Ok, me ofereceram uma bolada de 150 dólares pra esquecer um pouco as férias e curtir cálculo III com a galera que ficou de exame, então aqui estou eu. O pedido foi queda livre, então peguei os... três exercícios do livro sobre queda livre pra resolver aqui detalhadamente pra vocês.
Como de costume, ressaltarei no final. Mas estudem bastante o primeiro, o segundo é deveras desnecessário do ponto de vista de uma prova de cálculo, e o terceiro será apenas no caso de ele querer usar queda livre como exam killer.
1. Deixa-se cair um corpo de 10 "slugs" de massa de uma altura de 1000 pés sem velocidade inicial. A resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo. Se a velocidade limite é 320 pés/s, determine:
a) uma expressão para a velocidade no instante t;
b) o tempo necessário para o corpo atingir a velocidade de 160 pés/s.
Ok, galera. Queda livre é um negócio menos complicado do que parece. Vamos começar lá do princípio, puxar a equação pelo esqueleto dela, e aí começamos a trabalhar porque aí dá pra entender bem. A equação usada aqui é:
$$F_g = ma + Kv$$
Sendo Fg a força da gravidade, m a massa do objeto, a a aceleração, K uma pequena proporcionalidade da resistência do ar e v a velocidade. Podemos igualar F a mg, ficando assim:
$$mg = ma + Kv$$
Passamos m dividindo tudo:
$$g = a + K \dfrac{v}{m}$$
Ok, mais uma consideração: quando a resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo, temos que aquela constante K é definida pela razão entre o peso (massa vezes aceleração da gravidade) e a velocidade inicial. Difícil de entender? Seguinte:
$$K = \dfrac{mg}{v_0}$$
Sempre quando o exercício disser "A resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo".
Substituindo isso na equação temos:
$$g = a + \dfrac{mg}{v_0} \times \dfrac{v}{m} = a + \dfrac{gv}{v_0}$$
Sendo assim, a equação está quase pronta pra gente trabalhar nela. Falta uma única consideração antes de jogar os valores constantes: note que a aceleração a é a derivada da velocidade com relação ao tempo, logo:
$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{gv}{v_0} = g$$
Agora sim temos uma equação diferencial bonita e gostosa de se trabalhar. Ao jogar os valores, só precisamos fazer uma consideração: no sistema de medidas utilizado no exercício (slugs, pés, etc.) a gravidade se dá por 32.2 pés/s², que o exercício nos dá a colher de chá pra arrendondar pra 32 pés/s². Logo, jogamos tudo o que o exercício nos dá:
$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{32}{320} v = 32 \\ \dfrac{dv}{dt} + 0.1v = 32$$
Resolvendo a equação diferencial usando o método do fator integrante:
$$I(t, v) = e^{\int 0.1 dt} = e^{0.1t}$$
$$e^{0.1t} [\dfrac{dv}{dt} + 0.1v] = 32e^{0.1t} \\ \dfrac{d}{dt} [ve^{0.1t}] = 32e^{0.1t}$$
Integrando dos dois lados:
$$ve^{0.1t} = 32 \dfrac{e^{0.1t}}{0.1} + C = 320e^{0.1t} + C$$
Isolando v:
$$v = 320 + Ce^{-0.1t}$$
Agora vamos analisar as informações que o exercício nos dá pra determinar a constante C: ele nos diz que não há velocidade inicial, o que indica que a velocidade inicial é 0. Logo, quando t = 0, v = 0. Podemos usar isso na equação:
$$v(0) = 320 + Ce^0 = 0 \\ 320 + C = 0 \\ C = -320$$
Sendo assim:
$$v = 320 - 320e^{-0.1t}$$
Essa é a resposta da letra a, que pede uma expressão para a velocidade no instante t. Como vê, a única variável da equação é t, o que indica que chegamos no melhor estado possível pra equação.
Tendo essa equação, no entanto, fica fácil resolver a letra b, que pede o tempo necessário para o corpo atingir 160 pés/s. Só substituir v por 160 e isolar t. Veja:
$$V(t) = 320 - 320^{-0.1t} = 160 \\ 320e^{-0.1t} = 320 - 160 = 160 \\ e^{-0.1t} = 0.5 \\ -0.1t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.1} = 6.93$$
Ou seja, o tempo necessário é de 6.93 segundos. Resolvido o primeiro exercício.
2. Lança-se um corpo de massa m verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Supondo nula resistência do ar, determine:
a) a equação do movimento no sistema de coordenadas da figura;
b) uma expressão para a velocidade do corpo no instante t;
c) o instante tm em que o corpo atinge altura máxima;
d) uma expressão para a posição do corpo no instante t;
e) a altura máxima atingida pelo corpo.
Vamos reconsiderar a equação que elaboramos anteriormente:
$$\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{Kv}{m} = g$$
Veja bem, o exercício nos dá uma ajudinha aqui: "supondo nula resistência do ar". Resistência do ar nula indica que a constante K é 0. E outra consideração relevante é o fato do corpo estar sendo lançado verticalmente para cima, sendo assim a gravidade se opõe a ele e numa análise vetorial mais complexa chegaríamos à inversão de sinais de g.
Mas olha, vamos apenas usar a lógica básica: no outro exercício o objeto tava descendo então g era positivo, nesse ele está subindo então g é negativo. Simples assim.
Logo:
$$\dfrac{dv}{dt} = -g$$
Essa é a resposta pra letra a. Para as outras vamos chegar através de integrais a todas as equações que nos jogaram no ensino médio. Veja bem, a letra b pede a velocidade do corpo no instante t. Se temos dv/dt, só integrar:
$$v = \int \dfrac{dv}{dt} dt = \int -g \\ v = -gt + C$$
Temos que a velocidade inicial (t = 0) é v0, então façamos essa substituição:
$$v(0) = C = v_0$$
Sendo assim:
$$v = v_0 - gt$$
Para determinar o instante tm aonde a altura é máxima, temos que usar aquele princípio básico de equação de segundo grau. Lembra? Máximos e mínimos. O valor máximo de uma parábola com concavidade pra baixo é descoberto ao igualar a derivada da função a 0. A função, no caso, é a posição. Ou seja:
$$\dfrac{ds}{dt} = 0$$
Sabemos pelas leis fundamentais da mecânica que a velocidade é a derivada da posição, logo usamos a equação que descobrimos anteriormente:
$$\dfrac{ds}{dt} = v_0 - gt \\ v_0 - gt = 0$$
Agora vamos fazer o seguinte: já que não temos valores constantes pra colocar aí, vamos isolar t e criar uma equação pra isso. É suficiente.
$$gt = v_0 \\ t = \dfrac{v_0}{g}$$
O outro exercício nos pede uma expressão para posição. Raciocínio lógico puro. Se a velocidade é a derivada da posição, a posição é a integral da velocidade, sendo assim vamos integrar aquela equação que achamos para a letra b.
$$S = \int (v_0 - gt) dt = v_0 t - g(\dfrac{1}{2} t^2) + C = v_0 t - \dfrac{gt^2}{2} + C$$
Temos que a posição inicial é 0. Logo, (t = 0, v = 0). Jogando os valores:
$$S(0) = 0v_0 - \dfrac{0g}{2} + C = 0 \\ C = 0$$
E a equação final é:
$$S = V_0 t - \dfrac{gt^2}{2}$$
E o último pede a altura máxima, não o tempo necessário pra ela. Mas bem, se temos o tempo necessário pra ela, é só substituir t pelo tm que descobrimos na letra c.
$$S_{max} = V_0 \dfrac{V_0}{g} - \dfrac{g}{2} (\dfrac{V_0}{g})^2 = \dfrac{V_0^2}{g} - \dfrac{gV_0^2}{2g^2} = \dfrac{V_0^2}{g} - \dfrac{V_0^2}{2g} = \dfrac{V_0^2}{2g}$$
E enfim está tudo resolvido. Parece meio confuso a parte de máximo e tal, mas duvido bastante que isso vá cair na prova, é só pra ter queda livre dissecada passo a passo.
3. Um corpo de 1 "slug" de massa é solto no espaço com velocidade inicial de 1 pé/s, e encontra uma resistência do ar dada exatamente por -8v². Determine a velocidade no instante t.
Parece o exercício mais fácil, mas é muito mais difícil que o primeiro também. Devido ao fato do corpo ser lançado no espaço, temos que estabelecer uma força com relação ao corpo, e não à gravidade. Assim:
$$F_c = F_g - 8v^2 \\ ma = mg - 8v^2 \\ m \dfrac{dv}{dt} = mg - 8v^2$$
Substituindo os valores que temos:
$$1 \dfrac{dv}{dt} = 1 \times 32 - 8v^2 = 32 - 8v^2$$
Ok, e agora? Fator integrante? Não. Não temos a equação no formato de fator integrante, o que vamos fazer é "brincar" com ela um pouquinho com aquele método distributivo que aprendemos lá no começo.
$$dv = (32 - 8v^2)dt \\ \dfrac{dv}{32 - 8v^2} = dt \\ \dfrac{dv}{32 - 8v^2} - dt = 0$$
Integrando toda a equação temos:
$$\int \dfrac{1}{32 - 8v^2} dv - \int dt = C$$
A segunda é fácil, a primeira vamos usar a ajuda das nossas boas calculadoras porque usa um método horrível. É muito duvidoso que caia algo do tipo na prova, então é só pra passar isso logo e ir pra parte que interessa mais: o resultado.
$$(\dfrac{1}{32} [\ln{|v + 2|} - \ln{|2 - v|}]) - t = C$$
Usando mais propriedades (lnA - lnB = lnA/lnB) pra simplificar o que queremos:
$$\dfrac{1}{32} [\ln{|\dfrac{2 + v}{2 - v}|}] = C + t \\ \ln{|\dfrac{2 + v}{2 - v}|} = 32C + 32t = K + 32t \\ \dfrac{2 + v}{2 - v} = e^{K + 32t}$$
Uma das respostas do livro chega nesse formato. A outra é v isolado bonitinho. Quem quiser isolar completamente v, tem essa saída brincando com álgebra até cansar (vou chamar convenientemente K + 32t de x).
