[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 1: classificações, soluções e valores iniciais e de contorno

1. Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente para cada uma das equações diferenciais dadas.

a) (y'') - 3yy' + xy = 0
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y, logo, y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x (não tem outra variável na equação), então, x.

b) t²s'' - ts' = 1 - sen(t)
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é s.
Variável independente: s está sendo derivada com relação a t.

c) $$\dfrac{d^2 x}{dy^2} = y^2 + 1$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é x.
Variável independente: x está sendo derivada com relação a y.

d) $$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{3/2} + y = x$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x.

e) $$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado uma vez, logo primeira ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é b.
Variável independente: b está sendo derivada com relação a p.

2. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 5y = 0?
Só sair testando, o resultado tem que dar 0:

a) y = 5

(5)' - 5(5) = 0 - 25 = -25

Logo, não é solução.
b) y = 5x
(5x)' - 5(5x) = 5 - 25x
Logo, não é solução.
c)
$$y = x^5 \\ (x^5)' - 5(x^5) = 5x^4 - 5x^5 \neq 0$$
Logo, não é solução.
d)
$$y = e^{5x} \\ (e^{5x})' - 5(e^{5x}) = 5e^{5x} - 5e^{5x} = 0$$

Logo, é solução.
e)
$$y = 2e^{5x} \\ (2e^{5x})' - 5(2e^{5x}) = 2(5e^{5x}) - 10e^{5x} = 10e^{5x} - 10e^{5x} = 0$$

Logo, é solução.
f)
$$y = 5e^{5x} \\ (5e^{5x})' - 5(5e^{5x}) = 5(5e^{5x}) - 25e^{5x} = 25e^{5x} - 25e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.

3. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 3y = 6?
a) y = -2

(-2)' - 3(-2) = 0 + 6 = 6

Logo, é solução.
b) y = 0
0' - 3(0) = 0 - 0 = 0
Logo, não é solução.
c)
$$y = e^{3x} - 2 \\ (e^{3x} - 2)' - 3(e^{3x} - 2) = 3e^{3x} - 3e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$

Logo, é solução.
d)
$$y = e^{2x} - 3 \\ (e^{2x} - 3)' - 3(e^{2x} - 3) = 2e^{2x} - 3e^{2x} + 9 = -e^{2x} + 9$$
Logo, não é solução.
e)
$$y = 4e^{3x} - 2 \\ (4e^{3x} - 2)' - 3(4e^{3x} - 2) = 12e^{3x} - 12e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$
Logo, é solução.

4. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial A?
$$A = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$

Essa é complicada. Vamos fazer o seguinte: está permitido passar os valores de um lado pro outro, se os dois lados se igualarem no final está certo. Então:
a) y = x
$$\dfrac{dx}{dx} = \dfrac{2x^4 + x^4}{x(x^3)} \\ 1 = \dfrac{3x^4}{x^4} = 3 \neq 1$$

Logo, não é solução.
b) Não sei se recomendo estudarem esse
$$y = x^8 - x^4 \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4] = \dfrac{2[x^8 - x^4]^4 + x^4}{x[x^8 - x^4]^3} \\ 8x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4)^4 + x^4}{x(x^8 - x^4)^3} \\ (8x^8 - 4x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8)(x^8 - x^4)^3 - 4(x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8) - 4(x^4) = 2(x^8 - x^4) + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 2x^8 - x^4 = \dfrac{(x^8 - x^4)}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 2 - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} = 1 \\ 2 = 1 + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 1 = \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 4 = \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4(x^8 - x^4)^3 = x^4 \\ 4(x^8 - x^4)^3 - x^4 = 0$$
E se isso não te provar que é ridículo isso ser solução geral pra equação, sugiro trocar o curso pra bacharel em matemática. De qualquer forma, um breve resumo informal do porque não é solução geral é que x a oitava vai ser sempre positivo então mesmo se por algum motivo mágico os x a quarta se anulassem, sobraria x^24 (x^8 garantidamente vai se multiplicar 3 vezes) positivo que, pra dar 0, só sendo x = 0.
c) Outro horrível
$$y = \sqrt{x^8 - x^4} \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4]^{1/2} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (x^8 - x^4)^{-1/2} \times (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^2} \\ (4x^7 - 2x^3) = 2 + \dfrac{x^3}{(x^8 - x^4)^2} \\ \dfrac{(4x^7 - 2x^3)}{(x^8 - x^4)} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ \dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4 - 2 = \dfrac{2x(x^8 - x^4)^2 + x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\ \dfrac{2x}{(x^8 - x^4)} + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\
2x + x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 \\
x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 - 2x \\
x^4 = (2x^8 - 2x^4 - 2x)(x^{16} - 2x^{12} + x^8) \\
x^4 = (2x^{24} - 4x^{20} + 2x^{16} - 2x^{20} + 4x^{16} - 2x^{12} - 2x^{17} + 4x^{13} - 2x^9) \\
x^4 = 2x^{24} - 6x^{20} - 2x^{17} + 6x^{16} + 4x^{13} - 2x^9$$

Desnecessário dizer, a igualdade é falsa, logo não é solução.
d) A esperança
$$y = \sqrt[4]{(x^8 - x^4)} \\ \dfrac{d}{dx} [(x^8 - x^4)^{1/4}] = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/4}} = \dfrac{1}{4} (x^8 - x^4)^{-3/4} (8x^7 - 4x^3) \\ 2x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x} = 2x^7 - 2x^3 + x^3 = 2x^7 - 4x^3$$
E se as igualdades batem, a letra d é solução da equação. Ufa?

5. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y'' - xy' + y = 0?
a) y = x²
Felizmente muito mais fácil, né. Vejamos:
(x²)'' - x(x²)' + x² = (2x)' - x(2x) + x² = 2 - 2x² + x² = 2 - x²
O que não configura solução da equação.
b) y = x
(x)'' - x(x)' + x = (1)' - x(1) + x = 0 - x + x = 0
Logo, é solução.
c) y = 1 - x²
(1 - x²)'' - x(1 - x²)' + (1 - x²) = (-2x)' - x(-2x)' + 1 - x² = -2 + 2x² + 1 - x² = -1 + x²

O que não é solução.
d) y = 2x² - 2
(2x² - 2)'' - x(2x² - 2)' + (2x² - 2) = (4x)' - x(4x) + 2x² - 2 = 4 - 4x² + 2x² - 2 = 2 - 2x²

O que não é solução.
e) y = 0
(0)'' - x(0) + 0 = 0 - 0 + 0 = 0

É solução.

6. Solução de A.
$$A = x'' + 4x' + 4x = e^t$$

Essa é chatíssima, não recomendo. Mas é fácil, veja:
$$a) x = e^t \\ (e^t)'' + 4(e^t)' + 4e^t = (e^t)' + 4e^t + 4e^t = e^t + 4e^t + 4e^t = 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$b) x = e^{2t} \\ (e^{2t})'' + 4(e^{2t})' + 4e^{2t} = 2(e^{2t})' + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 4e^{2t} + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 16e^{2t} \neq e^{2t}$$
Logo, não é solução.
$$c) x = e^{2t} + e^t \\ (e^{2t} + e^t)'' + 4(e^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + e^t) = (2e^{2t} + e^t)' + 4(2e^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 4e^t = \\ (4e^{2t} + e^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4e^{2t} + 4e^t = 12e^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
$$d) x = te^{2t} + e^t \\ (te^{2t} + e^t)'' + 4(te^{2t} + e^t)' + 4(te^{2t} + e^t) = \\ (e^{2t} + 2te^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + 2te^{2t} + e^t) + 4te^{2t} + 4e^t = \\ (2e^{2t} + 2e^{2t} + 4te^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 8te^{2t} + 4e^t + 4te^{2t} + 4e^t = \\ 8e^{2t} + 16te^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$e) x = e^{2t} + te^t \\ (e^{2t} + te^t)'' + 4(e^{2t} + te^t)' + 4(e^{2t} + te^t) = \\ (2e^{2t} + e^t + te^t)' + 4(2e^{2t} + e^t + te^t) + 4e^{2t} + 4te^t = \\ (4e^{2t} + e^t + e^t + te^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4te^t + 4e^{2t} + 4te^t = \\ 16e^{2t} + 6e^t + 9te^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.

7. Determine c de modo que y(x) = c(1-x²) satisfaça a condição:
a) y(0) = 1

É só substituir y e x. y, no caso, por 1; x, no caso, por 0. Não tem segredo:
1 = c(1-0²) = c, logo c = 1
b) y(1) = 0
$$0 = c(1-1^2) \\ c = \dfrac{0}{0}$$

Logo c é indeterminado.

8. Especifique c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x) satisfaça as condições indicadas. Determine se tais condições são condições iniciais ou de contorno.
a) y(0) = 1; y'(0) = 2

É só substituir, também.
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 1 \\ y(0) = c_2 = 1$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 2 \\ y'(0) = c_1 = 2$$
Todos os valores de x usados são o mesmo, as condições são iniciais.
$$b) y(\dfrac{\pi}{2}) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 2 \\ y = c_1 \sin{\dfrac{\pi}{2}} + c_2 \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 1 \\ y = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = 2 \\  y'(\dfrac{\pi}{2}) = -c_2 = 2 \\ c_2 = -2$$
Condições iniciais pelo mesmo motivo.
 $$c) y(0) = 1, y(\dfrac{\pi}{2}) = 1$$
Pro y(0) é só você repetir o processo que fez na letra A. Pro y(pi/2) só repetir o que fez na B.
Aí você encontra que c2 = 1 e c1 = 1.
Quanto a condição: os valores de x diferem, então é condição de contorno.
$$d) y'(0) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 1 \\ y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = -c_2 = 1 \\ c_2 = -1$$
Pelo mesmo motivo da anterior ele usa condições de contorno.

Queda Livre para Exame - Cálculo Diferencial e Integral III

Ok, me ofereceram uma bolada de 150 dólares pra esquecer um pouco as férias e curtir cálculo III com a galera que ficou de exame, então aqui estou eu. O pedido foi queda livre, então peguei os... três exercícios do livro sobre queda livre pra resolver aqui detalhadamente pra vocês.
Como de costume, ressaltarei no final. Mas estudem bastante o primeiro, o segundo é deveras desnecessário do ponto de vista de uma prova de cálculo, e o terceiro será apenas no caso de ele querer usar queda livre como exam killer.

1. Deixa-se cair um corpo de 10 "slugs" de massa de uma altura de 1000 pés sem velocidade inicial. A resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo. Se a velocidade limite é 320 pés/s, determine:
a) uma expressão para a velocidade no instante t;
b) o tempo necessário para o corpo atingir a velocidade de 160 pés/s.
Ok, galera. Queda livre é um negócio menos complicado do que parece. Vamos começar lá do princípio, puxar a equação pelo esqueleto dela, e aí começamos a trabalhar porque aí dá pra entender bem. A equação usada aqui é:

