Lista VII - Cálculo Diferencial e Integral III

21. Coloca-se um corpo à temperatura de 0°F em um quarto mantido à temperatura constante de 100°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 25°, determine:
a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50° F;
b) a temperatura do corpo após 20 minutos.
Exercício bem simples, bem começo de lista mesmo. O esquema é lembrar já de cara da equação de Newton... Aquela mesmo:
$$T' + KT = KT_m$$
Vamos precisar trabalhar essa equação a partir do fator integrante pra descobrir uma expressão válida pra T. Veja bem. T' é dT/dt, K é uma constante que não temos, T é a temperatura e Tm é a temperatura do ambiente. Disso tudo, fomos informados que o quarto tem temperatura constante de 100°F, e nada mais; então é a única coisa que podemos substituir.
$$T' + KT = 100K$$
Agora vamos resolver a equação diferencial:
$$I(t, T) = e^{\int Kdt} = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 100K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 100K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 100K dt = 100e^{Kt} + C \\ T = 100 + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
(se não entendeu a resolução, é recomendável que revise a lista anterior de cálculo)
Ok, temos essa pré-equação aí, mas temos duas constantes não-resolvidas aí. C e K. Temos também duas informações prévias que podemos usar agora, mas não fazia sentido anteriormente. Primeiro, a temperatura do corpo ao ser colocada no ambiente é 0°F, o que indica que sua temperatura inicial T(0) é 0°F. Outra informação é que, em T(10) é 25°F. A informação mais conveniente no momento é T(0) para determinar C.
Veja:
$$T(0) = 100 + Ce^{-0K} = 0 \\ 100 + Ce^0 = 0 \\ 100 + C = 0 \\ C = -100$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-Kt}$$
E agora convém usar a segunda informação a nosso favor.
$$T(10) = 100 - 100e^{-10K} = 25 \\ -100e^{-10K} = 25-100 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} \approx 0.029$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-0.029t}$$
Agora dá pra resolver o exercício.

O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50°F. Temos que T(t) = 50°F. Queremos descobrir o valor de t e, colocando o resultado, vemos que t é a única variável que sobra, então podemos resolver.
$$T(t) = 100 - 100e^{-0.029t} = 50 \\ -100e^{-0.029t} = 50 - 100 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Ou seja, em aproximadamente 23.9 minutos.

A temperatura do corpo após 20 minutos. Mais fácil que o primeiro, bem mais fácil. Temos o valor de t, não temos a resposta, então é só jogar no lugar de t na equação e resolver.
$$T = 100 - 100e^{-0.029 \times 20} = 100 - \dfrac{100}{e^{0.58}} = 100 - 55.99 \approx 44.01°F$$
Resolvido. Próximo.

22. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0°F. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40°F e após 40 minutos é 20, determine a temperatura inicial do corpo.
Ok, temos a seguinte informação inicial pra equação: a temperatura do ambiente é 0°F. Nada mais, só isso. E é suficiente pra resolver bem a equação, quer ver?
$$T' + KT = 0K = 0 \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = 0 \\ e^{Kt}T = C \\ T = Ce^{-Kt}$$
Vejamos agora. Temos duas informações, a primeira é: T(20) = 40, T(40) = 20. Se você analisar, nenhuma delas vai anular alguma variável pra gente trabalhar com a outra, então vamos ver:
$$Ce^{-20K} = 40 \\ \ln{Ce^{-20K}} = \ln{40} \\ \ln{C} + \ln{e^{-20K}} \approx 3.69 \\ \ln{C} - 20K = 3.69$$
$$Ce^{-40K} = 20 \\ ln{Ce^{-40K}} = \ln{20} \\ ln{C} + \ln{e^{-40K}} \approx 2.99 \\ \ln{C} - 40K = 2.99$$
Temos aqui um sistema linear com duas variáveis e duas expressões. Bem simples, podemos resolvê-lo simplesmente invertendo o sinal de uma das expressões pra cortar o lnC, assim:

$$\begin{cases} \ln{C} - 20K = 3.69 \\
-\ln{C} + 40K = -2.99 \end{cases} \\ 20K = 0.7 \\ K = \dfrac{0.7}{20} = 0.035$$
Ok, agora para C:
$$\ln{C} - 20 \times 0.035 = 3.69 \\ \ln{C} = 3.69 + 0.7 = 4.39 \\ C = e^{4.39} \approx 80.64$$
Logo, a equação final é:
$$T = 80.64e^{-0.035t}$$
Sendo assim, o T inicial T(0) é:
$$T(0) = 80.64e^{-0.035 \times 0} = 80.64e^0 = 80.64$$
E essa é a resposta do exercício.

