Aula X - Mecânica dos Sólidos

Substitua o binário e a força mostrados na figura por uma força única equivalente aplicada à alavanca. Determine a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.

 

I. Cálculo do momento produzido pela força F = 400N

Ok, o cálculo de momento é bem claro. Sendo r vetorial F a fórmula, e tendo a força facilmente decomposta em -400N na direção j (veja o ângulo de 90° pra baixo), só precisamos descobrir o r que nomearemos por questão de praticidade de OB.
Veja bem, temos uma hipotenusa OB de 0.3m e um cateto adjacente (OBx) de 0.15m. Para OBy, então, vamos fazer a relação de cateto oposto:
$$\sin{\theta} = \dfrac{\vec{OB}_y}{|\vec{OB}|} \\ \vec{OB}_y = |\vec{OB}| \sin{\theta} \\ \vec{OB}_y = 0.3m \sin{60°} \approx 0.26m$$
Logo:
$$\vec{OB} = (0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}$$
Sendo o cálculo do momento o vetorial da distância r (no caso OB) com a força F, fazemos:
$$\vec{M} = \vec{OB} \times \vec{F} \\ = [(0.15m)\hat{i} + (0.26m)\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ =  [(0.15m)(-400N)]\hat{i} \times \hat{j} + [(0.26m)(-400N)]\hat{j} \times \hat{j} = \\ (-60Nm)\hat{k}$$

II. Cálculo do binário
Agora, ao cálculo do binário. Perceba o esquema da figura abaixo:

Vamos pegar com relação ao centro. O disco tem 60mm e, bem, temos que multiplicá-lo com as forças, que são iguais, e somar os resultados. O que significa que podemos resumir a expressão em:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \\ 2[(0.06m)\hat{j} \times (200N)\hat{i}] = \\ 2 * (-12Nm)\hat{k} = (-24Nm)\hat{k}$$

III. Soma dos momentos
Bem, autoexplicativo:
$$\vec{M}_R = (-60Nm)\hat{k} + (-24Nm)\hat{k} = (-84Nm)\hat{k}$$

IV. Cálculo do novo vetor posição de F = 400N
Agora é a hora de recalcular o vetor posição com essa consideração da soma dos momentos. Veja:
$$\vec{M}_A = \vec{OC} \times \vec{F}$$
Sendo OC a nova posição. Vamos substituir os valores:
$$(-84Nm)\hat{k} = [(OC \cos{60})\hat{i} + (OC \sin{60})\hat{j}] \times [(-400N)\hat{j}] \\ = [(OC \cos{60})(-400N)\hat{i} \times \hat{j}] + [(OC \sin{60})(-400N)\hat{j} \times \hat{j}] \\ = (-400N)(OC \cos{60})\hat{k}$$
Isolando OC:
$$OC = \dfrac{(-84Nm)}{(400N)\cos{60}} \approx 0.48m$$
E está resolvido o exercício.

Equilíbrio de corpos rígidos

Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg e é usado para suspender um caixote de 2400Kg. O guindaste é mantido na posição indicada na figura por um pino A e um basculante B. O centro de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine as componentes das reações em A e B.

(grato ao professor Renato por já disponibilizar uma imagem do exercício com o diagrama, facilita bastante... E acho que pro aprendizado é melhor assim. Ainda mais pra mostrar a importância do centro de gravidade na estrutura)

I. Cálculo de B

A condição de momento pro equilíbrio do corpo é:

$$\Sigma \vec{M}_i = 0$$

Sendo:

$$M = Fd$$

Somamos então todos os momentos do exercício e igualamos a zero:

$$B(1.5) - (9.81 \times 10^3)(2) - (23.5 \times 10^3)(6) = 0 \\ 1.5B = 19.62 \times 10^3 + 141 \times 10^3 \\ B = \dfrac{160.62}{1.5} \times 10^3 = 107.1kN$$

II. Cálculo de Ax

Outra das condições para que haja equilíbrio é:

$$\Sigma \vec{F} = 0$$

Sendo assim:

$$\Sigma \vec{F}_x = 0 \\ \Sigma \vec{F}_y = 0$$

Podemos usar a equação de x que pode ser resolvida agora com o valor de B:

$$A_x + B = 0 \\ A_x + 107.1kN = 0 \\ A_x = -107.1kN$$

III. Cálculo de Ay

Fazemos o mesmo para Ay agora:

$$A_y - 9.81 \times 10^3 - 23.5 \times 10^3 = 0 \\ A_y = 33.3kN$$

IV. Módulo de A

Teorema de Pitágoras basicão:

$$A^2 = A_x ^2 + A_y ^2 \\ A = \sqrt{(-107.1 \times 10^3)^2 + (33.3 \times 10^3)^2} = 112.2kN$$

V. Direção de A

$$\tan{\theta} = \dfrac{A_y}{A_x} = -0.31 \\ \theta = \tan^{-1}{-0.31} = -17.3°$$