$$F_g = ma + Kv$$
Sendo Fg a força da gravidade, m a massa do objeto, a a aceleração, K uma pequena proporcionalidade da resistência do ar e v a velocidade. Podemos igualar F a mg, ficando assim:
$$mg = ma + Kv$$
Passamos m dividindo tudo:
$$g = a + K \dfrac{v}{m}$$
Ok, mais uma consideração: quando a resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo, temos que aquela constante K é definida pela razão entre o peso (massa vezes aceleração da gravidade) e a velocidade inicial. Difícil de entender? Seguinte:
$$K = \dfrac{mg}{v_0}$$
Sempre quando o exercício disser "A resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo".
Substituindo isso na equação temos:
$$g = a + \dfrac{mg}{v_0} \times \dfrac{v}{m} = a + \dfrac{gv}{v_0}$$
Sendo assim, a equação está quase pronta pra gente trabalhar nela. Falta uma única consideração antes de jogar os valores constantes: note que a aceleração a é a derivada da velocidade com relação ao tempo, logo:
$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{gv}{v_0} = g$$
Agora sim temos uma equação diferencial bonita e gostosa de se trabalhar. Ao jogar os valores, só precisamos fazer uma consideração: no sistema de medidas utilizado no exercício (slugs, pés, etc.) a gravidade se dá por 32.2 pés/s², que o exercício nos dá a colher de chá pra arrendondar pra 32 pés/s². Logo, jogamos tudo o que o exercício nos dá:
$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{32}{320} v = 32 \\ \dfrac{dv}{dt} + 0.1v = 32$$
Resolvendo a equação diferencial usando o método do fator integrante:
$$I(t, v) = e^{\int 0.1 dt} = e^{0.1t}$$
$$e^{0.1t} [\dfrac{dv}{dt} + 0.1v] = 32e^{0.1t} \\ \dfrac{d}{dt} [ve^{0.1t}] = 32e^{0.1t}$$
Integrando dos dois lados:
$$ve^{0.1t} = 32 \dfrac{e^{0.1t}}{0.1} + C = 320e^{0.1t} + C$$
Isolando v:
$$v = 320 + Ce^{-0.1t}$$

Agora vamos analisar as informações que o exercício nos dá pra determinar a constante C: ele nos diz que não há velocidade inicial, o que indica que a velocidade inicial é 0. Logo, quando t = 0, v = 0. Podemos usar isso na equação:
$$v(0) = 320 + Ce^0 = 0 \\ 320 + C = 0 \\ C = -320$$
Sendo assim:
$$v = 320 - 320e^{-0.1t}$$

Essa é a resposta da letra a, que pede uma expressão para a velocidade no instante t. Como vê, a única variável da equação é t, o que indica que chegamos no melhor estado possível pra equação.
Tendo essa equação, no entanto, fica fácil resolver a letra b, que pede o tempo necessário para o corpo atingir 160 pés/s. Só substituir v por 160 e isolar t. Veja:
$$V(t) = 320 - 320^{-0.1t} = 160 \\ 320e^{-0.1t} = 320 - 160 = 160 \\ e^{-0.1t} = 0.5 \\ -0.1t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.1} = 6.93$$
Ou seja, o tempo necessário é de 6.93 segundos. Resolvido o primeiro exercício.

2. Lança-se um corpo de massa m verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Supondo nula resistência do ar, determine:
a) a equação do movimento no sistema de coordenadas da figura;
b) uma expressão para a velocidade do corpo no instante t;
c) o instante tm em que o corpo atinge altura máxima;
d) uma expressão para a posição do corpo no instante t;
e) a altura máxima atingida pelo corpo.
Vamos reconsiderar a equação que elaboramos anteriormente:

$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{Kv}{m} = g$$
Veja bem, o exercício nos dá uma ajudinha aqui: "supondo nula resistência do ar". Resistência do ar nula indica que a constante K é 0. E outra consideração relevante é o fato do corpo estar sendo lançado verticalmente para cima, sendo assim a gravidade se opõe a ele e numa análise vetorial mais complexa chegaríamos à inversão de sinais de g.
Mas olha, vamos apenas usar a lógica básica: no outro exercício o objeto tava descendo então g era positivo, nesse ele está subindo então g é negativo. Simples assim.
Logo:
$$\dfrac{dv}{dt} = -g$$

Essa é a resposta pra letra a. Para as outras vamos chegar através de integrais a todas as equações que nos jogaram no ensino médio. Veja bem, a letra b pede a velocidade do corpo no instante t. Se temos dv/dt, só integrar:
$$v = \int \dfrac{dv}{dt} dt = \int -g \\ v = -gt + C$$
Temos que a velocidade inicial (t = 0) é v0, então façamos essa substituição:
$$v(0) = C = v_0$$
Sendo assim:
$$v = v_0 - gt$$

Para determinar o instante tm aonde a altura é máxima, temos que usar aquele princípio básico de equação de segundo grau. Lembra? Máximos e mínimos. O valor máximo de uma parábola com concavidade pra baixo é descoberto ao igualar a derivada da função a 0. A função, no caso, é a posição. Ou seja:
$$\dfrac{ds}{dt} = 0$$
Sabemos pelas leis fundamentais da mecânica que a velocidade é a derivada da posição, logo usamos a equação que descobrimos anteriormente:
$$\dfrac{ds}{dt} = v_0 - gt \\ v_0 - gt = 0$$
Agora vamos fazer o seguinte: já que não temos valores constantes pra colocar aí, vamos isolar t e criar uma equação pra isso. É suficiente.
$$gt = v_0 \\ t = \dfrac{v_0}{g}$$

O outro exercício nos pede uma expressão para posição. Raciocínio lógico puro. Se a velocidade é a derivada da posição, a posição é a integral da velocidade, sendo assim vamos integrar aquela equação que achamos para a letra b.
$$S = \int (v_0 - gt) dt = v_0 t - g(\dfrac{1}{2} t^2) + C = v_0 t - \dfrac{gt^2}{2} + C$$
Temos que a posição inicial é 0. Logo, (t = 0, v = 0). Jogando os valores:
$$S(0) = 0v_0 - \dfrac{0g}{2} + C = 0 \\ C = 0$$
E a equação final é:
$$S = V_0 t - \dfrac{gt^2}{2}$$

E o último pede a altura máxima, não o tempo necessário pra ela. Mas bem, se temos o tempo necessário pra ela, é só substituir t pelo tm que descobrimos na letra c.
$$S_{max} = V_0 \dfrac{V_0}{g} - \dfrac{g}{2} (\dfrac{V_0}{g})^2 = \dfrac{V_0^2}{g} - \dfrac{gV_0^2}{2g^2} = \dfrac{V_0^2}{g} - \dfrac{V_0^2}{2g} = \dfrac{V_0^2}{2g}$$

E enfim está tudo resolvido. Parece meio confuso a parte de máximo e tal, mas duvido bastante que isso vá cair na prova, é só pra ter queda livre dissecada passo a passo.

