1. Trace um número suficiente de vetores para ilustrar o padrão dos
vetores no campo F.
b) $F(x, y, z) = (3x+y)\hat{i} + (xy^2)\hat{j} + (xz^2)\hat{k}$
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(3x+y) & (xy^2) & (xz^2) \end{array}
\right) =$
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(xz^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(xy^2)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xz^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(3x+y)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(xy^2) - \dfrac{\partial}{\partial y}(3x+y)]\hat{k} =$
$[0 - 0]\hat{i} - [z^2 - 0]\hat{j} + [y^2+1]\hat{k} = (-z^2)\vec{j} + (y^2+1)\vec{k}$
Fácil, não? Até que sim. Agora ao divergente:
$\vec{\nabla} \bullet \vec{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}[3x+y] + \dfrac{\partial}{\partial y}[xy^2] + \dfrac{\partial}{\partial z}[xz^2] = 3+2yx+2zx$
c) $F(x, y, z) = (3xyz^2)\hat{i} + (y^2 \sin{z})\hat{j} + (xe^{2z})\hat{k}$
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(3xyz^2) & (xy^2) & (xz^2) \end{array}
\right) = [\dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{2z})$
$ - \dfrac{\partial}{\partial z}(y^2 \sin{z})]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{2z}) - \dfrac{\partial}{\partial z}(3xyz^2)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(y^2 \sin{z}) - \dfrac{\partial}{\partial y}(3xyz^2)]\hat{k} =$
$[0 - (y^2 \cos{z})]\hat{i} - [e^{2z} - 3*(2z)xy]\hat{j} + [0-3xz^2]\hat{k} =$
$(-y^2 \cos{z})\hat{i} - (e^{2z} - 6xyz)\hat{j} - (3xz^2)\hat{k} = (-y^2 \cos{z})\hat{i} + (-e^{2z} + 6xyz)\hat{j} - (3xz^2)\hat{k}$
$\vec{\nabla} \bullet \vec{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}[3xyz^2] + \dfrac{\partial}{\partial y}[y^2 \sin{z}] + \dfrac{\partial}{\partial z}[xe^{2z}] = 3yz^2 + 2y \sin{z} + 2xe^{2z}$
3. Se $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$, prove que:
a) $\vec{\nabla} \bullet \vec{r} = 3$
$\vec{\nabla} \bullet \vec{r} = \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 $
b) $\vec{\nabla} \times \vec{r} = 0$
$\vec{\nabla} \times \vec{r} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
x & y & z \end{array}
\right) = [\dfrac{\partial z}{\partial y} - \dfrac{\partial y}{\partial z}]\hat{i} - [\dfrac{\partial z}{\partial x} - \dfrac{\partial x}{\partial z}]\hat{j} + [\dfrac{\partial y}{\partial x} - \dfrac{\partial x}{\partial y}]\hat{k} = 0$
c) $\vec{\nabla} ||\vec{r}|| = \dfrac{\vec{r}}{||\vec{r}||}$
Seguinte: sabemos que o módulo de um vetor xy é a raíz de suas componentes ao quadrado. Para xyz o mesmo ocorre, só que com uma direção a mais. Ou seja:
$||\vec{r}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Como não há nenhum sinal na lista, fica mais difícil deduzir, mas será feito um produto escalar nesse caso. Como dito, a função ficará:
$\vec{\nabla} \times \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Para fazer o produto escalar por nabla, é só derivar a função em cada eixo. E como estamos trabalhando com módulo, usaremos a mesma função vetorial para todas as três derivadas parciais:
$\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{\partial}{\partial z}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} =$
$2x * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} + 2y * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} + 2z * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} =$
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{i} + \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{j} + \dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{k} = \dfrac{(x)\hat{i} + (y)\hat{j} + (z)\hat{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \dfrac{\vec{r}}{||\vec{r}||}$
4. Se $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ e a é um vetor constante, prove que:
a) $rot (\vec{a} \times \vec{r}) = 2\vec{a}$
Ok, aqui só uma observação deve ser feita antes de começar a fazermos contas enormes: um vetor constante a tem, em todas as suas direções (x, y, z), a componente a. Logo, quando formos fazer ou a matriz $\vec{a} \times \vec{r}$, vamos colocar a em toda a linha da primeira função. Ou da segunda, tanto faz. Como isso está entre parênteses, a prioridade é essa, então vamos resolver isso.
$\vec{a} \times \vec{r} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
x & y & z \end{array}
\right) = $
$[az-ay]\hat{i} - [az-ax]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k} = [az-ay]\hat{i} + [ax-az]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k} $
Resolvido isso, temos uma única função, que: na letra a, será multiplicada vetorialmente com o operador $\vec{\nabla}$; na letra b, será multiplicada escalarmente com esse mesmo operador. Primeiro, resolvendo a:
$rot([az-ay]\hat{i} + [ax-az]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k}) = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(az-ay) & (ax-az) & (ay-ax) \end{array}
\right) = $
$(\dfrac{\partial}{\partial y}[ay-ax] - \dfrac{\partial}{\partial z}[ax-az])\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}[ay-ax] - \dfrac{\partial}{\partial z}[az-ay])\hat{j}$
$+ (\dfrac{\partial}{\partial x}[ax-az] - \dfrac{\partial}{\partial y}[az-ay])\hat{k} = (a - [-a])\hat{i} - ([-a] - a)\hat{j} + (a - [-a])\hat{k} =$
$(2a)\hat{i} + (2a)\hat{j} + (2a)\hat{k} = 2a$
Ótimo, resolvida letra a. Agora letra b.
b) $div (\vec{a} \times \vec{r}) = 0$
Lembrando que a divergente é apenas a derivada parcial de x na direção i, de y na direção j e de z na direção k. Só colocar a função $\vec{a} \times \vec{r}$ nas derivadas:
$\dfrac{\partial}{\partial x}[az-ay] + \dfrac{\partial}{\partial y}[ax-az] + \dfrac{\partial}{\partial z}[ay-ax] = 0$
Mais fácil, mais rápida e a resposta é correta também. Próxima.
