Queda Livre para Exame - Cálculo Diferencial e Integral III

Ok, me ofereceram uma bolada de 150 dólares pra esquecer um pouco as férias e curtir cálculo III com a galera que ficou de exame, então aqui estou eu. O pedido foi queda livre, então peguei os... três exercícios do livro sobre queda livre pra resolver aqui detalhadamente pra vocês.
Como de costume, ressaltarei no final. Mas estudem bastante o primeiro, o segundo é deveras desnecessário do ponto de vista de uma prova de cálculo, e o terceiro será apenas no caso de ele querer usar queda livre como exam killer.

1. Deixa-se cair um corpo de 10 "slugs" de massa de uma altura de 1000 pés sem velocidade inicial. A resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo. Se a velocidade limite é 320 pés/s, determine:
a) uma expressão para a velocidade no instante t;
b) o tempo necessário para o corpo atingir a velocidade de 160 pés/s.
Ok, galera. Queda livre é um negócio menos complicado do que parece. Vamos começar lá do princípio, puxar a equação pelo esqueleto dela, e aí começamos a trabalhar porque aí dá pra entender bem. A equação usada aqui é:

$$F_g = ma + Kv$$
Sendo Fg a força da gravidade, m a massa do objeto, a a aceleração, K uma pequena proporcionalidade da resistência do ar e v a velocidade. Podemos igualar F a mg, ficando assim:
$$mg = ma + Kv$$
Passamos m dividindo tudo:
$$g = a + K \dfrac{v}{m}$$
Ok, mais uma consideração: quando a resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo, temos que aquela constante K é definida pela razão entre o peso (massa vezes aceleração da gravidade) e a velocidade inicial. Difícil de entender? Seguinte:
$$K = \dfrac{mg}{v_0}$$
Sempre quando o exercício disser "A resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo".
Substituindo isso na equação temos:
$$g = a + \dfrac{mg}{v_0} \times \dfrac{v}{m} = a + \dfrac{gv}{v_0}$$
Sendo assim, a equação está quase pronta pra gente trabalhar nela. Falta uma única consideração antes de jogar os valores constantes: note que a aceleração a é a derivada da velocidade com relação ao tempo, logo:
$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{gv}{v_0} = g$$
Agora sim temos uma equação diferencial bonita e gostosa de se trabalhar. Ao jogar os valores, só precisamos fazer uma consideração: no sistema de medidas utilizado no exercício (slugs, pés, etc.) a gravidade se dá por 32.2 pés/s², que o exercício nos dá a colher de chá pra arrendondar pra 32 pés/s². Logo, jogamos tudo o que o exercício nos dá:
$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{32}{320} v = 32 \\ \dfrac{dv}{dt} + 0.1v = 32$$
Resolvendo a equação diferencial usando o método do fator integrante:
$$I(t, v) = e^{\int 0.1 dt} = e^{0.1t}$$
$$e^{0.1t} [\dfrac{dv}{dt} + 0.1v] = 32e^{0.1t} \\ \dfrac{d}{dt} [ve^{0.1t}] = 32e^{0.1t}$$
Integrando dos dois lados:
$$ve^{0.1t} = 32 \dfrac{e^{0.1t}}{0.1} + C = 320e^{0.1t} + C$$
Isolando v:
$$v = 320 + Ce^{-0.1t}$$

Agora vamos analisar as informações que o exercício nos dá pra determinar a constante C: ele nos diz que não há velocidade inicial, o que indica que a velocidade inicial é 0. Logo, quando t = 0, v = 0. Podemos usar isso na equação:
$$v(0) = 320 + Ce^0 = 0 \\ 320 + C = 0 \\ C = -320$$
Sendo assim:
$$v = 320 - 320e^{-0.1t}$$

Essa é a resposta da letra a, que pede uma expressão para a velocidade no instante t. Como vê, a única variável da equação é t, o que indica que chegamos no melhor estado possível pra equação.
Tendo essa equação, no entanto, fica fácil resolver a letra b, que pede o tempo necessário para o corpo atingir 160 pés/s. Só substituir v por 160 e isolar t. Veja:
$$V(t) = 320 - 320^{-0.1t} = 160 \\ 320e^{-0.1t} = 320 - 160 = 160 \\ e^{-0.1t} = 0.5 \\ -0.1t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.1} = 6.93$$
Ou seja, o tempo necessário é de 6.93 segundos. Resolvido o primeiro exercício.