3. Um corpo de 1 "slug" de massa é solto no espaço com velocidade inicial de 1 pé/s, e encontra uma resistência do ar dada exatamente por -8v². Determine a velocidade no instante t.
Parece o exercício mais fácil, mas é muito mais difícil que o primeiro também. Devido ao fato do corpo ser lançado no espaço, temos que estabelecer uma força com relação ao corpo, e não à gravidade. Assim:
$$F_c = F_g - 8v^2 \\ ma = mg - 8v^2 \\ m \dfrac{dv}{dt} = mg - 8v^2$$
Substituindo os valores que temos:
$$1 \dfrac{dv}{dt} = 1 \times 32 - 8v^2 = 32 - 8v^2$$
Ok, e agora? Fator integrante? Não. Não temos a equação no formato de fator integrante, o que vamos fazer é "brincar" com ela um pouquinho com aquele método distributivo que aprendemos lá no começo.
$$dv = (32 - 8v^2)dt \\ \dfrac{dv}{32 - 8v^2} = dt \\ \dfrac{dv}{32 - 8v^2} - dt = 0$$
Integrando toda a equação temos:
$$\int \dfrac{1}{32 - 8v^2} dv - \int dt = C$$
A segunda é fácil, a primeira vamos usar a ajuda das nossas boas calculadoras porque usa um método horrível. É muito duvidoso que caia algo do tipo na prova, então é só pra passar isso logo e ir pra parte que interessa mais: o resultado.
$$(\dfrac{1}{32} [\ln{|v + 2|} - \ln{|2 - v|}]) - t = C$$
Usando mais propriedades (lnA - lnB = lnA/lnB) pra simplificar o que queremos:
$$\dfrac{1}{32} [\ln{|\dfrac{2 + v}{2 - v}|}] = C + t \\ \ln{|\dfrac{2 + v}{2 - v}|} = 32C + 32t = K + 32t \\ \dfrac{2 + v}{2 - v} = e^{K + 32t}$$
Uma das respostas do livro chega nesse formato. A outra é v isolado bonitinho. Quem quiser isolar completamente v, tem essa saída brincando com álgebra até cansar (vou chamar convenientemente K + 32t de x).
A princípio, jogamos o 2 pro outro lado:
$$\dfrac{v}{2 - v} = e^x - \dfrac{2}{2 - v}$$
Depois multiplicamos os dois lados por 2-v pra deixar v sozinho:
$$v = e^x (2 - v) - \dfrac{2(2 - v)}{2 - v} = (2e^x) - ve^x - 2$$
Então passamos ve^x pro outro lado de novo, porque vamos fazer um jogo de fatoração bem interessante:
$$v + ve^x = 2e^x - 2$$
Fatorando:
$$v(1 + e^x) = 2e^x - 2$$
Isolando v:
$$v = \dfrac{2e^x - 2}{e^x + 1} = 2 \times \dfrac{e^{K + 32t} - 1}{e^{K + 32t} + 1}$$
Agora, claro, vamos descobrir o valor de K. Que aliás usaremos a seguinte propriedade:
$$e^{K + 32t} = e^K \times e^{32t} = xe^{32t}$$
Ou seja: descobriremos x. Muito mais fácil.
Sabemos que a velocidade inicial é 1, logo, quanto t = 0, v = 1. Então:
$$v(0) = \dfrac{2x e^0 - 2}{x e^0 + 1} = 1 \\ \dfrac{2x - 2}{x + 1} = 1 \\ 2x - 2 = x + 1 \\ 2x - x = 1 + 2 \\ x = 3$$
Sendo assim, as equações finais ficam, a seu critério, ou:
$$\dfrac{2 + v}{2 - v} = 3e^{32t}$$
Ou:
$$v = \dfrac{6e^{32t} - 2}{3e^{32t} + 1} = 2 \dfrac{(3e^{32t} - 1)}{(3e^{32t} + 1)}$$
E isso é tudo que o Bronson mais antigo tem sobre queda livre. Recomendo mesmo estudarem o primeiro se for cair novamente, os outros dois são muito mais complexos e duvido bastante que ele vá soltar na prova... Mas deixei aqui porque, se vocês entenderam os três, vocês dominaram a matéria e não passarão necessidade na prova de forma alguma.

Bons estudos, galera. Qualquer coisa é só me dar um toque.

Lista VI - Cálculo Diferencial e Integral III

Bem, essa lista (ou essas páginas) são todinhas de resolução de equações diferenciais com o uso do fator integrante. Nenhuma aplicação, nada, só a resolução pura. Bom pra treinar inicialmente.

