Aula X - Circuitos Elétricos

Números complexos (imaginários)
$$j = \sqrt{-1}$$


Forma retangular:
$$a + (b)j$$
Forma polar:
$$C \angle{\theta°}$$
Representação gráfica:

Transformação de retangular para polar

$$c^2 = a^2 + b^2 \\ \theta = \tan^{-1}{\dfrac{b}{a}}$$

Exemplo:
$$3 + 4j \\ C = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \\ \theta = \tan^{-1}{\dfrac{4}{3}} \approx 53.1°$$
Na calculadora: aperte Pol, insira o valor real, vírgula, depois o valor imaginário, feche parênteses. Dando ok aparecerá o módulo C. Então apertando RCL e tangente, aparecerá o ângulo theta.

Transformação de polar para retangular
$$\sin{\theta} = \dfrac{b}{C} \\ b = C \sin{\theta}$$

$$\cos{\theta} = \dfrac{a}{C} \\ a = C \cos{\theta}$$
Na calculadora: aperte shift, Pol, insira o valor do módulo C, vírgula, ângulo theta, feche parênteses e dê ok. Aparecerá o valor de A. Apertando RCL e tangente, aparecerá o valor de B.

Operações matemáticas
$$A + a_1 + b_1 j \\ B = a_2 + b_2 j$$

Adição:
$$A+B = (a_1 + b_1 j) + (a_2 + b_2 j) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)j$$

Subtração:
$$A - B = (a_1 + b_1 j) - (a_2 + b_2 j) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)j$$

Multiplicação:
$$D = C_1 \angle{\theta_1} \\ E = C_2 \angle{\theta_2} \\ D \times E = C_1 \angle{\theta_1} \times C_2 \angle{\theta_2} = (C_1 \times C_2) \angle{\theta_1 + \theta_2}$$
Divisão:
$$\dfrac{D}{E} = \dfrac{C_1 \angle{\theta_1}}{C_2 \angle{\theta_2}} = \dfrac{C_1}{C_2} \angle{\theta_1 - \theta_2}$$

Exercícios:
Calcule:
a) $$\dfrac{(2+3j) \times 5\angle{30°}}{2 - 2j + 3 + 5j}$$

Vamos fazer da seguinte forma: é mais fácil multiplicar/dividir usando forma polar e mais fácil somar/subtrair usando forma retangular, então sempre converteremos antes de fazer operações por aí. Lá em cima tem uma multiplicação, então converteremos 2+3j para polar:
$$C_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.605 \\ \theta_1 = \tan^{-1}{\dfrac{3}{2}} \approx 56.31°$$
Lá embaixo está tudo convertido, então vamos continuar:
$$\dfrac{(3.605 \angle{56.31°}) \times (5 \angle{30°})}{2 - 2j + 3 + 5j} = \dfrac{18.025 \angle{86.31°}}{5 + 3j}$$
Convertamos o abaixo novamente:
$$C_2 = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.831 \\ \theta_2 = \tan^{-1}{\dfrac{3}{5}} \approx 30.964°$$
Voltando à conta:
$$\dfrac{18.025 \angle{86.31°}}{5.831 \angle{30.961°}} = 3.091 \angle{55.349°}$$

b) $$\dfrac{(2 + 5j)(3 - 2j)}{(1 + 2j)^2}$$
Ok, às conversões:
$$C_1 = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5.385 \\ \theta_1 = \tan^{-1}{\dfrac{5}{2}} \approx 68.199°$$
$$C_2 = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.605 \\ \theta_2 = \tan^{-1}{\dfrac{-2}{3}} \approx -33.69007°$$
$$C_3 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.236 \\ \theta_3 = \tan^{-1}{\dfrac{2}{1}} \approx 63.435°$$
E sim, fizemos C3 separado sem elevar ao quadrado porque fica melhor de enxergar assim. Veja adiante:
$$\dfrac{5.385 \angle{68.199°} \times 3.605 \angle{-33.6907°}}{2.236 \angle{63.435°} \times 2.236 \angle{63.435°}} = \dfrac{19.412925 \angle{34.5083°}}{4.999696 \angle{126.87°}} \approx 3.883 \angle{-92.3617}$$

Calcule:
$$A = 3 \angle{90°} \\ B = 2 \angle{0°} \\ C = 5 \angle{-90°}$$

a) $$\dfrac{A \times B}{A + B} = \dfrac{3 \angle{90°} \times 2 \angle{0°}}{3 \angle{90°} + 2 \angle{0°}} = \dfrac{6 \angle{90°}}{3j + 2}$$
Agora já vamos usar a calculadora pra converter de retangular pra polar, né. Já deu pra entender como funciona.
$$\dfrac{6 \angle{90°}}{3.605 \angle{56.31°}} = 1.664 \angle{33.69°}$$
b) $$\dfrac{C \times B}{C + B} + A \\ \dfrac{5 \angle{-90} \times 2 \angle{0°}}{-5j + 2} + 3j \approx \dfrac{10 \angle{-90}}{5.385 \angle{-68.199°}} + 3j \approx \\ 1.857 \angle{-21.801°} + 3j \approx 1.724 - 0.6897j + 3j = 1.72 + 2.3103j \approx 2.8803 \angle{53.333°}$$

Senóides e Fasores

$$V = A_m \times \sin{\omega t}$$


Fasores
$$V = A_m \times \sin{(\omega t \pm \theta)}$$
Domínio do tempo.
$$v = A \angle{\pm \theta°}$$
Domínio do fasor.

Não muito bem feito porque, ao contrário do previsto, eu não me lembrei de baixar software de plotar gráfico

$$v_1 = 2 \sin{(\omega t + \theta_1)} \\ v_2 = 1.5 \sin{(\omega t - \theta_2)}$$

Converta os seguintes fasores para o domínio do tempo, caso a frequência seja 60Hz.
a) $$v_1 = 10 \angle{20°}$$
Temos que ômega se torna 2pi vezes a frequência 60Hz. O resto é só usar o que está no exercício:
$$v_1 = 10 \sin{(\omega t + \theta)} = 10 \sin{((2\pi \times 60)t + 20°)} = 10 \sin{(120\pi t + 20°)}$$
b) $$v_2 = 12 \angle{-60°} \\ v_2 = 12 \sin{(120\pi t - 60°)}$$

Determine a defasagem entre as ondas e se i está adiantada ou atrasada em relação a v.
a) i = 2sen(377t - 30°), v = 5sen(377t - 40°)
A corrente i está adiantada com relação a v (-30 > -40), a defasagem (diferença de ângulo entre um e outro) é de 10°.

b)  $$i = 3 \sin{(\omega t + 45°)} \\ v = 7 \sin{(\omega t - 35°)}$$
Mais uma vez, i está adiantado com relação a v (45 > -35). A defasagem, no caso, é de 80°.