[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 1: classificações, soluções e valores iniciais e de contorno

1. Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente para cada uma das equações diferenciais dadas.

a) (y'') - 3yy' + xy = 0
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y, logo, y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x (não tem outra variável na equação), então, x.

b) t²s'' - ts' = 1 - sen(t)
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é s.
Variável independente: s está sendo derivada com relação a t.

c) $$\dfrac{d^2 x}{dy^2} = y^2 + 1$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é x.
Variável independente: x está sendo derivada com relação a y.

d) $$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{3/2} + y = x$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é y.
Variável independente: y está sendo derivada com relação a x.

e) $$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
Ordem: o termo mais derivado é derivado uma vez, logo primeira ordem.
Função incógnita: a função que está sendo derivada é b.
Variável independente: b está sendo derivada com relação a p.

2. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 5y = 0?
Só sair testando, o resultado tem que dar 0:

a) y = 5

(5)' - 5(5) = 0 - 25 = -25

Logo, não é solução.
b) y = 5x
(5x)' - 5(5x) = 5 - 25x
Logo, não é solução.
c)
$$y = x^5 \\ (x^5)' - 5(x^5) = 5x^4 - 5x^5 \neq 0$$
Logo, não é solução.
d)
$$y = e^{5x} \\ (e^{5x})' - 5(e^{5x}) = 5e^{5x} - 5e^{5x} = 0$$

Logo, é solução.
e)
$$y = 2e^{5x} \\ (2e^{5x})' - 5(2e^{5x}) = 2(5e^{5x}) - 10e^{5x} = 10e^{5x} - 10e^{5x} = 0$$

Logo, é solução.
f)
$$y = 5e^{5x} \\ (5e^{5x})' - 5(5e^{5x}) = 5(5e^{5x}) - 25e^{5x} = 25e^{5x} - 25e^{5x} = 0$$
Logo, é solução.

3. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 3y = 6?
a) y = -2

(-2)' - 3(-2) = 0 + 6 = 6

Logo, é solução.
b) y = 0
0' - 3(0) = 0 - 0 = 0
Logo, não é solução.
c)
$$y = e^{3x} - 2 \\ (e^{3x} - 2)' - 3(e^{3x} - 2) = 3e^{3x} - 3e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$

Logo, é solução.
d)
$$y = e^{2x} - 3 \\ (e^{2x} - 3)' - 3(e^{2x} - 3) = 2e^{2x} - 3e^{2x} + 9 = -e^{2x} + 9$$
Logo, não é solução.
e)
$$y = 4e^{3x} - 2 \\ (4e^{3x} - 2)' - 3(4e^{3x} - 2) = 12e^{3x} - 12e^{3x} + 6 = 0 + 6 = 6$$
Logo, é solução.

4. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial A?
$$A = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$

Essa é complicada. Vamos fazer o seguinte: está permitido passar os valores de um lado pro outro, se os dois lados se igualarem no final está certo. Então:
a) y = x
$$\dfrac{dx}{dx} = \dfrac{2x^4 + x^4}{x(x^3)} \\ 1 = \dfrac{3x^4}{x^4} = 3 \neq 1$$

Logo, não é solução.
b) Não sei se recomendo estudarem esse
$$y = x^8 - x^4 \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4] = \dfrac{2[x^8 - x^4]^4 + x^4}{x[x^8 - x^4]^3} \\ 8x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4)^4 + x^4}{x(x^8 - x^4)^3} \\ (8x^8 - 4x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8)(x^8 - x^4)^3 - 4(x^4)(x^8 - x^4)^3 = 2(x^8 - x^4)^4 + x^4 \\ 4(2x^8) - 4(x^4) = 2(x^8 - x^4) + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 2x^8 - x^4 = \dfrac{(x^8 - x^4)}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 2 - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} = 1 \\ 2 = 1 + \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 1 = \dfrac{x^4}{4(x^8 - x^4)^3} \\ 4 = \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4(x^8 - x^4)^3 = x^4 \\ 4(x^8 - x^4)^3 - x^4 = 0$$
E se isso não te provar que é ridículo isso ser solução geral pra equação, sugiro trocar o curso pra bacharel em matemática. De qualquer forma, um breve resumo informal do porque não é solução geral é que x a oitava vai ser sempre positivo então mesmo se por algum motivo mágico os x a quarta se anulassem, sobraria x^24 (x^8 garantidamente vai se multiplicar 3 vezes) positivo que, pra dar 0, só sendo x = 0.
c) Outro horrível
$$y = \sqrt{x^8 - x^4} \\ \dfrac{d}{dx} [x^8 - x^4]^{1/2} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (x^8 - x^4)^{-1/2} \times (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/2}} \\ \dfrac{1}{2} (8x^7 - 4x^3) = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^4}{x(x^8 - x^4)^2} \\ (4x^7 - 2x^3) = 2 + \dfrac{x^3}{(x^8 - x^4)^2} \\ \dfrac{(4x^7 - 2x^3)}{(x^8 - x^4)} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ \dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2(x^8 - x^4)^2 + x^3}{(x^8 - x^4)^3} \\ 4 - 2 = \dfrac{2x(x^8 - x^4)^2 + x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\ \dfrac{2x}{(x^8 - x^4)} + \dfrac{x^4}{(x^8 - x^4)^3} = 2 \\
2x + x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 \\
x^4/(x^8 - x^4)^2 = 2x^8 - 2x^4 - 2x \\
x^4 = (2x^8 - 2x^4 - 2x)(x^{16} - 2x^{12} + x^8) \\
x^4 = (2x^{24} - 4x^{20} + 2x^{16} - 2x^{20} + 4x^{16} - 2x^{12} - 2x^{17} + 4x^{13} - 2x^9) \\
x^4 = 2x^{24} - 6x^{20} - 2x^{17} + 6x^{16} + 4x^{13} - 2x^9$$

Desnecessário dizer, a igualdade é falsa, logo não é solução.
d) A esperança
$$y = \sqrt[4]{(x^8 - x^4)} \\ \dfrac{d}{dx} [(x^8 - x^4)^{1/4}] = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x(x^8 - x^4)^{3/4}} = \dfrac{1}{4} (x^8 - x^4)^{-3/4} (8x^7 - 4x^3) \\ 2x^7 - 4x^3 = \dfrac{2(x^8 - x^4) + x^4}{x} = 2x^7 - 2x^3 + x^3 = 2x^7 - 4x^3$$
E se as igualdades batem, a letra d é solução da equação. Ufa?

5. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y'' - xy' + y = 0?
a) y = x²
Felizmente muito mais fácil, né. Vejamos:
(x²)'' - x(x²)' + x² = (2x)' - x(2x) + x² = 2 - 2x² + x² = 2 - x²
O que não configura solução da equação.
b) y = x
(x)'' - x(x)' + x = (1)' - x(1) + x = 0 - x + x = 0
Logo, é solução.
c) y = 1 - x²
(1 - x²)'' - x(1 - x²)' + (1 - x²) = (-2x)' - x(-2x)' + 1 - x² = -2 + 2x² + 1 - x² = -1 + x²

O que não é solução.
d) y = 2x² - 2
(2x² - 2)'' - x(2x² - 2)' + (2x² - 2) = (4x)' - x(4x) + 2x² - 2 = 4 - 4x² + 2x² - 2 = 2 - 2x²

O que não é solução.
e) y = 0
(0)'' - x(0) + 0 = 0 - 0 + 0 = 0

É solução.

6. Solução de A.
$$A = x'' + 4x' + 4x = e^t$$

Essa é chatíssima, não recomendo. Mas é fácil, veja:
$$a) x = e^t \\ (e^t)'' + 4(e^t)' + 4e^t = (e^t)' + 4e^t + 4e^t = e^t + 4e^t + 4e^t = 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$b) x = e^{2t} \\ (e^{2t})'' + 4(e^{2t})' + 4e^{2t} = 2(e^{2t})' + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 4e^{2t} + 8e^{2t} + 4e^{2t} = 16e^{2t} \neq e^{2t}$$
Logo, não é solução.
$$c) x = e^{2t} + e^t \\ (e^{2t} + e^t)'' + 4(e^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + e^t) = (2e^{2t} + e^t)' + 4(2e^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 4e^t = \\ (4e^{2t} + e^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4e^{2t} + 4e^t = 12e^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
$$d) x = te^{2t} + e^t \\ (te^{2t} + e^t)'' + 4(te^{2t} + e^t)' + 4(te^{2t} + e^t) = \\ (e^{2t} + 2te^{2t} + e^t)' + 4(e^{2t} + 2te^{2t} + e^t) + 4te^{2t} + 4e^t = \\ (2e^{2t} + 2e^{2t} + 4te^{2t} + e^t) + 4e^{2t} + 8te^{2t} + 4e^t + 4te^{2t} + 4e^t = \\ 8e^{2t} + 16te^{2t} + 9e^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.
$$e) x = e^{2t} + te^t \\ (e^{2t} + te^t)'' + 4(e^{2t} + te^t)' + 4(e^{2t} + te^t) = \\ (2e^{2t} + e^t + te^t)' + 4(2e^{2t} + e^t + te^t) + 4e^{2t} + 4te^t = \\ (4e^{2t} + e^t + e^t + te^t) + 8e^{2t} + 4e^t + 4te^t + 4e^{2t} + 4te^t = \\ 16e^{2t} + 6e^t + 9te^t \neq e^t$$
Logo, não é solução.

7. Determine c de modo que y(x) = c(1-x²) satisfaça a condição:
a) y(0) = 1

É só substituir y e x. y, no caso, por 1; x, no caso, por 0. Não tem segredo:
1 = c(1-0²) = c, logo c = 1
b) y(1) = 0
$$0 = c(1-1^2) \\ c = \dfrac{0}{0}$$

Logo c é indeterminado.

8. Especifique c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x) satisfaça as condições indicadas. Determine se tais condições são condições iniciais ou de contorno.
a) y(0) = 1; y'(0) = 2

É só substituir, também.
$$y(0) = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 1 \\ y(0) = c_2 = 1$$
$$y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = 2 \\ y'(0) = c_1 = 2$$
Todos os valores de x usados são o mesmo, as condições são iniciais.
$$b) y(\dfrac{\pi}{2}) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 2 \\ y = c_1 \sin{\dfrac{\pi}{2}} + c_2 \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 1 \\ y = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = 2 \\  y'(\dfrac{\pi}{2}) = -c_2 = 2 \\ c_2 = -2$$
Condições iniciais pelo mesmo motivo.
 $$c) y(0) = 1, y(\dfrac{\pi}{2}) = 1$$
Pro y(0) é só você repetir o processo que fez na letra A. Pro y(pi/2) só repetir o que fez na B.
Aí você encontra que c2 = 1 e c1 = 1.
Quanto a condição: os valores de x diferem, então é condição de contorno.
$$d) y'(0) = 1; y'(\dfrac{\pi}{2}) = 1 \\ y'(0) = c_1 \cos{0} - c_2 \sin{0} = c_1 = 1 \\ y'(\dfrac{\pi}{2}) = c_1 \cos{\dfrac{\pi}{2}} - c_2 \sin{\dfrac{\pi}{2}} = -c_2 = 1 \\ c_2 = -1$$
Pelo mesmo motivo da anterior ele usa condições de contorno.