1.
$$y' - 7y = e^x$$
Se pensarmos no formado y' + p(x)y = q(x), temos que p(x) é -7. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x}$$
Multiplicando o fator integrante dos dois lados:
$$e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \times e^{x} = e^{-6x}$$
Aplicando a propriedade I(x, y) * [y' - 7y] = d[I(x, y) * y]/dx, fica:
$$\dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = e^{-6x}$$
Integrando os dois lados:
$$e^{-7x} \times y = \int e^{-6x}dx = -\dfrac{1}{6} e^{-6x} + C$$
Isolando y:
$$y = -\dfrac{e^{-6x}}{6 e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = - \dfrac{1}{6 e^{-x}} + Ce^{-7x} = - \dfrac{1}{6} e^x + Ce^{7x}$$

2.
$$y' -  7y = 14x$$
p(x) = -7, assim como no exercício anterior. Sendo assim, vamos apenas repetir os passos de antes:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = 14x \times e^{-7x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = 14x \times e^{-7x}$$
$$e^{-7x} \times y = \int 14x \times e^{-7x} dx = \\ 14 \int xe^{-7x} dx = 14 [x(\dfrac{e^{-7x}}{-7}) - \int \dfrac{e^{-7x}}{-7} \times 1 dx] = \\ 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} + \dfrac{1}{7} \dfrac{e^{-7x}}{-7}] = 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} - \dfrac{e^{-7x}}{49}] = \\ 2xe^{-7x} - \dfrac{2}{7} e^{-7x} + C$$
$$y = \dfrac{-2xe^{-7x}}{e^{-7x}} - \dfrac{2e^{-7x}}{e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = -2x - \dfrac{2}{7} + Ce^{7x}$$
Foi usado o conceito de integral por partes aqui, presumo que estejam familiarizados.

3.
$$y' - 7y = \sin{2x}$$
p(x) continua sendo o mesmo.
$$I(x, y) = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \sin{2x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} y] = e^{-7x} \sin{2x}$$
Pela existência de um número de Euler e um seno ambos no mesmo grau, já dá pra se presumir que haverá uma integral ciclica. E sim, haverá, aí vem:
$$e^{-7x} y = \int e^{-7x} \sin{2x} dx = e^{-7x} (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) - \int (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \cos{2x} dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [e^{-7x} (\dfrac{\sin{2x}}{2}) - \int (\dfrac{\sin{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [\dfrac{1}{2} e^{-7x} \sin{2x} + \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \sin{2x} dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x} - \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
Como essa é a volta ao ciclo inicial, só jogar pro outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx + \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{53}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
E jogar a fração de volta dividindo tudo o que está do outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{4}{53} [-\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x}] = \\ -\dfrac{4}{106} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{28}{212} e^{-7x} \sin{2x} = \\ -\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C$$
Ok, ok, é esse o resultado da integral. Mas ainda precisamos passar o número de Euler dividindo:
$$y = \dfrac{1}{e^{-7x}}[-\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C] \\ = -\dfrac{2}{53} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} \sin{2x} + Ce^{7x}$$
Complicadinha, mas resolvida.

4..
$$y' + x^2 y = x^2$$
p(x) agora é x², logo:
$$I(x, y) = e^{\int x^2 dx} = e^{x^3/3} \\ e^{x^3/3} [y' + x^2 y] = e^{x^3/3} x^2 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^3/3} y] = e^{x^3/3} x^2$$
Integrando dos dois lados:
$$e^{x^3/3} y = \int e^{x^3/3} x^2 dx = \int e^u x^2 \dfrac{du}{\dfrac{3x^2}{3}} = \int e^u du = e^u + C = e^{x^3/3} + C$$
Passando número de Euler pro outro lado:
$$y = \dfrac{e^{x^3/3}}{e^{x^3/3}} + \dfrac{C}{e^{x^3/3}} = 1 + Ce^{-x^3/3}$$

5.
$$y' + \dfrac{2}{x} y = x; y(1) = 0$$
Agora há um diferencial: tem um valor inicial dado pra gente descobrir C, mas fora isso é igual todas as outras. Primeiro, como todas as outras, vamos resolver a parte que não precisa jogar valor:
p(x), como visto, é 2/x. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int \dfrac{2}{x} dx} = e^{2 \int \dfrac{1}{x} dx} = e^{2 ln|x|} = e^{ln|x^2|} = x^2$$
Multiplicando os dois lados:
$$x^2 [y' + \dfrac{2}{x} y] = x^2 x \\ \dfrac{d}{x} [yx^2] = x^3$$
Integrando os dois lados:
$$yx^2 = \dfrac{x^4}{4} + C$$
Isolando y:
$$y = \dfrac{x^4}{4x^2} + \dfrac{C}{x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{C}{x^2}$$
Agora sim. Temos que, quando x é 1, y é 0. Então vamos substituir os valores e isolar C:
$$0 = \dfrac{1}{4} \times 1^2 + \dfrac{C}{1^2} = \dfrac{1}{4} + C \\ C = -\dfrac{1}{4}$$
Substituindo C na equação final:
$$y = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4} x^{-2} = \dfrac{1}{4} [x^2 - x^{-2}]$$

6.
$$y' + 6xy = 0; y(\pi) = 5$$
Obviamente, p(x) = 6x. Então:
$$I(x, y) = e^{\int 6x dx} = e^{3x^2} \\ e^{3x^2} [y' + 6xy] = 0 \\ \dfrac{d}{x} [e^{3x^2} y] = 0 \\ e^{3x^2} y = C \\ y = \dfrac{C}{e^{3x^2}} = Ce^{-3x^2}$$
Jogando os valores:
$$Ce^{-3\pi^2} = 5 \\ \dfrac{C}{e^{3\pi^2}} = 5 \\ C = 5e^{3\pi^2}$$
E é isso aí mesmo, o livro não fica arredondando então não tem pra que a gente fazer isso. Só substituir:
$$y = 5e^{3\pi^2} \times e^{-3x^2} = 5e^{3(\pi^2 - x^2)}$$
E pra ficar da mesma maneira do livro, invertemos os sinais lá em cima só:
$$y = 5e^{-3(x^2 - \pi^2)}$$

7.
$$y' - \dfrac{3}{x^2}y = \dfrac{1}{x^2}$$
p(x) fica -3/x², assim:
$$I(x, y) = e^{\int -3/x^2} = e^{3/x} \\ e^{3/x} [y' - \dfrac{3}{x^2}y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{3/x} y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ e^{3/x} y = \int \dfrac{e^{3/x}}{x^2} dx = \int \dfrac{e^u}{x^2} \dfrac{dx}{\dfrac{-3}{x^2}} = \dfrac{-1}{3} e^u = \dfrac{-1}{3} e^{3/x} + C \\ y = -\dfrac{1}{3} + Ce^{-3/x}$$

