[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 2: forma padrão e forma diferencial

1. Escreva as equações diferenciais na forma padrão. (dy/dx = f(x, y))
a) xy' + y² = 0
$$xy' = -y^2 \\ y' = \dfrac{-y^2}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-y^2}{x}$$
b) $$e^x y' - x = y'$$
Esse exercício pegou muita gente, mas ele é bem fácil. Veja só, passe y' do lado direito dividindo tudo do lado esquerdo:
$$e^x - \dfrac{x}{y'} = 1$$
Agora tem só um y', só resolver:
$$- \dfrac{x}{y'} = 1 - e^x \\ -x = y'(1 - e^x) \\ y' = \dfrac{-x}{(1 - e^x)} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{(e^x - 1)}$$
c) $$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx - dy = 0$$
Parece confuso, mas é só juntar dy e dx, de modo que dy fique em cima e dx fique embaixo. Veja só:
$$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx = dy \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x+y)}{(x-y)}$$
d) (x-y)dx + y²dy = 0
$$(x-y)dx = -y^2 dy \\ (x-y) = -y^2 \dfrac{dy}{dx} \\ \dfrac{(x-y)}{-y^2} = \dfrac{dy}{dx} \\ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{(x-y)}{y^2} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y-x)}{y^2}$$
e) $$(e^{2x} - y)dx + e^x dy = 0 \\ e^x dy = (y - e^{2x})dx \\ e^x \dfrac{dy}{dx} = (y - e^{2x}) \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y - e^{2x})}{e^x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{e^x} - e^x$$

2. Escreva as equações diferenciais na forma diferencial. (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) y' = xy
$$\dfrac{dy}{dx} = xy \\ dy = (xy)dx \\ (xy)dx - dy = 0$$
b) y' = xy + 1
$$\dfrac{dy}{dx} = xy + 1 \\ dy = (xy + 1)dx \\ (xy+1)dx - dy = 0$$
c) $$y' = \dfrac{x^2}{y^2} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y^2} \\ y^2 \dfrac{dy}{dx} = x^2 \\ y^2 dy = x^2 dx \\ x^2 dx - y^2 dy = 0$$
d) $$y' = \dfrac{-2y}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2y}{x} \\ x \dfrac{dy}{dx} = -2y \\ x dy = -2y dx \\ -2y dx - x dy = 0$$
e) $$y' = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\ (x^2 y + y^3)dy = (xy^2)dx \\ (xy^2)dx - (x^2 y + y^3)dy = 0$$
f) y' = x³y + xy³
$$\dfrac{dy}{dx} = x^3 y + xy^3 \\ dy = (x^3 y + xy^3)dx \\ (x^3 y + xy^3)dx - dy = 0$$

E está resolvida a lista pra quem quiser estudar. Esqueci de postar logo após a entrega, mas de qualquer forma, aí está.