Lista VI - Cálculo Diferencial e Integral III

Bem, essa lista (ou essas páginas) são todinhas de resolução de equações diferenciais com o uso do fator integrante. Nenhuma aplicação, nada, só a resolução pura. Bom pra treinar inicialmente.

1.
$$y' - 7y = e^x$$
Se pensarmos no formado y' + p(x)y = q(x), temos que p(x) é -7. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x}$$
Multiplicando o fator integrante dos dois lados:
$$e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \times e^{x} = e^{-6x}$$
Aplicando a propriedade I(x, y) * [y' - 7y] = d[I(x, y) * y]/dx, fica:
$$\dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = e^{-6x}$$
Integrando os dois lados:
$$e^{-7x} \times y = \int e^{-6x}dx = -\dfrac{1}{6} e^{-6x} + C$$
Isolando y:
$$y = -\dfrac{e^{-6x}}{6 e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = - \dfrac{1}{6 e^{-x}} + Ce^{-7x} = - \dfrac{1}{6} e^x + Ce^{7x}$$

2.
$$y' -  7y = 14x$$
p(x) = -7, assim como no exercício anterior. Sendo assim, vamos apenas repetir os passos de antes:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = 14x \times e^{-7x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = 14x \times e^{-7x}$$
$$e^{-7x} \times y = \int 14x \times e^{-7x} dx = \\ 14 \int xe^{-7x} dx = 14 [x(\dfrac{e^{-7x}}{-7}) - \int \dfrac{e^{-7x}}{-7} \times 1 dx] = \\ 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} + \dfrac{1}{7} \dfrac{e^{-7x}}{-7}] = 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} - \dfrac{e^{-7x}}{49}] = \\ 2xe^{-7x} - \dfrac{2}{7} e^{-7x} + C$$
$$y = \dfrac{-2xe^{-7x}}{e^{-7x}} - \dfrac{2e^{-7x}}{e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = -2x - \dfrac{2}{7} + Ce^{7x}$$
Foi usado o conceito de integral por partes aqui, presumo que estejam familiarizados.

3.
$$y' - 7y = \sin{2x}$$
p(x) continua sendo o mesmo.
$$I(x, y) = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \sin{2x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} y] = e^{-7x} \sin{2x}$$
Pela existência de um número de Euler e um seno ambos no mesmo grau, já dá pra se presumir que haverá uma integral ciclica. E sim, haverá, aí vem:
$$e^{-7x} y = \int e^{-7x} \sin{2x} dx = e^{-7x} (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) - \int (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \cos{2x} dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [e^{-7x} (\dfrac{\sin{2x}}{2}) - \int (\dfrac{\sin{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [\dfrac{1}{2} e^{-7x} \sin{2x} + \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \sin{2x} dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x} - \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
Como essa é a volta ao ciclo inicial, só jogar pro outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx + \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{53}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
E jogar a fração de volta dividindo tudo o que está do outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{4}{53} [-\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x}] = \\ -\dfrac{4}{106} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{28}{212} e^{-7x} \sin{2x} = \\ -\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C$$
Ok, ok, é esse o resultado da integral. Mas ainda precisamos passar o número de Euler dividindo:
$$y = \dfrac{1}{e^{-7x}}[-\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C] \\ = -\dfrac{2}{53} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} \sin{2x} + Ce^{7x}$$
Complicadinha, mas resolvida.

4..
$$y' + x^2 y = x^2$$
p(x) agora é x², logo:
$$I(x, y) = e^{\int x^2 dx} = e^{x^3/3} \\ e^{x^3/3} [y' + x^2 y] = e^{x^3/3} x^2 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^3/3} y] = e^{x^3/3} x^2$$
Integrando dos dois lados:
$$e^{x^3/3} y = \int e^{x^3/3} x^2 dx = \int e^u x^2 \dfrac{du}{\dfrac{3x^2}{3}} = \int e^u du = e^u + C = e^{x^3/3} + C$$
Passando número de Euler pro outro lado:
$$y = \dfrac{e^{x^3/3}}{e^{x^3/3}} + \dfrac{C}{e^{x^3/3}} = 1 + Ce^{-x^3/3}$$

