Aula V - Mecânica dos Sólidos

Determine a resultante das três forças abaixo.

Dados:
$|\vec{F_1}| = 360N$
$|\vec{F_2}| = 270N$
$|\vec{F_3}| = 180N$
Ok, temos três forças atuando aqui, mas pouca coisa muda se comparado aos exercícios com duas forças. O que vamos fazer aqui é descobrir cada uma delas em forma de vetores unitários e somar as suas direções, simplesmente. É bem simples, quer ver?
Vamos usar $\vec{F_1}$ de exemplo inicial pra explicar tudo, o resto a gente faz direto. Sabemos que temos um triângulo retângulo ali, em que sua hipotenusa se dá em 360N. Temos também o seu ângulo, de 25º. O cateto adjacente (que contém o ângulo mostrado) está no eixo x, enquanto o cateto oposto (oposto ao ângulo mostrado) está obviamente no eixo y.
A fórmula tradicional, mas sempre fácil de esquecer, é a seguinte:
$\sin{\theta} = \dfrac{cateto oposto}{hipotenusa}$
$\cos{\theta} = \dfrac{cateto adjacente}{hipotenusa}$
Substituindo $\theta$ por 25°, cateto oposto por $\vec{F_{1y}}$, cateto adjacente por $\vec{F_{1x}}$ e hipotenusa por $\vec{F_1}$ (360N) e manipulando as equações para isolar $\vec{F_{1y}}$ e $\vec{F_{1x}}$, temos:
$\vec{F_{1x}} = 360\cos{25°} \approx 326.27N$
$\vec{F_{1y}} = 360\sin{25°} \approx 152.14N$

O que significa que:
$\vec{F_1} = \vec{F_{1x}} \hat{i} + \vec{F_{1y}} \hat{j} \approx (326.27N) \hat{i} + (152.14N) \hat{j}$

Para o segundo, a análise é quase a mesma: o cateto adjacente continua em x e o oposto continua em y, no entanto, a componente está no último quadrante. É claro que matematicamente acabamos descobrindo isso, mas essa análise inicial permite-nos dizer já de antemão que o valor de y será negativo.
$\vec{F_{2x}} = 270\cos{60°} = 135N$
$\vec{F_{2y}} = -270\sin{60°} \approx -233.8N$
$\vec{F_2} \approx (135N)\hat{i} + (-233.8N)\hat{j}$

Terceiro e último, uma abordagem diferente. Note que o cateto adjacente ao ângulo pertence ao eixo y, não ao x, que está com o cateto oposto dessa vez. Então os senos e cossenos se alterarão. Além disso, a componente está no terceiro quadrante, então ambos valores serão negativos.
Analisado isso, só calcular:
$\vec{F_{3x}} = -180\sin{50°} \approx -137.89N$
$\vec{F_{3y}} = -180\cos{50°} \approx -115.7N$
$\vec{F_3} \approx (-137.89N)\hat{i} + (-115.7N)\hat{j}$

E a $\vec{F}$ total? Como eu disse, é só somar as componentes em cada direção. Os $\hat{i}$ e os $\hat{j}$, se preferir.
$\vec{F} = (326.27 + 135 - 137.89)\hat{i} + (152.14 - 233.8 - 115.7)\hat{j} = (323.38N)\hat{i} + (-197.36N)\hat{j}$
Isso é ela expressada em seus vetores unitários. Precisamos definir módulo, direção e sentido. O sentido pode ser definido já vendo os vetores, daí vem o módulo:
$\vec{F} = \sqrt{323.38^2 + 197.36^2} \approx \sqrt{104574.62 + 38950.96} \approx \sqrt{143525.58} \approx {378.85N}$
Sim, foram feitos muitos arredondamentos. Por isso o resultado final de várias pessoas pode ser pouco diferente, mas em escala pequena.
Por último, direção:
$\theta = \tan^{-1}{\dfrac{F_y}{F_x}} = \tan^{-1}{\dfrac{197.36}{323.38}} \approx \tan^{-1}{0.61} \approx 31.38°$

E está resolvido o exercício. Grandinho, mas fácil.

Forças no plano

Equilíbrio de um ponto material: $vec{V} = 0$
- Força resultante $\vec{R}$ igual a zero.

$\vec{R} = \Sigma \vec{F} = 0$
-
$\vec{R} = R_x \hat{i} + R_y \hat{j}$
$\Sigma F_x = 0$
$\Sigma F_y = 0$

Aplicação da primeira lei de Newton:
$\vec{R} = 0$
Logo, o corpo está em repouso, fazendo assim um movimento retilíneo uniforme aonde $\vec{V}$ é constante.

