[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 5: soluções de equações e problemas de valor inicial

Equações Diferenciais Ordinárias

Introdução: uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.
Ex.: $$y' = 2x + 3; y'' = 2 \\ \dfrac{d^2 y}{dy^2} + (\dfrac{dy}{dx})^2 = 1 \\ y''' + \sin{(x)} y'' + 5xy = 0 \\ y''' - 2y'' + 2y = \sin{(x)}$$

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

São do tipo:
$$y' + a_0 (x) y = f(x) \\ y'' + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = f(x)$$
Ex.: $$y'' + \sin{(x)} y' + xy = \cos{(x)}$$
É dada linear, pois y¹.
Caso não-linear:
$$(1 + y^2) \dfrac{d^2 y}{dy^2} + t \dfrac{dy}{dx} + y = e^t$$
É dada não-linear, pois y².

De modo geral, temos a seguinte condição:
$$\sum_{i = 1}^{n} a_1 (x) \dfrac{d^{(i)} y}{dx^{(i)}} = f(x) \\ a_n (x) \neq 0$$
E x pertencendo aos números reais.
Notação:
$$y(x) \\ y' = \dfrac{dy}{dx}; y'' = \dfrac{d^2 y}{dx^2}; y^{[n]} = \dfrac{d^n y}{dx^n}$$
$$x(t) \\ \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} \\ \ddot{x} = \dfrac{d^2 x}{dt^2}$$

Exemplo de Solução Verdadeira

y'' + 4y = 0. Verifique se y = sen(2x) e y = cos(2x) são soluções da EDO.
a) Solução para y = sen(2x).
$$y = \sin{(2x)} \\ y' = 2 \cos{(2x)} \\ y'' = -4 \sin{(2x)}$$
Substituindo na EDO, temos:
$$-4 \sin{(2x)} + 4 \sin{(2x)} = 0$$
Logo, y = sen(2x) é solução.
Se procedermos de maneira análoga, verificaremos que y = cos(2x) também é solução da EDO em questão. Portanto a soma das duas soluções também será uma solução. De modo geral, a solução linear das soluções:
$$y_{geral} = y_1 + y_2$$
Onde, nesse caso:
$$y_1 = c_1 \sin{(2x)} \\ y_2 = c_2 \cos{(2x)}$$
Portanto,
$$y_{geral} = c_1 \sin{(2x)} + c_2 \cos{(2x)}$$
E a solução particular se dá por:
$$\begin{array}
y_1 = c_1 \sin{(2x)} \\
y_2 = c_2 \cos{(2x)} \end{array}$$
Onde c1 e c2 pertencem aos números reais.

A determinação dos coeficientes constantes c1 e c2 se dá por meio de:
1. condições iniciais (PVI - problema de valor inicial)
2. condições de contorno (PVC - problema de valor de contorno)

Inserindo uma condição inicial qualquer no y geral que usamos no outro exercício:
y'' = 2; y'(0) = 0; y(0) = 0
Aplicamos as condições e temos:
$$y(x) = c_1 \sin{(2x)} + c_2 \cos{(2x)}$$
$$y(0) = 0 \\ 0 = c_1 \sin{0} + c_2 \cos{0} = 0 + c_2 * 1 \\ c_2 = 0$$
$$y'(x) = 2c_1 \cos{(2x)} - 2c_2 \sin{(2x)} \\ y(0) = 0 \\ 0 = 2c_1 \cos{0} - 2c_2 \sin{0} = 2c_1 * 1 - 0 = 2c_1 \\ c_1 = 0$$
A segunda eu vou deixar todinha pra outra aula, embora tenha se iniciado nessa. É melhor pra todos.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 4: solução e classificação de equações diferenciais

Bom, eu sei que tivemos uma infinidade de exercícios passados em uma lista, mas a entrega é segunda então a partir de terça-feira estará quentinho aqui. Mas deixarei em registro os exercícios que fizemos em sala, possivelmente ajudarão bastante.

1. A equação A é solução geral de y'' + 4y = 0?
A: $$y = c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}$$
Ok, simples pra caramba. Vamos pegar o y fornecido em A e substituir pelos y da equação passada, e ver se os lados se igualam.
$$(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x})'' + 4(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}) = 0 \\ (2c_1 \cos{2x} + 2c_2 \sin{2x})' + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0 \\ (-4c_1 \sin{2x} + 4c_2 \cos{2x}) + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0$$
Como vemos, os senos se anulam e os cossenos também. Logo, a expressão é verdadeira e a equação A é solução de y'' + 4y = 0.

2. A equação y = x² - 1 é solução geral de B?
B: $$(y')^4 + y^2 = -1$$

(vale a pena lembrar que estou usando isso de equação A, B, etc. por conveniência de formatação apenas)
Vamos fazer a mesma coisa: jogar x² - 1 em tudo que é y e ver se os resultados batem.
$$((x^2 - 1)')^4 + (x^2 - 1)^2 = -1 \\ (2x)^4 + (x^4 - 2x^2 + 1) = -1 \\ 16x^4 + x^4 - 2x^2 + 1 = -1 \\ 17x^4 - 2x^2 + 2 = -1$$
Só de bater o olho já dá pra perceber que x² - 1 não é solução geral de B. Dá pra passar -1 pro outro lado como +1 e fazer uma resolução de equação do segundo grau, mas será pra uma solução particular com valores particulares, não uma solução geral. Exercício resolvido.

