Aula IV - Mecânica dos Sólidos

Ontem tivemos uma aula um pouco mais razoavelmente difícil de mecânica, ainda girando completamente em torno de exercícios. No entanto, nada muito problemático. Tentarei explicar bem os exercícios aqui.

4. As duas forças P e Q atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.

Ótimo. Aqui, ao contrário dos outros exercícios passados até agora, não conseguimos enxergar um triângulo retângulo formado pelos dois vetores. Aliás, são duas componentes que não estão retas nem no eixo x nem no y.
Primeiramente, usaremos o famoso elefantinho para ajudar na representação gráfica.

No caso, o que eu fiz aí foi o seguinte: coloquei a cauda do segundo vetor na ponta do primeiro e tracei uma reta que liga a cauda do primeiro à ponta do segundo. No futuro haverão exercícios com vários vetores, e você pode fazer isso com quantos quiser, é bem prático.
Agora vamos fazer uma cópia idêntica ali embaixo, só que com os vetores invertidos

"E como ficam os ângulos?" você me pergunta. É o seguinte: o ângulo de 25° acima de P continua ali. O ângulo oposto à hipotenusa R é 155° por associação, lei de Tales que mostrarei a vocês no próximo desenho. Já o último ângulo é desconhecido e teremos de descobrir, já que ele determina o sentido da resultante das forças.

Ok. Agora temos informação o suficiente para descobrir a força resultante, através da lei dos cossenos.

Certo? Temos que a intensidade da força resultante é de aproximadamente 97,72 Newtons. Resta-nos encontrar seu ângulo para definir seu sentido. Para isso, utilizarei-me da lei dos senos. Primeiro, redesenhando o triângulo com as variáveis pra ficar mais claro.

Tentei mostrar já direto as ligações mas não sei se ficou muito bom. No caso, na lei, o lado a estará relacionado com seu ângulo oposto A. O mesmo ocorre para b e B, e c e C. É uma relação que diz o seguinte: a divisão de a pelo seno de seu ângulo oposto será igual à divisão de b pelo seno de seu ângulo oposto, que também será igual à divisão de c pelo seno de seu ângulo oposto. Discurso grande, numa conta fica assim:

Simples, né? Você pode escolher tanto aA quanto cC, já que temos o valor e o ângulo de ambos. Escolheremos aA.

Temos que o seno de A é aproximadamente 0,259. Agora pegaremos nossa calculadora, de preferência científica; minto, essencialmente científica, e descobriremos o ângulo através do arco seno desse valor.

Ok, temos que o ângulo da resultante das forças acaba dando 15,13 graus. Só precisamos lembrar de mais uma coisa: mesmo o vetor mais baixo já está 20 graus acima de x. Temos então que o ângulo final é a soma de 15,13 com os 20 graus.
E o resultado final é 15,13+20 = 35,13°.

E está resolvido o primeiro exercício.


5. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é uma força de 22,250N dirigida ao longo do eixo da barcaça:
a) determine a força de tração em cada um dos cabos, sabendo que o ângulo $\alpha$ = 45º.
b) o valor de $\alpha$ para o qual a tração do cabo 2 é mínima.

Ok. Soa mais complicado que o anterior e sim, é. Mas é só um pouquinho. Primeiro, vamos redesenhar o exercício com as informações que temos nos planos:

Bem... Temos poucas informações aí, né. Mas vamos aos exercícios em si.
A letra a) nos dá um ângulo de 45 graus e temos que nos virar com o resto. O que facilita muito porque, tendo dois ângulos, podemos descobrir o terceiro e fazer uma lei dos senos para descobrir tudo o que falta. Temos que o ângulo que falta precisa fechar 180 graus, então para descobri-lo é só fazer a operação 180-30-45 = 105.
Agora sabemos que o ângulo oposto ao 22,250N é de 105°, enquanto o oposto a F1 é 45° e o oposto a F2 é 30°. A lei dos senos total fica:

Isolando a primeira expressão com a expressão de F1, temos:

Agora F2:

Exercício a resolvido.

Agora vamos ao b), muito mais complicado... De entender, no caso. Depois que entendeu, é a mesma coisa. Aliás, vou mostrar um método puramente matemático porque é o que eu domino mais, se alguém se dispor a explicar aquele outro da perpendicularidade que o professor passou eu estou dispostíssimo a colocar aqui.
Mas é o seguinte, vamos lá. Observe a última imagem que eu coloquei do triângulo, com o ângulo $\alpha$ = 30°. Imagine que eu considere o terceiro ângulo, também desconhecido, na equação da lei dos senos como uma variável $\beta$. Na conta ficará mais claro, mas é o seguinte: não sabemos o valor de $\alpha$, mas temos um dos ângulos, e na lei dos senos ele está acima de F2. Pegaremos a parte F2 e a parte com 22,250N.

"Tá, e o que esse valor me diz?" Tudo! O seno de $\beta$ só pode ir de 0 a 1, sendo que quanto mais distante ele estiver de 1, maior será o resultado de F2. Queremos o mínimo. Logo, o seno de $\beta$ tem de ser igual a 1. Não precisamos nem fazer arco seno pra saber que, para que o valor de seno seja 1, o ângulo tem que ser de 90 graus. Logo, o ângulo oposto à resultante é de 90°.
De quebra, descobrimos que o valor de F2 é 11,125N.
Agora nos resta descobrir F1 e o ângulo $\alpha$. Temos um triângulo no mesmo formato do anterior, que totaliza 180°. Temos dois ângulos dos três, então só precisamos subtrai-los de 180. Com isso, descobrimos que $\alpha$ = 180-90-30 = 60°.
Essa é a resposta do exercício, mas só pra termos todos os resultados, F1 por lei é:

"Só" isso, galera. Aguardem porradas maiores próxima aula.
E um bom dia a todos!