[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 7: exatas e homogêneas

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Forma diferencial

$$y' = \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \\ f(x, y)dx - dy = 0 \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} \\ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$
Exemplo:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x+y}{y^2} = \dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{x+y}}$$
Forma a: (x+y)dx - y²dy = 0
Forma b: $$(\dfrac{x+y}{y^2})dx - 1dy = 0; y \neq 0$$
Forma c: $$1dx - \dfrac{y^2}{x+y} dy = 0; x+y \neq 0$$

Classificação das Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem

Equação Diferencial Ordinária Linear
$$y' + a_0 (x)y = f(x) \\ y' + p(x)y = q(x)$$

Equação Diferencial Ordinária Homogênea
y' = f(tx, ty) = f(x, y)

Exemplo: considere: $$f(x, y) = \dfrac{x+y}{y} \\ f(tx, ty) = \dfrac{tx + ty}{tx} = \dfrac{t(x + y)}{tx}$$
Isso nos dá: $$f(tx, ty) = f(x, y)$$
No caso geral: se f(x, y) é homogênea de grau n, então: $$f(tx, ty) = t^n f(x, y)$$
Se n = 0, então f(tx, ty) = f(x, y)

Equação Diferencial Ordinária Separável
M(x)dx + N(y)dy = 0

Equação Diferencial Ordinária Exata
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

A equação diferencial ordinária acima é exata quando é válida a relação:
$$\dfrac{\partial}{\partial y} M(x, y) = \dfrac{\partial}{\partial x} N(x, y)$$
Exemplo: resolva a equação diferencial ordinária A:
$$A = x^2 dx + xe^y dy = 0$$
a) Verifique se a EDO é separável.
Resolução: dividindo cada termo por x:
$$\dfrac{x^2}{x} dx + \dfrac{x e^y}{x} dy = \dfrac{0}{x} \\ xdx + e^y dy = 0 \\ \int x dx + \int e^y dy = \int 0 \\ \dfrac{x^2}{2} + C_1 + e^y + C_2 = C_3 \\ \dfrac{x^2}{2} + e^y = C_3 - C_1 - C_2$$
Como os três termos são constantes, podemos concatená-los em uma única constante:
$$e^y = C - \dfrac{x^2}{2} \\ y(x) = \ln{|C - \dfrac{x^2}{2}|}$$

Exemplo com equação diferencial ordinária homogênea:
$$y' = f(tx, ty) = f(x, y), n = 0 (f(tx, ty) = t^n f(x, y))$$
Considere: $$z = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$
Identificando z = f(x, y).
$$z(tx, ty) = \dfrac{2(ty)^4 + (tx)^4}{(tx)(ty)^3} = \dfrac{t^4 2y^4 + t^4 x^4}{tx * t^3 y^3} = z(x, y)$$

Mudança de Variável

Considere y' = f(x, y), onde f(x, y) = f(tx, ty).
Fazendo a seguinte mudança de variável:
$$v = \dfrac{y}{x} \\ y = vx$$
Temos a função:
$$y = vx \\ \dfrac{dy}{dx} = v \dfrac{dx}{dx} + x \dfrac{dv}{dx} = v + x \dfrac{dv}{dx} \\ x \dfrac{dv}{dx} + v = f(v) \\ x \dfrac{dv}{dx} = f(v) - v$$
O que é uma equação separável.
$$\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{dx}{x} \\ \int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{1}{x} dx + C$$
Observação: a variável v = y/x para o caso em que:
$$y'(x, y) = f(x, x \dfrac{y}{x}) = f(1, v)$$
Já para:
$$y'(x, y) = f(y \dfrac{x}{y}, y) \\ v = \dfrac{x}{y}, f(v, 1)$$

Exemplo: considere a equação diferencial homogênea:
$$y' = \dfrac{x+y}{y}$$
a) Determine a função y(x):
Resolução: definido v = y/x:
$$y = vx \\ y' = v + xv'$$
Substituímos y' pelo valor dado inicialmente ali:
$$\dfrac{x+y}{y} = v + xv'$$
Podemos trocar y por vx, pela igualdade estabelecida logo abaixo da definição de v:
$$\dfrac{x + vx}{x} = v + xv'$$
Colocando x em evidência:
$$\dfrac{x (1+v)}{x} = v + xv' \\ (1+v) = v+xv' \\ 1 + v - v = x \dfrac{dv}{dx} \\ 1 = x \dfrac{dv}{dx} \\ \dfrac{dx}{x} = dv \\ \int \dfrac{1}{x} dx = dv \\ \ln{|x|} + C = v \\ \dfrac{y}{x} = \ln{|x|} + C \\ y(x) = x(\ln{|x|} + C)$$

Tentei explicar um pouquinho melhor essa última porque muita gente ainda pareceu empacadíssimo nela, mas não sei se fiz um bom trabalho. É tudo muito pré-estabelecido, 1000x mais fácil entender numa resolução de exercício de fato, que provavelmente será a próxima lista.
De qualquer forma, boa noite a todos.

[Cálculo Numérico] Aula 8: subtração de binários

Subtração de binários

Como os sinais digitais não reconhecem (-) como números negativos o processo de subtração entre A e B deve ser dado por A + (-B) onde -B representa o oposto de B.
Esta determinação de oposto de um binário pode ocorrer de três formas:
1. sinal-magnitude: representado em sinais digitais de 8 bits onde o primeiro bit é o indicativo da magnitude.
Exemplo: (0)0001001 = +9, enquanto (1)0001001 = -9.
Ou seja, todo binário que possui N-1 = 0 é positivo e N-1 = 1 é negativo. Existe assim 2^8 possibilidades de combinação. 2^8 = 256 dígitos, sendo 128 positivos e 128 negativos, mas, observe que 00000000 = +0 e 10000000 = -0 assumem o mesmo valor. Logo:
127 combinações positivas, 127 combinações negativas, e 0. Um total de 255 combinações.

2. complemento de um: troca-se os 0 por 1 e os 1 por zero.
+9 = 00001001
-9 = 11110110
Novamente, 00000000 = +0 e 11111111 = -0. Por isso temos 255 valores de -127 a +127.

3. complemento de dois: realiza-se o complemento de um e soma-se mais um:
+9 = 00001001
-9 = 11110110 (comp. de um de 9) + 1 = 11110111
No caso de 0:
+0 = 00000000
-0 = 11111111 (comp. de um de 0) + 1 = 100000000
Como estamos falando de 8 bits, ignoramos o nono caracter à esquerda. Ou seja: -0 = 00000000. Sendo assim, esse sistema é o mais favorável, pois permite de -128 a +127.


Exercícios:
1. Resolva em binário:
a) (antes dele alterar) 5 - 2

5 + (-2)
5 é muito fácil, né:
4 - 2 - 1
1 - 0 - 1

Logo, 5 = 00000101
Já o -2 é um pouquinho mais complicado, mas nada demais. Lembrando que usaremos complemento de dois:
2 = 00000010
Comp.1 de 2 é 1111101. +1 = 11111110. Logo a operação fica:
00000101 +
11111110

Primeiro algarismo, 1. Segundo algarismo, 1. Terceiro algarismo, 10, fica 0 e vai 1. Aí vai dando 10 (fica 0 e vai 1) até estourar a oitava casa, o que dá: 00000011 (3 no sistema decimal). Mas note que estamos usando um número muito grande, então vamos usar do seguinte aconchego: só vamos até a última casa do número maior, passou disso começaremos a ignorar porque sabemos que vai estourar a oitava casa.
Perceba na b:

b) 3 - 2
3 + (-2)

Não precisamos fazer conta pra saber que 3 = 11.
2 = 10. Com complemento de 1, fica 01. Acrescentando 1, 10.
Logo a operação fica:
11 +
10
1 + 0, fica 1.
1 + 1, fica 0 e vai 1. Mas a última casa é essa, então ignoramos tudo depois dela.