23. Um corpo à temperatura de 50°F é colocado em um forno cuja temperatura é mantida a 150°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 75°F, determine o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 100°F.
Temperatura ambiente Tm é 150°F. O resto não tem nada. Já basta pra iniciar a equação diferencial:
$$T' + KT = 150K \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 150K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 150K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 150K dt = 150e^{Kt} + C \\ T = 150 + Ce^{-Kt}$$
Agora outras informações: T(0) = 50, T(10) = 75. T(0) sempre é conveniente pra descobrir a constante C, então usaremos ele:
$$T(0) = 150 + Ce^0 = 50 \\ C = 50 - 150 = -100 \\ T = 150 - 100e^{-Kt}$$
$$T(10) = 150 - 100e^{-10K} = 75 \\ -100e^{-10K} = 75 - 150 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} = 0.029 \\ T = 150 - 100e^{-0.029t}$$
Equação igualzinha a de outro exercício lá. Agora vamos resolver o exercício T(t) = 100. Veja bem:
$$T = 150 - 100e^{-0.029t} = 100 \\ -100e^{-0.029t} = 100 - 150 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Sim. É o mesmo resultado da 21. Próxima.

24. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Se, para uma quantidade inicial de uma substância de 100 miligramas, se observa um decréscimo de 5% após dois anos, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante no tempo t;
b) o tempo necessário para uma redução de 10% da quantidade inicial.
Crescimento e decrescimento é sempre o mais fácil, porque sempre depende de pouca coisa. Veja, a equação diferencial pra decrescimento é: N' - KN = 0. Sendo a massa da substância N e K uma constante da equação. Vamos resolvê-la:
$$I(t, N) = e^{\int -Kdt} = e^{-Kt} \\ e^{-Kt} [N' - KN] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{-Kt} N] = 0 \\ e^{-Kt} N = C \\ N = Ce^{Kt}$$
Ok, ok. Sabemos que N é a massa, e que a massa inicial N(0) é igual a 100mg. Substituímos os valores na equação:
$$100 = Ce^0 = C \\ N = 100e^{Kt}$$
E temos que essa massa diminui 5% após dois anos. Se temos 100mg e diminuímos 5%, temos 95mg (hurr). O tempo é 2 anos. Substituímos na equação:
$$95 = 100e^{2K} \\ e^{2K} = \dfrac{95}{100} = 0.95 \\ 2K = \ln{0.95} \approx -0.051 \\ K = \dfrac{-0.051}{2} = -0.026 \\ N = 100e^{-0.026t}$$
Precisamos agora determinar o tempo necessário pra uma redução de 10% da quantidade inicial. Retirando 10% de 100mg temos 90mg, então só substituir N:
$$90 = 100e^{-0.026t} \\ e^{-0.026t} = 0.9 \\ -0.026t = \ln{0.9} = -0.105 \\ t = \dfrac{-0.105}{-0.026} \approx 4.05$$
Ou seja, 4.05 anos. Essa é a resposta.

25. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após uma hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a "meia-vida" (half life) da substância. (Sugestão: designe por N0 a quantidade inicial da substância. Não é preciso conhecer N0 explicitamente)
Nem precisamos trabalhar a equação pra saber que será a mesma coisa da anterior. Não tem valor do outro lado, não tem nem como mudar.
Então, vamos seguir a dica do exercício e determinar um N0 para o momento inicial N(0):
$$N_0 = Ce^{0} = C \\ N = N_0 e^{Kt}$$
Agora temos a informação de que há redução de 10% da quantidade inicial quando se passa uma hora. A massa restante, obviamente, é 90%. Representamos 90% da massa inicial por 0.9N0, assim:
$$0.9N_0 = N_0 e^{1K} \\ e^K = 0.9 \\ K = \ln{0.9} \approx -0.105 \\ N = N_0 e^{-0.105t}$$
A meia-vida da substância é quanto ela tem metade, 50%, da massa inicial. Sendo assim, 0.5N0:
$$0.5N_0 = N_0 e^{-0.105t} \\ e^{-0.105t} = 0.5 \\ -0.105t = \ln{0.5} = -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.105} \approx 6.6$$
Exato, 6.6 horas.

26. Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial.
A equação é a mesma: N' - KN = 0. Como tal, vamos usar a solução inicial das outras questões de crescimento/decrescimento. Também podemos nos estender ainda mais e usar aquela solução com N0 do exercício passado. No caso:
$$N = N_0 e^{Kt}$$
Temos duas informações: após 10 anos, a população triplica, ou seja, é de 3N0. Após 20 anos, é de 150k habitantes. Perceba que se usarmos N0 do outro lado, podemos cortar os dois N0 e deixar apenas K de variável, assim podendo determiná-la... Então, bem, compensa mais usar a informação que temos com 10 anos.
$$3N_0 = N_0 e^{10K} \\ e^{10K} = 3 \\ 10K = \ln{3} \approx 1.099 \\ K = \dfrac{1.099}{10} \approx 0.109 \\ N = N_0 e^{0.109t}$$
Agora podemos usar a segunda informação para isolar e descobrir N0, veja:
$$150000 = N_0 e^{0.109 \times 20} = N_0 e^{2.18} \\ N_0 = \dfrac{150000}{e^{2.18}} \approx 16956$$
Ou seja, a população inicial era de aproximadamente 16956 habitantes.

Sendo assim, estão resolvidos todos os exercícios do livro recomendado a respeito de variação de temperatura e crescimento/decrescimento de dados diversos. Os próximos são os de circuitos, e os próximos de queda livre. Posso chegar a resolver os de escoamento e de trajetória ortogonal também, mas como não foi conteúdo em sala, não creio que vá cair na prova e não darei prioridade nenhuma a eles.
No mais, é isso. Bom dia a todos!

Lista VI - Cálculo Diferencial e Integral III

Bem, essa lista (ou essas páginas) são todinhas de resolução de equações diferenciais com o uso do fator integrante. Nenhuma aplicação, nada, só a resolução pura. Bom pra treinar inicialmente.

1.
$$y' - 7y = e^x$$
Se pensarmos no formado y' + p(x)y = q(x), temos que p(x) é -7. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x}$$
Multiplicando o fator integrante dos dois lados:
$$e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \times e^{x} = e^{-6x}$$
Aplicando a propriedade I(x, y) * [y' - 7y] = d[I(x, y) * y]/dx, fica:
$$\dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = e^{-6x}$$
Integrando os dois lados:
$$e^{-7x} \times y = \int e^{-6x}dx = -\dfrac{1}{6} e^{-6x} + C$$
Isolando y:
$$y = -\dfrac{e^{-6x}}{6 e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = - \dfrac{1}{6 e^{-x}} + Ce^{-7x} = - \dfrac{1}{6} e^x + Ce^{7x}$$

2.
$$y' -  7y = 14x$$
p(x) = -7, assim como no exercício anterior. Sendo assim, vamos apenas repetir os passos de antes:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = 14x \times e^{-7x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = 14x \times e^{-7x}$$
$$e^{-7x} \times y = \int 14x \times e^{-7x} dx = \\ 14 \int xe^{-7x} dx = 14 [x(\dfrac{e^{-7x}}{-7}) - \int \dfrac{e^{-7x}}{-7} \times 1 dx] = \\ 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} + \dfrac{1}{7} \dfrac{e^{-7x}}{-7}] = 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} - \dfrac{e^{-7x}}{49}] = \\ 2xe^{-7x} - \dfrac{2}{7} e^{-7x} + C$$
$$y = \dfrac{-2xe^{-7x}}{e^{-7x}} - \dfrac{2e^{-7x}}{e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = -2x - \dfrac{2}{7} + Ce^{7x}$$
Foi usado o conceito de integral por partes aqui, presumo que estejam familiarizados.

3.
$$y' - 7y = \sin{2x}$$
p(x) continua sendo o mesmo.
$$I(x, y) = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \sin{2x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} y] = e^{-7x} \sin{2x}$$
Pela existência de um número de Euler e um seno ambos no mesmo grau, já dá pra se presumir que haverá uma integral ciclica. E sim, haverá, aí vem:
$$e^{-7x} y = \int e^{-7x} \sin{2x} dx = e^{-7x} (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) - \int (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \cos{2x} dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [e^{-7x} (\dfrac{\sin{2x}}{2}) - \int (\dfrac{\sin{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [\dfrac{1}{2} e^{-7x} \sin{2x} + \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \sin{2x} dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x} - \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
Como essa é a volta ao ciclo inicial, só jogar pro outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx + \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{53}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
E jogar a fração de volta dividindo tudo o que está do outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{4}{53} [-\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x}] = \\ -\dfrac{4}{106} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{28}{212} e^{-7x} \sin{2x} = \\ -\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C$$
Ok, ok, é esse o resultado da integral. Mas ainda precisamos passar o número de Euler dividindo:
$$y = \dfrac{1}{e^{-7x}}[-\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C] \\ = -\dfrac{2}{53} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} \sin{2x} + Ce^{7x}$$
Complicadinha, mas resolvida.

