[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 7: exatas e homogêneas

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Forma diferencial

$$y' = \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \\
f(x, y)dx - dy = 0 \\
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} \\
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$
Exemplo:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x+y}{y^2} = \dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{x+y}}$$
Forma a: (x+y)dx - y²dy = 0
Forma b: $$(\dfrac{x+y}{y^2})dx - 1dy = 0; y \neq 0$$
Forma c: $$1dx - \dfrac{y^2}{x+y} dy = 0; x+y \neq 0$$

Classificação das Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem

Equação Diferencial Ordinária Linear
$$y' + a_0 (x)y = f(x) \\ y' + p(x)y = q(x)$$

Equação Diferencial Ordinária Homogênea
y' = f(tx, ty) = f(x, y)

Exemplo: considere: $$f(x, y) = \dfrac{x+y}{y} \\
f(tx, ty) = \dfrac{tx + ty}{tx} = \dfrac{t(x + y)}{tx}$$
Isso nos dá: $$f(tx, ty) = f(x, y)$$
No caso geral: se f(x, y) é homogênea de grau n, então: $$f(tx, ty) = t^n f(x, y)$$
Se n = 0, então f(tx, ty) = f(x, y)

Equação Diferencial Ordinária Separável
M(x)dx + N(y)dy = 0

Equação Diferencial Ordinária Exata
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

A equação diferencial ordinária acima é exata quando é válida a relação:
$$\dfrac{\partial}{\partial y} M(x, y) = \dfrac{\partial}{\partial x} N(x, y)$$
Exemplo: resolva a equação diferencial ordinária A:
$$A = x^2 dx + xe^y dy = 0$$
a) Verifique se a EDO é separável.
Resolução: dividindo cada termo por x:
$$\dfrac{x^2}{x} dx + \dfrac{x e^y}{x} dy = \dfrac{0}{x} \\
xdx + e^y dy = 0 \\
\int x dx + \int e^y dy = \int 0 \\
\dfrac{x^2}{2} + C_1 + e^y + C_2 = C_3 \\
\dfrac{x^2}{2} + e^y = C_3 - C_1 - C_2$$
Como os três termos são constantes, podemos concatená-los em uma única constante:
$$e^y = C - \dfrac{x^2}{2} \\
y(x) = \ln{|C - \dfrac{x^2}{2}|}$$

Exemplo com equação diferencial ordinária homogênea:
$$y' = f(tx, ty) = f(x, y), n = 0 (f(tx, ty) = t^n f(x, y))$$
Considere: $$z = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$
Identificando z = f(x, y).
$$z(tx, ty) = \dfrac{2(ty)^4 + (tx)^4}{(tx)(ty)^3} = \dfrac{t^4 2y^4 + t^4 x^4}{tx * t^3 y^3} = z(x, y)$$

Mudança de Variável

Considere y' = f(x, y), onde f(x, y) = f(tx, ty).
Fazendo a seguinte mudança de variável:
$$v = \dfrac{y}{x} \\
y = vx$$
Temos a função:
$$y = vx \\
\dfrac{dy}{dx} = v \dfrac{dx}{dx} + x \dfrac{dv}{dx} = v + x \dfrac{dv}{dx} \\
x \dfrac{dv}{dx} + v = f(v) \\
x \dfrac{dv}{dx} = f(v) - v$$
O que é uma equação separável.
$$\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{dx}{x} \\
\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{1}{x} dx + C$$
Observação: a variável v = y/x para o caso em que:
$$y'(x, y) = f(x, x \dfrac{y}{x}) = f(1, v)$$
Já para:
$$y'(x, y) = f(y \dfrac{x}{y}, y) \\
v = \dfrac{x}{y}, f(v, 1)$$

