[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 2: revisão de derivadas

Boa noite, galera. Como tivemos que resolver nossos primeiros exercícios, por mais fáceis que eles sejam, aqui apareço para deixar suas resoluções matemáticas (não creio que haja como ficar explicando passo-a-passo como se deriva, nem mesmo sei como) pra todo mundo.

Parte 1: derivadas simples
$$y = t^5 - t^4 + 6 \\ y' = (t^5)' - (t^4)' + (6)' = 5t^4 - 4t^3 + 0 = 5t^4 - 4t^3$$
$$y = 2t - \dfrac{1}{t^2} + \sin{t} \\ y' = (2t)' - (t^{-2})' + (\sin{t})' = 2 - (-2t^{-3}) + \cos{t} = 2 + \dfrac{2}{t^3} + \cos{t}$$
$$y = \dfrac{\sqrt{t}}{2} + \ln{t} \\ y' = (\dfrac{1}{2} t^{1/2})' + (\ln{t})' = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{2} t^{-1/2} + \dfrac{1}{|t|} = \dfrac{1}{4t^{1/2}} + \dfrac{1}{|t|} = \dfrac{1}{4 \sqrt{t}} + \dfrac{1}{|t|}$$
$$f(t) = e^t \sin{t} \\ f'(t) = (e^t)' \sin{t} + e^t (\sin{t})' = e^t \sin{t} + e^t \cos{t}$$
$$y = \dfrac{x^2 - 1}{x + 3} \\ y' = \dfrac{(x^2 - 1)' (x + 3) - (x^2 - 1) (x+3)'}{(x+3)^2} = \dfrac{(2x)(x + 3) - (x^2 - 1)(1)}{(x+3)^2} \\ = \dfrac{2x^2 + 6x - x^2 + 1}{(x+3)^2} = \dfrac{x^2 + 6x + 1}{(x+3)^2}$$
$$y = \tan{z} \\ y' = (\dfrac{\sin{z}}{\cos{z}})' = (\sin{z} \cos^{-1}{z})' = (\sin{z})' \cos^{-1}{z} + \sin{z} (\cos^{-1}{z})' = \\ \dfrac{\cos{z}}{\cos{z}} + \sin{z} [(-1)(\cos^{-2}{z}) \times \sin{z}] = \\ 1 - (\sin{z}) (\cos^{-2}{z}) (\sin{z}) = 1 - \dfrac{\sin^2 {z}}{\cos^2 {z}} = 1 - \tan^2 {z}$$

Parte 2: regra da cadeia (destaquei entre colchetes o que é a derivada "de fora", e o que é a derivada "de dentro")
$$f(x) = (x^2 - 5x + 1)^4 \\ f'(x) = [2x - 5][4(x^2 -5x + 1)^3] = (8x - 20)(x^2 - 5x + 1)^3$$
$$f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \\ f'(x) = ((x^2 - 4)^{1/2})' = [2x][\dfrac{1}{2} (x^2 - 4)^{-1/2}] = x(x^2 - 4)^{-1/2} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$$
$$y = \dfrac{2}{(3x+7)^5} \\ y' = (2(3x+7)^{-5})' = 2[3][(-5)(3x+7)^{-6}] = \dfrac{-30}{(3x+7)^6}$$
$$y = \sin{3x} \\ y' = [3][\cos{3x}] = 3 \cos{3x}$$
$$y = e^{2x} \\ y' = [2][e^{2x}] = 2e^{2x}$$
$$y = \ln{2x} \\ y' = [2][\dfrac{1}{|x|}] = \dfrac{2}{|x|}$$
$$y = \ln{\dfrac{x}{x+1}} \\ y' = (\ln{x} - \ln{x+1})' = (\ln{x})' - (\ln{x+1})' = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$$

E esses foram todos os exercícios passados. Pode ajudar alguns a revisarem porque o professor não chegou a resolver todos os de regra da cadeia, e sei que lááááááá do primeiro semestre ainda tem gente que tem dúvida como funciona.
É uma resolução bem boba e puramente matemática, eu sei, pode não estar muito detalhada de fato. Sintam-se livres pra perguntar qualquer coisa e bem-vindos de volta.