4..
$$y' + x^2 y = x^2$$
p(x) agora é x², logo:
$$I(x, y) = e^{\int x^2 dx} = e^{x^3/3} \\ e^{x^3/3} [y' + x^2 y] = e^{x^3/3} x^2 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^3/3} y] = e^{x^3/3} x^2$$
Integrando dos dois lados:
$$e^{x^3/3} y = \int e^{x^3/3} x^2 dx = \int e^u x^2 \dfrac{du}{\dfrac{3x^2}{3}} = \int e^u du = e^u + C = e^{x^3/3} + C$$
Passando número de Euler pro outro lado:
$$y = \dfrac{e^{x^3/3}}{e^{x^3/3}} + \dfrac{C}{e^{x^3/3}} = 1 + Ce^{-x^3/3}$$

5.
$$y' + \dfrac{2}{x} y = x; y(1) = 0$$
Agora há um diferencial: tem um valor inicial dado pra gente descobrir C, mas fora isso é igual todas as outras. Primeiro, como todas as outras, vamos resolver a parte que não precisa jogar valor:
p(x), como visto, é 2/x. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int \dfrac{2}{x} dx} = e^{2 \int \dfrac{1}{x} dx} = e^{2 ln|x|} = e^{ln|x^2|} = x^2$$
Multiplicando os dois lados:
$$x^2 [y' + \dfrac{2}{x} y] = x^2 x \\ \dfrac{d}{x} [yx^2] = x^3$$
Integrando os dois lados:
$$yx^2 = \dfrac{x^4}{4} + C$$
Isolando y:
$$y = \dfrac{x^4}{4x^2} + \dfrac{C}{x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{C}{x^2}$$
Agora sim. Temos que, quando x é 1, y é 0. Então vamos substituir os valores e isolar C:
$$0 = \dfrac{1}{4} \times 1^2 + \dfrac{C}{1^2} = \dfrac{1}{4} + C \\ C = -\dfrac{1}{4}$$
Substituindo C na equação final:
$$y = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4} x^{-2} = \dfrac{1}{4} [x^2 - x^{-2}]$$

6.
$$y' + 6xy = 0; y(\pi) = 5$$
Obviamente, p(x) = 6x. Então:
$$I(x, y) = e^{\int 6x dx} = e^{3x^2} \\ e^{3x^2} [y' + 6xy] = 0 \\ \dfrac{d}{x} [e^{3x^2} y] = 0 \\ e^{3x^2} y = C \\ y = \dfrac{C}{e^{3x^2}} = Ce^{-3x^2}$$
Jogando os valores:
$$Ce^{-3\pi^2} = 5 \\ \dfrac{C}{e^{3\pi^2}} = 5 \\ C = 5e^{3\pi^2}$$
E é isso aí mesmo, o livro não fica arredondando então não tem pra que a gente fazer isso. Só substituir:
$$y = 5e^{3\pi^2} \times e^{-3x^2} = 5e^{3(\pi^2 - x^2)}$$
E pra ficar da mesma maneira do livro, invertemos os sinais lá em cima só:
$$y = 5e^{-3(x^2 - \pi^2)}$$

7.
$$y' - \dfrac{3}{x^2}y = \dfrac{1}{x^2}$$
p(x) fica -3/x², assim:
$$I(x, y) = e^{\int -3/x^2} = e^{3/x} \\ e^{3/x} [y' - \dfrac{3}{x^2}y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{3/x} y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ e^{3/x} y = \int \dfrac{e^{3/x}}{x^2} dx = \int \dfrac{e^u}{x^2} \dfrac{dx}{\dfrac{-3}{x^2}} = \dfrac{-1}{3} e^u = \dfrac{-1}{3} e^{3/x} + C \\ y = -\dfrac{1}{3} + Ce^{-3/x}$$

8.
$$y' = \cos{x}$$
Não entendi ao certo porque essa questão tá aqui, mas pela praticidade vamos só integrar por favor:
$$\dfrac{dy}{dx} = \cos{x} \\ y = \int \cos{x} dx = \sin{x} + C$$

