[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 4: solução e classificação de equações diferenciais

Bom, eu sei que tivemos uma infinidade de exercícios passados em uma lista, mas a entrega é segunda então a partir de terça-feira estará quentinho aqui. Mas deixarei em registro os exercícios que fizemos em sala, possivelmente ajudarão bastante.

1. A equação A é solução geral de y'' + 4y = 0?
A: $$y = c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}$$
Ok, simples pra caramba. Vamos pegar o y fornecido em A e substituir pelos y da equação passada, e ver se os lados se igualam.
$$(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x})'' + 4(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}) = 0 \\ (2c_1 \cos{2x} + 2c_2 \sin{2x})' + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0 \\ (-4c_1 \sin{2x} + 4c_2 \cos{2x}) + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0$$
Como vemos, os senos se anulam e os cossenos também. Logo, a expressão é verdadeira e a equação A é solução de y'' + 4y = 0.

2. A equação y = x² - 1 é solução geral de B?
B: $$(y')^4 + y^2 = -1$$

(vale a pena lembrar que estou usando isso de equação A, B, etc. por conveniência de formatação apenas)
Vamos fazer a mesma coisa: jogar x² - 1 em tudo que é y e ver se os resultados batem.
$$((x^2 - 1)')^4 + (x^2 - 1)^2 = -1 \\ (2x)^4 + (x^4 - 2x^2 + 1) = -1 \\ 16x^4 + x^4 - 2x^2 + 1 = -1 \\ 17x^4 - 2x^2 + 2 = -1$$
Só de bater o olho já dá pra perceber que x² - 1 não é solução geral de B. Dá pra passar -1 pro outro lado como +1 e fazer uma resolução de equação do segundo grau, mas será pra uma solução particular com valores particulares, não uma solução geral. Exercício resolvido.

3. Determine a ordem, função incógnita e variável independente das equações diferenciais abaixo: (vou postar uma forma alternativa sempre que achar necessário, pra ficar mais fácil de enxergar)
a) $$y''' - 5xy' = e^x + 1 \\ \dfrac{d^3 y}{dx^3} - 5x \dfrac{dy}{dx} = e^x + 1$$
O termo mais derivado é derivado três vezes, logo terceira ordem. Veja que a função derivada é y com relação a x (dy em cima, dx embaixo), logo a função incógnita é y e a variável independente é x.
b) $$ty'' + t^2 y' - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1 \\ t \dfrac{d^2 y}{dt^2} + t^2 \dfrac{dy}{dt} - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1$$
O termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem. A função derivada é y com relação a t, então função incógnita y e variável independente t.
c) $$s^2 \dfrac{d^2 t}{ds^2} + st \dfrac{dt}{ds} = s$$
(não creio ser necessário a forma alternativa porque acredito ser muito mais visível essa forma que a outra, com a função incógnita em cima e a variável independente embaixo e tal, apesar de nem sempre ser assim)
O termo mais derivado é derivado duas vezes, segunda ordem. A função derivada é t com relação a s, função incógnita t e variável independente s.


E foi só isso mesmo. Já está pronta a lista aqui, e não pretendo demorar a deixá-la pronta no blog também, postarei o mais cedo possível pra ter bastante conteúdo pra estudar pras provas... Já que essa é uma das três? matérias com provas que podem ser bem pesadas.
Vale a pena lembrar também que estamos só vendo como matéria específica algo que vimos generalizado no cálculo III, então pra esse começo o conteúdo desse blog de Cálculo Diferencial e Integral III ajudará muito.