Aula IV - Circuitos Elétricos

Teoremas para Análise de Circuitos

- Teorema da Superposição

- Teorema de Thévenin

- Teorema de Norton

Teorema da Superposição

- Podemos aplicar este teorema [...] (eu cheguei atrasado essa aula, quem tiver e puder me passar essa parte, fico grato rs)

- Quantidade de fontes independentes é igual ao número de circuitos a serem analisados.

Exemplos:
Determine $i_0$:

O esquema é o seguinte: temos um circuito simples com duas fontes de tensão diferentes. Como o exemplo é pra mostrar como funciona a Superposição, não vamos nem nos dar ao trabalho de analisar e ver qual método é melhor. Simplesmente vamos seguir o método à risca.

Para redesenhar o circuito, há um procedimento simples: toda vez que você tira uma fonte de tensão, você deixa a linha lá, vazia. Toda vez que você tira uma fonte de corrente, você retira a linha também. Haverá caso aonde o resistor perderá a referência e ficará pra fora do circuito no caso das fontes de corrente, mas por enquanto não vamos nos importar.

Vamos redesenhar o primeiro circuito, retirando a fonte de 64V.

Ok, agora o que temos aqui é algo muito simples: uma fonte de 12V, um resistor de 3Ω e uma divisão: uma com um resistor de 3Ω, outra com um resistor de 6Ω e a corrente $i_0$ que queremos descobrir.
A análise agora é muito simples: primeiro, temos que descobrir a corrente total, então é só desmontar tudo.

Isso daí vai se juntar com o resistor de 3Ω, mostrando que o circuito totaliza 5Ω de resistência. Como temos a voltagem total de 12V, a corrente total é só a divisão de 12V por 5Ω, que resulta em 2,4A.
Agora precisamos descobrir o primeiro $i_0$, que chamaremos de $i'_0$ pelo fato de ser apenas um deles. Sabemos que a corrente $i'_0$ é a que passa no resistor de 6Ω, então é só descobrir a voltagem consumida por ele e temos como calculá-la.
As leis dos circuitos determinam que, numa divisão em paralelo, a mesma tensão vai para os dois lados sem se dividir. O cálculo para ela é dado pela corrente total vezes a resistência equivalente, a corrente total sabemos que é 2,4A, e lá em cima fizemos o cálculo de resistência equivalente que deu 2Ω, então temos que:

$V = 2.4A*2\Omega = 4.8V$

Ótimo, podemos saber a corrente que passa pela resistência de 6Ω dividindo essa tensão por ela. Simples assim:

$i'_0 = \dfrac{4.8V}{6\Omega} = 0.8A$

Agora precisamos descobrir a segunda corrente. Vamos redesenhar o circuito novamente, dessa vez apenas com a fonte de tensão de 64V. Como o item removido é uma fonte de tensão (a de 12V), o circuito permanecerá o mesmo, só que sem ela.

Esse é ainda mais fácil, a corrente total é a corrente $i''_0$: perceba que a corrente que está indo para a fonte no positivo é a própria $i''_0$. A única diferença é que, como ela vai pro positivo (e sai no negativo), ela está claramente em seu sentido oposto e por isso para descobri-la precisamos inverter o sinal da corrente total.

Primeiramente, para descobrir essa corrente total, precisamos descobrir a resistência total do circuito. Temos uma resistência de $6\Omega$, seguida de duas resistências de $3\Omega$ em paralelo. É só resolver as em paralelo e somar com a em série:

$R_T = R_1 + R_{eq1} = 6 + \dfrac{3*3}{3+3} = 6 + \dfrac{9}{6} = 6 + 1.5 = 7.5\Omega$

Temos a voltagem total de 24V já especificada desde o início, façamos então a corrente total:

$i_T = \dfrac{64V}{7.5\Omega} = 3.2A$

Logo: $i''_0 = -3.2A$

Tendo essas duas correntes, o que precisamos fazer é somar $i'_0$ com $i''_0$ para obter $i_0$ total. Vamos fazer?