Logo, 3 - 2 dá 01 que, bem, é igual a 1 em decimal.

a) (depois dele alterar) 5 - 1
5 + (-1)

Já sabemos que 5 = 101.
1 é 001. Complemento de 1 fica 110, somando 1 fica 111.
Logo, a conta será:
101 +
111
1+1 dá 10, fica 0 e sobe 1.

0+1+1 dá 10, fica 0 e sobe 1.
1+1+1 dá 11, fica 1 e sobe 1, que ignoramos.
Logo, 5 - 1 fica 100, que é 4.

c) 12 - 6
12 + (-6)


Pra 12:

8 - 4 - 2 - 1
1 - 1 - 0 - 0


Pra 6:
8 - 4 - 2 - 1
0 - 1 - 1 - 0
Complemento de 1: 1001. Soma-se 1: 1010.
Logo a operação fica:

1100 +
1010
0+0 = 0.

0+1 = 1.
1+0 = 1.
1+1 = 10, fica 0 e sobe 1, que ignoramos.
Logo, essa conta dá o resultado 110, que em decimal fica (obviamente) 6.

d) 7 - 5
7 + (-5)


Pra 7:
4 - 2 - 1

1 - 1 - 1

Pra 5:
4 - 2 - 1
1 - 0 - 1
Complemento de 1: 010. Soma-se 1: 011.
Logo a operação fica:

111 +
011
1+1 = 10, fica 0 e sobe 1.

1+1+1 = 11, fica 1 e sobe 1.
1+1 = 10, fica 0 e sobe 1, que ignoramos.
Logo, essa conta dá o resultado de 10, que em decimal fica 2.

E é basicamente isso. Mais uma vez lembro que não sei ao certo qual estrutura de post uso pra essa matéria de binários aqui, porque não sei se está claro dessa forma, ainda mais porque não consigo determinar a base sem usar o LaTeX só que me parece muito inconveniente usar o LaTeX nessa situação.
É vocês que me contatam e decidem. No mais, boa noite.

[Cálculo Numérico] Aula 7: fração decimal pra binária

Decimal para Binário (Nº fracionário)

Peguemos o número 35,625 na base 10. Vamos convertê-lo para binário.
1º Passo: separamos as partes inteiras das fracionárias:
35 + 0,625
A parte inteira é bem fácil. Como o número é menor que 256, ao invés de fazer divisão, é mais fácil usar aquele método que o professor passou de ordenar decrescentemente as potências de 2:
32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
É intuitivo, deve ter um método matemático pra descobrir o que usar, mas honestamente... Não é necessário. É só pensar um pouquinho. Queremos chegar ao 35, então 32+2+1 resolve.
Logo:
32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
1 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1

Logo:
$$35_{10} = 100011_2$$
Para a fracionada, temos a seguinte metodologia: ao invés de sair dividindo como feito na aula passada, vamos multiplicando por 2, pegando o algarismo depois da vírgula e removendo ele pra colocar no binário. E repetindo até chegar no tanto de casas após a vírgula exigidas. Ao contrário do binário inteiro, o fracionário segue ordem normal.
Explicando fica meio complicado mesmo, então vamos fazer na prática que dá pra entender bem:
$$0.625 \times 2 = 1.250$$
Pegamos esse 1 depois da vírgula, deixamos 0,250 e multiplicamos ele por 2 de novo.
$$0.250 \times 2 = 0.5$$
Pegamos o 0, repetimos o processo:
$$0.5 \times 2 = 1$$
Pegamos o 1 e terminamos o número. Esse caso é bom porque é perfeito: o número tem um fim simples. Muitos deles serão gigantescos e o exercício exigirá um mínimo de casas, então não se preocupe tanto com isso. E o resultado final?
$$0.625_{10} = 0.101_2$$
Logo:
$$35.625_{10} = 100011.101_2$$

Exercícios:
1. Converter para decimal.
a) 11010101011
Binário pra decimal é deveras simples, está na outra aula o método. Só sair somando:
$$1*2^0 + 1*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + \\ 0*2^6 + 1*2^7 + 0*2^8 + 1*2^9 + 1*2^{10}$$
$$1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32 + 0 + 128 + 0 + 512 + 1024 \\ 1707_{10}$$
b) 1,01010101
Mesma coisa, só que com valores mais feios:
$$(1 * 2^0) + (0 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} + 0 * 2^{-3} + 1 * 2^{-4} + \\ 0 * 2^{-5} + 1 * 2^{-6} + 0 * 2^{-7} + 1 * 2^{-8}$$
$$(1) + (0 + 0.25 + 0 + 0.0625 + 0 + 0.015625 + 0 + 0.00390625) \\ 1 + (0.33203125) \\ 1.33203125_{10}$$
c) 11011,1101
Agora juntando o útil ao agradável:
$$(1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0) + (1 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} + 0 * 2^{-3} + 1 * 2^{-4}) \\ (16 + 8 + 0 + 2 + 1) + (0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625) \\ 27 + 0.8125 \\ 27.8125_{10}$$

2. Converter para binário com 5 dígitos.
a) 234,435
Primeiro, a parte antes da vírgula (234):
128 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
128+64 = 192
192+32 = 224
224+16 = 240, então pulamos pro próximo.
224+8 = 232
Sabemos que é somando 2 que temos 234, óbvio, então:
128 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
1 - 1 - 1 - 0 - 1 - 0 - 1 - 0

234 = 11101010 em decimal
Pra parte depois da vírgula, 435:
0,435 x 2 = (0),87
0,870 x 2 = (1),74

0,740 x 2 = (1),48
0,480 x 2 = (0),96
0,960 x 2 = (1),92
E tá bom, né, pediu 5 casas decimais depois da vírgula.

Ou seja:
$$0.435 = 0.01101_2 \\ 234.435 = 11101010.01101_2$$
b) 12,234
Parte depois da vírgula:
8 - 4 - 2 - 1

1 - 1 - 0 - 0
(acho que é muito "de cabeça" que 12 = 8 + 4)
Pro 0,234:
0,234 x 2 = (0),474
0,474 x 2 = (0),948
0,948 x 2 = (1),896
0,896 x 2 = (1),792
0,792 x 2 = (1),584
Logo:

$$0.234 = 0.00111_2 \\ 12.234 = 1100.00111_2$$
c) 43,956
Parte depois da vírgula:

32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
32 + 16 = 48, passa.

32 + 8 = 40
40 + 4 = 44, passa.
40 + 2 = 42
42 + 1 = 43
Logo:
32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
1 - 0 - 1 - 0 - 1 - 1
Assim, 43 = 101011.

Agora, pro que vem depois da vírgula:
0,956 x 2 = (1),912
0,912 x 2 = (1),824
0,824 x 2 = (1),648
0,648 x 2 = (1),296
0,296 x 2 = (0),592
E 0,956 fica em 5 casas decimais até 0,11110. E:

$$43.956 = 101011.11110_2$$

Operações com binário

Adição de dois termos: escreva em binário o nº 2.
$$2 + 2 = 4 \\ 4_{10} = 10_2 + 10_2 \\ 10_2 + 10_2 = 100_2$$
A regra é a seguinte:
0 + 0 = 0
1 + 1 = 10
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1

Veja a seguinte conta (com o sinal do outro lado por conveniência):

1101101 +
1001101
Vamos fazer a operação normalmente de trás pra frente, passo a passo, como se fazia no primário. Lembrando que 1+1 = 10. Então fica 0 e sobe 1.
Primeira casa: 1+1 = 10. Fica 0, sobe 1.
Segunda casa: 0+0+1 = 1. Fica 1.
Terceira casa: 1+1 = 10. Fica 0, sobe 1.
Quarta casa: 1+1+1 = 11. Fica 1, sobe 1.
Quinta casa: 0+0+1 = 1. Fica 1.
Sexta casa: 1+0 = 1. Fica 1.
Sétima casa: 1+1 = 10. Como é a última casa, fica 10.
Pega tudo o que está na frente do "fica", obviamente na ordem inversa (da sétima pra primeira):

(10)(1)(1)(1)(0)(1)(0)
Logo, o resultado é: 10111010.