9.
$$y' + 2xy = 2x^3; y(0) = 1$$
p(x) é facilmente identificável como 2x.
$$I(x, y) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2} \\ e^{x^2} [y' + 2xy] = e^{x^2} 2x^3 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^2} y] = e^{x^2} 2x^3 \\ e^{x^2} y = \int e^{x^2} 2x^3 dx$$
Essa integral é massa. Não, sério. O truque que vou fazer aqui é muito bom, milagre da lógica: vamos chamar x² de u pra ver no que vai dar:
$$\int e^u u 2x dx$$
Eita... Agora notem o seguinte: deriva x² pra ver no que dá. 2x, certo? Não bate com o que sobrou ali? Podemos então chamar 2xdx de du. Fica assim:
$$e^{x^2} y = \int e^u udu = u e^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C = x^2 e^{x^2} - e^{x^2} + C \\ y = x^2 - 1 + Ce^{-x^2}$$
Jogando os valores:
$$y(0) = 0 - 1 + Ce^0 = 1 \\ -1 + C = 1 \\ C = 1+1 = 2$$
E substituindo C:
$$y = x^2 - 1 + 2e^{-x^2}$$

O resto eu até consegui resolver, mas foi de uma metodologia estranha usando tangente hiperbólica e coisa pior ainda que foi só usando calculadora mesmo, não entendi nada. Então deixo pra vocês até aqui mesmo, já em seguida vou botar os exercícios de aplicação que consegui.
Bom dia a todos!

Aula VII - Cálculo Diferencial e Integral III

Aplicações de equações diferenciais

Variação de temperatura

Equação de Newton:
$$\dfrac{dT}{dt} = -K(T - T_m)$$
Resfriamento:
$$T > T_m \\
\dfrac{dT}{dt} < 0$$
Aquecimento:
$$T_m > T \\
\dfrac{dT}{dt} > 0$$
Agora perceba que:
$$T' = -K(T - T_m) \\
T' = -KT + KT_m \\
T' + KT = KT_m$$
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.

Exemplo:
Um corpo à temperatura inicial de 50°F é colocado ao ar livre onde a temperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) t para T = 75°F.
b) T para t = 20 minutos.
Primeiro, vamos trabalhar na equação da variação de temperatura:
$$T' + KT = KT_m$$
A única informação estável que a temperatura do ambiente é cravada 100°F. Inclusive podemos jogar isso na equação pra facilitar bastante nossa vida:
$$T' + KT = 100K$$
Vamos resolver a partir do fator integrante:
$$y' + p(x)y = g(x)$$
Perceba que y' no caso é T', y é T, p(x) que vira p(K) acaba sendo K e g(x) que vira g(K) é 100K. Vamos jogar então na equação do fator integrante:
$$I(t, T) = e^{\int K dt} = e^{Kt}$$
Multiplicando os dois lados:
$$e^{Kt}[T' + KT] = e^{Kt}*100K$$
Trocando a primeira expressão pela derivada d[y * I(x, y)]/dx, que nesse caso é d[T * I(t, T)]/dt, ficamos com:
$$\dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}] = 100Ke^{Kt}$$
Integrando os dois lados:
$$\int \dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}]dt = \int 100Ke^{Kt} dt \\
Te^{Kt} = 100 \int Ke^u \dfrac{du}{K} = 100e^{Kt} + C \\
T = 100 \dfrac{e^{Kt}}{e^{Kt}} + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
Para calcular essa constante C, temos a informação de que a temperatura inicial é de 50°F. Vai ser útil usar a temperatura inicial porque aí podemos anular K, que ainda não temos, já que o tempo inicial é por padrão 0 minutos.
$$t = 0, T = 50°F \\
50 = 100 + Ce^0 = 100 + C \\
C = 50 - 100 = -50 \\
T = 100 - 50e^{-Kt}$$
E agora, para descobrir K, temos a informação de que a temperatura após 5 minutos é 60°F. Vamos jogar esses termos na equação e o que sobra é só K:
$$t = 5, T = 60°F \\
60 = 100 - 50e^{-5K} \\
50e^{-5K} = 100 - 60 = 40 \\
e^{-5K} = \dfrac{40}{50} = 0.8 \\
\ln{|e^{-5K}|} = \ln{|0.8|} \\
-5K \approx -0.22314 \\
K = \dfrac{-0.223}{-5} \approx 0.045$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 50e^{-0.045t}$$

Agora, vamos resolver a letra A, que pede o tempo quando a temperatura é de 75°F. Só jogar na equação:
$$75 = 100 - 50e^{-0.045t} \\
50e^{-0.045t} = 100-75 = 25 \\
e^{-0.045t} = \dfrac{25}{50} = 0.5 \\
\ln{|e^{-0.045t}|} = \ln{|0.5|} \\
-0.045t \approx -0.693 \\
t = \dfrac{-0.693}{-0.045} \approx 15.4$$
Ou seja, aproximadamente em 15.4 minutos a temperatura do corpo fica a 75°F.

