Lista I - Materiais Elétricos

Bom dia, galera. Não postei isso antes por motivos de inconveniência logística, mas agora tá aqui pra vocês a lista de materiais. Tentarei postar a segunda assim que estiver aprovado por parte do professor (ou seja, se possível, esse final de semana), pra que tenhamos bastante conteúdo pra estudar pra prova a partir daqui.

1. O cobre tem uma resistividade de $1.7*10^{-6}\Omega cm^2/m$. Qual é a resistência do fio com 0.1cm de raio e 30m de comprimento?
Aqui é o seguinte. Temos que ter em mente apenas uma fórmula matemática pra essa prova, ao menos por enquanto: resistência ($\Omega$) é igual a resistividade ($\Omega cm^2/m$) vezes o comprimento (m) dividido pela área da seção transversal (cm²).
Ou seja:
$R = \dfrac{\rho * l}{A}$

Nesse caso, queremos saber exatamente a resistência, tendo ou podendo deduzir todos os outros valores.
$\rho = 1.7*10^{-6} \Omega cm^2/m$
$l = 30m$
Agora um probleminha: a área. O exercício nos dá o raio da seção transversal, não a área... Mas a partir do momento em que a área da seção normalmente é uma circunferência, podemos fazer geometria analítica básica.
$A_c = \pi r^2$
$A = \pi (0.1cm)^2 = 0.01\pi cm^2$
Agora sim temos tudo e podemos jogar na fórmula:
$R = \dfrac{(1.7*10^{-6} \Omega cm^2/m)*(30m)}{0.01\pi cm^2} = \dfrac{51.10^{-6}\Omega cm^2}{0.01\pi cm^2} = \dfrac{51.10^{-4} \Omega}{\pi} \approx 16.2338*10^{-4} \Omega$
E esse é o primeiro exercício. Facílimo.

2. Calcule a seção transversal de um fio de alumínio ($\rho = 0.0278\Omega mm^2/m$) com resistência de $2\Omega$ e comprimento de 100m.
Vamos brincar com a fórmula pra ficar mais fácil de colocar os valores lá. Sabemos que:
$R = \dfrac{\rho*l}{A}$
Joguemos R pro outro lado dividindo e A (que é o que queremos isolar) pro outro lado multiplicando, fica:
$A = \dfrac{\rho*l}{R}$
Agora só jogar os valores:
$A = \dfrac{(278*10^{-4}\Omega mm^2/m)*(100m)}{2\Omega} = \dfrac{278*10^{-2}\Omega mm^2}{2\Omega} = 139.10^{-2}mm^2$
Também bem fácil.

3. Dados os materiais, determine o solicitado.

a)
$\rho = 0.032\Omega mm^2/m$
R = ?
Ok, queremos saber o R. Façamos uma análise da imagem: o comprimento do cabo é aquele 30m medido no desenho, enquanto a área da seção transversal, bem... Temos um quadrado de 1mm, não é necessário pensar muito pra perceber que sua área é esse lado de 1mm elevado ao quadrado. Bem, é bem básico, ao menos.
$l = 30m$
$A = (1mm)^2 = 1mm^2$
$R = \dfrac{(0.032\Omega mm^2/m)*(30m)}{1mm^2} = 0.96\Omega$

b)
$\rho = 0.0041\Omega cm^2/m$
r = 0.7mm
R = ?
Lembrando que a área da seção transversal é o raio ao quadrado vez $\pi$, igual o primeiro exercício. O comprimento está explícito como 300m. Assim:
$A = \pi(0.7mm)^2 = 0.49\pi mm^2$
Considerando que vamos tratar de cm² só pra cortar as coisas, é mais fácil converter já antes de jogar na equação:
$A = 0.49*10^{-2}\pi cm^2$
E agora, jogando tudo isso na equação:
$R = \dfrac{(0.0041\Omega cm^2/m)*(30m)}{0.49*10^{-2} \pi cm^2} = \dfrac{1.23*10^2\Omega cm^2}{0.49\pi cm^2} \approx \dfrac{251.02\Omega}{\pi} \approx 79.90\Omega$

c)
$R = 30M\Omega = 30*10^6\Omega$
$\rho = ?$

Lembrando que agora temos um retângulo, ou seja: seu cálculo de área de seção transversal envolve a multiplicação de dois lados. O comprimento já foi determinado ali como 10m. Bem, vamos lá:
$A = (1m)*(1cm) = (1m)*(1*10^{-2}m) = 1*10^{-2}m^2$
Agora realmente resta só a resistividade. Como da outra vez, vamos isolar ele na fórmula antes de fazer o cálculo pra facilitar as coisas.
$R = \dfrac{\rho*l}{A}$
$\dfrac{RA}{l} = \rho$
Agora só jogar na fórmula os valores:
$\rho = \dfrac{(30*10^6\Omega)*(1*10^{-2}m^2)}{10m} = \dfrac{30*10^4\Omega m^2}{10m} = 3*10^4 \Omega m^2/m$

4. Qual dos materiais do exercício 3 é melhor condutor de eletricidade? Justifique.
Tratando-se do material, o material com melhor condutividade é o de menor resistividade. Como eventualmente acabamos descobrindo os valores de todas as resistividades, podemos compará-las:
$\rho_1 = 0.032\Omega mm^2/m$
$\rho_2 = 0.0041\Omega cm^2/m = 0.0041*10^2 \Omega mm^2/m = 0.41\Omega mm^2/m$
$\rho_3 = 3*10^4 \Omega m^2/m = 3*10^4*10^6 \Omega mm^2/m = 3*10^10 mm^2/m$
Logo:
$\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$
O que prova que o primeiro material é o melhor condutor.

5. Cite duas propriedades dois materiais cerâmicos e duas de metais.
Essa é bem fácil de responder, considerando que, em diversos aspectos, os materiais cerâmicos são o oposto dos metais. O que respondi foi o seguinte: cerâmicos não são bons condutores de eletricidade e têm alta densidade (massa por volume), ou seja, a tendência é que sejam leves. Já os metais são o oposto: eles tem ótima condutividade elétrica num geral e sua densidade costuma ser baixa, o que implica que eles costumam ter mais massa por volume ocupado.

6. Diga 2 propriedades do cobre que o faz ser muito utilizado na indústria.
Também tem uma infinidade, e o que eu respondi foi a ótima condutividade elétrica e térmica e o fácil manuseio dele em variadas temperaturas.

7. Faça os comentários pertinentes quanto ao custo do cobre.
O custo do cobre é alto pelo seu complexo e custoso processo de extração - não se encontra cobre puro na crosta terrestre, e o processo de extração envolve um gasto de energia absurdo já que eles precisam trabalhar com alta temperatura, ou seja, converter bastante energia elétrica.

8. Explique como ocorre a condução elétrica em condutores e isolantes pela teoria das bandas de energia.
A teoria das bandas de energia estabelece três bandas para elétrons: a de valência, a proibida e a de condução. A condução de eletricidade ocorre quando o elétron salta da valência para a condução. Condutores tem banda proibida ignorável, praticamente inexistente, enquanto isolantes têm uma grande banda proibida entre a valência e a condução, que acaba dificultando esse salto.