5.
$$y' + \dfrac{2}{x} y = x; y(1) = 0$$
Agora há um diferencial: tem um valor inicial dado pra gente descobrir C, mas fora isso é igual todas as outras. Primeiro, como todas as outras, vamos resolver a parte que não precisa jogar valor:
p(x), como visto, é 2/x. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int \dfrac{2}{x} dx} = e^{2 \int \dfrac{1}{x} dx} = e^{2 ln|x|} = e^{ln|x^2|} = x^2$$
Multiplicando os dois lados:
$$x^2 [y' + \dfrac{2}{x} y] = x^2 x \\ \dfrac{d}{x} [yx^2] = x^3$$
Integrando os dois lados:
$$yx^2 = \dfrac{x^4}{4} + C$$
Isolando y:
$$y = \dfrac{x^4}{4x^2} + \dfrac{C}{x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{C}{x^2}$$
Agora sim. Temos que, quando x é 1, y é 0. Então vamos substituir os valores e isolar C:
$$0 = \dfrac{1}{4} \times 1^2 + \dfrac{C}{1^2} = \dfrac{1}{4} + C \\ C = -\dfrac{1}{4}$$
Substituindo C na equação final:
$$y = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4} x^{-2} = \dfrac{1}{4} [x^2 - x^{-2}]$$

6.
$$y' + 6xy = 0; y(\pi) = 5$$
Obviamente, p(x) = 6x. Então:
$$I(x, y) = e^{\int 6x dx} = e^{3x^2} \\ e^{3x^2} [y' + 6xy] = 0 \\ \dfrac{d}{x} [e^{3x^2} y] = 0 \\ e^{3x^2} y = C \\ y = \dfrac{C}{e^{3x^2}} = Ce^{-3x^2}$$
Jogando os valores:
$$Ce^{-3\pi^2} = 5 \\ \dfrac{C}{e^{3\pi^2}} = 5 \\ C = 5e^{3\pi^2}$$
E é isso aí mesmo, o livro não fica arredondando então não tem pra que a gente fazer isso. Só substituir:
$$y = 5e^{3\pi^2} \times e^{-3x^2} = 5e^{3(\pi^2 - x^2)}$$
E pra ficar da mesma maneira do livro, invertemos os sinais lá em cima só:
$$y = 5e^{-3(x^2 - \pi^2)}$$

7.
$$y' - \dfrac{3}{x^2}y = \dfrac{1}{x^2}$$
p(x) fica -3/x², assim:
$$I(x, y) = e^{\int -3/x^2} = e^{3/x} \\ e^{3/x} [y' - \dfrac{3}{x^2}y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{3/x} y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ e^{3/x} y = \int \dfrac{e^{3/x}}{x^2} dx = \int \dfrac{e^u}{x^2} \dfrac{dx}{\dfrac{-3}{x^2}} = \dfrac{-1}{3} e^u = \dfrac{-1}{3} e^{3/x} + C \\ y = -\dfrac{1}{3} + Ce^{-3/x}$$

8.
$$y' = \cos{x}$$
Não entendi ao certo porque essa questão tá aqui, mas pela praticidade vamos só integrar por favor:
$$\dfrac{dy}{dx} = \cos{x} \\ y = \int \cos{x} dx = \sin{x} + C$$

9.
$$y' + 2xy = 2x^3; y(0) = 1$$
p(x) é facilmente identificável como 2x.
$$I(x, y) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2} \\ e^{x^2} [y' + 2xy] = e^{x^2} 2x^3 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^2} y] = e^{x^2} 2x^3 \\ e^{x^2} y = \int e^{x^2} 2x^3 dx$$
Essa integral é massa. Não, sério. O truque que vou fazer aqui é muito bom, milagre da lógica: vamos chamar x² de u pra ver no que vai dar:
$$\int e^u u 2x dx$$
Eita... Agora notem o seguinte: deriva x² pra ver no que dá. 2x, certo? Não bate com o que sobrou ali? Podemos então chamar 2xdx de du. Fica assim:
$$e^{x^2} y = \int e^u udu = u e^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C = x^2 e^{x^2} - e^{x^2} + C \\ y = x^2 - 1 + Ce^{-x^2}$$
Jogando os valores:
$$y(0) = 0 - 1 + Ce^0 = 1 \\ -1 + C = 1 \\ C = 1+1 = 2$$
E substituindo C:
$$y = x^2 - 1 + 2e^{-x^2}$$

O resto eu até consegui resolver, mas foi de uma metodologia estranha usando tangente hiperbólica e coisa pior ainda que foi só usando calculadora mesmo, não entendi nada. Então deixo pra vocês até aqui mesmo, já em seguida vou botar os exercícios de aplicação que consegui.
Bom dia a todos!