$i_0 = 0.8 + (-3.2) = 0.8 - 3.2 = -2.4A$

Resolvido esse problema, vamos ao próximo.

Encontre $i_0$.

Agora temos uma fonte de corrente e uma fonte de tensão. Foi explicado no outro exercício como se faz com uma fonte de corrente, mas não foi aplicado ainda: dessa vez, será mostrado na prática essa de "retirar a linha da fonte de corrente quando ela é eliminada".

Redesenhe o circuito, retirando a linha, sem se preocupar com como vai ficar, se parece resolvível ou etc. Apenas retire. Esse será o resultado:

Ótimo. Ficou um circuito bem fácil, não é? Temos duas resistências ($4\Omega$ e $8\Omega$) em série, em paralelo com uma de $6\Omega$, tudo isso em série com uma de $2\Omega$. Vamos fazer algumas associações lógicas pra evitar contas desnecessárias: todos os resistores em paralelo estão em série com $2\Omega$, o que significa que há de sobrar uma tensão para ele no final, logo é impossível que eles consumam todos os 36V. Precisamos descobrir essa tensão antes de descobrir a corrente $i'_0$, e para descobri-la, precisamos saber qual é a corrente total.

Ok, bastante coisa pra resolver de qualquer forma.

Primeira associação: série - $R_s = 4 + 8 = 12\Omega$

Segunda associação: paralelo - $R_{eq} = \dfrac{6*12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: série - $R_T = 4 + 2 = 6\Omega$

Temos a resistência total, temos a tensão total:
$i_T = \dfrac{36V}{6\Omega} = 6A$

Com isso, podemos descobrir quanto aquele resistor final de $2\Omega$ consome. É fácil, já que temos a corrente e a resistência:

$V_{2\Omega} = 6A*2\Omega = 12V$

Sabemos então que V no ponto aonde está a corrente $i'_0$ que queremos descobrir é 36V, menos o que esse resistor consumiu, 12. Acaba que:

$V_0 = 36-12 = 24V$

Assim, a corrente naquele ponto depende dessa voltagem 24V e da resistência fornecida pela malha aonde ela está. Note que a corrente corre pelo ponto aonde há $4\Omega$ e $8\Omega$ apenas, então ela depende desses dois resistores, que já associamos em série ter $12\Omega$.

$i'_0 = \dfrac{24V}{12\Omega} = 2A$

Ótimo. Segunda parte, com a fonte de corrente: lembrando que a fonte de corrente fica, e a fonte de tensão vai embora, mas deixa a linha vazia. Redesenhando:

Temos o seguinte: os resistores de 4 e 8 em série, em paralelo com um de 6, tudo isso em paralelo com o de 2. Não é difícil enxergar isso, inclusive creio ser desnecessário redesenhar, mas se for podem me avisar. Ao contrário do circuito anterior, a corrente 12A se divide para os dois lados quando sai, então a resistência de 2 não pode estar em série com ninguém.

Primeiro vamos descobrir a voltagem total, ou seja, primeiro mesmo vamos descobrir a resistência total para que seja possível essa voltagem.

Resistência em série de 4 com 8: $R_s = 4+8 = 12\Omega$

Resistência em paralelo de 12 com 6: $R_{eq} = \dfrac{12*6}{12+6} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: $R_T = \dfrac{2*4}{2+4} = \dfrac{8}{6} \approx 1.33\Omega$

Claro que esse resultado de 1.33 é simbólico, porque trabalharemos com a fração nas próximas equações. Acaba ajudando na precisão do resultado, embora ele costume ser impreciso mesmo assim. A voltagem total é a multiplicação dessa resistência pela corrente total, que é 12A, determinada pela fonte de corrente. Logo:

$V = (\dfrac{8}{6}\Omega)*12A = \dfrac{96}{6}V = 16V$

Percebamos também que essa tensão é a mesma que vai para o resistor de $2\Omega$ e que vai, bem, para a divisão de 6 com 12. Logo, a tensão em todos esses pontos é 16V, o que significa que só precisamos pegar essa tensão e colocar sobre a resistência no ponto para descobrir a corrente $i''_0$.