5. Determine se o campo vetorial $\vec{F}$ é conservativo.
a) Se $\vec{F} = (yz)\hat{i} + (xz)\hat{j} + (xy)\hat{k}$
Primeiro, temos que saber o que raios é um campo conservativo. Se há muito tempo respondestes a prova, sabes que o campo conservativo é um campo cujo sua multiplicação vetorial com o nabla dá 0. Vamos fazer o teste com esse primeiro.
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(yz) & (xz) & (xy) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(xy) - \dfrac{\partial}{\partial z}(xz)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xy) - \dfrac{\partial}{\partial z}(yz)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(xz) - \dfrac{\partial}{\partial y}(yz)]\hat{k} =$
$[x-x]\hat{i} - [y-y]\hat{j} + [z-z]\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$
Ou seja, o campo é conservativo.
b) Se $\vec{F} = (ye^{-x})\hat{i} + (e^{-x})\hat{j} + (2z)\hat{k}$
Ok, matriz:
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(ye^{-x}) & (e^{-x}) & (2z) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(2z) - \dfrac{\partial}{\partial z}(e^{-x})]\hat{i} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(2z) - \dfrac{\partial}{\partial z}(ye^{-x})]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(e^{-x}) - \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{-x})]\hat{k} =$
$(-e^{-x} - e^{-x})\hat{k} = (-2e^{-x})\hat{k}$
Logo, o campo não é conservativo.
c) Se $\vec{F} = (y^2 z^3)\hat{i} + (2xyz^3)\hat{j} + (3xy^2 z^2)\hat{k}$
Lá vamos nós de novo:
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(y^2 z^3) & (2xyz^3) & (3xy^2 z^2) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2 z^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(2xyz^3)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2 z^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(y^2 z^3)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(2xyz^3) - \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2 z^3)]\hat{k} =$
$[3x(2y)z^2 - 2xy(3z^2)]\hat{i} - [3y^2 z^2 - y^2 (3z^2)]\hat{j} + [2yz^3 - 2yz^3]\hat{k} =$
$[6xyz^2 - 6xyz^2]\hat{i} - [3y^2 z^2 - 3y^2 z^2]\hat{j} + 0\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$
Ou seja, o campo é conservativo.
Resolvido mais um! Faltam dois agora. E bem de boas, veja só.
6. Seja $\vec{F} = \vec{M} \hat{i} + \vec{N} \hat{j} + \vec{P} \hat{k}$ um campo vetorial, mostre que $div(rot(\vec{F})) = 0$. Note a analogia $a \bullet (a \times b) = 0$.
Ok, parece meio confuso assim. Mas vamos resolver primeiro, ver no que dá isso tudo. Aí chegamos nas conclusões. Primeiro o rotacional (produto vetorial de nabla com a função vetorial), que está em prioridade ali, e depois o divergente do resultado.
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
M & N & P \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}P - \dfrac{\partial}{\partial z}M]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M]\hat{k} =$
$[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N]\hat{i} + [\dfrac{\partial}{\partial z}M - \dfrac{\partial}{\partial x}P]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M]\hat{k}$
Ok, não parece nada conclusivo, mas vamos fazer o divergente disso. Produto escalar de nabla pelas funções ijk.
$\dfrac{\partial}{\partial x}[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N] + \dfrac{\partial}{\partial y}[\dfrac{\partial}{\partial x}M - \dfrac{\partial}{\partial z}P] + \dfrac{\partial}{\partial z}[\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M] =$
$\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} - \dfrac{\partial^2 N}{\partial x \partial z} + \dfrac{\partial^2 M}{\partial y \partial z} - \dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x} + \dfrac{\partial^2 N}{\partial z \partial x} - \dfrac{\partial^2 M}{\partial z \partial y}$
"E agora?" você me pergunta. O esquema é o seguinte: aprendemos em cálculo II, lá no começo, que a ordem das incógnitas lá embaixo não altera o resultado. O que isso significa? Que tudo o que é igual em cima, e tem as mesmas incógnitas embaixo independente da ordem, é igual. "Coincidentemente", temos uma derivada parcial de P positiva com xy embaixo, e uma negativa com yx embaixo - podemos cortá-la; o mesmo ocorre com M e yz/zy, e N com zx/xz. Como vamos cortar tudo, o resultado final vai ser 0.
Que foi o que foi exigido inicialmente no exercício, não foi?
7. Seja $\vec{F} = \nabla f$ (campo de gradientes), mostre que $\vec{F}$ é conservativo.
É o seguinte: nessa questão, temos um operador nabla multiplicando um campo "f". Ou seja, a função que será colocada na matriz será $\nabla f$: cada operador, derivada parcial, estará multiplicando esse f desconhecido. Será evidentemente uma matriz, e ela ficará assim:
$\vec{\nabla} \times \vec{\nabla f} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\dfrac{\partial}{\partial x}f & \dfrac{\partial}{\partial y}f & \dfrac{\partial}{\partial z}f \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}]\hat{i} - [\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} - \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \partial x}]\hat{j} + [\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} - \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}]\hat{k} =$
$0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$
E é isso aí. Está resolvida toda essa lista, que acho que não vai ser muito cobrada mas, bem, de qualquer forma se precisar já há um lugar pra estudar.
Tava precisando disso, valeu!
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