Exemplo: considere a equação diferencial homogênea:
$$y' = \dfrac{x+y}{y}$$
a) Determine a função y(x):
Resolução: definido v = y/x:
$$y = vx \\
y' = v + xv'$$
Substituímos y' pelo valor dado inicialmente ali:
$$\dfrac{x+y}{y} = v + xv'$$
Podemos trocar y por vx, pela igualdade estabelecida logo abaixo da definição de v:
$$\dfrac{x + vx}{x} = v + xv'$$
Colocando x em evidência:
$$\dfrac{x (1+v)}{x} = v + xv' \\
(1+v) = v+xv' \\
1 + v - v = x \dfrac{dv}{dx} \\
1 = x \dfrac{dv}{dx} \\
\dfrac{dx}{x} = dv \\
\int \dfrac{1}{x} dx = dv \\
\ln{|x|} + C = v \\
\dfrac{y}{x} = \ln{|x|} + C \\
y(x) = x(\ln{|x|} + C)$$

Tentei explicar um pouquinho melhor essa última porque muita gente ainda pareceu empacadíssimo nela, mas não sei se fiz um bom trabalho. É tudo muito pré-estabelecido, 1000x mais fácil entender numa resolução de exercício de fato, que provavelmente será a próxima lista.
De qualquer forma, boa noite a todos.

[Equações Diferenciais Ordinárias] Aula 4: solução e classificação de equações diferenciais

Bom, eu sei que tivemos uma infinidade de exercícios passados em uma lista, mas a entrega é segunda então a partir de terça-feira estará quentinho aqui. Mas deixarei em registro os exercícios que fizemos em sala, possivelmente ajudarão bastante.

1. A equação A é solução geral de y'' + 4y = 0?
A: $$y = c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}$$
Ok, simples pra caramba. Vamos pegar o y fornecido em A e substituir pelos y da equação passada, e ver se os lados se igualam.
$$(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x})'' + 4(c_1 \sin{2x} - c_2 \cos{2x}) = 0 \\ (2c_1 \cos{2x} + 2c_2 \sin{2x})' + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0 \\ (-4c_1 \sin{2x} + 4c_2 \cos{2x}) + 4c_1 \sin{2x} - 4c_2 \cos{2x} = 0$$
Como vemos, os senos se anulam e os cossenos também. Logo, a expressão é verdadeira e a equação A é solução de y'' + 4y = 0.

2. A equação y = x² - 1 é solução geral de B?
B: $$(y')^4 + y^2 = -1$$

(vale a pena lembrar que estou usando isso de equação A, B, etc. por conveniência de formatação apenas)
Vamos fazer a mesma coisa: jogar x² - 1 em tudo que é y e ver se os resultados batem.
$$((x^2 - 1)')^4 + (x^2 - 1)^2 = -1 \\ (2x)^4 + (x^4 - 2x^2 + 1) = -1 \\ 16x^4 + x^4 - 2x^2 + 1 = -1 \\ 17x^4 - 2x^2 + 2 = -1$$
Só de bater o olho já dá pra perceber que x² - 1 não é solução geral de B. Dá pra passar -1 pro outro lado como +1 e fazer uma resolução de equação do segundo grau, mas será pra uma solução particular com valores particulares, não uma solução geral. Exercício resolvido.

3. Determine a ordem, função incógnita e variável independente das equações diferenciais abaixo: (vou postar uma forma alternativa sempre que achar necessário, pra ficar mais fácil de enxergar)
a) $$y''' - 5xy' = e^x + 1 \\ \dfrac{d^3 y}{dx^3} - 5x \dfrac{dy}{dx} = e^x + 1$$
O termo mais derivado é derivado três vezes, logo terceira ordem. Veja que a função derivada é y com relação a x (dy em cima, dx embaixo), logo a função incógnita é y e a variável independente é x.
b) $$ty'' + t^2 y' - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1 \\ t \dfrac{d^2 y}{dt^2} + t^2 \dfrac{dy}{dt} - \sin{t} \sqrt{y} = t^2 - t + 1$$
O termo mais derivado é derivado duas vezes, logo segunda ordem. A função derivada é y com relação a t, então função incógnita y e variável independente t.
c) $$s^2 \dfrac{d^2 t}{ds^2} + st \dfrac{dt}{ds} = s$$
(não creio ser necessário a forma alternativa porque acredito ser muito mais visível essa forma que a outra, com a função incógnita em cima e a variável independente embaixo e tal, apesar de nem sempre ser assim)
O termo mais derivado é derivado duas vezes, segunda ordem. A função derivada é t com relação a s, função incógnita t e variável independente s.


