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quarta-feira, 13 de junho de 2012

Aula X - Mecânica dos Sólidos

Substitua o binário e a força mostrados na figura por uma força única equivalente aplicada à alavanca. Determine a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.
 
I. Cálculo do momento produzido pela força F = 400N
Ok, o cálculo de momento é bem claro. Sendo r vetorial F a fórmula, e tendo a força facilmente decomposta em -400N na direção j (veja o ângulo de 90° pra baixo), só precisamos descobrir o r que nomearemos por questão de praticidade de OB.
Veja bem, temos uma hipotenusa OB de 0.3m e um cateto adjacente (OBx) de 0.15m. Para OBy, então, vamos fazer a relação de cateto oposto:
sinθ=OBy|OB|OBy=|OB|sinθOBy=0.3msin60°0.26m
Logo:
OB=(0.15m)ˆi+(0.26m)ˆj
Sendo o cálculo do momento o vetorial da distância r (no caso OB) com a força F, fazemos:
M=OB×F=[(0.15m)ˆi+(0.26m)ˆj]×[(400N)ˆj]=[(0.15m)(400N)]ˆi׈j+[(0.26m)(400N)]ˆj׈j=(60Nm)ˆk

II. Cálculo do binário
Agora, ao cálculo do binário. Perceba o esquema da figura abaixo:
Vamos pegar com relação ao centro. O disco tem 60mm e, bem, temos que multiplicá-lo com as forças, que são iguais, e somar os resultados. O que significa que podemos resumir a expressão em:
M=r×F=2[(0.06m)ˆj×(200N)ˆi]=2(12Nm)ˆk=(24Nm)ˆk

III. Soma dos momentos
Bem, autoexplicativo:
MR=(60Nm)ˆk+(24Nm)ˆk=(84Nm)ˆk

IV. Cálculo do novo vetor posição de F = 400N
Agora é a hora de recalcular o vetor posição com essa consideração da soma dos momentos. Veja:
MA=OC×F
Sendo OC a nova posição. Vamos substituir os valores:
(84Nm)ˆk=[(OCcos60)ˆi+(OCsin60)ˆj]×[(400N)ˆj]=[(OCcos60)(400N)ˆi׈j]+[(OCsin60)(400N)ˆj׈j]=(400N)(OCcos60)ˆk
Isolando OC:
OC=(84Nm)(400N)cos600.48m
E está resolvido o exercício.

Equilíbrio de corpos rígidos

Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg e é usado para suspender um caixote de 2400Kg. O guindaste é mantido na posição indicada na figura por um pino A e um basculante B. O centro de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine as componentes das reações em A e B.
(grato ao professor Renato por já disponibilizar uma imagem do exercício com o diagrama, facilita bastante... E acho que pro aprendizado é melhor assim. Ainda mais pra mostrar a importância do centro de gravidade na estrutura)
I. Cálculo de B
A condição de momento pro equilíbrio do corpo é:
ΣMi=0
Sendo:
M=Fd
Somamos então todos os momentos do exercício e igualamos a zero:
B(1.5)(9.81×103)(2)(23.5×103)(6)=01.5B=19.62×103+141×103B=160.621.5×103=107.1kN
II. Cálculo de Ax
Outra das condições para que haja equilíbrio é:
ΣF=0
Sendo assim:
ΣFx=0ΣFy=0
Podemos usar a equação de x que pode ser resolvida agora com o valor de B:
Ax+B=0Ax+107.1kN=0Ax=107.1kN
III. Cálculo de Ay
Fazemos o mesmo para Ay agora:
Ay9.81×10323.5×103=0Ay=33.3kN
IV. Módulo de A
Teorema de Pitágoras basicão:
A2=A2x+A2yA=(107.1×103)2+(33.3×103)2=112.2kN
V. Direção de A
tanθ=AyAx=0.31θ=tan10.31=17.3°

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