Se tiver qualquer dificuldade nisso, o mais recomendado é pegar algum livro de cálculo numérico ou eletrônica digital e sair queimando todos os exercícios até entender perfeitamente o que está acontecendo. Só dá trabalho, mas é facinho.
Também sei que a estrutura do post ficou meio estranha, não sei ao certo qual seria a melhor pra trabalhar aqui. Se ficou muito pouco claro pra quem tá estudando, sou aberto a sugestões de modelos diferentes.
Gratíssimo, boa noite.

[Física Experimental] Aula 3 e 4: relatório 1 e 2

Experimento 1: movimento retilíneo uniforme

Cuidados:

• não movimentar o cavaleiro com o compressor desligado;
• não colocar o compressor em potência máxima;
• não alterar a potência do compressor durante o experimento;
• não permitir o choque do cavaleiro com o final do trilho;
• alinhar os sensores para evitar o choque com o cavaleiro;
• deixar os sensores perpendiculares ao trilho;
• utilizar para o tempo todos os dígitos do cronômetro.

Equipamentos:

• compressor de ar;
• trilho de ar;
• cavaleiro metálico;
• sensor de start;
• sensor de stop;
• cronômetro digital.

Procedimentos:

• sensor start: S0 = 0,2m;
• sensor stop: S1 = 0,5m; S2 = 0,6m; S3 = 0,7m; S4 = 0,8m; S5 = 0,9m;
• para cada ∆S determinar t1, t2, t3, t4 e t5.

O resto já passou, galera. Não vai adiantar postar metodologia de coisa que já passou e a gente não vai mais usar (no caso, o gráfico). Eu só postei isso aqui, agora, porque não consegui postar antes e porque o experimento 2 que vem logo a seguir vai utilizar:

Experimento 2: movimento retilíneo uniformemente variado (M.U.V.)

Equipamento:

• tudo o que foi usado no relatório 1 (só por isso eu postei ele aqui)
• barbante
• suporte para massa
• massa de 50g

Cuidados:

• não soltar o cavaleiro com a massa em movimento;
• o sensor de start deve ser colocado o mais próximo possível do início do movimento;
• não deixar o barbante fora da roldana.

Objetivo geral:

• determinar a aceleração do sistema;
• determinar a velocidade final.

(obviamente não é assim que tu vai colocar no relatório, né)

Função horária do deslocamento:
Aceleração: $$S = S_0 + V_0 t + \dfrac{at^2}{2}$$
Sendo V0 = 0, temos:
$$S - S_0 = \dfrac{at^2}{2} \\ \Delta S = \dfrac{at^2}{2} \\ 2 \Delta S = at^2 \\ a = \dfrac{2 \Delta S}{t^2}$$
Função horária da velocidade:
$$a = \dfrac{\Delta V}{t} \\ \dfrac{2 \Delta S}{t^2} = \dfrac{\Delta V}{t} \\ \dfrac{2 \Delta S}{t} = \Delta V$$
Lembrando que V0 = 0, e que delta V = V - V0:
$$V = \dfrac{2 \Delta S}{t}$$
Posições que serão/foram usadas no experimento:
S1 = 0,45m; S2 = 0,56m; S3 = 0,67m; S4 = 0,78m; S5 = 0,89m

Utilizar apenas uma massa.

Gráfico: V x t. Usar Microsoft Excel ou Origin 7.0.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 6: formas de equações diferenciais

b) y'' = 2; y(1) = 1; y'(-1) = 1
Primeiramente, sim, estamos utilizando graus.
$$y(1) = 1 \\ c_1 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1$$
$$y'(-1) = 1 \\ 2c_1 \cos{(-2)} - 2c_2 \sin{(-2)} = 1 \\ 2c_1 \cos{(2)} + 2c_2 \sin{(2)}$$
O professor explicou bem a mudança de sinais mas, pra quem não entendeu, cosseno de -90° a 90° é positivo e seno de -180° a 0° é negativo, então você pode igualar cosseno de -2 a cosseno de 2, e inverter o sinal de seno de -2 para obter seno de 2.
Mas bem, agora temos um sistema linear:
$$\begin{array} c_1 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\ 2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
E a solução que o professor nos arranjou foi a seguinte (creio que hajam outras e até mais fáceis, mas por questão de evitar confusão vou usar essa mesmo):
$$-2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}}$$
Multiplicamos a primeira expressão por esse termo:
$$\begin{array} c_1 \sin{2} \times (-2) \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + c_2 \cos{2} \times (-2) \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} \\ 2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
Vamos simplificar o máximo que podemos essa expressão:
$$\begin{array} -2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} \\ 2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = 1 \end{array}$$
Somamos o sistema agora:
$$-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} + 2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + 1$$
Vamos deixar c1 de um lado e c2 do outro pra ficar mais fácil de compreender o que vai acontecer. E aproveitar e trocar sen2/cos2 por tangente de 2 do outro lado:
$$(-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} + 2c_1 \cos{2}) + (2c_2 \sin{2} - 2c_2 \sin{2}) = (-2 \tan{2} + 1)$$
Veja bem: podemos cortar os c2, restando só c1 de variável:
$$2c_1 \cos{2} - 2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} = -2 \tan{2} + 1$$
Isolando 2c1:
$$2c_1 (\cos{2} - \tan{2} \sin{2}) = 1 - 2 \tan{2} \\ 2c_1 = \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})} \\ c_1 =  \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{2(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})}$$
Jogando isso na nossa maravilhosa calculadora:
$$c_1 \approx \dfrac{0.930}{1.996} = 0.47$$
Substituindo c1 = 0.47 na primeira equação do sistema linear, temos:
$$0.47 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\ c_2 \cos{2} = 1 - 0.47 \sin{2} \\ c_2 = \dfrac{1 - 0.47 \sin{2}}{\cos{2}} = 0.98$$
Portanto para exemplo b) onde a EDO possui as tais condições iniciais, encontramos c1 = 0.47 e c2 = 0.98.

Resolvido isso, tem o slide com a apresentação das formas de equações diferenciais. Aqui estão os exercícios resolvidos:
Passagem para a forma padrão: (y' = f(x, y))
a) $$xy' - y^2 = 0 \\ xy' = y^2 \\ y' = \dfrac{y^2}{x}$$
b) $$e^x y' - e^{2x} y = \sin{x} \\ e^x y' = \sin{x} + e^{2x} y \\ y' = \dfrac{\sin{x} + e^{2x} y}{e^x} = \dfrac{\sin{x}}{e^x} + e^x y$$
c) $$(y - y')^5 = \sin{(\dfrac{y'}{x})}$$
Não creio que haja maneira de colocar isso na forma padrão, inclusive o professor também não. Se alguém conseguir, seria interessantíssimo mostrar. O dilema aqui é o seguinte: dentro do seno tem um y', e dentro do polinômio também. Pra retirar o y' do seno tem que fazer arco seno dos dois lados, daí pra você tirar o y' do polinômio depois você terá de fazer seno dos dois lados, e volta à situação inicial. É paradoxal, não tem como fazer, então deixa ele assim de boa.

Passagem para a forma diferencial: (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) $$y(yy' - 1) = x \\ y^2 y' - y = x \\ y^2 \dfrac{dy}{dx} = x + y \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y}{y^2} \\ y^2 dy = (x+y)dx \\ y^2 dy - (x+y)dx = 0$$

b) $$y' = \dfrac{y}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \\ xdy = ydx \\ xdy - ydx = 0$$

Identificar as equações lineares: (y' + a(x)y = f(x); y'' + a1(x)y' + a2(x)y = f(x); e por aí vai)
a) $$y' = (\sin{x})y + e^x \\ y' - (\sin{x})y = e^x$$
Perceba, y' correto, a(x) = -sen(x) e o y ali, e f(x) = e^x. Perfeito, é linear.
b) $$y' = y^2 + x$$
Pelo y² você já percebe que não é linear.
c) $$y' + xy^5 = 0$$
Mesmo motivo da b, só que com y elevado a quinta.
d) $$xy' + y = \sqrt{y}$$
Perceba que temos f(y) do outro lado, e y é a função incógnita. Pra ser linear, teria de ser f(x), já que x é a variável independente. Não é linear.
e) $$y' + xy = e^x y$$
Do outro lado temos f(x, y), não f(x). Não é linear.
f) $$y' + \dfrac{x}{y} = 0$$
y está elevado a -1, não a 1, então não é linear.
Sendo assim, a letra A é linear.