8.
$$y' = \cos{x}$$
Não entendi ao certo porque essa questão tá aqui, mas pela praticidade vamos só integrar por favor:
$$\dfrac{dy}{dx} = \cos{x} \\ y = \int \cos{x} dx = \sin{x} + C$$

9.
$$y' + 2xy = 2x^3; y(0) = 1$$
p(x) é facilmente identificável como 2x.
$$I(x, y) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2} \\ e^{x^2} [y' + 2xy] = e^{x^2} 2x^3 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^2} y] = e^{x^2} 2x^3 \\ e^{x^2} y = \int e^{x^2} 2x^3 dx$$
Essa integral é massa. Não, sério. O truque que vou fazer aqui é muito bom, milagre da lógica: vamos chamar x² de u pra ver no que vai dar:
$$\int e^u u 2x dx$$
Eita... Agora notem o seguinte: deriva x² pra ver no que dá. 2x, certo? Não bate com o que sobrou ali? Podemos então chamar 2xdx de du. Fica assim:
$$e^{x^2} y = \int e^u udu = u e^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C = x^2 e^{x^2} - e^{x^2} + C \\ y = x^2 - 1 + Ce^{-x^2}$$
Jogando os valores:
$$y(0) = 0 - 1 + Ce^0 = 1 \\ -1 + C = 1 \\ C = 1+1 = 2$$
E substituindo C:
$$y = x^2 - 1 + 2e^{-x^2}$$

O resto eu até consegui resolver, mas foi de uma metodologia estranha usando tangente hiperbólica e coisa pior ainda que foi só usando calculadora mesmo, não entendi nada. Então deixo pra vocês até aqui mesmo, já em seguida vou botar os exercícios de aplicação que consegui.
Bom dia a todos!

Aula VII - Cálculo Diferencial e Integral III

Aplicações de equações diferenciais

Variação de temperatura

Equação de Newton:
$$\dfrac{dT}{dt} = -K(T - T_m)$$
Resfriamento:
$$T > T_m \\
\dfrac{dT}{dt} < 0$$
Aquecimento:
$$T_m > T \\
\dfrac{dT}{dt} > 0$$
Agora perceba que:
$$T' = -K(T - T_m) \\
T' = -KT + KT_m \\
T' + KT = KT_m$$
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.

Exemplo:
Um corpo à temperatura inicial de 50°F é colocado ao ar livre onde a temperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) t para T = 75°F.
b) T para t = 20 minutos.
Primeiro, vamos trabalhar na equação da variação de temperatura:
$$T' + KT = KT_m$$
A única informação estável que a temperatura do ambiente é cravada 100°F. Inclusive podemos jogar isso na equação pra facilitar bastante nossa vida:
$$T' + KT = 100K$$
Vamos resolver a partir do fator integrante:
$$y' + p(x)y = g(x)$$
Perceba que y' no caso é T', y é T, p(x) que vira p(K) acaba sendo K e g(x) que vira g(K) é 100K. Vamos jogar então na equação do fator integrante:
$$I(t, T) = e^{\int K dt} = e^{Kt}$$
Multiplicando os dois lados:
$$e^{Kt}[T' + KT] = e^{Kt}*100K$$
Trocando a primeira expressão pela derivada d[y * I(x, y)]/dx, que nesse caso é d[T * I(t, T)]/dt, ficamos com:
$$\dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}] = 100Ke^{Kt}$$
Integrando os dois lados:
$$\int \dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}]dt = \int 100Ke^{Kt} dt \\
Te^{Kt} = 100 \int Ke^u \dfrac{du}{K} = 100e^{Kt} + C \\
T = 100 \dfrac{e^{Kt}}{e^{Kt}} + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
Para calcular essa constante C, temos a informação de que a temperatura inicial é de 50°F. Vai ser útil usar a temperatura inicial porque aí podemos anular K, que ainda não temos, já que o tempo inicial é por padrão 0 minutos.
$$t = 0, T = 50°F \\
50 = 100 + Ce^0 = 100 + C \\
C = 50 - 100 = -50 \\
T = 100 - 50e^{-Kt}$$
E agora, para descobrir K, temos a informação de que a temperatura após 5 minutos é 60°F. Vamos jogar esses termos na equação e o que sobra é só K:
$$t = 5, T = 60°F \\
60 = 100 - 50e^{-5K} \\
50e^{-5K} = 100 - 60 = 40 \\
e^{-5K} = \dfrac{40}{50} = 0.8 \\
\ln{|e^{-5K}|} = \ln{|0.8|} \\
-5K \approx -0.22314 \\
K = \dfrac{-0.223}{-5} \approx 0.045$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 50e^{-0.045t}$$

Agora, vamos resolver a letra A, que pede o tempo quando a temperatura é de 75°F. Só jogar na equação:
$$75 = 100 - 50e^{-0.045t} \\
50e^{-0.045t} = 100-75 = 25 \\
e^{-0.045t} = \dfrac{25}{50} = 0.5 \\
\ln{|e^{-0.045t}|} = \ln{|0.5|} \\
-0.045t \approx -0.693 \\
t = \dfrac{-0.693}{-0.045} \approx 15.4$$
Ou seja, aproximadamente em 15.4 minutos a temperatura do corpo fica a 75°F.

A letra B te dá um tempo de 20 minutos e te pede a temperatura. É ainda mais simples, veja bem:
$$T = 100 - 50e^{-0.045*20} = 100 - \dfrac{50}{e^{0.9}} \approx 100 - \dfrac{50}{2.46} \approx 100 - 20.32 = 79.68°F$$
E está resolvido o exercício.

