[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 6: formas de equações diferenciais

b) y'' = 2; y(1) = 1; y'(-1) = 1
Primeiramente, sim, estamos utilizando graus.
$$y(1) = 1 \\ c_1 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1$$
$$y'(-1) = 1 \\ 2c_1 \cos{(-2)} - 2c_2 \sin{(-2)} = 1 \\ 2c_1 \cos{(2)} + 2c_2 \sin{(2)}$$
O professor explicou bem a mudança de sinais mas, pra quem não entendeu, cosseno de -90° a 90° é positivo e seno de -180° a 0° é negativo, então você pode igualar cosseno de -2 a cosseno de 2, e inverter o sinal de seno de -2 para obter seno de 2.
Mas bem, agora temos um sistema linear:
$$\begin{array}
c_1 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
E a solução que o professor nos arranjou foi a seguinte (creio que hajam outras e até mais fáceis, mas por questão de evitar confusão vou usar essa mesmo):
$$-2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}}$$
Multiplicamos a primeira expressão por esse termo:
$$\begin{array}
c_1 \sin{2} \times (-2) \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + c_2 \cos{2} \times (-2) \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
Vamos simplificar o máximo que podemos essa expressão:
$$\begin{array}
-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} \\
2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
Somamos o sistema agora:
$$-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} + 2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + 1$$
Vamos deixar c1 de um lado e c2 do outro pra ficar mais fácil de compreender o que vai acontecer. E aproveitar e trocar sen2/cos2 por tangente de 2 do outro lado:
$$(-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} + 2c_1 \cos{2}) + (2c_2 \sin{2} - 2c_2 \sin{2}) = (-2 \tan{2} + 1)$$
Veja bem: podemos cortar os c2, restando só c1 de variável:
$$2c_1 \cos{2} - 2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} = -2 \tan{2} + 1$$
Isolando 2c1:
$$2c_1 (\cos{2} - \tan{2} \sin{2}) = 1 - 2 \tan{2} \\ 2c_1 = \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})} \\ c_1 =  \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{2(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})}$$
Jogando isso na nossa maravilhosa calculadora:
$$c_1 \approx \dfrac{0.930}{1.996} = 0.47$$
Substituindo c1 = 0.47 na primeira equação do sistema linear, temos:
$$0.47 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\ c_2 \cos{2} = 1 - 0.47 \sin{2} \\ c_2 = \dfrac{1 - 0.47 \sin{2}}{\cos{2}} = 0.98$$
Portanto para exemplo b) onde a EDO possui as tais condições iniciais, encontramos c1 = 0.47 e c2 = 0.98.

Resolvido isso, tem o slide com a apresentação das formas de equações diferenciais. Aqui estão os exercícios resolvidos:
Passagem para a forma padrão: (y' = f(x, y))
a) $$xy' - y^2 = 0 \\ xy' = y^2 \\ y' = \dfrac{y^2}{x}$$
b) $$e^x y' - e^{2x} y = \sin{x} \\ e^x y' = \sin{x} + e^{2x} y \\ y' = \dfrac{\sin{x} + e^{2x} y}{e^x} = \dfrac{\sin{x}}{e^x} + e^x y$$
c) $$(y - y')^5 = \sin{(\dfrac{y'}{x})}$$
Não creio que haja maneira de colocar isso na forma padrão, inclusive o professor também não. Se alguém conseguir, seria interessantíssimo mostrar. O dilema aqui é o seguinte: dentro do seno tem um y', e dentro do polinômio também. Pra retirar o y' do seno tem que fazer arco seno dos dois lados, daí pra você tirar o y' do polinômio depois você terá de fazer seno dos dois lados, e volta à situação inicial. É paradoxal, não tem como fazer, então deixa ele assim de boa.

Passagem para a forma diferencial: (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) $$y(yy' - 1) = x \\ y^2 y' - y = x \\ y^2 \dfrac{dy}{dx} = x + y \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y}{y^2} \\ y^2 dy = (x+y)dx \\ y^2 dy - (x+y)dx = 0$$

b) $$y' = \dfrac{y}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \\ xdy = ydx \\ xdy - ydx = 0$$

Identificar as equações lineares: (y' + a(x)y = f(x); y'' + a1(x)y' + a2(x)y = f(x); e por aí vai)
a) $$y' = (\sin{x})y + e^x \\ y' - (\sin{x})y = e^x$$
Perceba, y' correto, a(x) = -sen(x) e o y ali, e f(x) = e^x. Perfeito, é linear.
b) $$y' = y^2 + x$$
Pelo y² você já percebe que não é linear.
c) $$y' + xy^5 = 0$$
Mesmo motivo da b, só que com y elevado a quinta.
d) $$xy' + y = \sqrt{y}$$
Perceba que temos f(y) do outro lado, e y é a função incógnita. Pra ser linear, teria de ser f(x), já que x é a variável independente. Não é linear.
e) $$y' + xy = e^x y$$
Do outro lado temos f(x, y), não f(x). Não é linear.
f) $$y' + \dfrac{x}{y} = 0$$
y está elevado a -1, não a 1, então não é linear.
Sendo assim, a letra A é linear.

Essa aula aqui vai ajudar demais vocês na lista 2, já que ela é praticamente só isso. No mais, boa noite a todos.