Essa aula aqui vai ajudar demais vocês na lista 2, já que ela é praticamente só isso. No mais, boa noite a todos.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 5: soluções de equações e problemas de valor inicial

Equações Diferenciais Ordinárias

Introdução: uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.
Ex.:  $$y' = 2x + 3; y'' = 2 \\ \dfrac{d^2 y}{dy^2} + (\dfrac{dy}{dx})^2 = 1 \\ y''' + \sin{(x)} y'' + 5xy = 0 \\ y''' - 2y'' + 2y = \sin{(x)}$$

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

São do tipo:
$$y' + a_0 (x) y = f(x) \\ y'' + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = f(x)$$
Ex.: $$y'' + \sin{(x)} y' + xy = \cos{(x)}$$
É dada linear, pois y¹.
Caso não-linear:
$$(1 + y^2) \dfrac{d^2 y}{dy^2} + t \dfrac{dy}{dx} + y = e^t$$
É dada não-linear, pois y².

De modo geral, temos a seguinte condição:
$$\sum_{i = 1}^{n} a_1 (x) \dfrac{d^{(i)} y}{dx^{(i)}} = f(x) \\ a_n (x) \neq 0$$
E x pertencendo aos números reais.
Notação:
$$y(x) \\ y' = \dfrac{dy}{dx}; y'' = \dfrac{d^2 y}{dx^2}; y^{[n]} = \dfrac{d^n y}{dx^n}$$
$$x(t) \\ \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} \\ \ddot{x} = \dfrac{d^2 x}{dt^2}$$

Exemplo de Solução Verdadeira

y'' + 4y = 0. Verifique se y = sen(2x) e y = cos(2x) são soluções da EDO.
a) Solução para y = sen(2x).
$$y = \sin{(2x)} \\ y' = 2 \cos{(2x)} \\ y'' = -4 \sin{(2x)}$$
Substituindo na EDO, temos:
$$-4 \sin{(2x)} + 4 \sin{(2x)} = 0$$
Logo, y = sen(2x) é solução.
Se procedermos de maneira análoga, verificaremos que y = cos(2x) também é solução da EDO em questão. Portanto a soma das duas soluções também será uma solução. De modo geral, a solução linear das soluções:
$$y_{geral} = y_1 + y_2$$
Onde, nesse caso:
$$y_1 = c_1 \sin{(2x)} \\ y_2 = c_2 \cos{(2x)}$$
Portanto,
$$y_{geral} = c_1 \sin{(2x)} + c_2 \cos{(2x)}$$
E a solução particular se dá por:
$$\begin{array} y_1 = c_1 \sin{(2x)} \\ y_2 = c_2 \cos{(2x)} \end{array}$$
Onde c1 e c2 pertencem aos números reais.

A determinação dos coeficientes constantes c1 e c2 se dá por meio de:
1. condições iniciais (PVI - problema de valor inicial)
2. condições de contorno (PVC - problema de valor de contorno)

Inserindo uma condição inicial qualquer no y geral que usamos no outro exercício:
y'' = 2; y'(0) = 0; y(0) = 0
Aplicamos as condições e temos:
$$y(x) = c_1 \sin{(2x)} + c_2 \cos{(2x)}$$
$$y(0) = 0 \\ 0 = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 0 + c_2 * 1 \\ c_2 = 0$$
$$y'(x) = 2c_1 \cos{(2x)} - 2c_2 \sin{(2x)} \\ y(0) = 0 \\ 0 = 2c_1 \cos{0} - 2c_2 \sin{0} = 2c_1 * 1 - 0 = 2c_1 \\ c_1 = 0$$
A segunda eu vou deixar todinha pra outra aula, embora tenha se iniciado nessa. É melhor pra todos.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 1: classificações, soluções e valores iniciais e de contorno

1. Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente para cada uma das equações diferenciais dadas.

a) (y'') - 3yy' + xy = 0
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y, logo, y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x (não tem outra variável na equação), então, x.

b) t²s'' - ts' = 1 - sen(t)
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é s.
Variável independente: s está sendo derivada com relação a t.

c) $$\dfrac{d^2 x}{dy^2} = y^2 + 1$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é x.
Variável independente: x está sendo derivada com relação a y.

d) $$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{3/2} + y = x$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x.

e) $$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado uma vez, logo primeira ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é b.
Variável independente: b está sendo derivada com relação a p.

2. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 5y = 0?
Só sair testando, o resultado tem que dar 0:

a) y = 5

(5)' - 5(5) = 0 - 25 = -25

Logo, não é solução.
b) y = 5x
(5x)' - 5(5x) = 5 - 25x
Logo, não é solução.
c)
$$y = x^5 \\ (x^5)' - 5(x^5) = 5x^4 - 5x^5 \neq 0$$
Logo, não é solução.
d)
$$y = e^{5x} \\ (e^{5x})' - 5(e^{5x}) = 5e^{5x} - 5e^{5x} = 0$$

Logo, é solução.
e)
$$y = 2e^{5x} \\ (2e^{5x})' - 5(2e^{5x}) = 2(5e^{5x}) - 10e^{5x} = 10e^{5x} - 10e^{5x} = 0$$

Logo, é solução.
f)
$$y = 5e^{5x} \\ (5e^{5x})' - 5(5e^{5x}) = 5(5e^{5x}) - 25e^{5x} = 25e^{5x} - 25e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.

3. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 3y = 6?
a) y = -2

(-2)' - 3(-2) = 0 + 6 = 6

Logo, é solução.
b) y = 0
0' - 3(0) = 0 - 0 = 0
Logo, não é solução.
c)
$$y = e^{3x} - 2 \\ (e^{3x} - 2)' - 3(e^{3x} - 2) = 3e^{3x} - 3e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$

Logo, é solução.
d)
$$y = e^{2x} - 3 \\ (e^{2x} - 3)' - 3(e^{2x} - 3) = 2e^{2x} - 3e^{2x} + 9 = -e^{2x} + 9$$
Logo, não é solução.
e)
$$y = 4e^{3x} - 2 \\ (4e^{3x} - 2)' - 3(4e^{3x} - 2) = 12e^{3x} - 12e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$
Logo, é solução.

4. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial A?
$$A = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$

Essa é complicada. Vamos fazer o seguinte: está permitido passar os valores de um lado pro outro, se os dois lados se igualarem no final está certo. Então:
a) y = x
$$\dfrac{dx}{dx} = \dfrac{2x^4 + x^4}{x(x^3)} \\ 1 = \dfrac{3x^4}{x^4} = 3 \neq 1$$