Exemplo:

Dados:
$T_{AB} = 180N$
$T_{AE} = 270N$
Primeiramente, não dá pra entender muita coisa porque meu desenho tá horrível. Perdão. Mas o que tá acontecendo é o seguinte: aí dentro está ocorrendo um escoamento que exerce uma força de arrasto sobre as trações, que estão em equilíbrio. O exercício nos dá as distâncias entre as trações todas, e as trações AB e AE.
É até um pouco complicado, mas vamos trabalhar com as distâncias antes de qualquer coisa, porque podemos descobrir ângulos desejados. Descobrir ângulos é o início nesse exercício. E a lógica para isso é a seguinte: enquanto não temos as trações, as distâncias como catetos podem muito bem definir uma tangente, que será invertida para descobrir o ângulo de cada ponto.
Temos um triângulo de 0,45m de cateto oposto, 1,2m de cateto adjacente e hipotenusa desconhecida ($T_{AC}$, mas não estamos fazendo essa relação agora, estamos tratando de distâncias). Temos outro triângulo de 2,1m de cateto oposto, 1,2m de cateto adjacente e hipotenusa desconhecida também. Vamos resolver cada um, porque os ângulos serão usados para as forças:
$\tan{\beta} = \dfrac{0.45}{1.2} = 0.375$
$\beta = \tan^{-1}{(0.375)} \approx 20.56°$

$\tan{\alpha} = \dfrac{2.1}{1.2} = 1.75$
$\alpha = \tan^{-1}{(1.75)} \approx 60.26°$

Agora poderíamos já pensar em resolver o exercício direto, mas em mecânica dos sólidos é sempre bom decompor os vetores antes de fazer qualquer coisa... Então, bem, faremos isso:
$\vec{T_{AC}} = [T_{AC} \sin{20.56}]\hat{i} + [T_{AC} \cos{20.56}]\hat{j}$
$\vec{T_{AB}} = [-180 \sin{60.26}]\hat{i} + [180 \cos{60.26}]\hat{j}$
$\vec{T_{AE}} = [270 \cos{90}]\hat{i} + [270 \sin{90}]\hat{j} = (270N)\hat{j}$
$\vec{F_{arr}} = [F_{arr} \cos{0}]\hat{i} + [F_{arr} \sin{0}]\hat{j} = (F_{arr})\hat{i}$

Sim, é bem assim. Agora vamos pensar na lógica do equilíbrio dos corpos rígidos: ela determina que o somatório das forças é 0, para que o corpo esteja parado (o caso) ou em movimento retilíneo uniforme. O raciocínio é o seguinte:
$\Sigma F = 0$
Logo, $\Sigma F_y = 0$ e $\Sigma F_x = 0$.

Então vamos botar isso em prática, primeiro no eixo y. Analisem o seguinte: no eixo y, as duas trações estão exercendo, juntas, uma força que está obrigatoriamente oposta à tração de baixo para que todas fiquem em equilíbrio. Na conta, vai ficar:
$\Sigma F_y = T_{{AC}_y} + T_{{AB}_y} - T_{{AE}_y} = 0$
$T_{AC} \cos{20.56} + T_{AB}\cos{60.26} - T_{AE} = 0$
$T_{AC} \cos{20.56} + 180 \cos{60.26} - 270 = 0$
$T_{AC} \cos{20.56} = -180 \cos{60.26} + 270$
$T_{AC} \cos{20.56} \approx -89.29 + 270 = 180.71$
$T_{AC} \approx \dfrac{180.71}{\cos{20.56}} \approx 193N$
Agora a única força que resta é a força de arrasto.

Agora a lógica para o eixo x, que é a mesma:
$\Sigma F_x = 0$
Mas é o seguinte: note que a força de arrasto do escoamento e a força $T_{AC}$ estão no mesmo sentido, opondo-se a $T_{AB}$. Na conta, fica assim:
$F_{arr} + T_{{AC}_x} - T_{{AB}_x} = 0$
$F_{arr} + T_{AC} \sin{20.56} - T_{AB} \sin{60.26} = 0$
$F_{arr} + 193 \sin{20.56} - 180 \sin{60.26} = 0$
$F_{arr} = -193 \sin{20.56} + 180 \sin{60.26} \approx -67.78 + 156.29 = 88.49N$

E está descoberto tudo o que tinha para descobrir, se não me engano. É isso aí galera, a próxima aula já estou preparando aqui também porque estou atrasadíssimo em mecânica aqui no blog, rs. Até mais.