$i''_0 = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3} \approx 1.33A$

Lembremos do exercício: só somar as correntes encontradas e temos a final.

$i_0 = 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{6+4}{3} = \dfrac{10}{3} \approx 3.33A$

Mais um resolvido. Próximo.

Determine $i_0$.

Ok, esse parece bem mais complicado. De fato é pelas associações em diferentes, mas nem tanto assim, vamos resolvê-lo. Primeiro, retiraremos a fonte de corrente e deixaremos aquela linha vazia:

Ok, temos o seguinte: de um lado, dois resistores de 6; do outro, um único resistor de 6; no meio, outro de 6. Se formos resolver, os dois de 6 ficarão em série, e essa série está em paralelo com de 6 do outro lado. O resultado disso estará em série com o de 6, no meio. Não é muito confuso se você observar atentamente.

Já note também que a corrente que vai para os dois lados sobe, se divide, desce e retorna; ou seja, $i'_0$ está oposto a esse sentido e será negativo. Para descobrir essa corrente, primeiro precisamos descobrir a voltagem naquele ponto; e para chegar nela, só desmontando tudo e descobrindo a corrente total.

Fazendo as equivalências:

Resistores em série: $R_s = 6+6 = 12\Omega$

Associação em paralelo: $R_{eq} = \dfrac{6*12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: $R_T = 4+6 = 10\Omega$

Logo, a corrente total será:

$i_T = \dfrac{30V}{10\Omega} = 3A$

Agora podemos descobrir a voltagem nos dois lados do circuito, que será útil para definir a corrente $i'_0$. Ela se dá pela multiplicação dessa corrente total pela resistência equivalente de todos eles, que já definimos ali ser 4.

$V_0 = 4\Omega*3A = 12V$

Ótimo, agora só dividir isso pela resistência em série do lado que queremos, que é 12. Temos a corrente naquele ponto. Como já definimos desde o início que a corrente $i'_0$ é negativa, já coloquemos o sinal em sua conta:

$i'_0 = -\dfrac{12V}{12\Omega} = -1A$

Primeira corrente descoberta, falta a outra. Agora peguemos aquele circuito inicial e retiremos a fonte de tensão de 30V, mas apenas ela, deixe a linha intacta.

Ok? Esse daí já não é tão fácil de visualizar o que está em série e o que está em paralelo. Uma boa dica que foi ensinada em aula é marcar os nós com letras: se não há nada de um nó a outro, coloque a mesma letra pra ambos; se há algum resistor, coloque outra letra no outro nó, e vá repetindo até ter marcado todos os nós.

Desenhando, vai ficar assim:

OK, agora o esquema é o seguinte: os resistores que estão entre as mesmas duas letras estão em paralelo, e se houver alguma ligação entre eles que não for essa, estarão em série. Por exemplo, os dois de $6\Omega$ ali do lado, eles estão entre A e B, ambos; estão em paralelo.

Podemos redesenhar novamente, mas acho desnecessário essa parte. Fica claro que esses dois estão em série com o de baixo, e o resultante estará em paralelo com o de cima. Espero que tenham conseguido visualizar, descobrindo os resultados vou redesenhá-lo nesse passo após a resistência em série porque facilitará bastante descobrir a corrente $i''_0$.