Crescimento e Decrescimento Populacional

Como a equação de Newton, o crescimento populacional acaba se tornando uma equação diferencial que usa fator integrante. A fórmula que determina isso basicamente é:

$$\dfrac{d}{dt} N(t) = KN$$

O que implica em:

$$N' - KN = 0$$

Não nos foi passado nada além disso, se não me engano, apenas a página com a definição completa e exercícios pra resolver logo em seguida. Quando eu for postar as novas listas (alguém me lembra de falar com o professor por favor!) eu pego bastante no pé de explicar isso melhor. O post foi mais pra explicar a parte de variação de temperatura mesmo, que tem uma série de exercícios a entregar a respeito.

De qualquer forma, bom dia a todos. :)

Aula VI - Cálculo Diferencial e Integral III

Fator integrante

Em qual a equação diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 não é exata, por vezes é possível transformar a equação 1 em uma equação exata, mediante multiplicação de um fator adequado.

Exemplo 1:
Verifique se o termo abaixo é fator integrante da equação diferencial ydx - xdy = 0.
$$\dfrac{-1}{x^2}$$
Chamamos ydx de M e xdy de N. Percebamos que a igualdade abaixo não é real:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$
Já que:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = -1$$
E 1 é diferente de -1. Então temos uma equação diferencial não-exata.
Agora imagine que multiplicamos aquele termo dado por toda a equação diferencial, assim:
$$\dfrac{-1}{x^2} * ydx - \dfrac{-1}{x^2} * xdy = \dfrac{-y}{x^2}dx + \dfrac{1}{x}dy = 0$$
Vamos confirmar isso derivando ambos termos novamente e vendo se dão o mesmo resultado:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} [\dfrac{-y}{x^2}] = \dfrac{-1}{x^2} \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} [\dfrac{1}{x}] = \dfrac{-1}{x^2}$$
Como vê, o mesmo resultado. Agora se tornou exata.

Equação diferencial de primeira ordem

Definição: y' + p(x)y = q(x)

I(x, y) da equação acima é:

$$e^{\int p(x)dx}$$

Método de resolução:

Multiplique a primeira equação por I(x, y). O lado esquerdo da equação resultante será:

$$\dfrac{d}{dx} [y, I(x, y)]$$

A solução vem da integral dos dois lados da equação.

Exemplo 2:

Resolução de y' - 2xy = x.

A equação está diretamente no modelo apresentado agora pouco: y' + p(x)y = q(x)

Aonde p(x) é (-2x) e q(x) é x. Vamos então descobrir esse fator integrante:
$$I(x, y) = e^{\int p(x)dx} = e^{\int (-2x)dx} = e^{-x^2}$$

Descoberto esse termo, vamos multiplicar os dois lados da equação por ele:

$$e^{-x^2}[y' - 2xy] = e^{-x^2}x$$

Isso por padrão se transforma em:

$$\dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}] = e^{-x^2}x$$

Agora é só jogar a integral dos dois lados:

$$\int \dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}]dx = \int e^{-x^2}xdx \\ ye^{-x^2} = \int e^u x \dfrac{du}{-2x} = \dfrac{1}{-2} e^u + C = -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C \\ y = -\dfrac{1}{2} \dfrac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}} + \dfrac{C}{e^{-x^2}} \\ y = Ce^{x^2} - \dfrac{1}{2}$$

Me perdoem pelo atraso, eu simplesmente tinha esquecido que a gente está tendo conteúdo postável e tava postando todas as listas de cálculo, só no final de semana passado que me caiu a ficha! Mas está aí. Vou ver se posto mais outra aula (a de variação de temperatura) ainda hoje, a de circuitos provavelmente vai ficar pra próxima.

Bom dia a todos.

Lista III - Cálculo Diferencial e Integral III

De longe a mais fácil das listas, mas uma das mais úteis. É a primeira de equações diferenciais e trabalha só com classificação, que é essencial.

Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais:
a) ordem
b) grau (se possível)
c) linearidade
d) função incógnita
e) variável independente


1.
$$(y'')^2 - 3yy' + xy = 0$$
a) Segunda ordem. Essa é bem simples: o primeiro y é derivado duas vezes, e ninguém deriva mais que ele.
b) Segundo grau. O y que é derivado mais vezes está elevado ao quadrado.
c) Não-linear. Pra ser linear a equação precisa, já de cara, ser de primeiro grau.
d) y. Note que o y está sendo derivado, ou seja, ele é a função em questão.
e) x. Nada indica que ele é uma função incógnita.

2.
$$x^4 y^{(4)} + xy''' = e^x$$
a) Quarta ordem. Se o "expoente" do y está entre parênteses, indica que ele está sendo derivado, não elevado a alguma coisa.
b) Primeiro grau. Nenhuma vez y foi elevado a alguma coisa.
c) Linear, o argumento é o mesmo de definir o grau.
d) y. É quem está sendo derivado.
e) x. Mesmos motivos da 1.

3.
$$t^2 \ddot{s} - t \dot{s} = 1 - \sin{t}$$
a) Segunda ordem. A função s que mais é derivada está sendo derivada duas vezes.
b) Primeiro grau. Mesmos motivos da 2.
c) Linear.
d) s. Quem está sendo derivado.
e) t.

4.
$$y^{(4)} + xy''' + x^2 y'' - xy' + \sin{y} = 0$$
a) Quarta ordem. Essa funciona igual a 2.
b) Indefinido. Não há como definir grau nenhum se a função incógnita está dentro de uma função trigonométrica ou logarítmica.
c) Não-linear. Se ela não é de primeiro grau, questão encerrada.
d) y.
e) x.

5.
$$\dfrac{d^n x}{dy^n} = y^2 + 1$$
a) n-ésima ordem. Oras, a função x está sendo derivada n vezes.
b) Primeiro grau. A função x está elevada a 1 na única vez que aparece na equação.
c) Linear. É de primeiro grau.
d) x. Ao contrário da maioria, é a função x que está sendo derivada.
e) y. Nessa fica ainda mais claro, já que o modelo de derivada apresenta x sendo derivada com relação a y.