Logo, não é solução.
b) Não sei se recomendo estudarem esse
$$y = x^8 - x^4 \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4] = \dfrac{2[x^8 - x^4]^4 + x^4}{x[x^8 - x^4]^3} \\ 8x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4)^4 + x^4}{x(x^8 - x^4)^3} \\ (8x^8 - 4x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8)(x^8 - x^4)^3 - 4(x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8) - 4(x^4) = 2(x^8 - x^4) + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 2x^8 - x^4 = \dfrac{(x^8 - x^4)}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 2 - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} = 1 \\ 2 = 1 + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 1 = \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 4 = \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4(x^8 - x^4)^3 = x^4 \\ 4(x^8 - x^4)^3 - x^4 = 0$$
E se isso não te provar que é ridículo isso ser solução geral pra equação, sugiro trocar o curso pra bacharel em matemática. De qualquer forma, um breve resumo informal do porque não é solução geral é que x a oitava vai ser sempre positivo então mesmo se por algum motivo mágico os x a quarta se anulassem, sobraria x^24 (x^8 garantidamente vai se multiplicar 3 vezes) positivo que, pra dar 0, só sendo x = 0.
c) Outro horrível
$$y = \sqrt{x^8 - x^4} \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4]^{1/2} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (x^8 - x^4)^{-1/2} \times (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^2} \\ (4x^7 - 2x^3) = 2 + \dfrac{x^3}{(x^8 - x^4)^2} \\ \dfrac{(4x^7 - 2x^3)}{(x^8 - x^4)} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ \dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4 - 2 = \dfrac{2x(x^8 - x^4)^2 + x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\ \dfrac{2x}{(x^8 - x^4)} + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\ 2x + x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 \\ x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 - 2x \\ x^4 = (2x^8 - 2x^4 - 2x)(x^{16} - 2x^{12} + x^8) \\ x^4 = (2x^{24} - 4x^{20} + 2x^{16} - 2x^{20} + 4x^{16} - 2x^{12} - 2x^{17} + 4x^{13} - 2x^9) \\ x^4 = 2x^{24} - 6x^{20} - 2x^{17} + 6x^{16} + 4x^{13} - 2x^9$$

Desnecessário dizer, a igualdade é falsa, logo não é solução.
d) A esperança
$$y = \sqrt[4]{(x^8 - x^4)} \\ \dfrac{d}{dx} [(x^8 - x^4)^{1/4}] = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/4}} = \dfrac{1}{4} (x^8 - x^4)^{-3/4} (8x^7 - 4x^3) \\ 2x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x} = 2x^7 - 2x^3 + x^3 = 2x^7 - 4x^3$$
E se as igualdades batem, a letra d é solução da equação. Ufa?

5. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y'' - xy' + y = 0?
a) y = x²
Felizmente muito mais fácil, né. Vejamos:
(x²)'' - x(x²)' + x² = (2x)' - x(2x) + x² = 2 - 2x² + x² = 2 - x²
O que não configura solução da equação.
b) y = x
(x)'' - x(x)' + x = (1)' - x(1) + x = 0 - x + x = 0
Logo, é solução.
c) y = 1 - x²
(1 - x²)'' - x(1 - x²)' + (1 - x²) = (-2x)' - x(-2x)' + 1 - x² = -2 + 2x² + 1 - x² = -1 + x²

O que não é solução.
d) y = 2x² - 2
(2x² - 2)'' - x(2x² - 2)' + (2x² - 2) = (4x)' - x(4x) + 2x² - 2 = 4 - 4x² + 2x² - 2 = 2 - 2x²

O que não é solução.
e) y = 0
(0)'' - x(0) + 0 = 0 - 0 + 0 = 0

É solução.

6. Solução de A.
$$A = x'' + 4x' + 4x = e^t$$

Essa é chatíssima, não recomendo. Mas é fácil, veja:
$$a) x = e^t \\ (e^t)'' + 4(e^t)' + 4e^t = (e^t)' + 4e^t + 4e^t = e^t + 4e^t + 4e^t = 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$b) x = e^{2t} \\ (e^{2t})'' + 4(e^{2t})' + 4e^{2t} = 2(e^{2t})' + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 4e^{2t} + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 16e^{2t} \neq e^{2t}$$
Logo, não é solução.
$$c) x = e^{2t} + e^t \\ (e^{2t} + e^t)'' + 4(e^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + e^t) = (2e^{2t} + e^t)' + 4(2e^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 4e^t = \\ (4e^{2t} + e^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4e^{2t} + 4e^t = 12e^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
$$d) x = te^{2t} + e^t \\ (te^{2t} + e^t)'' + 4(te^{2t} + e^t)' + 4(te^{2t} + e^t) = \\ (e^{2t} + 2te^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + 2te^{2t} + e^t) + 4te^{2t} + 4e^t = \\ (2e^{2t} + 2e^{2t} + 4te^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 8te^{2t} + 4e^t + 4te^{2t} + 4e^t = \\ 8e^{2t} + 16te^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$e) x = e^{2t} + te^t \\ (e^{2t} + te^t)'' + 4(e^{2t} + te^t)' + 4(e^{2t} + te^t) = \\ (2e^{2t} + e^t + te^t)' + 4(2e^{2t} + e^t + te^t) + 4e^{2t} + 4te^t = \\ (4e^{2t} + e^t + e^t + te^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4te^t + 4e^{2t} + 4te^t = \\ 16e^{2t} + 6e^t + 9te^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.

7. Determine c de modo que y(x) = c(1-x²) satisfaça a condição:
a) y(0) = 1

É só substituir y e x. y, no caso, por 1; x, no caso, por 0. Não tem segredo:
1 = c(1-0²) = c, logo c = 1
b) y(1) = 0
$$0 = c(1-1^2) \\ c = \dfrac{0}{0}$$

Logo c é indeterminado.

8. Especifique c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x) satisfaça as condições indicadas. Determine se tais condições são condições iniciais ou de contorno.
a) y(0) = 1; y'(0) = 2

É só substituir, também.
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 1 \\ y(0) = c_2 = 1$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 2 \\ y'(0) = c_1 = 2$$
Todos os valores de x usados são o mesmo, as condições são iniciais.
$$b) y(\dfrac{\pi}{2}) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 2 \\ y = c_1 \sin{\dfrac{\pi}{2}} + c_2 \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 1 \\ y = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = 2 \\  y'(\dfrac{\pi}{2}) = -c_2 = 2 \\ c_2 = -2$$
Condições iniciais pelo mesmo motivo.
  $$c) y(0) = 1, y(\dfrac{\pi}{2}) = 1$$
Pro y(0) é só você repetir o processo que fez na letra A. Pro y(pi/2) só repetir o que fez na B.
Aí você encontra que c2 = 1 e c1 = 1.
Quanto a condição: os valores de x diferem, então é condição de contorno.
$$d) y'(0) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 1 \\ y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = -c_2 = 1 \\ c_2 = -1$$
Pelo mesmo motivo da anterior ele usa condições de contorno.

[Cálculo Numérico] Aula 6: sistemas de numeração

Sistemas de Numeração

Surge com a necessidade de contar e tem seus primeiros sistemas relacionados com o homem primitivo.
As primeiras contagens são relacionadas aos dedos da mão (sistema fingers). Com a necessidade de aumento é incorporado o sistema toes (dedos do pé) que leva ao surgimento dos sistemas decimais e vigesimais.
Os sistemas são utilizados para descrever o que chamamos de Sinais (eventos que ocorrem em relação a um determinado tempo).

Sinal Analógico

São sinais contínuos no tempo, neste tipo de sinal ocorre a passagem de um evento de forma suave e podem assumir qualquer valor.

Sinal Digital

São sinais descontínuos com valores discretos (não assumem qualquer valor).

Exemplo: imagine um termômetro digital e um analógico. Enquanto o digital retorna valores discretos, pode-se, com a utilização de uma lupa, devolver valores suaves para um termômetro analógico.
Os fenômenos físicos ocorrem todos com sinal analógico.
Contudo, os sinais digitais apresentam algumas vantagens:

• são mais fáceis de projetar;
• facilidade em seu armazenamento;
• menos suscetível a ruídos.

Pois pequenas variações de amplitude não afetam seu significado. Como na física os sinais são analógicos e na eletrônica o sinal muitas vezes é digital devemos trabalhar com essa transformação.

Descrição de Números

Todo sistema de numeração, seja ele digital ou analógico, segue um padrão de representação padrão. Este é dado por:
$$... + XB^y + ...$$
Onde:
X = dado do sistema de numeração
B = base do sistema de numeração
Y = posição do dígito com relação a vírgula
Obs.: y = 0 para o primeiro dígito à esquerda da vírgula, y = -1 para o primeiro dígito à direita da vírgula.
$$\epsilon = 323841.52_{10} \\ 3*10^5 + 2*10^4 + 3*10^3 + 8*10^2 + 4*10^1 + 1*10^0 + 5*10^{-1} + 2*10^{-2}$$
Quando um número não apresenta indicativo de base a direita, sua base é 10.