E foi só isso mesmo. Já está pronta a lista aqui, e não pretendo demorar a deixá-la pronta no blog também, postarei o mais cedo possível pra ter bastante conteúdo pra estudar pras provas... Já que essa é uma das três? matérias com provas que podem ser bem pesadas.
Vale a pena lembrar também que estamos só vendo como matéria específica algo que vimos generalizado no cálculo III, então pra esse começo o conteúdo desse blog de Cálculo Diferencial e Integral III ajudará muito.

Aula V - Cálculo Diferencial e Integral III

Equações Diferenciais

- São equações que envolvem a função incógnita e suas derivadas. Exemplo:
$\dfrac{dT}{dt} = -K(T_c - T_m)$
Variável independente: t
Variável dependente: T

Equação Diferencial Ordinária: 1 variável independente
Equação Diferencial Parcial: 2 ou mais variáveis independentes
Exemplo de EDP:
$\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} - \dfrac{4\partial^2y}{\partial t^2} = 0$

Notação

$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dot{y}$
$y'' = \dfrac{d^2y}{dx^2} = \ddot{y}$
$y''', y^{(4)}, ...$

Classificação

 

Ordem

- A ordem de uma equação diferencial é a ordem da equação de maior ordem. Exemplo:
$\dfrac{d^2y}{dx^2} + 2\dfrac{dy}{dx} = e^x$
A equação de maior ordem é a primeira, que é de segunda ordem. Logo, essa é uma equação diferencial de segunda ordem.

 

Grau

- A maior potência da derivada de maior ordem. Exemplo:
$(\dfrac{dy}{dx})^2 - 3\dfrac{dy}{dx} = e^x$
As duas derivadas são da mesma ordem (1ª), enquanto a primeira derivada está elevada ao quadrado, o que configura em uma equação diferencial de segundo grau.

 

Linearidade 

Para que uma equação diferencial seja linear:
- A função incógnita e suas derivadas como de 1º grau;
- Cada coeficiente depende da mesma variável independente.
Exemplo de função que não é linear:
$y''' + y^2 = 0$
Note que a função y está elevada ao quadrado, assim tornando a equação de segundo grau, e não satisfazendo a primeira condição de uma equação diferencial linear.

Solução da Equação Diferencial

- É uma função y = f(x) a qual, juntamente com suas derivadas, satisfaz a equação dada. Exemplos:

Verifique se $y = x^2+5x$ é solução de $xy'' - y' + 5 = 0$.
Ok, esse exercício, como qualquer introdutório, é bem fácil: primeiro vamos descobrir as derivadas das duas ordens.
$y' = (x^{2})' + 5x' = 2x + 5$
$y'' = (2x+5)' = 2x' + 5' = 2 + 0 = 2$
E agora substituir na equação:
$x(2) - (2x+5) + 5 = 0$
$2x - 2x - 5 + 5 = 0$
$0 = 0$
Logo, a equação está satisfeita e o valor $y = x^2+5x$ é solução.

Verifique se, caso $y = \dfrac{1}{x^2+C}$, $y' = -2xy^2$.
Esse já é mais chatinho, mas calma, é só o final que tem um truquezinho básico. Só precisamos derivar, a princípio, veja:
$y' = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{x^2+c}) = \dfrac{d}{dx}(1*(x^2+c)^{-1}) = -(2x)*(x^2+c)^{-2}$
A quem não lembra o que foi feito aí, o que eu não acho difícil, puríssima regra da cadeia. Clássico do Cálculo I. A derivada da função de dentro, que fica 2x, vezes a derivada da função de fora, em que você trata a função de dentro como uma variável elevada a -1 e faz a regra do tombo com ele (cai -1, o expoente fica -2).
Agora, à manipulação:
$y' = -2x*(\dfrac{1}{x^2+c})^2$
Notem que tudo o que está elevado ao quadrado é o valor original de y, lá em cima, logo:
$y' = -2xy^2$

Os resultados batem, então sim, y e y' estão expressadas corretamente no enunciado.

E foi essa a última aula de cálculo. Espero que entendam bem esse início, porque EDO é o conteúdo que vamos carregar por esse cálculo e muito provavelmente por parte do próximo.