6.
$$(\dfrac{d^2 r}{dy^2})^2 + \dfrac{d^2 r}{dy^2} + y \dfrac{dr}{dy} = 0$$
a) Segunda ordem. Quando r é mais derivado, ele é derivado 2 vezes.
b) Segundo grau. A maior potência de quando r é derivado duas vezes é 2.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) r.
e) y.

7.
$$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{\frac{3}{2}} + y = x$$
a) Segunda ordem. É o número de vezes que y está sendo derivado quando é derivado.
b) Indefinido. Também não dá pra definir grau quando o expoente está fracionário.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) y.
e) x.

8.
$$(\dfrac{d^7 b}{dp^7}) = 3p$$
a) Sétima ordem. b é derivado SETE vezes nessa equação diferencial.
b) Primeiro grau. A potência da derivada de b é 1.
c) Linear. Se é de primeiro grau por causa de uma única derivada...
d) b
e) p

9.
$$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
a) Primeira ordem. b é derivado só uma vez.
b) Sétimo grau. Essa vez que b aparece, sendo derivado, tudo está elevado a sétima.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) b
e) p

UMA NOTA: não é sempre que uma equação diferencial é linear e de primeiro grau. Infelizmente o primeiro exercício que tivemos quando isso ocorre é na prova (virtual e presencial), então pra muita gente foi meio que chocante, mas... Existem casos em que a equação é de primeiro grau e não-linear. Note que pra definir o grau da equação diferencial você não pega o grau de qualquer função incógnita, e sim APENAS da função incógnita que está sendo derivada mais vezes.
No entanto, a linearidade não depende disso. Se você tem por exemplo uma função que é derivada oito vezes não elevada a nada, e outra função que é derivada uma vez só e é elevada ao cubo, você tem uma equação diferencial de primeiro grau, mas que não é linear porque a linearidade depende do expoente de todas as funções incógnitas.
Agora não aparecerão mais questões de classificação, acho. Mas você terá de classificar automaticamente para resolvê-las no futuro, então tome cuidado com isso.


Um bom dia a todos!

Aula V - Cálculo Diferencial e Integral III

Equações Diferenciais

- São equações que envolvem a função incógnita e suas derivadas. Exemplo:
$\dfrac{dT}{dt} = -K(T_c - T_m)$
Variável independente: t
Variável dependente: T

Equação Diferencial Ordinária: 1 variável independente
Equação Diferencial Parcial: 2 ou mais variáveis independentes
Exemplo de EDP:
$\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} - \dfrac{4\partial^2y}{\partial t^2} = 0$

Notação

$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dot{y}$
$y'' = \dfrac{d^2y}{dx^2} = \ddot{y}$
$y''', y^{(4)}, ...$

Classificação

 

Ordem

- A ordem de uma equação diferencial é a ordem da equação de maior ordem. Exemplo:
$\dfrac{d^2y}{dx^2} + 2\dfrac{dy}{dx} = e^x$
A equação de maior ordem é a primeira, que é de segunda ordem. Logo, essa é uma equação diferencial de segunda ordem.

 

Grau

- A maior potência da derivada de maior ordem. Exemplo:
$(\dfrac{dy}{dx})^2 - 3\dfrac{dy}{dx} = e^x$
As duas derivadas são da mesma ordem (1ª), enquanto a primeira derivada está elevada ao quadrado, o que configura em uma equação diferencial de segundo grau.

 

Linearidade 

Para que uma equação diferencial seja linear:
- A função incógnita e suas derivadas como de 1º grau;
- Cada coeficiente depende da mesma variável independente.
Exemplo de função que não é linear:
$y''' + y^2 = 0$
Note que a função y está elevada ao quadrado, assim tornando a equação de segundo grau, e não satisfazendo a primeira condição de uma equação diferencial linear.

Solução da Equação Diferencial

- É uma função y = f(x) a qual, juntamente com suas derivadas, satisfaz a equação dada. Exemplos:

Verifique se $y = x^2+5x$ é solução de $xy'' - y' + 5 = 0$.
Ok, esse exercício, como qualquer introdutório, é bem fácil: primeiro vamos descobrir as derivadas das duas ordens.
$y' = (x^{2})' + 5x' = 2x + 5$
$y'' = (2x+5)' = 2x' + 5' = 2 + 0 = 2$
E agora substituir na equação:
$x(2) - (2x+5) + 5 = 0$
$2x - 2x - 5 + 5 = 0$
$0 = 0$
Logo, a equação está satisfeita e o valor $y = x^2+5x$ é solução.

Verifique se, caso $y = \dfrac{1}{x^2+C}$, $y' = -2xy^2$.
Esse já é mais chatinho, mas calma, é só o final que tem um truquezinho básico. Só precisamos derivar, a princípio, veja:
$y' = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{x^2+c}) = \dfrac{d}{dx}(1*(x^2+c)^{-1}) = -(2x)*(x^2+c)^{-2}$
A quem não lembra o que foi feito aí, o que eu não acho difícil, puríssima regra da cadeia. Clássico do Cálculo I. A derivada da função de dentro, que fica 2x, vezes a derivada da função de fora, em que você trata a função de dentro como uma variável elevada a -1 e faz a regra do tombo com ele (cai -1, o expoente fica -2).
Agora, à manipulação:
$y' = -2x*(\dfrac{1}{x^2+c})^2$
Notem que tudo o que está elevado ao quadrado é o valor original de y, lá em cima, logo:
$y' = -2xy^2$

Os resultados batem, então sim, y e y' estão expressadas corretamente no enunciado.

E foi essa a última aula de cálculo. Espero que entendam bem esse início, porque EDO é o conteúdo que vamos carregar por esse cálculo e muito provavelmente por parte do próximo.