Aula IV - Cálculo Diferencial e Integral III

Integrais de Linha

Integrais sobre curvas

Parametrização

Quando uma partícula se move pelo espaço durante um intervalo de tempo I, pensamos nas coordenadas da partícula como funções definidas sobre I.
x = f(t)
y = g(t)

y = x²
x = t
y = t²

Ou P(x, y, z) = P(f(t), g(t), h(t)), $t \in I$, formam a curva que chamamos de trajetória da partícula.

Comprimento da Curva (L)

x = g(t)
y = h(t)

$d\vec{s} = dx\widehat{i} + dy\widehat{j}$
1

$\dfrac{dx}{dt} = g'(t)$
$dx = g'(t)dt$
2

$\dfrac{dy}{dt} = h'(t)$
$dy = h'(t)dt$
3

$||d\vec{s}|| = \sqrt{dx^2 + dy^2}$
4

Substituindo o termo dx pela fórmula 2 e o termo dy pela fórmula 3:
$||d\vec{s}|| = \sqrt{(g'(t)dt)^2 + (h'(t)dt)^2} = \sqrt{(g'(t))^2+(h'(t))^2}dt$

Definição: vamos supor que g'(t) e h'(t) sejam contínuas no intervalo fechado [a, b] e L seja o comprimento da curva C, então:
$L = \int ||d\vec{s}|| = \int \sqrt{(g'(t))^2+(h'(t))^2}dt$

Exemplo: seja y = x, calcule L.
x = 0 ... 2

Dispensa qualquer explicação, é só considerar o conteúdo.

Solução: parametrização:
x = t = g(t)
g'(t) = 1

y = t = h(t)
h'(t) = 1

$0 \le t \le 2$

$L = \int^2_0 \sqrt{1^2 + 1^2}dt = \sqrt{2} \int^2_0 dt = \sqrt{2}t = 2\sqrt{2} uC$

Prova real:

$L^2 = 2^2 + 2^2$ 
$L = \sqrt{4*2} = 2\sqrt{2} uC$

Exemplo 2:
x²+y² = 4 
Básico de geometria analítica. Um círculo de raio 2. Como fica inviável resolver com xy, vamos usar características geométricas básicas (cos = x/r, sen = y/r) pra resolver.

Parametrização:
$\cos(t) = \dfrac{x}{2}$
$x = 2\cos(t)$
$g(t) = 2\cos(t)$

$\sin(t) = \dfrac{y}{2}$
$y = 2\sin(t)$
$h(t) = 2\sin(t)$

$g'(t) = -2\sin(t)$
$h'(t) = 2\cos(t)$

$L = \int^{2\pi}_0 \sqrt{(-2\sin(t))^2 + (2\cos(t))^2}dt = \int^{2\pi}_0 \sqrt{4\sin^2(t) + 4\cos^2(t)}dt =$
$\int^{2\pi}_0 2\sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)}dt = 2\int^{2\pi}_0 dt = 2t = 4\pi uC$

Prova real:
$C = 2\pi R$
$C = 2\pi2 = 4\pi uC$


Quanto às listas em sala que não valem nota, ainda estou devendo de perguntar pro professor... Mas não se preocupem, é mais fácil postar cálculo então se eu obter autorização já posto tudo.