A princípio, jogamos o 2 pro outro lado:
$$\dfrac{v}{2 - v} = e^x - \dfrac{2}{2 - v}$$
Depois multiplicamos os dois lados por 2-v pra deixar v sozinho:
$$v = e^x (2 - v) - \dfrac{2(2 - v)}{2 - v} = (2e^x) - ve^x - 2$$
Então passamos ve^x pro outro lado de novo, porque vamos fazer um jogo de fatoração bem interessante:
$$v + ve^x = 2e^x - 2$$
Fatorando:
$$v(1 + e^x) = 2e^x - 2$$
Isolando v:
$$v = \dfrac{2e^x - 2}{e^x + 1} = 2 \times \dfrac{e^{K + 32t} - 1}{e^{K + 32t} + 1}$$
Agora, claro, vamos descobrir o valor de K. Que aliás usaremos a seguinte propriedade:
$$e^{K + 32t} = e^K \times e^{32t} = xe^{32t}$$
Ou seja: descobriremos x. Muito mais fácil.
Sabemos que a velocidade inicial é 1, logo, quanto t = 0, v = 1. Então:
$$v(0) = \dfrac{2x e^0 - 2}{x e^0 + 1} = 1 \\ \dfrac{2x - 2}{x + 1} = 1 \\ 2x - 2 = x + 1 \\ 2x - x = 1 + 2 \\ x = 3$$
Sendo assim, as equações finais ficam, a seu critério, ou:
$$\dfrac{2 + v}{2 - v} = 3e^{32t}$$
Ou:
$$v = \dfrac{6e^{32t} - 2}{3e^{32t} + 1} = 2 \dfrac{(3e^{32t} - 1)}{(3e^{32t} + 1)}$$
E isso é tudo que o Bronson mais antigo tem sobre queda livre. Recomendo mesmo estudarem o primeiro se for cair novamente, os outros dois são muito mais complexos e duvido bastante que ele vá soltar na prova... Mas deixei aqui porque, se vocês entenderam os três, vocês dominaram a matéria e não passarão necessidade na prova de forma alguma.
Bons estudos, galera. Qualquer coisa é só me dar um toque.
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terça-feira, 10 de julho de 2012
terça-feira, 12 de junho de 2012
Lista VII - Cálculo Diferencial e Integral III
21. Coloca-se um corpo à temperatura de 0°F em um quarto mantido à temperatura constante de 100°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 25°, determine:
a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50° F;
b) a temperatura do corpo após 20 minutos.
Exercício bem simples, bem começo de lista mesmo. O esquema é lembrar já de cara da equação de Newton... Aquela mesmo:
$$T' + KT = KT_m$$
Vamos precisar trabalhar essa equação a partir do fator integrante pra descobrir uma expressão válida pra T. Veja bem. T' é dT/dt, K é uma constante que não temos, T é a temperatura e Tm é a temperatura do ambiente. Disso tudo, fomos informados que o quarto tem temperatura constante de 100°F, e nada mais; então é a única coisa que podemos substituir.
$$T' + KT = 100K$$
Agora vamos resolver a equação diferencial:
$$I(t, T) = e^{\int Kdt} = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 100K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 100K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 100K dt = 100e^{Kt} + C \\ T = 100 + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
(se não entendeu a resolução, é recomendável que revise a lista anterior de cálculo)
Ok, temos essa pré-equação aí, mas temos duas constantes não-resolvidas aí. C e K. Temos também duas informações prévias que podemos usar agora, mas não fazia sentido anteriormente. Primeiro, a temperatura do corpo ao ser colocada no ambiente é 0°F, o que indica que sua temperatura inicial T(0) é 0°F. Outra informação é que, em T(10) é 25°F. A informação mais conveniente no momento é T(0) para determinar C.
Veja:
$$T(0) = 100 + Ce^{-0K} = 0 \\ 100 + Ce^0 = 0 \\ 100 + C = 0 \\ C = -100$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-Kt}$$
E agora convém usar a segunda informação a nosso favor.
$$T(10) = 100 - 100e^{-10K} = 25 \\ -100e^{-10K} = 25-100 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} \approx 0.029$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-0.029t}$$
Agora dá pra resolver o exercício.
O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50°F. Temos que T(t) = 50°F. Queremos descobrir o valor de t e, colocando o resultado, vemos que t é a única variável que sobra, então podemos resolver.
$$T(t) = 100 - 100e^{-0.029t} = 50 \\ -100e^{-0.029t} = 50 - 100 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Ou seja, em aproximadamente 23.9 minutos.
A temperatura do corpo após 20 minutos. Mais fácil que o primeiro, bem mais fácil. Temos o valor de t, não temos a resposta, então é só jogar no lugar de t na equação e resolver.
$$T = 100 - 100e^{-0.029 \times 20} = 100 - \dfrac{100}{e^{0.58}} = 100 - 55.99 \approx 44.01°F$$
Resolvido. Próximo.
22. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0°F. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40°F e após 40 minutos é 20, determine a temperatura inicial do corpo.
Ok, temos a seguinte informação inicial pra equação: a temperatura do ambiente é 0°F. Nada mais, só isso. E é suficiente pra resolver bem a equação, quer ver?
$$T' + KT = 0K = 0 \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = 0 \\ e^{Kt}T = C \\ T = Ce^{-Kt}$$
Vejamos agora. Temos duas informações, a primeira é: T(20) = 40, T(40) = 20. Se você analisar, nenhuma delas vai anular alguma variável pra gente trabalhar com a outra, então vamos ver:
$$Ce^{-20K} = 40 \\ \ln{Ce^{-20K}} = \ln{40} \\ \ln{C} + \ln{e^{-20K}} \approx 3.69 \\ \ln{C} - 20K = 3.69$$
$$Ce^{-40K} = 20 \\ ln{Ce^{-40K}} = \ln{20} \\ ln{C} + \ln{e^{-40K}} \approx 2.99 \\ \ln{C} - 40K = 2.99$$
Temos aqui um sistema linear com duas variáveis e duas expressões. Bem simples, podemos resolvê-lo simplesmente invertendo o sinal de uma das expressões pra cortar o lnC, assim:
$$\begin{cases} \ln{C} - 20K = 3.69 \\
-\ln{C} + 40K = -2.99 \end{cases} \\ 20K = 0.7 \\ K = \dfrac{0.7}{20} = 0.035$$
Ok, agora para C:
$$\ln{C} - 20 \times 0.035 = 3.69 \\ \ln{C} = 3.69 + 0.7 = 4.39 \\ C = e^{4.39} \approx 80.64$$
Logo, a equação final é:
$$T = 80.64e^{-0.035t}$$
Sendo assim, o T inicial T(0) é:
$$T(0) = 80.64e^{-0.035 \times 0} = 80.64e^0 = 80.64$$
E essa é a resposta do exercício.
23. Um corpo à temperatura de 50°F é colocado em um forno cuja temperatura é mantida a 150°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 75°F, determine o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 100°F.
Temperatura ambiente Tm é 150°F. O resto não tem nada. Já basta pra iniciar a equação diferencial:
$$T' + KT = 150K \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 150K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 150K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 150K dt = 150e^{Kt} + C \\ T = 150 + Ce^{-Kt}$$
Agora outras informações: T(0) = 50, T(10) = 75. T(0) sempre é conveniente pra descobrir a constante C, então usaremos ele:
$$T(0) = 150 + Ce^0 = 50 \\ C = 50 - 150 = -100 \\ T = 150 - 100e^{-Kt}$$
$$T(10) = 150 - 100e^{-10K} = 75 \\ -100e^{-10K} = 75 - 150 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} = 0.029 \\ T = 150 - 100e^{-0.029t}$$
Equação igualzinha a de outro exercício lá. Agora vamos resolver o exercício T(t) = 100. Veja bem:
$$T = 150 - 100e^{-0.029t} = 100 \\ -100e^{-0.029t} = 100 - 150 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Sim. É o mesmo resultado da 21. Próxima.
24. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Se, para uma quantidade inicial de uma substância de 100 miligramas, se observa um decréscimo de 5% após dois anos, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante no tempo t;
b) o tempo necessário para uma redução de 10% da quantidade inicial.
Crescimento e decrescimento é sempre o mais fácil, porque sempre depende de pouca coisa. Veja, a equação diferencial pra decrescimento é: N' - KN = 0. Sendo a massa da substância N e K uma constante da equação. Vamos resolvê-la:
$$I(t, N) = e^{\int -Kdt} = e^{-Kt} \\ e^{-Kt} [N' - KN] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{-Kt} N] = 0 \\ e^{-Kt} N = C \\ N = Ce^{Kt}$$
Ok, ok. Sabemos que N é a massa, e que a massa inicial N(0) é igual a 100mg. Substituímos os valores na equação:
$$100 = Ce^0 = C \\ N = 100e^{Kt}$$
E temos que essa massa diminui 5% após dois anos. Se temos 100mg e diminuímos 5%, temos 95mg (hurr). O tempo é 2 anos. Substituímos na equação:
$$95 = 100e^{2K} \\ e^{2K} = \dfrac{95}{100} = 0.95 \\ 2K = \ln{0.95} \approx -0.051 \\ K = \dfrac{-0.051}{2} = -0.026 \\ N = 100e^{-0.026t}$$
Precisamos agora determinar o tempo necessário pra uma redução de 10% da quantidade inicial. Retirando 10% de 100mg temos 90mg, então só substituir N:
$$90 = 100e^{-0.026t} \\ e^{-0.026t} = 0.9 \\ -0.026t = \ln{0.9} = -0.105 \\ t = \dfrac{-0.105}{-0.026} \approx 4.05$$
Ou seja, 4.05 anos. Essa é a resposta.
25. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após uma hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a "meia-vida" (half life) da substância. (Sugestão: designe por N0 a quantidade inicial da substância. Não é preciso conhecer N0 explicitamente)
Nem precisamos trabalhar a equação pra saber que será a mesma coisa da anterior. Não tem valor do outro lado, não tem nem como mudar.
Então, vamos seguir a dica do exercício e determinar um N0 para o momento inicial N(0):
$$N_0 = Ce^{0} = C \\ N = N_0 e^{Kt}$$
Agora temos a informação de que há redução de 10% da quantidade inicial quando se passa uma hora. A massa restante, obviamente, é 90%. Representamos 90% da massa inicial por 0.9N0, assim:
$$0.9N_0 = N_0 e^{1K} \\ e^K = 0.9 \\ K = \ln{0.9} \approx -0.105 \\ N = N_0 e^{-0.105t}$$
A meia-vida da substância é quanto ela tem metade, 50%, da massa inicial. Sendo assim, 0.5N0:
$$0.5N_0 = N_0 e^{-0.105t} \\ e^{-0.105t} = 0.5 \\ -0.105t = \ln{0.5} = -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.105} \approx 6.6$$
Exato, 6.6 horas.
26. Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial.
A equação é a mesma: N' - KN = 0. Como tal, vamos usar a solução inicial das outras questões de crescimento/decrescimento. Também podemos nos estender ainda mais e usar aquela solução com N0 do exercício passado. No caso:
$$N = N_0 e^{Kt}$$
Temos duas informações: após 10 anos, a população triplica, ou seja, é de 3N0. Após 20 anos, é de 150k habitantes. Perceba que se usarmos N0 do outro lado, podemos cortar os dois N0 e deixar apenas K de variável, assim podendo determiná-la... Então, bem, compensa mais usar a informação que temos com 10 anos.
$$3N_0 = N_0 e^{10K} \\ e^{10K} = 3 \\ 10K = \ln{3} \approx 1.099 \\ K = \dfrac{1.099}{10} \approx 0.109 \\ N = N_0 e^{0.109t}$$
Agora podemos usar a segunda informação para isolar e descobrir N0, veja:
$$150000 = N_0 e^{0.109 \times 20} = N_0 e^{2.18} \\ N_0 = \dfrac{150000}{e^{2.18}} \approx 16956$$
Ou seja, a população inicial era de aproximadamente 16956 habitantes.
Sendo assim, estão resolvidos todos os exercícios do livro recomendado a respeito de variação de temperatura e crescimento/decrescimento de dados diversos. Os próximos são os de circuitos, e os próximos de queda livre. Posso chegar a resolver os de escoamento e de trajetória ortogonal também, mas como não foi conteúdo em sala, não creio que vá cair na prova e não darei prioridade nenhuma a eles.
No mais, é isso. Bom dia a todos!
a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50° F;
b) a temperatura do corpo após 20 minutos.
Exercício bem simples, bem começo de lista mesmo. O esquema é lembrar já de cara da equação de Newton... Aquela mesmo:
$$T' + KT = KT_m$$
Vamos precisar trabalhar essa equação a partir do fator integrante pra descobrir uma expressão válida pra T. Veja bem. T' é dT/dt, K é uma constante que não temos, T é a temperatura e Tm é a temperatura do ambiente. Disso tudo, fomos informados que o quarto tem temperatura constante de 100°F, e nada mais; então é a única coisa que podemos substituir.
$$T' + KT = 100K$$
Agora vamos resolver a equação diferencial:
$$I(t, T) = e^{\int Kdt} = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 100K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 100K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 100K dt = 100e^{Kt} + C \\ T = 100 + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
(se não entendeu a resolução, é recomendável que revise a lista anterior de cálculo)
Ok, temos essa pré-equação aí, mas temos duas constantes não-resolvidas aí. C e K. Temos também duas informações prévias que podemos usar agora, mas não fazia sentido anteriormente. Primeiro, a temperatura do corpo ao ser colocada no ambiente é 0°F, o que indica que sua temperatura inicial T(0) é 0°F. Outra informação é que, em T(10) é 25°F. A informação mais conveniente no momento é T(0) para determinar C.
Veja:
$$T(0) = 100 + Ce^{-0K} = 0 \\ 100 + Ce^0 = 0 \\ 100 + C = 0 \\ C = -100$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-Kt}$$
E agora convém usar a segunda informação a nosso favor.
$$T(10) = 100 - 100e^{-10K} = 25 \\ -100e^{-10K} = 25-100 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} \approx 0.029$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-0.029t}$$
Agora dá pra resolver o exercício.
O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50°F. Temos que T(t) = 50°F. Queremos descobrir o valor de t e, colocando o resultado, vemos que t é a única variável que sobra, então podemos resolver.
$$T(t) = 100 - 100e^{-0.029t} = 50 \\ -100e^{-0.029t} = 50 - 100 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Ou seja, em aproximadamente 23.9 minutos.
A temperatura do corpo após 20 minutos. Mais fácil que o primeiro, bem mais fácil. Temos o valor de t, não temos a resposta, então é só jogar no lugar de t na equação e resolver.
$$T = 100 - 100e^{-0.029 \times 20} = 100 - \dfrac{100}{e^{0.58}} = 100 - 55.99 \approx 44.01°F$$
Resolvido. Próximo.
22. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0°F. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40°F e após 40 minutos é 20, determine a temperatura inicial do corpo.
Ok, temos a seguinte informação inicial pra equação: a temperatura do ambiente é 0°F. Nada mais, só isso. E é suficiente pra resolver bem a equação, quer ver?
$$T' + KT = 0K = 0 \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = 0 \\ e^{Kt}T = C \\ T = Ce^{-Kt}$$
Vejamos agora. Temos duas informações, a primeira é: T(20) = 40, T(40) = 20. Se você analisar, nenhuma delas vai anular alguma variável pra gente trabalhar com a outra, então vamos ver:
$$Ce^{-20K} = 40 \\ \ln{Ce^{-20K}} = \ln{40} \\ \ln{C} + \ln{e^{-20K}} \approx 3.69 \\ \ln{C} - 20K = 3.69$$
$$Ce^{-40K} = 20 \\ ln{Ce^{-40K}} = \ln{20} \\ ln{C} + \ln{e^{-40K}} \approx 2.99 \\ \ln{C} - 40K = 2.99$$
Temos aqui um sistema linear com duas variáveis e duas expressões. Bem simples, podemos resolvê-lo simplesmente invertendo o sinal de uma das expressões pra cortar o lnC, assim:
$$\begin{cases} \ln{C} - 20K = 3.69 \\
-\ln{C} + 40K = -2.99 \end{cases} \\ 20K = 0.7 \\ K = \dfrac{0.7}{20} = 0.035$$
Ok, agora para C:
$$\ln{C} - 20 \times 0.035 = 3.69 \\ \ln{C} = 3.69 + 0.7 = 4.39 \\ C = e^{4.39} \approx 80.64$$
Logo, a equação final é:
$$T = 80.64e^{-0.035t}$$
Sendo assim, o T inicial T(0) é:
$$T(0) = 80.64e^{-0.035 \times 0} = 80.64e^0 = 80.64$$
E essa é a resposta do exercício.
23. Um corpo à temperatura de 50°F é colocado em um forno cuja temperatura é mantida a 150°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 75°F, determine o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 100°F.
Temperatura ambiente Tm é 150°F. O resto não tem nada. Já basta pra iniciar a equação diferencial:
$$T' + KT = 150K \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 150K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 150K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 150K dt = 150e^{Kt} + C \\ T = 150 + Ce^{-Kt}$$
Agora outras informações: T(0) = 50, T(10) = 75. T(0) sempre é conveniente pra descobrir a constante C, então usaremos ele:
$$T(0) = 150 + Ce^0 = 50 \\ C = 50 - 150 = -100 \\ T = 150 - 100e^{-Kt}$$
$$T(10) = 150 - 100e^{-10K} = 75 \\ -100e^{-10K} = 75 - 150 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} = 0.029 \\ T = 150 - 100e^{-0.029t}$$
Equação igualzinha a de outro exercício lá. Agora vamos resolver o exercício T(t) = 100. Veja bem:
$$T = 150 - 100e^{-0.029t} = 100 \\ -100e^{-0.029t} = 100 - 150 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Sim. É o mesmo resultado da 21. Próxima.
24. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Se, para uma quantidade inicial de uma substância de 100 miligramas, se observa um decréscimo de 5% após dois anos, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante no tempo t;
b) o tempo necessário para uma redução de 10% da quantidade inicial.
Crescimento e decrescimento é sempre o mais fácil, porque sempre depende de pouca coisa. Veja, a equação diferencial pra decrescimento é: N' - KN = 0. Sendo a massa da substância N e K uma constante da equação. Vamos resolvê-la:
$$I(t, N) = e^{\int -Kdt} = e^{-Kt} \\ e^{-Kt} [N' - KN] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{-Kt} N] = 0 \\ e^{-Kt} N = C \\ N = Ce^{Kt}$$
Ok, ok. Sabemos que N é a massa, e que a massa inicial N(0) é igual a 100mg. Substituímos os valores na equação:
$$100 = Ce^0 = C \\ N = 100e^{Kt}$$
E temos que essa massa diminui 5% após dois anos. Se temos 100mg e diminuímos 5%, temos 95mg (hurr). O tempo é 2 anos. Substituímos na equação:
$$95 = 100e^{2K} \\ e^{2K} = \dfrac{95}{100} = 0.95 \\ 2K = \ln{0.95} \approx -0.051 \\ K = \dfrac{-0.051}{2} = -0.026 \\ N = 100e^{-0.026t}$$
Precisamos agora determinar o tempo necessário pra uma redução de 10% da quantidade inicial. Retirando 10% de 100mg temos 90mg, então só substituir N:
$$90 = 100e^{-0.026t} \\ e^{-0.026t} = 0.9 \\ -0.026t = \ln{0.9} = -0.105 \\ t = \dfrac{-0.105}{-0.026} \approx 4.05$$
Ou seja, 4.05 anos. Essa é a resposta.
25. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após uma hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a "meia-vida" (half life) da substância. (Sugestão: designe por N0 a quantidade inicial da substância. Não é preciso conhecer N0 explicitamente)
Nem precisamos trabalhar a equação pra saber que será a mesma coisa da anterior. Não tem valor do outro lado, não tem nem como mudar.
Então, vamos seguir a dica do exercício e determinar um N0 para o momento inicial N(0):
$$N_0 = Ce^{0} = C \\ N = N_0 e^{Kt}$$
Agora temos a informação de que há redução de 10% da quantidade inicial quando se passa uma hora. A massa restante, obviamente, é 90%. Representamos 90% da massa inicial por 0.9N0, assim:
$$0.9N_0 = N_0 e^{1K} \\ e^K = 0.9 \\ K = \ln{0.9} \approx -0.105 \\ N = N_0 e^{-0.105t}$$
A meia-vida da substância é quanto ela tem metade, 50%, da massa inicial. Sendo assim, 0.5N0:
$$0.5N_0 = N_0 e^{-0.105t} \\ e^{-0.105t} = 0.5 \\ -0.105t = \ln{0.5} = -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.105} \approx 6.6$$
Exato, 6.6 horas.
26. Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial.
A equação é a mesma: N' - KN = 0. Como tal, vamos usar a solução inicial das outras questões de crescimento/decrescimento. Também podemos nos estender ainda mais e usar aquela solução com N0 do exercício passado. No caso:
$$N = N_0 e^{Kt}$$
Temos duas informações: após 10 anos, a população triplica, ou seja, é de 3N0. Após 20 anos, é de 150k habitantes. Perceba que se usarmos N0 do outro lado, podemos cortar os dois N0 e deixar apenas K de variável, assim podendo determiná-la... Então, bem, compensa mais usar a informação que temos com 10 anos.
$$3N_0 = N_0 e^{10K} \\ e^{10K} = 3 \\ 10K = \ln{3} \approx 1.099 \\ K = \dfrac{1.099}{10} \approx 0.109 \\ N = N_0 e^{0.109t}$$
Agora podemos usar a segunda informação para isolar e descobrir N0, veja:
$$150000 = N_0 e^{0.109 \times 20} = N_0 e^{2.18} \\ N_0 = \dfrac{150000}{e^{2.18}} \approx 16956$$
Ou seja, a população inicial era de aproximadamente 16956 habitantes.
Sendo assim, estão resolvidos todos os exercícios do livro recomendado a respeito de variação de temperatura e crescimento/decrescimento de dados diversos. Os próximos são os de circuitos, e os próximos de queda livre. Posso chegar a resolver os de escoamento e de trajetória ortogonal também, mas como não foi conteúdo em sala, não creio que vá cair na prova e não darei prioridade nenhuma a eles.
No mais, é isso. Bom dia a todos!
terça-feira, 5 de junho de 2012
Lista VI - Cálculo Diferencial e Integral III
Bem, essa lista (ou essas páginas) são todinhas de resolução de equações diferenciais com o uso do fator integrante. Nenhuma aplicação, nada, só a resolução pura. Bom pra treinar inicialmente.
1.
$$y' - 7y = e^x$$
Se pensarmos no formado y' + p(x)y = q(x), temos que p(x) é -7. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x}$$
Multiplicando o fator integrante dos dois lados:
$$e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \times e^{x} = e^{-6x}$$
Aplicando a propriedade I(x, y) * [y' - 7y] = d[I(x, y) * y]/dx, fica:
$$\dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = e^{-6x}$$
Integrando os dois lados:
$$e^{-7x} \times y = \int e^{-6x}dx = -\dfrac{1}{6} e^{-6x} + C$$
Isolando y:
$$y = -\dfrac{e^{-6x}}{6 e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = - \dfrac{1}{6 e^{-x}} + Ce^{-7x} = - \dfrac{1}{6} e^x + Ce^{7x}$$
2.
$$y' - 7y = 14x$$
p(x) = -7, assim como no exercício anterior. Sendo assim, vamos apenas repetir os passos de antes:
$$I(x, y) = e^{\int -7dx} = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = 14x \times e^{-7x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} \times y] = 14x \times e^{-7x}$$
$$e^{-7x} \times y = \int 14x \times e^{-7x} dx = \\ 14 \int xe^{-7x} dx = 14 [x(\dfrac{e^{-7x}}{-7}) - \int \dfrac{e^{-7x}}{-7} \times 1 dx] = \\ 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} + \dfrac{1}{7} \dfrac{e^{-7x}}{-7}] = 14 [-x \dfrac{e^{-7x}}{7} - \dfrac{e^{-7x}}{49}] = \\ 2xe^{-7x} - \dfrac{2}{7} e^{-7x} + C$$
$$y = \dfrac{-2xe^{-7x}}{e^{-7x}} - \dfrac{2e^{-7x}}{e^{-7x}} + \dfrac{C}{e^{-7x}} = -2x - \dfrac{2}{7} + Ce^{7x}$$
Foi usado o conceito de integral por partes aqui, presumo que estejam familiarizados.
3.
$$y' - 7y = \sin{2x}$$
p(x) continua sendo o mesmo.
$$I(x, y) = e^{-7x} \\ e^{-7x} [y' - 7y] = e^{-7x} \sin{2x} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{-7x} y] = e^{-7x} \sin{2x}$$
Pela existência de um número de Euler e um seno ambos no mesmo grau, já dá pra se presumir que haverá uma integral ciclica. E sim, haverá, aí vem:
$$e^{-7x} y = \int e^{-7x} \sin{2x} dx = e^{-7x} (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) - \int (\dfrac{-\cos{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \cos{2x} dx = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [e^{-7x} (\dfrac{\sin{2x}}{2}) - \int (\dfrac{\sin{2x}}{2}) \times (-7e^{-7x}) dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{2} [\dfrac{1}{2} e^{-7x} \sin{2x} + \dfrac{7}{2} \int e^{-7x} \sin{2x} dx] = \\ -\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x} - \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
Como essa é a volta ao ciclo inicial, só jogar pro outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx + \dfrac{49}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{53}{4} \int e^{-7x} \sin{2x} dx$$
E jogar a fração de volta dividindo tudo o que está do outro lado:
$$\int e^{-7x} \sin{2x} dx = \dfrac{4}{53} [-\dfrac{1}{2} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{4} e^{-7x} \sin{2x}] = \\ -\dfrac{4}{106} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{28}{212} e^{-7x} \sin{2x} = \\ -\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C$$
Ok, ok, é esse o resultado da integral. Mas ainda precisamos passar o número de Euler dividindo:
$$y = \dfrac{1}{e^{-7x}}[-\dfrac{2}{53} e^{-7x} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} e^{-7x} \sin{2x} + C] \\ = -\dfrac{2}{53} \cos{2x} - \dfrac{7}{53} \sin{2x} + Ce^{7x}$$
Complicadinha, mas resolvida.
4..
$$y' + x^2 y = x^2$$
p(x) agora é x², logo:
$$I(x, y) = e^{\int x^2 dx} = e^{x^3/3} \\ e^{x^3/3} [y' + x^2 y] = e^{x^3/3} x^2 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^3/3} y] = e^{x^3/3} x^2$$
Integrando dos dois lados:
$$e^{x^3/3} y = \int e^{x^3/3} x^2 dx = \int e^u x^2 \dfrac{du}{\dfrac{3x^2}{3}} = \int e^u du = e^u + C = e^{x^3/3} + C$$
Passando número de Euler pro outro lado:
$$y = \dfrac{e^{x^3/3}}{e^{x^3/3}} + \dfrac{C}{e^{x^3/3}} = 1 + Ce^{-x^3/3}$$
5.
$$y' + \dfrac{2}{x} y = x; y(1) = 0$$
Agora há um diferencial: tem um valor inicial dado pra gente descobrir C, mas fora isso é igual todas as outras. Primeiro, como todas as outras, vamos resolver a parte que não precisa jogar valor:
p(x), como visto, é 2/x. Logo:
$$I(x, y) = e^{\int \dfrac{2}{x} dx} = e^{2 \int \dfrac{1}{x} dx} = e^{2 ln|x|} = e^{ln|x^2|} = x^2$$
Multiplicando os dois lados:
$$x^2 [y' + \dfrac{2}{x} y] = x^2 x \\ \dfrac{d}{x} [yx^2] = x^3$$
Integrando os dois lados:
$$yx^2 = \dfrac{x^4}{4} + C$$
Isolando y:
$$y = \dfrac{x^4}{4x^2} + \dfrac{C}{x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{C}{x^2}$$
Agora sim. Temos que, quando x é 1, y é 0. Então vamos substituir os valores e isolar C:
$$0 = \dfrac{1}{4} \times 1^2 + \dfrac{C}{1^2} = \dfrac{1}{4} + C \\ C = -\dfrac{1}{4}$$
Substituindo C na equação final:
$$y = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4x^2} = \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{4} x^{-2} = \dfrac{1}{4} [x^2 - x^{-2}]$$
6.