2. Lança-se um corpo de massa m verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Supondo nula resistência do ar, determine:
a) a equação do movimento no sistema de coordenadas da figura;
b) uma expressão para a velocidade do corpo no instante t;
c) o instante tm em que o corpo atinge altura máxima;
d) uma expressão para a posição do corpo no instante t;
e) a altura máxima atingida pelo corpo.
Vamos reconsiderar a equação que elaboramos anteriormente:

$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{Kv}{m} = g$$
Veja bem, o exercício nos dá uma ajudinha aqui: "supondo nula resistência do ar". Resistência do ar nula indica que a constante K é 0. E outra consideração relevante é o fato do corpo estar sendo lançado verticalmente para cima, sendo assim a gravidade se opõe a ele e numa análise vetorial mais complexa chegaríamos à inversão de sinais de g.
Mas olha, vamos apenas usar a lógica básica: no outro exercício o objeto tava descendo então g era positivo, nesse ele está subindo então g é negativo. Simples assim.
Logo:
$$\dfrac{dv}{dt} = -g$$

Essa é a resposta pra letra a. Para as outras vamos chegar através de integrais a todas as equações que nos jogaram no ensino médio. Veja bem, a letra b pede a velocidade do corpo no instante t. Se temos dv/dt, só integrar:
$$v = \int \dfrac{dv}{dt} dt = \int -g \\ v = -gt + C$$
Temos que a velocidade inicial (t = 0) é v0, então façamos essa substituição:
$$v(0) = C = v_0$$
Sendo assim:
$$v = v_0 - gt$$

Para determinar o instante tm aonde a altura é máxima, temos que usar aquele princípio básico de equação de segundo grau. Lembra? Máximos e mínimos. O valor máximo de uma parábola com concavidade pra baixo é descoberto ao igualar a derivada da função a 0. A função, no caso, é a posição. Ou seja:
$$\dfrac{ds}{dt} = 0$$
Sabemos pelas leis fundamentais da mecânica que a velocidade é a derivada da posição, logo usamos a equação que descobrimos anteriormente:
$$\dfrac{ds}{dt} = v_0 - gt \\ v_0 - gt = 0$$
Agora vamos fazer o seguinte: já que não temos valores constantes pra colocar aí, vamos isolar t e criar uma equação pra isso. É suficiente.
$$gt = v_0 \\ t = \dfrac{v_0}{g}$$

O outro exercício nos pede uma expressão para posição. Raciocínio lógico puro. Se a velocidade é a derivada da posição, a posição é a integral da velocidade, sendo assim vamos integrar aquela equação que achamos para a letra b.
$$S = \int (v_0 - gt) dt = v_0 t - g(\dfrac{1}{2} t^2) + C = v_0 t - \dfrac{gt^2}{2} + C$$
Temos que a posição inicial é 0. Logo, (t = 0, v = 0). Jogando os valores:
$$S(0) = 0v_0 - \dfrac{0g}{2} + C = 0 \\ C = 0$$
E a equação final é:
$$S = V_0 t - \dfrac{gt^2}{2}$$

E o último pede a altura máxima, não o tempo necessário pra ela. Mas bem, se temos o tempo necessário pra ela, é só substituir t pelo tm que descobrimos na letra c.
$$S_{max} = V_0 \dfrac{V_0}{g} - \dfrac{g}{2} (\dfrac{V_0}{g})^2 = \dfrac{V_0^2}{g} - \dfrac{gV_0^2}{2g^2} = \dfrac{V_0^2}{g} - \dfrac{V_0^2}{2g} = \dfrac{V_0^2}{2g}$$

E enfim está tudo resolvido. Parece meio confuso a parte de máximo e tal, mas duvido bastante que isso vá cair na prova, é só pra ter queda livre dissecada passo a passo.