Sistema Binário

São representados pela base 2 e apresentam apenas dois dígitos: 1 e 0. O sistema binário possui uma correspondência direta entre os sinais analógicos e digitais, uma vez que sua conversão ocorre de forma direta.
Exemplo:
$$1001101_2 \\ 1*2^6 + 0*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = \\ 64+0+0+8+4+0+1 = 77_{10}$$
Ocorre assim a conversão de binário em decimal. Como realizar o processo inverso?
Duas maneiras:
1. Vá dividindo por 2 e coletando os restos. Exemplo: para 23 na base 10:
23/2 = 11, resto 1
11/2 = 5, resto 1
5/2 = 2, resto 1
2/2 = 1, resto 0
Agora veja bem: você pega o resultado da primeira divisão, 1, e vai acrescentando ao número os restos em ordem inversa (ou seja, nesse caso, de baixo pra cima). 23 em binário fica 10111.

2. Para até 8 bits, faça a seguinte fila:
1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256
Ou seja, 2 elevado a um número de 0 a 8. Aí é só localizar o número entre esses e analisar qual soma é necessária pra chegar a ele. Peguemos 23 novamente:

• ele está antes do 32 e depois do 16, então já convém pegar o 16;
• 16+8 = 24, passou de 23, não compensa pegar o 8. 16+4 = 20;
• 20+2 = 22;
• 22+1, 23.

Agora é só pegar novamente a sequência e inserir 1 abaixo dos números usados, e 0 abaixo dos não-usados:
1 - 2 - 4 - 8 - 16
1 - 1 - 1 - 0 - 1
Invertendo, temos 10111. O mesmo resultado usando a outra maneira. Essa é meio pior de explicar porque depende bastante da prática, mas é só ir pegado.

Números fracionários
$$1101.111_2$$
Agora você vai imaginar o seguinte: 2 elevado a -1 é 0.5, a -2 é 0.25, a -3 0.125, e a cada expoente n+1 você vai dividindo o resultado por 2 (lógico).
Mas a conversão em si de binário pra decimal é bem fácil. É só decompor os números normalmente:
$$1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^{-1} + 1*2^{-2} + 1*2^{-3} \\ 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 13 + 0.875 = 13.875$$

E essa foi a aula de sexta. Boa tarde a todos.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 4: solução e classificação de equações diferenciais

Bom, eu sei que tivemos uma infinidade de exercícios passados em uma lista, mas a entrega é segunda então a partir de terça-feira estará quentinho aqui. Mas deixarei em registro os exercícios que fizemos em sala, possivelmente ajudarão bastante.

1. A equação A é solução geral de y'' + 4y = 0?
A: $$y = c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}$$
Ok, simples pra caramba. Vamos pegar o y fornecido em A e substituir pelos y da equação passada, e ver se os lados se igualam.
$$(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x})'' + 4(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}) = 0 \\ (2c_1 \cos{2x} + 2c_2 \sin{2x})' + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0 \\ (-4c_1 \sin{2x} + 4c_2 \cos{2x}) + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0$$
Como vemos, os senos se anulam e os cossenos também. Logo, a expressão é verdadeira e a equação A é solução de y'' + 4y = 0.

2. A equação y = x² - 1 é solução geral de B?
B: $$(y')^4 + y^2 = -1$$

(vale a pena lembrar que estou usando isso de equação A, B, etc. por conveniência de formatação apenas)
Vamos fazer a mesma coisa: jogar x² - 1 em tudo que é y e ver se os resultados batem.
$$((x^2 - 1)')^4 + (x^2 - 1)^2 = -1 \\ (2x)^4 + (x^4 - 2x^2 + 1) = -1 \\ 16x^4 + x^4 - 2x^2 + 1 = -1 \\ 17x^4 - 2x^2 + 2 = -1$$
Só de bater o olho já dá pra perceber que x² - 1 não é solução geral de B. Dá pra passar -1 pro outro lado como +1 e fazer uma resolução de equação do segundo grau, mas será pra uma solução particular com valores particulares, não uma solução geral. Exercício resolvido.

3. Determine a ordem, função incógnita e variável independente das equações diferenciais abaixo: (vou postar uma forma alternativa sempre que achar necessário, pra ficar mais fácil de enxergar)
a) $$y''' - 5xy' = e^x + 1 \\ \dfrac{d^3 y}{dx^3} - 5x \dfrac{dy}{dx} = e^x + 1$$
O termo mais derivado é derivado três vezes, logo terceira ordem. Veja que a função derivada é y com relação a x (dy em cima, dx embaixo), logo a função incógnita é y e a variável independente é x.
b) $$ty'' + t^2 y' - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1 \\ t \dfrac{d^2 y}{dt^2} + t^2 \dfrac{dy}{dt} - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1$$
O termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem. A função derivada é y com relação a t, então função incógnita y e variável independente t.
c) $$s^2 \dfrac{d^2 t}{ds^2} + st \dfrac{dt}{ds} = s$$
(não creio ser necessário a forma alternativa porque acredito ser muito mais visível essa forma que a outra, com a função incógnita em cima e a variável independente embaixo e tal, apesar de nem sempre ser assim)
O termo mais derivado é derivado duas vezes, segunda ordem. A função derivada é t com relação a s, função incógnita t e variável independente s.


E foi só isso mesmo. Já está pronta a lista aqui, e não pretendo demorar a deixá-la pronta no blog também, postarei o mais cedo possível pra ter bastante conteúdo pra estudar pras provas... Já que essa é uma das três? matérias com provas que podem ser bem pesadas.
Vale a pena lembrar também que estamos só vendo como matéria específica algo que vimos generalizado no cálculo III, então pra esse começo o conteúdo desse blog de Cálculo Diferencial e Integral III ajudará muito.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 3: revisão de integrais

Integrais simples
a)
$$\int x^8 dx = (\dfrac{1}{9} x^9) + C = \dfrac{x^9}{9} + C$$
b)
$$\int \dfrac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = (\dfrac{1}{-2} x^{-2}) = \dfrac{-1}{2x^2} + C$$
c)
$$\int \sqrt[3]{x^2} dx = \int x^{2/3} dx = (\dfrac{3}{5} x^{5/3}) = \dfrac{3 \sqrt[3]{x^5}}{5} + C$$
d)
$$\int (5x^3 + 2 \cos{x}) dx = 5 \int x^3 dx + 2 \int \cos{x} dx = 5 (\dfrac{1}{4}) x^4 + 2 \sin{x} = \\ \dfrac{5}{4} x^4 + 2 \sin{x} + C$$
e)
$$\int (8t^2 + 6e^t + \dfrac{1}{t})dt = 8 \int t^2 dt + 6 \int e^t dt + \int \dfrac{1}{t} dt = 8 (\dfrac{1}{3} t^3) + 6e^t + \ln{t} = \\ \dfrac{8}{3} t^3 + 6e^t + \ln{t} + C$$
f)
$$\int \dfrac{(x-1)^2}{x^2} dx = \int \dfrac{(x^2 - 2x + 1)}{x^2} dx = \int \dfrac{x^2}{x^2} dx - 2 \int \dfrac{x}{x^2} dx + \int \dfrac{1}{x^2} dx = \\ \int 1 dx - 2 \int \dfrac{1}{x} dx + \int x^{-2} dx = x - 2 \ln{x} + (-x^{-1}) = x - 2 \ln{x} - \dfrac{1}{x} + C$$
g)
$$\int \dfrac{\sin{x}}{\tan{x}} dx = \int \dfrac{\sin{x}}{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}} dx = \int \dfrac{\sin{x} \cos{x}}{\sin{x}} = \int \cos{x} dx = \sin{x} + C$$