3. Determine a ordem, função incógnita e variável independente das equações diferenciais abaixo: (vou postar uma forma alternativa sempre que achar necessário, pra ficar mais fácil de enxergar)
a) $$y''' - 5xy' = e^x + 1 \\ \dfrac{d^3 y}{dx^3} - 5x \dfrac{dy}{dx} = e^x + 1$$
O termo mais derivado é derivado três vezes, logo terceira ordem. Veja que a função derivada é y com relação a x (dy em cima, dx embaixo), logo a função incógnita é y e a variável independente é x.
b) $$ty'' + t^2 y' - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1 \\ t \dfrac{d^2 y}{dt^2} + t^2 \dfrac{dy}{dt} - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1$$
O termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem. A função derivada é y com relação a t, então função incógnita y e variável independente t.
c) $$s^2 \dfrac{d^2 t}{ds^2} + st \dfrac{dt}{ds} = s$$
(não creio ser necessário a forma alternativa porque acredito ser muito mais visível essa forma que a outra, com a função incógnita em cima e a variável independente embaixo e tal, apesar de nem sempre ser assim)
O termo mais derivado é derivado duas vezes, segunda ordem. A função derivada é t com relação a s, função incógnita t e variável independente s.


E foi só isso mesmo. Já está pronta a lista aqui, e não pretendo demorar a deixá-la pronta no blog também, postarei o mais cedo possível pra ter bastante conteúdo pra estudar pras provas... Já que essa é uma das três? matérias com provas que podem ser bem pesadas.
Vale a pena lembrar também que estamos só vendo como matéria específica algo que vimos generalizado no cálculo III, então pra esse começo o conteúdo desse blog de Cálculo Diferencial e Integral III ajudará muito.

Aula VI - Cálculo Diferencial e Integral III

Fator integrante

Em qual a equação diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 não é exata, por vezes é possível transformar a equação 1 em uma equação exata, mediante multiplicação de um fator adequado.

Exemplo 1:
Verifique se o termo abaixo é fator integrante da equação diferencial ydx - xdy = 0.
$$\dfrac{-1}{x^2}$$
Chamamos ydx de M e xdy de N. Percebamos que a igualdade abaixo não é real:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$
Já que:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = -1$$
E 1 é diferente de -1. Então temos uma equação diferencial não-exata.
Agora imagine que multiplicamos aquele termo dado por toda a equação diferencial, assim:
$$\dfrac{-1}{x^2} * ydx - \dfrac{-1}{x^2} * xdy = \dfrac{-y}{x^2}dx + \dfrac{1}{x}dy = 0$$
Vamos confirmar isso derivando ambos termos novamente e vendo se dão o mesmo resultado:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} [\dfrac{-y}{x^2}] = \dfrac{-1}{x^2} \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} [\dfrac{1}{x}] = \dfrac{-1}{x^2}$$
Como vê, o mesmo resultado. Agora se tornou exata.

Equação diferencial de primeira ordem

Definição: y' + p(x)y = q(x)

I(x, y) da equação acima é:

$$e^{\int p(x)dx}$$

Método de resolução:

Multiplique a primeira equação por I(x, y). O lado esquerdo da equação resultante será:

$$\dfrac{d}{dx} [y, I(x, y)]$$

A solução vem da integral dos dois lados da equação.

Exemplo 2:

Resolução de y' - 2xy = x.

A equação está diretamente no modelo apresentado agora pouco: y' + p(x)y = q(x)

Aonde p(x) é (-2x) e q(x) é x. Vamos então descobrir esse fator integrante:
$$I(x, y) = e^{\int p(x)dx} = e^{\int (-2x)dx} = e^{-x^2}$$

Descoberto esse termo, vamos multiplicar os dois lados da equação por ele:

$$e^{-x^2}[y' - 2xy] = e^{-x^2}x$$

Isso por padrão se transforma em:

$$\dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}] = e^{-x^2}x$$

Agora é só jogar a integral dos dois lados:

$$\int \dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}]dx = \int e^{-x^2}xdx \\ ye^{-x^2} = \int e^u x \dfrac{du}{-2x} = \dfrac{1}{-2} e^u + C = -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C \\ y = -\dfrac{1}{2} \dfrac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}} + \dfrac{C}{e^{-x^2}} \\ y = Ce^{x^2} - \dfrac{1}{2}$$

Me perdoem pelo atraso, eu simplesmente tinha esquecido que a gente está tendo conteúdo postável e tava postando todas as listas de cálculo, só no final de semana passado que me caiu a ficha! Mas está aí. Vou ver se posto mais outra aula (a de variação de temperatura) ainda hoje, a de circuitos provavelmente vai ficar pra próxima.

Bom dia a todos.