Mas ok, vamos resolver as equivalências que encontramos:

$R_{eq} = \dfrac{6*6}{6+6} = \dfrac{36}{12} = 3\Omega$

$R_s = 3+6 = 9\Omega$

$R_T = \dfrac{9*6}{9+6} = \dfrac{54}{15} = 3.6\Omega$

Com isso, a voltagem total é fácil:

$V = 3.6\Omega*10A = 36V$

E o $i''_0$? Note bem o circuito redesenhado. Eu me dei ao trabalho de fazê-lo porque ele torna muito mais fácil a interpretação e análise do $i''_0$, sem ter de ficar se confundido com aqueles dois resistores de 6. Essa corrente leva em conta toda a parte de baixo do circuito, que tem o total de 36V, já que eles vão igualmente para o resistor de 6 de cima e o de 9 embaixo.

Ou seja: a corrente $i''_0$ se dá pela simples divisão da tensão 36V pela resistência total de $9\Omega$ naquele ponto:

$i''_0 = \dfrac{36V}{9\Omega} = 4A$

Pronto, agora para descobrir $i_0$ total, é só somar os resultados dos dois circuitos:

$i_0 = -1+4 = 3A$

E está resolvido mais um exercício.

Determine $i_0$.

Ok, outro que parece desafiador, e até é um pouco sim... Mas pela sua segunda parte, a primeira é facílima. Quer ver? Retire a fonte de corrente e a linha pertencente a ela, teremos o seguinte circuito:

O que temos aqui? Algo extremamente óbvio. De um lado, dois circuitos em série; do outro, mais dois circuitos em série. Tudo isso em paralelo. Mas quem se importa? A corrente $i'_0$ está no lado esquerdo do circuito, e temos a voltagem total, então só precisamos dividi-la pela resistência em série naquele ponto. E, claro, lembrar que a fonte de tensão é positiva pra baixo, por isso a corrente está no sentido oposto e seu sinal será negativo.

$R_s = 4+12 = 16\Omega$

$i'_0 = \dfrac{32V}{16\Omega} = -2A$

Um desses bem que poderia cair na prova, rs.

Agora vamos redesenhar tirando a fonte de tensão e deixando a de corrente apenas, que vai ficar assim:

Esse é um pouquinho mais difícil, mas nada muito absurdo também. Vamos colocar as letras daquela forma que fizemos na 3:

Vemos aí que ambas resistências de 6 e 12 vão de A a B, e ambas de 4 e 12 (a outra de 12) vão de B a C. Logo, são duas resistências em paralelo, que acabarão em série. Queremos saber $i''_0$ que está passando unicamente pelo resistor de $4\Omega$, podemos fazer isso através de sua tensão por essa resistência... E como ele está em paralelo com um resistor de 12, sua tensão é descoberta pela corrente total (lembrem-se: esses dois estão em série com os outros dois) vezes a resistência equivalente.

Primeiro, vamos descobrir a resistência equivalente:

$R_{eq} = \dfrac{12*4}{12+4} = \dfrac{48}{16} = 3\Omega$

E agora, façamos a multiplicação disso pela corrente total:

$V_0 = 12A*3\Omega = 36V$

Por fim, para descobrir $i''_0$, o que já falamos antes: isso sobre a resistência equivalente. O sinal é positivo, a corrente está no sentido correto se considerarmos a fonte de corrente acima.

$i''_0 = \dfrac{36V}{4\Omega} = 9A$

E ok, agora é somar as duas correntes e descobrir a final:

$i_0 = -2+9 = 7A$

E estão resolvidos todos os exercícios da aula. Da aula, não das listas.

Aliás, eu sei que isso não é a lista e estão mais ansiosos pra lista que pra isso que vocês já têm no caderno. Mas é o que já ando falando em sala: só posto esse tipo de coisa que não é resolvido lá com autorização do professor, e como ainda não conversei com a professora a respeito (e é provável que não tenha aprovação porque, bem, são listas que valem nota), posto só isso por enquanto.

No entanto, o conteúdo é o mesmo: salvo alguns detalhes, se você entendeu isso que postei, é bem provável que consiga resolver aqueles três exercícios da sala. Bom dia, e boa sorte a todos!