Integrais por substituição
a)
$$\int (x^2 + 3x)^3 (2x + 3)dx \\ u = x^2 + 3x, du = (2x + 3)dx \\ \int u^3 du = \dfrac{1}{4} u^4 = \dfrac{1}{4} (x^2 + 3x)^4 + C$$
b)
$$\int \dfrac{5x}{(x^2 + 1)} dx \\ u = x^2 + 1, du = (2x)dx \\ \int \dfrac{5x}{u} \dfrac{du}{2x} = \dfrac{5}{2} \int \dfrac{1}{u} du = \dfrac{5}{2} \ln{|u|} = \dfrac{5}{2} \ln{|(x^2 + 1)|} + C$$
c)
$$\int \dfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 - 2x^3}} dx = \int x^2 ((1 - 2x^3)^{-1/3} dx \\ u = 1 - 2x^3, du = (-6x^2)dx \\ \int x^2 u^{-1/3} \dfrac{du}{-6x^2} = \dfrac{-1}{6} \int u^{-1/3} du = \\ \dfrac{-1}{6} (\dfrac{3}{2} u^{2/3}) = - \dfrac{3}{12} (1 - 2x^3)^{2/3} = - \dfrac{1}{4} \sqrt[3]{(1 - 2x^3)^2} + C$$
d)
$$\int 2e^{-x} dx \\ u = -x, du = (-1)dx \\ 2 \int e^u \dfrac{du}{-1} = -2e^u = -2e^{-x} + C$$
e)
$$\int \sin{3x} dx \\ u = 3x, du = 3dx \\ \sin{u} \dfrac{du}{3} = - \dfrac{1}{3} \cos{3x} + C$$
f)
$$\int 2x \cos{x^2} dx \\ u = x^2, du = (2x)dx \\ \int \cos{u} du = \sin{u} = \sin{x^2} + C$$
g)
$$\int \sin{x} \cos{x} dx \\ u = \sin{x}, du = \cos{x} dx \\ \int u du = \dfrac{1}{2} u^2 = \dfrac{1}{2} \sin^2 {x} + C$$

Integrais por partes
a)
$$\int x \ln{x} dx \\ u = \ln{x}, du = \dfrac{1}{x}, dv = (x)dx, v = \dfrac{x^2}{2} \\  \int x \ln{x} dx  = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \int \dfrac{1}{2} x^2 \dfrac{1}{x} dx = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{1}{2} \int x dx = \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{2} x^2) = \\ \dfrac{x^2}{2} \ln{x} - \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{x^2}{2} (\ln{x} - \dfrac{1}{2})$$
b)
$$\int x \sin{x} dx \\ u = x, du = 1, dv = \sin{x} dx, v = - \cos{x} \\  \int x \sin{x} dx = x (- \cos{x}) - \int (- \cos{x})*1 dx = \\ -x \cos{x} + \int \cos{x} dx = -x \cos{x} + \sin{x} + C$$
c)
$$\int xe^{2x} dx \\ u = x, du = 1, dv = e^{2x} dx, v = \dfrac{e^{2x}}{2} \\ \int xe^{2x} dx = x (\dfrac{e^{2x}}{2}) - \int \dfrac{e^{2x}}{2} dx = \dfrac{xe^{2x}}{2} - \dfrac{1}{2} \dfrac{e^{2x}}{2} = \dfrac{xe^{2x}}{2} - \dfrac{e^{2x}}{4} = \dfrac{e^{2x}}{2} (x - \dfrac{1}{4}) + C$$

d) Integral cíclica (vou sempre pegar os números de Euler como u e as trigonométricas como v)
$$\int e^{x} \cos{x} dx = e^{x} \sin{x} - \int e^{x} \sin{x} dx = e^{x} \sin{x} - [e^{x} (- \cos{x}) - \int (- \cos{x}) e^{x} dx] = \\ e^{x} \sin{x} - [-e^x \cos{x} + \int e^{x} \cos{x} dx] = e^{x} \sin{x} + e^x \cos{x} - \int e^{x} \cos{x} dx \\ 2 \int e^{x} \cos{x} dx =  e^{x} \sin{x} + e^x \cos{x} \\ \int e^{x} \cos{x} dx = \dfrac{1}{2} (e^{x} \sin{x} + e^{x} \cos{x}) = \dfrac{e^x}{2} (\sin{x} + \cos{x}) + C$$
e)
$$\int x^2 e^{-x} dx \\ u = x^2, du = 2x, dv = e^{-x} dx, v = -e^{-x} \\  \int x^2 e^{-x} dx = x^2 (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) 2x dx = -x^2 e^{-x} + \int e^{-x} 2x dx \\ u = 2x, du = 2, dv = e^{-x} dx, v = -e^{-x} \\ -x^2 e^{-x} + [2x (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) 2 dx] = -x^2 e^{-x} + [-2xe^{-x} + 2 \int e^{-x} dx] = \\ -x^2 e^{-x} + [-2xe^{-x} - 2e^{-x}] = -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} = \\ -e^{-x} (x^2 + 2x + 2)$$


É isso aí, galera. Acho que agora não tem mais como enrolar e vamos voltar a ver EDOs, mas só vendo pra saber. Boa noite a todos.

[Física Experimental] Aula 2: erros de medição

Ok, hoje tivemos bastante matéria nova, então trarei aqui uma síntese do que nos foi passado e todos os "exercícios" (de certa forma foram mesmo exercícios) também. Claro, a parte de cálculos, o resto o professor disponibiliza tudo no slide bonitinho que é muito melhor que eu explicando do meu jeito enrolado.

As equações usadas:
1. Valor médio.
$$V_{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x}{n}$$
2. Desvio absoluto.
$$\delta_a = |V_m - V_{ex}|$$

3. Valor medido.
$$V_{mdo} = |V_m \pm \delta_m|$$

4. Desvio médio.
$$\delta_{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} \delta_{ai}}{n}$$
5. Erro relativo.
$$\delta_R = \dfrac{\delta_a}{V_m} \times 100\%$$

Não chegamos a usar operações básicas com erros então deixo as fórmulas pra um momento mais apropriado. Todas essas estão nos slides, estou deixando essas porque é uma justificativa para o que usaremos a seguir.
Tivemos que montar uma tabela com os seguintes valores experimentais:

1. 5.84
2. 5.90
3. 5.80
4. 5.82
5. 5.81
6. 5.84
7. 5.85
8. 5.83
9. 5.84
10. 5.83

Ok? Todos os valores experimentais estão aqui, listados. Precisamos agora terminar de preencher a seguinte tabela:

Medida	$$V_{exp} (cm)$$	$$\delta_a (cm)$$	$$\delta_R (\%)$$
1	5.84
2	5.90
3	5.80
4	5.82
5	5.81
6	5.84
7	5.85
8	5.83
9	5.84
10	5.83
Média

Ok? Primeiro, calculemos o valor médio. Feito isso, teremos os valores para jogar na equação dos desvios absolutos. E tendo o desvio absoluto, podemos calcular o desvio médio, que é o que usaremos junto com o valor médio para descobrir aquele desvio relativo no final da tabela. Um leva ao outro, não tem erro - piadas infames de lado.
À média:
$$V_m = \dfrac{5.84 + 5.90 + 5.80 + 5.82 + 5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.83 + 5.84 + 5.83}{10} = \dfrac{58.36}{10} \\ V_m = 5.836 \approx 5.84$$
Lembrando que aqui vamos sempre arredondar para ter duas casas decimais e seguir o padrão proposto até agora. Atualizando a tabela:

Medida	$$V_{exp} (cm)$$	$$\delta_a (cm)$$	$$\delta_R$$
1	5.84
2	5.90
3	5.80
4	5.82
5	5.81
6	5.84
7	5.85
8	5.83
9	5.84
10	5.83
Média	5.84