A letra B te dá um tempo de 20 minutos e te pede a temperatura. É ainda mais simples, veja bem:
$$T = 100 - 50e^{-0.045*20} = 100 - \dfrac{50}{e^{0.9}} \approx 100 - \dfrac{50}{2.46} \approx 100 - 20.32 = 79.68°F$$
E está resolvido o exercício.

Crescimento e Decrescimento Populacional

Como a equação de Newton, o crescimento populacional acaba se tornando uma equação diferencial que usa fator integrante. A fórmula que determina isso basicamente é:

$$\dfrac{d}{dt} N(t) = KN$$

O que implica em:

$$N' - KN = 0$$

Não nos foi passado nada além disso, se não me engano, apenas a página com a definição completa e exercícios pra resolver logo em seguida. Quando eu for postar as novas listas (alguém me lembra de falar com o professor por favor!) eu pego bastante no pé de explicar isso melhor. O post foi mais pra explicar a parte de variação de temperatura mesmo, que tem uma série de exercícios a entregar a respeito.

De qualquer forma, bom dia a todos. :)

Aula VI - Cálculo Diferencial e Integral III

Fator integrante

Em qual a equação diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 não é exata, por vezes é possível transformar a equação 1 em uma equação exata, mediante multiplicação de um fator adequado.

Exemplo 1:
Verifique se o termo abaixo é fator integrante da equação diferencial ydx - xdy = 0.
$$\dfrac{-1}{x^2}$$
Chamamos ydx de M e xdy de N. Percebamos que a igualdade abaixo não é real:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$
Já que:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = -1$$
E 1 é diferente de -1. Então temos uma equação diferencial não-exata.
Agora imagine que multiplicamos aquele termo dado por toda a equação diferencial, assim:
$$\dfrac{-1}{x^2} * ydx - \dfrac{-1}{x^2} * xdy = \dfrac{-y}{x^2}dx + \dfrac{1}{x}dy = 0$$
Vamos confirmar isso derivando ambos termos novamente e vendo se dão o mesmo resultado:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} [\dfrac{-y}{x^2}] = \dfrac{-1}{x^2} \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} [\dfrac{1}{x}] = \dfrac{-1}{x^2}$$
Como vê, o mesmo resultado. Agora se tornou exata.

Equação diferencial de primeira ordem

Definição: y' + p(x)y = q(x)

I(x, y) da equação acima é:

$$e^{\int p(x)dx}$$

Método de resolução:

Multiplique a primeira equação por I(x, y). O lado esquerdo da equação resultante será:

$$\dfrac{d}{dx} [y, I(x, y)]$$

A solução vem da integral dos dois lados da equação.

Exemplo 2:

Resolução de y' - 2xy = x.

A equação está diretamente no modelo apresentado agora pouco: y' + p(x)y = q(x)

Aonde p(x) é (-2x) e q(x) é x. Vamos então descobrir esse fator integrante:
$$I(x, y) = e^{\int p(x)dx} = e^{\int (-2x)dx} = e^{-x^2}$$

Descoberto esse termo, vamos multiplicar os dois lados da equação por ele:

$$e^{-x^2}[y' - 2xy] = e^{-x^2}x$$

Isso por padrão se transforma em:

$$\dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}] = e^{-x^2}x$$

Agora é só jogar a integral dos dois lados:

$$\int \dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}]dx = \int e^{-x^2}xdx \\ ye^{-x^2} = \int e^u x \dfrac{du}{-2x} = \dfrac{1}{-2} e^u + C = -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C \\ y = -\dfrac{1}{2} \dfrac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}} + \dfrac{C}{e^{-x^2}} \\ y = Ce^{x^2} - \dfrac{1}{2}$$

Me perdoem pelo atraso, eu simplesmente tinha esquecido que a gente está tendo conteúdo postável e tava postando todas as listas de cálculo, só no final de semana passado que me caiu a ficha! Mas está aí. Vou ver se posto mais outra aula (a de variação de temperatura) ainda hoje, a de circuitos provavelmente vai ficar pra próxima.

Bom dia a todos.