$$y' + 6xy = 0; y(\pi) = 5$$
Obviamente, p(x) = 6x. Então:
$$I(x, y) = e^{\int 6x dx} = e^{3x^2} \\ e^{3x^2} [y' + 6xy] = 0 \\ \dfrac{d}{x} [e^{3x^2} y] = 0 \\ e^{3x^2} y = C \\ y = \dfrac{C}{e^{3x^2}} = Ce^{-3x^2}$$
Jogando os valores:
$$Ce^{-3\pi^2} = 5 \\ \dfrac{C}{e^{3\pi^2}} = 5 \\ C = 5e^{3\pi^2}$$
E é isso aí mesmo, o livro não fica arredondando então não tem pra que a gente fazer isso. Só substituir:
$$y = 5e^{3\pi^2} \times e^{-3x^2} = 5e^{3(\pi^2 - x^2)}$$
E pra ficar da mesma maneira do livro, invertemos os sinais lá em cima só:
$$y = 5e^{-3(x^2 - \pi^2)}$$
7.
$$y' - \dfrac{3}{x^2}y = \dfrac{1}{x^2}$$
p(x) fica -3/x², assim:
$$I(x, y) = e^{\int -3/x^2} = e^{3/x} \\ e^{3/x} [y' - \dfrac{3}{x^2}y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ \dfrac{d}{dx} [e^{3/x} y] = \dfrac{e^{3/x}}{x^2} \\ e^{3/x} y = \int \dfrac{e^{3/x}}{x^2} dx = \int \dfrac{e^u}{x^2} \dfrac{dx}{\dfrac{-3}{x^2}} = \dfrac{-1}{3} e^u = \dfrac{-1}{3} e^{3/x} + C \\ y = -\dfrac{1}{3} + Ce^{-3/x}$$
8.
$$y' = \cos{x}$$
Não entendi ao certo porque essa questão tá aqui, mas pela praticidade vamos só integrar por favor:
$$\dfrac{dy}{dx} = \cos{x} \\ y = \int \cos{x} dx = \sin{x} + C$$
9.
$$y' + 2xy = 2x^3; y(0) = 1$$
p(x) é facilmente identificável como 2x.
$$I(x, y) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2} \\ e^{x^2} [y' + 2xy] = e^{x^2} 2x^3 \\ \dfrac{d}{dx} [e^{x^2} y] = e^{x^2} 2x^3 \\ e^{x^2} y = \int e^{x^2} 2x^3 dx$$
Essa integral é massa. Não, sério. O truque que vou fazer aqui é muito bom, milagre da lógica: vamos chamar x² de u pra ver no que vai dar:
$$\int e^u u 2x dx$$
Eita... Agora notem o seguinte: deriva x² pra ver no que dá. 2x, certo? Não bate com o que sobrou ali? Podemos então chamar 2xdx de du. Fica assim:
$$e^{x^2} y = \int e^u udu = u e^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C = x^2 e^{x^2} - e^{x^2} + C \\ y = x^2 - 1 + Ce^{-x^2}$$
Jogando os valores:
$$y(0) = 0 - 1 + Ce^0 = 1 \\ -1 + C = 1 \\ C = 1+1 = 2$$
E substituindo C:
$$y = x^2 - 1 + 2e^{-x^2}$$
O resto eu até consegui resolver, mas foi de uma metodologia estranha usando tangente hiperbólica e coisa pior ainda que foi só usando calculadora mesmo, não entendi nada. Então deixo pra vocês até aqui mesmo, já em seguida vou botar os exercícios de aplicação que consegui.
Bom dia a todos!
quinta-feira, 24 de maio de 2012
Aula VIII - Cálculo Diferencial e Integral III
Circuitos Elétricos
Tipo RL
$$\Sigma U = 0 \\
-E + RI + L \dfrac{dI}{dt} = 0 \\
I' + \dfrac{R}{L} I = \dfrac{E}{L}$$
Grandezas
R: resistência em ohms
E: tensão em volts
L: indutância em henries
I: corrente em ampère
Tipo RC
$$-E + RI + \dfrac{q}{C} = 0 \\
R \dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = E \\
q' + \dfrac{q}{RC} = \dfrac{E}{R}$$
Grandezas além do RL
C: capacitância em farads
Exercício 1
$$E = 5V \\R = 50\Omega \\
L = 1H \\
I(0) = 0$$
Ou seja, temos um circuito RL e alguns valores definidos. Lembre-se que a equação do circuito RL, que é I' + RI/L = E/L. Temos aí o E, o R e o L. É só substituir e manipular a equação diferencial pra chegar ao que queremos.
$$I' + \dfrac{R}{L} I = \dfrac{E}{L} \\
I' + \dfrac{50\Omega}{1H} I = \dfrac{5V}{1H} \\
I' + 50I = 5$$
No caso, vemos que p(t) é esse 50 que acompanha o I. Então o fator integrante será:
$$I(t, i) = e^{\int p(t) dt} = e^{50 \int dt} = e^{50t}$$
Multiplicando tudo pelo fator integrante:
$$e^{50t} [I' + 50I] = 5e^{50t}$$
Usando a propriedade de Newton:
$$\dfrac{d}{dt} [e^{50t} I] = 5e^{50t}$$
Integrando os dois lados:
$$e^{50t} I = \int 5e^{50t}dt = 5 \int e^{50t}dt = \dfrac{5}{50} e^{50t} + C = \dfrac{1}{10} e^{50t} + C$$
Isolando I:
$$I = \dfrac{e^{50t}}{10e^{50t}} + \dfrac{C}{e^{50t}} = \dfrac{1}{10} + Ce^{-50t}$$
Essa é a equação sem determinar a constante C. Para isso, o exercício nos dá a informação de que I(0) = 0. Vamos substituir esses valores na equação:
$$I(0) = \dfrac{1}{10} + Ce^{0} = 0 \\
\dfrac{1}{10} + C = 0 \\
C = -\dfrac{1}{10}$$
Logo:
$$I = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{10} e^{-50t}$$
E está resolvido o exercício.
Um detalhe interessante a se apresentar é que, quando o tempo tende a infinito, tende a sobrar apenas aquela constante 1/10 que é o que chamamos de corrente estacionária. Quando consideramos a equação toda, temos a corrente transitória.
Exercício 2
Escreva a equação da corrente estacionária (1) na forma de (2):$$1. \dfrac{30}{101} \sin{2t} - \dfrac{3}{101} \cos{2t} \\
2. I = A \sin{(2t - \phi)}$$
Ok, aqui precisaremos tratar tudo muito matematicamente. Primeiro, queremos aquele modelo lá com dois elementos dentro do seno. Sabemos que a propriedade trigonométrica pra dois termos subtraindo é:
$$\sin{(a - b)} = \sin{a} \cos{b} - \sin{b} \cos{a}$$
Se multiplicarmos a expressão por A, temos:
$$A \sin{(a - b)} = A \sin{a} \cos{b} - A \sin{b} \cos{a}$$
Agora substituindo os termos:
$$A \sin{(2t - \phi)} = A \sin{2t} \cos{\phi} - A \sin{\phi} \cos{2t}$$
Perceba que temos uma expressão ligeiramente semelhante à equação 1. Fora os senos/cossenos de phi. Mas é um termo A multiplicando um seno/cosseno de 2t. Podemos então fazer a seguinte analogia:
$$A \sin{2t} \cos{\phi} = (A \cos{\phi}) \sin{2t} \\
A \cos{2t} \sin{\phi} = (A \sin{\phi}) \cos{2t}$$
E sabemos que o que está multiplicando o seno de 2t na primeira equação é 30/101 e o cosseno -3/101. Então podemos, de certa forma, concluir que:
$$A \cos{\phi} = \dfrac{30}{101} \\
A \sin{\phi} = -\dfrac{3}{101}$$
Ao invés de trabalhar a equação toda, vamos trabalhar SÓ essas duas equações para descobrir o valor de A. Temos a seguinte soma:
$$A \cos{\phi} + A \sin{\phi} = \dfrac{30}{101} - \dfrac{3}{101} \\
A (\cos{\phi} + \sin{\phi}) = \dfrac{30}{101} + \dfrac{-3}{101}$$
E como escapar disso? Elevemos tudo ao quadrado:
$$A^2 (\cos^2{\phi} + \sin^2{\phi}) = (\dfrac{30}{101})^2 + (\dfrac{-3}{101})^2$$
Por relação trigonométrica, temos que cos² + sin² = 1. Então podemos simplesmente tirá-los da equação. Temos que:
$$A^2 * 1 = \dfrac{909}{101^2}$$
Sendo assim, passando a potência pro outro lado em forma de raiz, temos:
$$A = \sqrt{\dfrac{909}{101^2}} = \sqrt{\dfrac{9*101}{101^2}} = \sqrt{\dfrac{9}{101}} = \dfrac{3}{\sqrt{101}}$$
Poderíamos arredondar, fazer um monte de coisa... Mas o livro deixou assim, provavelmente por não ser muito fã de arredondamentos. Mas enfim, vamos brincar um pouquinho mais com essas duas expressões pra poder descobrir o ângulo phi. Bolemos a seguinte divisão:
$$\dfrac{A \sin{\phi}}{A \cos{\phi}}$$
Notem que temos os dois termos, então vamos dividi-los:
$$\dfrac{A \sin{\phi}}{A \cos{\phi}} = \dfrac{\dfrac{-3}{101}}{\dfrac{30}{101}} = \dfrac{-3 * 101}{101 * 30} = \dfrac{-3}{30} = \dfrac{-1}{10}$$
Temos também que Asin/Acos você acaba cortando os A, então:
$$\dfrac{\sin{\phi}}{\cos{\phi}} = \dfrac{-1}{10} \\
\tan{\phi} = \dfrac{-1}{10} \\
\phi = \tan^{-1}{\dfrac{-1}{10}}$$
Jogamos todas as informações fresquinhas na equação 2:
$$I = \dfrac{3}{\sqrt{101}} \sin{(2t - \tan^{-1}{\dfrac{-1}{10}})}$$
Equação da carga do capacitor
t = 0, q = 0$$q' + \dfrac{q}{RC} = \dfrac{E}{R}
\dfrac{q(t)}{C} = V = E (1 - e^{-t/RC})$$
Equação da descarga do capacitor
E = 0, t = 0, q = máximo$$V = Ee^{-t/RC}$$
Tinha também uns detalhezinhos tipo momento de carga e descarga do capacitor. Mas não me recordo com embasamento o suficiente pra passar. De qualquer forma, agora está em dia todo o conteúdo das aulas de cálculo, se tiver um tempinho é possível que eu consiga passar as páginas do livro resolvidas no futuro pra fixar bem essa matéria... Apesar de que não é difícil, é questão de pegar as manhas.
