleminhas em casa.
De qualquer forma, como eu disse, já está tudo expresso no gráfico, é só fazer uma análise minuciosa de cada detalhe de lá - depois disso, vemos o que usaremos mesmo.

Primeiro, temos um vetor posição que mostra aonde está, numa parede, a força aplicada e aponta positivamente no eixo y e negativamente no eixo x. Com relação a B, a parede tem uma distância de 200mm (0.2m, considerando o sentido, -0.2m). A altura da força com relação a B é de 160mm, 0.16m positivo.
Temos um vetor posição representado assim:
$$\vec{r}_{AB} = -(0.2m)\hat{i} + (0.16m)\hat{j}$$
Quanto à força, é nos dado um módulo de 800N e um ângulo de 60° que se localiza no eixo x. Sendo assim, x está relacionado com o cosseno e y com o seno:
$$F_x = F \cos{60} = 800 \times \dfrac{1}{2} = 400N \\ F_y = F \sin{60} = 800 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 693N \\ \vec{F} = (400N)\hat{i} + (693N)\hat{j}$$

Lembrando que o exercício pede o momento com relação ao ponto B. A fórmula para o momento de um ponto é o produto vetorial entre a posição e a força, então temos que a resolução se dá simplesmente por:
$$\vec{M}_B = \vec{r}_{AB} \times \vec{F} = [(-0.2m)\hat{i} + (0.16m)\hat{j}] \times [(400N)\hat{i} + (693N)\hat{j}] \\ = [-0.2m \times 400N]\hat{i} \times \hat{i} + [-0.2m \times 693N]\hat{i} \times \hat{j} + [0.16m \times 400N]\hat{j} \times \hat{i} + [0.16m \times 693N]\hat{j} \times \hat{j} \\ 0 + (-138.6Nm)\hat{k} + (64Nm)-\hat{k} + 0 = (-138.6Nm - 64Nm)\hat{k} = -202.6Nm$$

E está resolvido.

Exercício 3

Mais uma vez, o gráfico já foi expresso previamente nesse. Temos um módulo de força de 135N sobre um ângulo alfa desconhecido.
Mas veja bem, para esse ângulo alfa, podemos usar uma simples relação do teorema de Tales. A figura te dá um triângulo supostamente análogo ALÉM da força e ainda, de quebra, dá um ângulo de 20°. Veja bem, por associação, podemos ver que o ângulo fecha com o eixo imaginário x 50°... Sabemos que a parte superior tem 20°, então alfa é o que resta, 30°.
Visto isso, prossigamos.


Ok, então decompomos os dois. A força e o vetor posição. O vetor posição podemos referenciar ao ângulo de 50, assim trabalhando x no cosseno e y no seno:
$$\vec{r} = [0.9m \cos{50}]\hat{i} + [0.9m \sin{50}]\hat{j} = (0.58m)\hat{i} + (0.69m)\hat{j}$$
E a força, com o ângulo que descobrimos:
$$\vec{F} = [135N \cos{30}]\hat{i} + [135N \sin{30}]\hat{j} = (116.91N)\hat{i} + (67.5N)\hat{j}$$

Agora lembremos da expressão pro momento, que é o produto vetorial entre a distância e a força. Assim como o professor, resolveremos essa em forma de matriz:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{pmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0.58m & 0.69m & 0 \\
116.91N & 67.5N & 0
\end{pmatrix}  = ([0.69m \times 0] - [0 \times 67.5N])\hat{i} \\ - ([0.58m \times 0] - [0 \times 116.91N])\hat{j} + ([0.58m \times 67.5N] - [0.69m \times 116.91])\hat{k} \\ = [39.15Nm - 80.67Nm]\hat{k} = -41.52Nm$$