[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 7: exatas e homogêneas

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Forma diferencial

$$y' = \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \\
f(x, y)dx - dy = 0 \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} \\
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$
Exemplo:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x+y}{y^2} = \dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{x+y}}$$
Forma a: (x+y)dx - y²dy = 0
Forma b: $$(\dfrac{x+y}{y^2})dx - 1dy = 0; y \neq 0$$
Forma c: $$1dx - \dfrac{y^2}{x+y} dy = 0; x+y \neq 0$$

Classificação das Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem

Equação Diferencial Ordinária Linear
$$y' + a_0 (x)y = f(x) \\ y' + p(x)y = q(x)$$

Equação Diferencial Ordinária Homogênea
y' = f(tx, ty) = f(x, y)

Exemplo: considere: $$f(x, y) = \dfrac{x+y}{y} \\
f(tx, ty) = \dfrac{tx + ty}{tx} = \dfrac{t(x + y)}{tx}$$
Isso nos dá: $$f(tx, ty) = f(x, y)$$
No caso geral: se f(x, y) é homogênea de grau n, então: $$f(tx, ty) = t^n f(x, y)$$
Se n = 0, então f(tx, ty) = f(x, y)

Equação Diferencial Ordinária Separável
M(x)dx + N(y)dy = 0

Equação Diferencial Ordinária Exata
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

A equação diferencial ordinária acima é exata quando é válida a relação:
$$\dfrac{\partial}{\partial y} M(x, y) = \dfrac{\partial}{\partial x} N(x, y)$$
Exemplo: resolva a equação diferencial ordinária A:
$$A = x^2 dx + xe^y dy = 0$$
a) Verifique se a EDO é separável.
Resolução: dividindo cada termo por x:
$$\dfrac{x^2}{x} dx + \dfrac{x e^y}{x} dy = \dfrac{0}{x} \\
xdx + e^y dy = 0 \\
\int x dx + \int e^y dy = \int 0 \\
\dfrac{x^2}{2} + C_1 + e^y + C_2 = C_3 \\
\dfrac{x^2}{2} + e^y = C_3 - C_1 - C_2$$
Como os três termos são constantes, podemos concatená-los em uma única constante:
$$e^y = C - \dfrac{x^2}{2} \\
y(x) = \ln{|C - \dfrac{x^2}{2}|}$$

Exemplo com equação diferencial ordinária homogênea:
$$y' = f(tx, ty) = f(x, y), n = 0 (f(tx, ty) = t^n f(x, y))$$
Considere: $$z = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$
Identificando z = f(x, y).
$$z(tx, ty) = \dfrac{2(ty)^4 + (tx)^4}{(tx)(ty)^3} = \dfrac{t^4 2y^4 + t^4 x^4}{tx * t^3 y^3} = z(x, y)$$

Mudança de Variável

Considere y' = f(x, y), onde f(x, y) = f(tx, ty).
Fazendo a seguinte mudança de variável:
$$v = \dfrac{y}{x} \\
y = vx$$
Temos a função:
$$y = vx \\
\dfrac{dy}{dx} = v \dfrac{dx}{dx} + x \dfrac{dv}{dx} = v + x \dfrac{dv}{dx} \\
x \dfrac{dv}{dx} + v = f(v) \\
x \dfrac{dv}{dx} = f(v) - v$$
O que é uma equação separável.
$$\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{dx}{x} \\
\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{1}{x} dx + C$$
Observação: a variável v = y/x para o caso em que:
$$y'(x, y) = f(x, x \dfrac{y}{x}) = f(1, v)$$
Já para:
$$y'(x, y) = f(y \dfrac{x}{y}, y) \\
v = \dfrac{x}{y}, f(v, 1)$$

Exemplo: considere a equação diferencial homogênea:
$$y' = \dfrac{x+y}{y}$$
a) Determine a função y(x):
Resolução: definido v = y/x:
$$y = vx \\
y' = v + xv'$$
Substituímos y' pelo valor dado inicialmente ali:
$$\dfrac{x+y}{y} = v + xv'$$
Podemos trocar y por vx, pela igualdade estabelecida logo abaixo da definição de v:
$$\dfrac{x + vx}{x} = v + xv'$$
Colocando x em evidência:
$$\dfrac{x (1+v)}{x} = v + xv' \\
(1+v) = v+xv' \\
1 + v - v = x \dfrac{dv}{dx} \\
1 = x \dfrac{dv}{dx} \\
\dfrac{dx}{x} = dv \\
\int \dfrac{1}{x} dx = dv \\
\ln{|x|} + C = v \\
\dfrac{y}{x} = \ln{|x|} + C \\
y(x) = x(\ln{|x|} + C)$$

Tentei explicar um pouquinho melhor essa última porque muita gente ainda pareceu empacadíssimo nela, mas não sei se fiz um bom trabalho. É tudo muito pré-estabelecido, 1000x mais fácil entender numa resolução de exercício de fato, que provavelmente será a próxima lista.
De qualquer forma, boa noite a todos.