Bom dia a todos!
terça-feira, 22 de maio de 2012
Aula VII - Cálculo Diferencial e Integral III
Aplicações de equações diferenciais
Variação de temperatura
Equação de Newton:
$$\dfrac{dT}{dt} = -K(T - T_m)$$
Resfriamento:
$$T > T_m \\
\dfrac{dT}{dt} < 0$$
Aquecimento:
$$T_m > T \\
\dfrac{dT}{dt} > 0$$
Agora perceba que:
$$T' = -K(T - T_m) \\
T' = -KT + KT_m \\
T' + KT = KT_m$$
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
Exemplo:
Um corpo à temperatura inicial de 50°F é colocado ao ar livre onde a temperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) t para T = 75°F.
b) T para t = 20 minutos.
Primeiro, vamos trabalhar na equação da variação de temperatura:
$$T' + KT = KT_m$$
A única informação estável que a temperatura do ambiente é cravada 100°F. Inclusive podemos jogar isso na equação pra facilitar bastante nossa vida:
$$T' + KT = 100K$$
Vamos resolver a partir do fator integrante:
$$y' + p(x)y = g(x)$$
Perceba que y' no caso é T', y é T, p(x) que vira p(K) acaba sendo K e g(x) que vira g(K) é 100K. Vamos jogar então na equação do fator integrante:
$$I(t, T) = e^{\int K dt} = e^{Kt}$$
Multiplicando os dois lados:
$$e^{Kt}[T' + KT] = e^{Kt}*100K$$
Trocando a primeira expressão pela derivada d[y * I(x, y)]/dx, que nesse caso é d[T * I(t, T)]/dt, ficamos com:
$$\dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}] = 100Ke^{Kt}$$
Integrando os dois lados:
$$\int \dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}]dt = \int 100Ke^{Kt} dt \\
Te^{Kt} = 100 \int Ke^u \dfrac{du}{K} = 100e^{Kt} + C \\
T = 100 \dfrac{e^{Kt}}{e^{Kt}} + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
Para calcular essa constante C, temos a informação de que a temperatura inicial é de 50°F. Vai ser útil usar a temperatura inicial porque aí podemos anular K, que ainda não temos, já que o tempo inicial é por padrão 0 minutos.
$$t = 0, T = 50°F \\
50 = 100 + Ce^0 = 100 + C \\
C = 50 - 100 = -50 \\
T = 100 - 50e^{-Kt}$$
E agora, para descobrir K, temos a informação de que a temperatura após 5 minutos é 60°F. Vamos jogar esses termos na equação e o que sobra é só K:
$$t = 5, T = 60°F \\
60 = 100 - 50e^{-5K} \\
50e^{-5K} = 100 - 60 = 40 \\
e^{-5K} = \dfrac{40}{50} = 0.8 \\
\ln{|e^{-5K}|} = \ln{|0.8|} \\
-5K \approx -0.22314 \\
K = \dfrac{-0.223}{-5} \approx 0.045$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 50e^{-0.045t}$$
Agora, vamos resolver a letra A, que pede o tempo quando a temperatura é de 75°F. Só jogar na equação:
$$75 = 100 - 50e^{-0.045t} \\
50e^{-0.045t} = 100-75 = 25 \\
e^{-0.045t} = \dfrac{25}{50} = 0.5 \\
\ln{|e^{-0.045t}|} = \ln{|0.5|} \\
-0.045t \approx -0.693 \\
t = \dfrac{-0.693}{-0.045} \approx 15.4$$
Ou seja, aproximadamente em 15.4 minutos a temperatura do corpo fica a 75°F.
A letra B te dá um tempo de 20 minutos e te pede a temperatura. É ainda mais simples, veja bem:
$$T = 100 - 50e^{-0.045*20} = 100 - \dfrac{50}{e^{0.9}} \approx 100 - \dfrac{50}{2.46} \approx 100 - 20.32 = 79.68°F$$
E está resolvido o exercício.
$$\dfrac{dT}{dt} = -K(T - T_m)$$
Resfriamento:
$$T > T_m \\
\dfrac{dT}{dt} < 0$$
Aquecimento:
$$T_m > T \\
\dfrac{dT}{dt} > 0$$
Agora perceba que:
$$T' = -K(T - T_m) \\
T' = -KT + KT_m \\
T' + KT = KT_m$$
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
Exemplo:
Um corpo à temperatura inicial de 50°F é colocado ao ar livre onde a temperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) t para T = 75°F.
b) T para t = 20 minutos.
Primeiro, vamos trabalhar na equação da variação de temperatura:
$$T' + KT = KT_m$$
A única informação estável que a temperatura do ambiente é cravada 100°F. Inclusive podemos jogar isso na equação pra facilitar bastante nossa vida:
$$T' + KT = 100K$$
Vamos resolver a partir do fator integrante:
$$y' + p(x)y = g(x)$$
Perceba que y' no caso é T', y é T, p(x) que vira p(K) acaba sendo K e g(x) que vira g(K) é 100K. Vamos jogar então na equação do fator integrante:
$$I(t, T) = e^{\int K dt} = e^{Kt}$$
Multiplicando os dois lados:
$$e^{Kt}[T' + KT] = e^{Kt}*100K$$
Trocando a primeira expressão pela derivada d[y * I(x, y)]/dx, que nesse caso é d[T * I(t, T)]/dt, ficamos com:
$$\dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}] = 100Ke^{Kt}$$
Integrando os dois lados:
$$\int \dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}]dt = \int 100Ke^{Kt} dt \\
Te^{Kt} = 100 \int Ke^u \dfrac{du}{K} = 100e^{Kt} + C \\
T = 100 \dfrac{e^{Kt}}{e^{Kt}} + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
Para calcular essa constante C, temos a informação de que a temperatura inicial é de 50°F. Vai ser útil usar a temperatura inicial porque aí podemos anular K, que ainda não temos, já que o tempo inicial é por padrão 0 minutos.
$$t = 0, T = 50°F \\
50 = 100 + Ce^0 = 100 + C \\
C = 50 - 100 = -50 \\
T = 100 - 50e^{-Kt}$$
E agora, para descobrir K, temos a informação de que a temperatura após 5 minutos é 60°F. Vamos jogar esses termos na equação e o que sobra é só K:
$$t = 5, T = 60°F \\
60 = 100 - 50e^{-5K} \\
50e^{-5K} = 100 - 60 = 40 \\
e^{-5K} = \dfrac{40}{50} = 0.8 \\
\ln{|e^{-5K}|} = \ln{|0.8|} \\
-5K \approx -0.22314 \\
K = \dfrac{-0.223}{-5} \approx 0.045$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 50e^{-0.045t}$$
Agora, vamos resolver a letra A, que pede o tempo quando a temperatura é de 75°F. Só jogar na equação:
$$75 = 100 - 50e^{-0.045t} \\
50e^{-0.045t} = 100-75 = 25 \\
e^{-0.045t} = \dfrac{25}{50} = 0.5 \\
\ln{|e^{-0.045t}|} = \ln{|0.5|} \\
-0.045t \approx -0.693 \\
t = \dfrac{-0.693}{-0.045} \approx 15.4$$
Ou seja, aproximadamente em 15.4 minutos a temperatura do corpo fica a 75°F.
A letra B te dá um tempo de 20 minutos e te pede a temperatura. É ainda mais simples, veja bem:
$$T = 100 - 50e^{-0.045*20} = 100 - \dfrac{50}{e^{0.9}} \approx 100 - \dfrac{50}{2.46} \approx 100 - 20.32 = 79.68°F$$
E está resolvido o exercício.
Crescimento e Decrescimento Populacional
Como a equação de Newton, o crescimento populacional acaba se tornando uma equação diferencial que usa fator integrante. A fórmula que determina isso basicamente é:
$$\dfrac{d}{dt} N(t) = KN$$
O que implica em:
$$N' - KN = 0$$
Não nos foi passado nada além disso, se não me engano, apenas a página com a definição completa e exercícios pra resolver logo em seguida. Quando eu for postar as novas listas (alguém me lembra de falar com o professor por favor!) eu pego bastante no pé de explicar isso melhor. O post foi mais pra explicar a parte de variação de temperatura mesmo, que tem uma série de exercícios a entregar a respeito.
De qualquer forma, bom dia a todos. :)
Aula VI - Cálculo Diferencial e Integral III
Fator integrante
Em qual a equação diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 não é exata, por vezes é possível transformar a equação 1 em uma equação exata, mediante multiplicação de um fator adequado.
Exemplo 1:
Verifique se o termo abaixo é fator integrante da equação diferencial ydx - xdy = 0.
$$\dfrac{-1}{x^2}$$
Chamamos ydx de M e xdy de N. Percebamos que a igualdade abaixo não é real:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$
Já que:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = -1$$
E 1 é diferente de -1. Então temos uma equação diferencial não-exata.
