Aula VIII - Circuitos Elétricos

Capacitores
- Função: armazenar carga

$$C = \dfrac{Q}{V} \\ Q = C \times V$$
Onde:
C = capacitância em F (Faraday)
Q = carga em C (Coulombs)
V = tensão em V (Volts)

Temos que:
$$i = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \\ Q = C \times V \\ i = C \dfrac{\Delta V}{\Delta t} \\ i_C = C \dfrac{dV}{dt}$$
Integrando a equação da corrente, temos:
$$\int i_C dt = \int C \dfrac{dV}{dt} \\ \int i dt = C \times V \\ V_C = \dfrac{1}{C} \int i_C dt$$
Tendo:

Capacitância equivalente
Série:

$$V_{eq} = V_1 + V_2 + ... + V_n \\ \dfrac{1}{C_{eq}} \int i dt = \dfrac{1}{C_1} \int i dt + \dfrac{1}{C_2} \int i dt + ... + \dfrac{1}{C_n} \int i dt \\ \dfrac{1}{C_{eq}} \int i dt = (\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + ... + \dfrac{1}{C_n}) \int i dt \\ \dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + ... + \dfrac{1}{C_n}$$
Paralelo:

$$i_T = i_1 + i_2 + ... + i_n \\ C_{eq} \dfrac{dV}{dt} = C_1 \dfrac{dV}{dt} + C_2 \dfrac{dV}{dt} + ... + C_n \dfrac{dV}{dt} \\ C_{eq} \dfrac{dV}{dt} = (C_1 + C_2 + ... + C_n) \dfrac{dV}{dt} \\ C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_n$$

Exercícios:
1. Encontre a capacitância equivalente do circuito.

Bem simples. Vamos resolver o que está em paralelo primeiro, depois estabeleceremos uma equação geral pra resistência em série.
$$C_1 = 1+1 = 2 \mu F \\ C_2 = 3+3 = 6 \mu F$$
E agora...
$$\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{4+2+6+4+2+1+3}{12} = \dfrac{22}{12} = \dfrac{11}{6} \\ C_{eq} = \dfrac{1}{6} \approx 0.54 \mu F$$

2. Encontre a forma de onda da corrente em um capacitor de 1.4 microF quando temos a forma de onda da tensão abaixo:

Ok, seguinte situação: precisamos determinar a corrente em cada ponto a partir da equação do capacitor inteira. Sendo a equação a seguinte:
$$i = C \dfrac{dV}{dt}$$
Sim, a derivada. É que faremos tal procedimento: traçaremos a equação da reta do início ao fim de todos os segmentos da curva, e ela será o que colocaremos no lugar de V (veja bem, não dV/dt, apenas V). Siga o primeiro exemplo, a primeira reta:
(t, V): (0, 0), (1, 2)
Sendo uma reta, já fica bem claro que a equação da reta é 2t. Sendo assim, o gráfico da corrente entre t = 0 e t = 1 é:
$$i_{C1} = C \dfrac{dV}{dt} = C \dfrac{d}{dt} [2t] = C \times 2 = 1.4 \mu \times 2 = 2.8 \mu A$$
Fácil, não é? Se tem algum problema, ele é apenas traçar a equação da reta. E não é problema, de qualquer forma. Vamos pra segunda corrente, entre o tempo 1ms e o tempo 3ms - veja bem, a voltagem permanece 2 estático, então V = 2. Sendo assim:
$$i_{C2} = C \dfrac{d}{dt} [2] = C \times 0 = 0$$
Ótimo. Para a terceira voltagem, temos realmente que fazer os esquemas básicos pra equação da reta, mas bem simples. A equação da reta é a seguinte:
y = ax+b (y função, x variável)
Nesse caso, temos que:
V = at+b (V função, t variável)
Sendo assim, podemos jogar nos valores de V e de t o que temos no gráfico, que são os pontos. Os dois melhores exemplos sempre são os extremos, nesse caso (t, V): (3, 2), (5, -2). Formamos aí um sistema linear de equações:
$$\begin{cases} 2 = 3a + b \\ -2 = 5a + b \end{cases}$$
Multiplicamos a parte debaixo por (-1) pra poder cortar os b, e temos 2 = 3a e 2 = -5a pra somar. Assim, -2a = 4. Isolando, temos que a = -2. Substituímos a numa equação qualquer para descobrir b:
$$3 \times (-2) + b = 2 \\ b = 2 + 6 = 8$$
E temos que a equação final é V = -2t + 8. Colocamos isso na equação da corrente:
$$i_{C3} = C \dfrac{d}{dt} [-2t + 8] = 1.4 \mu \times (-2) = -2.8A$$
Ótimo, agora resta apenas uma equação da reta pra traçar. Ela é entre t = 5ms e t = 6ms, aonde há um aumento na voltagem. Assim como a última equação, vamos fazer uma análise dos pontos. (t, V): (5, -2), (6, 0).
E agora montar o sistema de equações:
$$\begin{cases} -2 = 5a + b \\ 0 = 6a + b \end{cases}$$
Aonde mais uma vez multiplicamos a segunda equação por (-1) pra anular os b, sobrando 5a = -2 e -6a = 0 na soma, e ficando -a = -2. Só inverter os sinais, temos a = 2. Então só colocar em alguma das duas equações pra descobrir b:
$$5 \times 2 + b = -2 \\ b = -2 - 10 = -12 \\ V = 2t - 12$$
Agora substituindo na equação da corrente:
$$i_{C4} = C \dfrac{d}{dt} [2t - 12] = 1.4\mu \times 2 = 2.8\mu A$$

Com isso dá pra plotar o gráfico da corrente com relação ao tempo. Mas pra ficar bem fácil e entendível, vamos fazer um sumário de tudo o que coletamos aqui.
Entre t = 0ms e t = 1ms, a corrente é 2.8 microA.
Entre t = 1ms e t = 3ms, a corrente é 0.
Entre t = 3ms e t = 5ms, a corrente é -2.8 microA.
Entre t = 5ms e t = 6ms, a corrente é 2.8 microA.

Assim, plotaremos o gráfico:

Viu? Até fácil, só trabalhosinho.

Sinto estar postando algo que talvez nem caia na prova, galera, mas tava vendo aqui e realmente não tem como não explicar capacitor e indutor antes de entrar na corrente alternada. Tem gente que tá entendendo errado as coisas até agora. Vou acelerar o que puder, ver se posto indutor ainda hoje e arriscar números complexos também.
No mais, bom dia a todos, e bons estudos.