[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 5: soluções de equações e problemas de valor inicial

Equações Diferenciais Ordinárias

Introdução: uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.
Ex.:  $$y' = 2x + 3; y'' = 2 \\ \dfrac{d^2 y}{dy^2} + (\dfrac{dy}{dx})^2 = 1 \\ y''' + \sin{(x)} y'' + 5xy = 0 \\ y''' - 2y'' + 2y = \sin{(x)}$$

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

São do tipo:
$$y' + a_0 (x) y = f(x) \\ y'' + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = f(x)$$
Ex.: $$y'' + \sin{(x)} y' + xy = \cos{(x)}$$
É dada linear, pois y¹.
Caso não-linear:
$$(1 + y^2) \dfrac{d^2 y}{dy^2} + t \dfrac{dy}{dx} + y = e^t$$
É dada não-linear, pois y².

De modo geral, temos a seguinte condição:
$$\sum_{i = 1}^{n} a_1 (x) \dfrac{d^{(i)} y}{dx^{(i)}} = f(x) \\ a_n (x) \neq 0$$
E x pertencendo aos números reais.
Notação:
$$y(x) \\ y' = \dfrac{dy}{dx}; y'' = \dfrac{d^2 y}{dx^2}; y^{[n]} = \dfrac{d^n y}{dx^n}$$
$$x(t) \\ \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} \\ \ddot{x} = \dfrac{d^2 x}{dt^2}$$

Exemplo de Solução Verdadeira

y'' + 4y = 0. Verifique se y = sen(2x) e y = cos(2x) são soluções da EDO.
a) Solução para y = sen(2x).
$$y = \sin{(2x)} \\ y' = 2 \cos{(2x)} \\ y'' = -4 \sin{(2x)}$$
Substituindo na EDO, temos:
$$-4 \sin{(2x)} + 4 \sin{(2x)} = 0$$
Logo, y = sen(2x) é solução.
Se procedermos de maneira análoga, verificaremos que y = cos(2x) também é solução da EDO em questão. Portanto a soma das duas soluções também será uma solução. De modo geral, a solução linear das soluções:
$$y_{geral} = y_1 + y_2$$
Onde, nesse caso:
$$y_1 = c_1 \sin{(2x)} \\ y_2 = c_2 \cos{(2x)}$$
Portanto,
$$y_{geral} = c_1 \sin{(2x)} + c_2 \cos{(2x)}$$
E a solução particular se dá por:
$$\begin{array} y_1 = c_1 \sin{(2x)} \\ y_2 = c_2 \cos{(2x)} \end{array}$$
Onde c1 e c2 pertencem aos números reais.

A determinação dos coeficientes constantes c1 e c2 se dá por meio de:
1. condições iniciais (PVI - problema de valor inicial)
2. condições de contorno (PVC - problema de valor de contorno)

Inserindo uma condição inicial qualquer no y geral que usamos no outro exercício:
y'' = 2; y'(0) = 0; y(0) = 0
Aplicamos as condições e temos:
$$y(x) = c_1 \sin{(2x)} + c_2 \cos{(2x)}$$
$$y(0) = 0 \\ 0 = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 0 + c_2 * 1 \\ c_2 = 0$$
$$y'(x) = 2c_1 \cos{(2x)} - 2c_2 \sin{(2x)} \\ y(0) = 0 \\ 0 = 2c_1 \cos{0} - 2c_2 \sin{0} = 2c_1 * 1 - 0 = 2c_1 \\ c_1 = 0$$
A segunda eu vou deixar todinha pra outra aula, embora tenha se iniciado nessa. É melhor pra todos.