O próximo passo é descobrir os desvios absolutos. São dez desvios, mais o médio, que faremos com facilidade efetuando a soma de todos os desvios e dividindo por 10.
$$\delta_{a1} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a2} = |5.84 - 5.90| = 0.06 \\ \delta_{a3} = |5.84 - 5.80| = 0.04 \\ \delta_{a4} = |5.84 - 5.82| = 0.02 \\ \delta_{a5} = |5.84 - 5.81| = 0.03 \\ \delta_{a6} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a7} = |5.84 - 5.85| = 0.01 \\ \delta_{a8} = |5.84 - 5.83| = 0.01 \\ \delta_{a9} = |5.84 - 5.84| = 0.00 \\ \delta_{a10} = |5.84 - 5.83| = 0.01$$
Agora para o desvio médio:
$$\delta_m = \dfrac{0.00 + 0.06 + 0.04 + 0.02 + 0.03 + 0.00 + 0.01 + 0.01 + 0.00 + 0.01}{10} = \dfrac{0.18}{10} = \\ \delta_m = 0.018 \approx 0.02$$

Medida	$$V_{exp} (cm)$$	$$\delta_a (cm)$$	$$\delta_R$$
1	5.84	0.00
2	5.90	0.06
3	5.80	0.04
4	5.82	0.02
5	5.81	0.03
6	5.84	0.00
7	5.85	0.01
8	5.83	0.01
9	5.84	0.00
10	5.83	0.01
Média	5.84	0.02

E agora por fim os erros relativos:
$$\delta_{R1} = \delta_{R6} = \delta_{R9} = \dfrac{0}{5.84} \times 100\% = 0 \times 100\% = 0.00\% \\ \delta_{R2} = \dfrac{0.06}{5.84} \times 100\% \approx 0.0103 \times 100\% = 1.03\% \\ \delta_{R3} = \dfrac{0.04}{5.84} \approx 0.0068 \times 100\% \approx 0.68\% \\ \delta_{R4} = \delta_{Rm} = \dfrac{0.02}{5.84} \times 100\% \approx 0.0034 \times 100\% = 0.34\% \\ \delta_{R5} = \dfrac{0.03}{5.84} \times 100\% \approx 0.0051 \times 100\% = 0.51\% \\ \delta_{R7} = \delta_{R8} = \delta_{R10} = \dfrac{0.01}{5.84} \times 100\% \approx 0.0017 \times 100\% = 0.17\%$$
Colocando tudo na tabela:

Medida	$$V_{exp} (cm)$$	$$\delta_a (cm)$$	$$\delta_R$$
1	5.84	0.00	0.00%
2	5.90	0.06	1.03%
3	5.80	0.04	0.68%
4	5.82	0.02	0.34%
5	5.81	0.03	0.51%
6	5.84	0.00	0.00%
7	5.85	0.01	0.17%
8	5.83	0.01	0.17%
9	5.84	0.00	0.00%
10	5.83	0.01	0.17%
Média	5.84	0.02	0.34%

O resto era questão de arredondamento de algarismos significativos. Mais uma vez, coisa simples. Como não vou usar LaTeX e sim texto normal usarei o símbolo de igual mesmo, mas fica claro que estamos aproximando valores. É que será um recurso útil pra deixar em negrito os mais importantes e deixar catalogada aquela regrinha de arredondamento passada:
a) 2.75 = 2.8
b) 2.49 = 2.5
c) 3.95 = 4.0
d) 4.0501 = 4.1
e) 7.95002 = 8.0
f) 6.95 = 7.0
g) 7.849 = 7.8
h) 3.45 = 3.4
Os dois negritados nos levam àquela regra que o professor passou no quadro:
"Se o dígito a ser eliminado for 5, temos os seguintes casos:
- se o antecessor for par, continua par;
- se o antecessor for ímpar, vira par (ou seja, logicamente, é arredondado pra cima);"
E é isso aí. Não sei dizer se vou colocar muita coisa disso de física experimental porque será mais relatório, e relatório é pessoal, mas o que tiver de matéria mais suave assim é bom postar pra ter referência.


Boa noite a todos.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 2: revisão de derivadas

Boa noite, galera. Como tivemos que resolver nossos primeiros exercícios, por mais fáceis que eles sejam, aqui apareço para deixar suas resoluções matemáticas (não creio que haja como ficar explicando passo-a-passo como se deriva, nem mesmo sei como) pra todo mundo.

Parte 1: derivadas simples
$$y = t^5 - t^4 + 6 \\ y' = (t^5)' - (t^4)' + (6)' = 5t^4 - 4t^3 + 0 = 5t^4 - 4t^3$$
$$y = 2t - \dfrac{1}{t^2} + \sin{t} \\ y' = (2t)' - (t^{-2})' + (\sin{t})' = 2 - (-2t^{-3}) + \cos{t} = 2 + \dfrac{2}{t^3} + \cos{t}$$
$$y = \dfrac{\sqrt{t}}{2} + \ln{t} \\ y' = (\dfrac{1}{2} t^{1/2})' + (\ln{t})' = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{2} t^{-1/2} + \dfrac{1}{|t|} = \dfrac{1}{4t^{1/2}} + \dfrac{1}{|t|} = \dfrac{1}{4 \sqrt{t}} + \dfrac{1}{|t|}$$
$$f(t) = e^t \sin{t} \\ f'(t) = (e^t)' \sin{t} + e^t (\sin{t})' = e^t \sin{t} + e^t \cos{t}$$
$$y = \dfrac{x^2 - 1}{x + 3} \\ y' = \dfrac{(x^2 - 1)' (x + 3) - (x^2 - 1) (x+3)'}{(x+3)^2} = \dfrac{(2x)(x + 3) - (x^2 - 1)(1)}{(x+3)^2} \\ = \dfrac{2x^2 + 6x - x^2 + 1}{(x+3)^2} = \dfrac{x^2 + 6x + 1}{(x+3)^2}$$
$$y = \tan{z} \\ y' = (\dfrac{\sin{z}}{\cos{z}})' = (\sin{z} \cos^{-1}{z})' = (\sin{z})' \cos^{-1}{z} + \sin{z} (\cos^{-1}{z})' = \\ \dfrac{\cos{z}}{\cos{z}} + \sin{z} [(-1)(\cos^{-2}{z}) \times \sin{z}] = \\ 1 - (\sin{z}) (\cos^{-2}{z}) (\sin{z}) = 1 - \dfrac{\sin^2 {z}}{\cos^2 {z}} = 1 - \tan^2 {z}$$

Parte 2: regra da cadeia (destaquei entre colchetes o que é a derivada "de fora", e o que é a derivada "de dentro")
$$f(x) = (x^2 - 5x + 1)^4 \\ f'(x) = [2x - 5][4(x^2 -5x + 1)^3] = (8x - 20)(x^2 - 5x + 1)^3$$
$$f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \\ f'(x) = ((x^2 - 4)^{1/2})' = [2x][\dfrac{1}{2} (x^2 - 4)^{-1/2}] = x(x^2 - 4)^{-1/2} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$$
$$y = \dfrac{2}{(3x+7)^5} \\ y' = (2(3x+7)^{-5})' = 2[3][(-5)(3x+7)^{-6}] = \dfrac{-30}{(3x+7)^6}$$
$$y = \sin{3x} \\ y' = [3][\cos{3x}] = 3 \cos{3x}$$
$$y = e^{2x} \\ y' = [2][e^{2x}] = 2e^{2x}$$
$$y = \ln{2x} \\ y' = [2][\dfrac{1}{|x|}] = \dfrac{2}{|x|}$$
$$y = \ln{\dfrac{x}{x+1}} \\ y' = (\ln{x} - \ln{x+1})' = (\ln{x})' - (\ln{x+1})' = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$$

E esses foram todos os exercícios passados. Pode ajudar alguns a revisarem porque o professor não chegou a resolver todos os de regra da cadeia, e sei que lááááááá do primeiro semestre ainda tem gente que tem dúvida como funciona.
É uma resolução bem boba e puramente matemática, eu sei, pode não estar muito detalhada de fato. Sintam-se livres pra perguntar qualquer coisa e bem-vindos de volta.