Agora imagine que multiplicamos aquele termo dado por toda a equação diferencial, assim:
$$\dfrac{-1}{x^2} * ydx - \dfrac{-1}{x^2} * xdy = \dfrac{-y}{x^2}dx + \dfrac{1}{x}dy = 0$$
Vamos confirmar isso derivando ambos termos novamente e vendo se dão o mesmo resultado:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} [\dfrac{-y}{x^2}] = \dfrac{-1}{x^2} \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} [\dfrac{1}{x}] = \dfrac{-1}{x^2}$$
Como vê, o mesmo resultado. Agora se tornou exata.
Exemplo 1:
Verifique se o termo abaixo é fator integrante da equação diferencial ydx - xdy = 0.
$$\dfrac{-1}{x^2}$$
Chamamos ydx de M e xdy de N. Percebamos que a igualdade abaixo não é real:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$
Já que:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = -1$$
E 1 é diferente de -1. Então temos uma equação diferencial não-exata.
Agora imagine que multiplicamos aquele termo dado por toda a equação diferencial, assim:
$$\dfrac{-1}{x^2} * ydx - \dfrac{-1}{x^2} * xdy = \dfrac{-y}{x^2}dx + \dfrac{1}{x}dy = 0$$
Vamos confirmar isso derivando ambos termos novamente e vendo se dão o mesmo resultado:
$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} [\dfrac{-y}{x^2}] = \dfrac{-1}{x^2} \\
\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} [\dfrac{1}{x}] = \dfrac{-1}{x^2}$$
Como vê, o mesmo resultado. Agora se tornou exata.
Equação diferencial de primeira ordem
Definição: y' + p(x)y = q(x)
I(x, y) da equação acima é:
$$e^{\int p(x)dx}$$
Método de resolução:
Multiplique a primeira equação por I(x, y). O lado esquerdo da equação resultante será:
$$\dfrac{d}{dx} [y, I(x, y)]$$
A solução vem da integral dos dois lados da equação.
Exemplo 2:
Resolução de y' - 2xy = x.
A equação está diretamente no modelo apresentado agora pouco: y' + p(x)y = q(x)
Aonde p(x) é (-2x) e q(x) é x. Vamos então descobrir esse fator integrante:
$$I(x, y) = e^{\int p(x)dx} = e^{\int (-2x)dx} = e^{-x^2}$$
$$I(x, y) = e^{\int p(x)dx} = e^{\int (-2x)dx} = e^{-x^2}$$
Descoberto esse termo, vamos multiplicar os dois lados da equação por ele:
$$e^{-x^2}[y' - 2xy] = e^{-x^2}x$$
Isso por padrão se transforma em:
$$\dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}] = e^{-x^2}x$$
Agora é só jogar a integral dos dois lados:
$$\int \dfrac{d}{dx} [ye^{-x^2}]dx = \int e^{-x^2}xdx \\
ye^{-x^2} = \int e^u x \dfrac{du}{-2x} = \dfrac{1}{-2} e^u + C = -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C \\
y = -\dfrac{1}{2} \dfrac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}} + \dfrac{C}{e^{-x^2}} \\
y = Ce^{x^2} - \dfrac{1}{2}$$
Me perdoem pelo atraso, eu simplesmente tinha esquecido que a gente está tendo conteúdo postável e tava postando todas as listas de cálculo, só no final de semana passado que me caiu a ficha! Mas está aí. Vou ver se posto mais outra aula (a de variação de temperatura) ainda hoje, a de circuitos provavelmente vai ficar pra próxima.
Bom dia a todos.
terça-feira, 15 de maio de 2012
Lista V - Cálculo Diferencial e Integral III
Então, galera. Essa é a primeira lista de equações diferenciais mesmo a se resolver, as outras eu ainda vou negociar com o professor se poderei postar durante o prazo de entrega ou só depois. Mas essa é a que dá a base de todas as equações que estamos resolvendo então, se você ainda tem dúvidas, essa é a hora de tirá-las.
Equações diferenciais que precisam apenas de integração
$$a) xdx + ydy = 0$$
Tradicional. Só precisamos integrar dos dois lados para resolver. Claro que podemos isolar tanto x quanto y, mas o livro padronizou tornar y a função incógnita e x a variável, então assim faremos pra todos os exercícios.
$$\int xdx + \int ydy = C \\
\dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{2} y^2 = C \\
\dfrac{1}{2} y^2 = C - \dfrac{1}{2} x^2 \\
y^2 = 2C - \dfrac{2}{2} x^2 = 2C - x^2 \\
y = \sqrt{2C - x^2}$$
Aqui já está ótimo, mas para colocar a "constante K" na função de acordo com o livro, vamos chamar 2C de K.
$$y = \sqrt{K - x^2}$$
Sendo assim, está todo resolvido. Eu vou fazer isso de chegar na resposta do livro e tal, mas até chegar no "resultado final" com C já é válido, jogar um K no lugar simples como eu fiz agora melhor ainda... Só que tem uns exercícios que eu sinceramente nem vejo a necessidade.
Mas não vou desrespeitar, talvez os matemáticos vejam.
$$b) \dfrac{1}{x} dx - \dfrac{1}{y} = 0$$
Essa é bem mais confusa, embora pareça bem simples. Lembrando sempre que integral de 1/x é ln|x| e, é claro, é o ln que vai dar trabalho... Mas nem tanto, vejam só.
$$\int \dfrac{1}{x} dx - \int \dfrac{1}{y} = C \\
ln|x| - ln|y| = C \\
-ln|y| = C - ln|x| \\
ln|y| = -C + ln|x|$$
A grande jogada é saber usar o nosso querido número de Euler pra anular os logaritmos neperianos:
$$e^{ln|y|} = e^{-C + ln|x|} \\
y = e^{-C} * e^{ln|x|} = e^{-C} * x$$
Chamando e elevado a -C de K:
$$y = Kx$$
Calma, vem por aí uns exercícios piores.
$$c) \dfrac{1}{x} dx + dy = 0$$
$$\int \dfrac{1}{x} dx + \int dy = C \\
ln|x| + y = C \\
y = C - ln|x|$$
Quer resposta melhor? O livro quer. Então, o que vamos fazer é o seguinte: chamar C de ln|K|, para tornar a resposta um termo só através daquela propriedade de ln de tal coisa menos ln de tal outra coisa é igual a ln de tal coisa dividido por tal outra coisa. Particularmente acho beeeem estranho, mas já que tá assim no livro:
$$y = ln|K| - ln|x| = ln|\dfrac{K}{x}|$$
$$d) xdx + \dfrac{1}{y} dy = 0$$
$$\int xdx + \int \dfrac{1}{y} dy = C \\
\dfrac{1}{2} x^2 + ln|y| = C \\
ln|y| = C - \dfrac{1}{2} x^2 \\
e^{ln|y|} = e^{C - x^2/2} \\
y = e^C * e^{-x^2/2}$$
Chamando e elevado a C de constante K:
$$y = Ke^{-x^2/2}$$
$$e) (x^2 + 1)dx + (y^2 + y)dy = 0$$
$$\int (x^2 + 1)dx + \int (y^2 + y)dy = C \\
\dfrac{1}{3} x^3 + x + \dfrac{1}{3} y^3 + \dfrac{1}{2} y^2 = C$$
Multiplicando tudo por 6 para que nada fique em fração:
$$2x^3 + 6x + 2y^3 + 3y^2 = 6C$$
E chamando 6C de uma constante K:
$$2x^3 + 6x + 2y^3 + 3y^2 = K$$
Parece meio estranho todas as incógnitas de um lado e a constante K do outro, mas essa é a maneira que o livro responde... E de qualquer forma seria impossível isolar completamente o y porque teria de ficar um y do outro lado.
$$f) \sin{x} dx + ydy = 0; y(0) = -2$$
$$\int \sin{x} dx + \int ydy = C \\
-\cos{x} + \dfrac{1}{2} y^2 = C \\
\dfrac{1}{2} y^2 = C + \cos{x} \\
y^2 = 2C + 2 \cos{x} \\
y = \sqrt{2C + 2 \cos{x}}$$
Foi fácil resolver a equação em si, agora tudo o que sobra é descobrir o valor da constante C através da substituição de x pelo valor especificado e colocando -2 no lugar de y.
$$y(0) = \sqrt{2C + 2 \cos{0}} = -2 \\
\sqrt{2C + 2} = -2$$
Pra sair dessa, vamos isolar a raiz de 2:
$$\sqrt{2} \sqrt{C + 1} = -2 \\
\sqrt{C + 1} = \dfrac{-2}{\sqrt{2}}$$
E agora a melhor saída é elevar os dois lados ao quadrado:
$$(\sqrt{C + 1})^2 = (\dfrac{-2}{\sqrt{2}})^2 \\
C+1 = \dfrac{4}{2} = 2 \\
C = 2 - 1 = 1$$
Jogando isso na equação, temos a função definitiva:
$$y = \sqrt{2*1 + 2 \cos{x}} = \sqrt{2 + 2 \cos{x}}$$
$$g) (x^2 + 1)dx + \dfrac{1}{y} dy = 0; y(-1) = 1$$
$$\int (x^2 + 1)dx + \int \dfrac{1}{y} dy = C \\
\dfrac{1}{3} x^3 + x + ln|y| = C \\
ln|y| = C - \dfrac{1}{3} x^3 - x \\
e^{ln|y|} = e^{C - (x^3/3) - x} \\
y = e^C * e^{(-x^3/3) - x}$$
Não vamos nem usar essa forma como equação final, é só uma maneira mais fácil de isolar o C. Agora vamos jogar os valores especificados no exercício pra isso, inclusive.
