[Cálculo Numérico] Aula 6: sistemas de numeração

Sistemas de Numeração

Surge com a necessidade de contar e tem seus primeiros sistemas relacionados com o homem primitivo.
As primeiras contagens são relacionadas aos dedos da mão (sistema fingers). Com a necessidade de aumento é incorporado o sistema toes (dedos do pé) que leva ao surgimento dos sistemas decimais e vigesimais.
Os sistemas são utilizados para descrever o que chamamos de Sinais (eventos que ocorrem em relação a um determinado tempo).

Sinal Analógico

São sinais contínuos no tempo, neste tipo de sinal ocorre a passagem de um evento de forma suave e podem assumir qualquer valor.

Sinal Digital

São sinais descontínuos com valores discretos (não assumem qualquer valor).

Exemplo: imagine um termômetro digital e um analógico. Enquanto o digital retorna valores discretos, pode-se, com a utilização de uma lupa, devolver valores suaves para um termômetro analógico.
Os fenômenos físicos ocorrem todos com sinal analógico.
Contudo, os sinais digitais apresentam algumas vantagens:

• são mais fáceis de projetar;
• facilidade em seu armazenamento;
• menos suscetível a ruídos.

Pois pequenas variações de amplitude não afetam seu significado. Como na física os sinais são analógicos e na eletrônica o sinal muitas vezes é digital devemos trabalhar com essa transformação.

Descrição de Números

Todo sistema de numeração, seja ele digital ou analógico, segue um padrão de representação padrão. Este é dado por:
$$... + XB^y + ...$$
Onde:
X = dado do sistema de numeração
B = base do sistema de numeração
Y = posição do dígito com relação a vírgula
Obs.: y = 0 para o primeiro dígito à esquerda da vírgula, y = -1 para o primeiro dígito à direita da vírgula.
$$\epsilon = 323841.52_{10} \\ 3*10^5 + 2*10^4 + 3*10^3 + 8*10^2 + 4*10^1 + 1*10^0 + 5*10^{-1} + 2*10^{-2}$$
Quando um número não apresenta indicativo de base a direita, sua base é 10.

Sistema Binário

São representados pela base 2 e apresentam apenas dois dígitos: 1 e 0. O sistema binário possui uma correspondência direta entre os sinais analógicos e digitais, uma vez que sua conversão ocorre de forma direta.
Exemplo:
$$1001101_2 \\ 1*2^6 + 0*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = \\ 64+0+0+8+4+0+1 = 77_{10}$$
Ocorre assim a conversão de binário em decimal. Como realizar o processo inverso?
Duas maneiras:
1. Vá dividindo por 2 e coletando os restos. Exemplo: para 23 na base 10:
23/2 = 11, resto 1
11/2 = 5, resto 1
5/2 = 2, resto 1
2/2 = 1, resto 0
Agora veja bem: você pega o resultado da primeira divisão, 1, e vai acrescentando ao número os restos em ordem inversa (ou seja, nesse caso, de baixo pra cima). 23 em binário fica 10111.

2. Para até 8 bits, faça a seguinte fila:
1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256
Ou seja, 2 elevado a um número de 0 a 8. Aí é só localizar o número entre esses e analisar qual soma é necessária pra chegar a ele. Peguemos 23 novamente:

• ele está antes do 32 e depois do 16, então já convém pegar o 16;
• 16+8 = 24, passou de 23, não compensa pegar o 8. 16+4 = 20;
• 20+2 = 22;
• 22+1, 23.

Agora é só pegar novamente a sequência e inserir 1 abaixo dos números usados, e 0 abaixo dos não-usados:
1 - 2 - 4 - 8 - 16
1 - 1 - 1 - 0 - 1
Invertendo, temos 10111. O mesmo resultado usando a outra maneira. Essa é meio pior de explicar porque depende bastante da prática, mas é só ir pegado.

Números fracionários
$$1101.111_2$$
Agora você vai imaginar o seguinte: 2 elevado a -1 é 0.5, a -2 é 0.25, a -3 0.125, e a cada expoente n+1 você vai dividindo o resultado por 2 (lógico).
Mas a conversão em si de binário pra decimal é bem fácil. É só decompor os números normalmente:
$$1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^{-1} + 1*2^{-2} + 1*2^{-3} \\ 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 13 + 0.875 = 13.875$$

E essa foi a aula de sexta. Boa tarde a todos.