Aula IX - Circuitos Elétricos

Indutores

Obviamente com muito, mas muito mais espiras

Armazenam energia.

$$V(t) = L \dfrac{dI}{dt} \\ I(t) = \dfrac{1}{L} \int V(t) dt$$

L: indutância. Unidade: henry (H).

Formas de onda

Indutores em série:

$$L_{eq} = L_1 + L_2 + ... + L_n$$


Indutores em paralelo:

$$\dfrac{1}{L_{eq}} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2} + ... + \dfrac{1}{L_n}$$


Exercícios:
A corrente em um indutor de 50H é mostrada no gráfico abaixo. Determine a tensão sobre o indutor:

Ok, esse exercício é extremamente semelhante ao do capacitor feito anteriormente. Vamos traçar uma série de equações de reta pra cada alteração que houver na corrente. A primeira equação é sempre padrão: não temos b porque a equação da reta começa em 0, e analisando o gráfico vemos que em 2 segundos a corrente atinge -10mA, sendo assim em 1 segundo ela atinge -5mA e podemos traçar a primeira equação como i = -5t. Sendo assim:
$$V_1 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times \dfrac{d}{dt}[-5t] = 50 \times -5 = -250mV$$
Para a segunda, temos uma variação que já não começa em 0, logo b tem algum valor relevante e temos duas incógnitas na função. Sendo assim, façamos aquela análise de sistemas. Primeiro, pegaremos os valores das extremidades: (t, I): (2, -10), (4, 5). Agora, façamos um sistema linear substituindo I e t na equação I = at + b:
$$\begin{cases} -10 = 2a + b \\ 5 = 4a + b \end{cases}$$
Como de praxe, multipliquemos uma das equações por (-1) pra cortar os b. A segunda. Na soma, resta então -10 = 2a e -5 = -4a, que dá -2a = -15, assim a = 7.5. Substituímos a em uma das equações para descobrir b:
$$2 \times 7.5 + b = -10 \\ b = -10 - 15 = -25$$
E temos a equação final:
$$I = 7.5t - 25$$
Que colocaremos na equação da tensão:
$$V_2 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times 7.5 = 375mV$$
Para a parte entre 4s e 6s, por favor, nem façamos análise. É uma reta constante, então sua derivada é 0, sendo assim a voltagem nesse ponto é 0. Resta então o ponto entre 6 e 8 segundos, que terá análise semelhante ao ponto entre 2 e 4.
Vejamos, os dois valores que podemos usar são: (t, I): (6, 5), (8,0). Sendo assim, o sistema fica:
$$\begin{cases} 5 = 6a + b \\ 0 = 8a + b \end{cases}$$
Multiplicando a equação de baixo por -1, eliminamos b, e sobra pra somar 5 = 6a e 0 = -8a, cujo resultado real é -2a = 5, e a = -2.5. Jogando a numa das equações para descobrir b:
$$8 \times -2.5 + b = 0 \\ b = 20 \\ I = -2.5t + 20$$
Assim, na equação da voltagem temos:
$$V_4 = L \dfrac{dI}{dt} = 50 \times (-25) = -125mV$$

E temos tudo aí. Recapitulando para plotar o gráfico:
Entre 0s e 2s, a tensão é de -250mV.
Entre 2s e 4s, a tensão é de 375mV.
Entre 4s e 6s, a tensão é 0.
Entre 6s e 8s, a tensão é -125mV.
E o gráfico fica:

Encontre a indutância equivalente.

Exercício extremamente simples, mas desenhei os nós pra não enganar ninguém:

Quando os circuitos "se cruzam" mas tem uma dessas curvas no cruzamento, é porque um fio não encosta no outro, assim aquilo no meio não é um nó; entende mais fácil quem já jogou Zelda ou alguns RPGs 2D. Bem, de qualquer forma, bem simples.
Analisando, temos AB em paralelo, BC em paralelo, e AB em série com BC. Jogando tudo nas equações:
$$L_{AB} = \dfrac{6 \times 12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4H \\ L_{BC} = 2 || 2 = 1H \\ L_{eq} = L_{AB} + L_{BC} = 4 + 1 = 5H$$

Outro bem simples. Com os nós, vemos que os indutores de 2mH e 1mH que estão em série estão em curto. Sendo assim, sobra uma indutância equivalente entre os três de 6mH. E como sabemos, paralelo de valores iguais, você conta quantos dispositivos tem e divide o valor original por esse número. No caso, L = 6/3 = 2mH.

Viu só? Facílimo.