3. Um corpo de 1 "slug" de massa é solto no espaço com velocidade inicial de 1 pé/s, e encontra uma resistência do ar dada exatamente por -8v². Determine a velocidade no instante t.
Parece o exercício mais fácil, mas é muito mais difícil que o primeiro também. Devido ao fato do corpo ser lançado no espaço, temos que estabelecer uma força com relação ao corpo, e não à gravidade. Assim:
$$F_c = F_g - 8v^2 \\ ma = mg - 8v^2 \\ m \dfrac{dv}{dt} = mg - 8v^2$$
Substituindo os valores que temos:
$$1 \dfrac{dv}{dt} = 1 \times 32 - 8v^2 = 32 - 8v^2$$
Ok, e agora? Fator integrante? Não. Não temos a equação no formato de fator integrante, o que vamos fazer é "brincar" com ela um pouquinho com aquele método distributivo que aprendemos lá no começo.
$$dv = (32 - 8v^2)dt \\ \dfrac{dv}{32 - 8v^2} = dt \\ \dfrac{dv}{32 - 8v^2} - dt = 0$$
Integrando toda a equação temos:
$$\int \dfrac{1}{32 - 8v^2} dv - \int dt = C$$
A segunda é fácil, a primeira vamos usar a ajuda das nossas boas calculadoras porque usa um método horrível. É muito duvidoso que caia algo do tipo na prova, então é só pra passar isso logo e ir pra parte que interessa mais: o resultado.
$$(\dfrac{1}{32} [\ln{|v + 2|} - \ln{|2 - v|}]) - t = C$$
Usando mais propriedades (lnA - lnB = lnA/lnB) pra simplificar o que queremos:
$$\dfrac{1}{32} [\ln{|\dfrac{2 + v}{2 - v}|}] = C + t \\ \ln{|\dfrac{2 + v}{2 - v}|} = 32C + 32t = K + 32t \\ \dfrac{2 + v}{2 - v} = e^{K + 32t}$$
Uma das respostas do livro chega nesse formato. A outra é v isolado bonitinho. Quem quiser isolar completamente v, tem essa saída brincando com álgebra até cansar (vou chamar convenientemente K + 32t de x).
A princípio, jogamos o 2 pro outro lado:
$$\dfrac{v}{2 - v} = e^x - \dfrac{2}{2 - v}$$
Depois multiplicamos os dois lados por 2-v pra deixar v sozinho:
$$v = e^x (2 - v) - \dfrac{2(2 - v)}{2 - v} = (2e^x) - ve^x - 2$$
Então passamos ve^x pro outro lado de novo, porque vamos fazer um jogo de fatoração bem interessante:
$$v + ve^x = 2e^x - 2$$
Fatorando:
$$v(1 + e^x) = 2e^x - 2$$
Isolando v:
$$v = \dfrac{2e^x - 2}{e^x + 1} = 2 \times \dfrac{e^{K + 32t} - 1}{e^{K + 32t} + 1}$$
Agora, claro, vamos descobrir o valor de K. Que aliás usaremos a seguinte propriedade:
$$e^{K + 32t} = e^K \times e^{32t} = xe^{32t}$$
Ou seja: descobriremos x. Muito mais fácil.
Sabemos que a velocidade inicial é 1, logo, quanto t = 0, v = 1. Então:
$$v(0) = \dfrac{2x e^0 - 2}{x e^0 + 1} = 1 \\ \dfrac{2x - 2}{x + 1} = 1 \\ 2x - 2 = x + 1 \\ 2x - x = 1 + 2 \\ x = 3$$
Sendo assim, as equações finais ficam, a seu critério, ou:
$$\dfrac{2 + v}{2 - v} = 3e^{32t}$$
Ou:
$$v = \dfrac{6e^{32t} - 2}{3e^{32t} + 1} = 2 \dfrac{(3e^{32t} - 1)}{(3e^{32t} + 1)}$$
E isso é tudo que o Bronson mais antigo tem sobre queda livre. Recomendo mesmo estudarem o primeiro se for cair novamente, os outros dois são muito mais complexos e duvido bastante que ele vá soltar na prova... Mas deixei aqui porque, se vocês entenderam os três, vocês dominaram a matéria e não passarão necessidade na prova de forma alguma.

Bons estudos, galera. Qualquer coisa é só me dar um toque.