$$y(-1) = e^C * e^{(-(-1)^3/3) - (-1)} = 1 \\
e^C * e^{(1/3) + 1} = 1 \\
e^C * e^{4/3} = 1 \\
e^C = \dfrac{1}{e^{4/3}} = e^{-4/3}$$
Jogando ln dos dois lados para anular o número de Euler:
$$ln|e^C| = ln|e^{-4/3}| \\
C = \dfrac{-4}{3}$$
Agora é só jogar na equação e trabalhar ela de uma forma mais limpa:
$$y = e^{-4/3} * e^{-x^3/3 - x} = e^{-4/3 - x^3/3 - x}$$
Já parece satisfatório, mas vamos isolar essa fração para que lá dentro tenhamos apenas constantes reais:
$$y = e^{\dfrac{-1}{3} (4 + x^3 + 3x)}$$
E está resolvido. Exercício bem chatinho de trabalhar.
$$h) xe^{x^2} dx + (y^5 - 1)dy = 0; y(0) = 0$$
$$\int xe^{x^2}dx + \int (y^5 - 1)dy = C$$
A primeira integral resolveremos pelo método de substituição. Nosso u é x² e nosso du é a derivada de x², ou seja, 2x. O resto é o método mais simples possível:
$$\int xe^u \dfrac{du}{2x} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\
\dfrac{1}{2} e^u + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\
\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C$$
Esse é o melhor que conseguimos chegar com as incógnitas, mas já dá pra substituir e deixar o resultado bem fácil de alcançar. Veja:
$$\dfrac{1}{2} e^0 + \dfrac{1}{6} 0 - 0 = C \\
C = \dfrac{1}{2}$$
E agora jogando os valores:
$$\dfrac{1}{6} y^6 - y + \dfrac{1}{2} e^{x^2} = \dfrac{1}{2}$$
Equações diferenciais que exigem um pouco de manipulação algébrica
$$a) y' = \dfrac{y}{x^2}$$
Isso daqui soa um pouco mais complicado, mas o fato é o seguinte: temos x e temos y, e temos dx e dx, e precisamos arranjar uma forma de deixá-los acompanhados de suas devidas incógnitas para integrá-los em conjunto. É um tanto mais complicado, mas nem de perto como alguns exercícios do fator integrante... Mas vamos resolver esse primeiro pra entender melhor como funciona.
Lembrando que y' é igual a dy/dx.
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$$
Mais fácil de visualizar, mas nem tanto. O melhor é deixar dy e dx sempre em cima, não importando muito aonde estão as variáveis em si. Como dy já está multiplicando em cima, vamos jogar dx pro outro lado multiplicando também para que fique em cima.
$$dy = \dfrac{y dx}{x^2}$$
Ok, ok. De um lado, dy... Fácil integrar. Mas do outro, temos y, x² e dx. Se você perceber, dá pra jogar o y pro outro lado dividindo e é isso que faremos:
$$\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x^2}$$
Já é resolvível. Pra você enxergar melhor:
$$\dfrac{1}{y} dy = \dfrac{1}{x^2} dx$$
Deixamos as duas partes juntas para que fique um modelo igual aos usados anteriormente:
$$\dfrac{1}{y} dy - x^{-2} dx = 0 \\
\int \dfrac{1}{y} dy - \int x^{-2} dx = C \\
ln|y| - (-x^{-1}) = C \\
ln|y| + x^{-1} = C \\
ln|y| = C - x^{-1}$$
Jogando número de Euler:
$$e^{ln|y|} = e^{C - 1/x} \\
y = e^C * e^{-1/x}$$
Vamos chamar e elevado a C de uma constante K:
$$y = Ke^{-1/x}$$
E está resolvido o primeiro exercício. Os passos usados para todos os outros (...bem, são apenas mais dois) é semelhantíssimo, no máximo umas fatorações relevantes a mais.
Próximo.
$$b) y' = \dfrac{xe^x}{2y}$$
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xe^x}{2y}$$
Já vamos jogar cada coisa pro seu canto pra ser mais rápido:
$$2y dy = xe^x dx \\
2y dy - xe^x dx = 0 \\
\int 2y dy - \int xe^x dx = C$$
Integral por partes na parte com x, mas sem preocupações, facílima de resolver.
$$2 \dfrac{1}{2} y^2 - (xe^x - \int e^x dx) = C \\
y^2 - xe^x + e^x = C \\
y^2 = C + xe^x - e^x \\
y = \sqrt{C + xe^x - e^x}$$
Desnecessário dizer, se quiser substituir C por K, faça. Mas acho irrelevante já que não altera absolutamente nada na solução.
$$c) y' = \dfrac{x^2 y - y}{y+1}; y(3) = -1$$
Essa é a mais chata porque precisa de uma sacadinha de fatoração. Nada muito absurdo, bem simples até, mas vamos resolvendo:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2 y - y}{y+1}$$
Note que temos x²y - y juntos e não podemos isolar assim... A solução, no caso, é isolar y de lá, assim:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y(x^2 - 1)}{y+1}$$
Agora é só jogar as coisas pros seus respectivos cantos:
$$\dfrac{(y+1)dy}{y} = (x^2 - 1)dx \\
(1 + \dfrac{1}{y})dy - (x^2 - 1)dx = 0 \\
\int (1 + \dfrac{1}{y})dy - \int (x^2 - 1)dx = C \\
y + ln|y| - \dfrac{1}{3} x^3 - x = C$$
Como queremos saber C a princípio (temos um valor para x e seu respectivo y), é bom que deixemos a equação assim mesmo.
$$C = (-1) + ln|-1| - \dfrac{3^3}{3} - 3 = -1 + ln1 - 9 + 3 = -7 + 0 = -7$$
Agora só jogar na equação:
$$y + ln|y| - \dfrac{1}{3} x^3 - x = -7$$
E está resolvida a primeira lista.
Como eu disse no início, posso providenciar as próximas... Mas preciso falar com o professor antes. No entanto, se vocês precisarem da base pra resolução de equações diferenciais, podem procurar por aqui a qualquer momento. Qualquer dúvida que brotar a respeito do assunto podem perguntar nos comentários, me contatar, etc.
Boa noite a todos!
Equações diferenciais que precisam apenas de integração
$$a) xdx + ydy = 0$$
Tradicional. Só precisamos integrar dos dois lados para resolver. Claro que podemos isolar tanto x quanto y, mas o livro padronizou tornar y a função incógnita e x a variável, então assim faremos pra todos os exercícios.
$$\int xdx + \int ydy = C \\
\dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{2} y^2 = C \\
\dfrac{1}{2} y^2 = C - \dfrac{1}{2} x^2 \\
y^2 = 2C - \dfrac{2}{2} x^2 = 2C - x^2 \\
y = \sqrt{2C - x^2}$$
Aqui já está ótimo, mas para colocar a "constante K" na função de acordo com o livro, vamos chamar 2C de K.
$$y = \sqrt{K - x^2}$$
Sendo assim, está todo resolvido. Eu vou fazer isso de chegar na resposta do livro e tal, mas até chegar no "resultado final" com C já é válido, jogar um K no lugar simples como eu fiz agora melhor ainda... Só que tem uns exercícios que eu sinceramente nem vejo a necessidade.
Mas não vou desrespeitar, talvez os matemáticos vejam.
$$b) \dfrac{1}{x} dx - \dfrac{1}{y} = 0$$
Essa é bem mais confusa, embora pareça bem simples. Lembrando sempre que integral de 1/x é ln|x| e, é claro, é o ln que vai dar trabalho... Mas nem tanto, vejam só.
$$\int \dfrac{1}{x} dx - \int \dfrac{1}{y} = C \\
ln|x| - ln|y| = C \\
-ln|y| = C - ln|x| \\
ln|y| = -C + ln|x|$$
A grande jogada é saber usar o nosso querido número de Euler pra anular os logaritmos neperianos:
$$e^{ln|y|} = e^{-C + ln|x|} \\
y = e^{-C} * e^{ln|x|} = e^{-C} * x$$
Chamando e elevado a -C de K:
$$y = Kx$$
Calma, vem por aí uns exercícios piores.
$$c) \dfrac{1}{x} dx + dy = 0$$
$$\int \dfrac{1}{x} dx + \int dy = C \\
ln|x| + y = C \\
y = C - ln|x|$$
Quer resposta melhor? O livro quer. Então, o que vamos fazer é o seguinte: chamar C de ln|K|, para tornar a resposta um termo só através daquela propriedade de ln de tal coisa menos ln de tal outra coisa é igual a ln de tal coisa dividido por tal outra coisa. Particularmente acho beeeem estranho, mas já que tá assim no livro:
$$y = ln|K| - ln|x| = ln|\dfrac{K}{x}|$$
$$d) xdx + \dfrac{1}{y} dy = 0$$
$$\int xdx + \int \dfrac{1}{y} dy = C \\
\dfrac{1}{2} x^2 + ln|y| = C \\
ln|y| = C - \dfrac{1}{2} x^2 \\
e^{ln|y|} = e^{C - x^2/2} \\
y = e^C * e^{-x^2/2}$$
Chamando e elevado a C de constante K:
$$y = Ke^{-x^2/2}$$
$$e) (x^2 + 1)dx + (y^2 + y)dy = 0$$
$$\int (x^2 + 1)dx + \int (y^2 + y)dy = C \\
\dfrac{1}{3} x^3 + x + \dfrac{1}{3} y^3 + \dfrac{1}{2} y^2 = C$$
Multiplicando tudo por 6 para que nada fique em fração:
$$2x^3 + 6x + 2y^3 + 3y^2 = 6C$$
E chamando 6C de uma constante K:
$$2x^3 + 6x + 2y^3 + 3y^2 = K$$
Parece meio estranho todas as incógnitas de um lado e a constante K do outro, mas essa é a maneira que o livro responde... E de qualquer forma seria impossível isolar completamente o y porque teria de ficar um y do outro lado.
$$f) \sin{x} dx + ydy = 0; y(0) = -2$$
$$\int \sin{x} dx + \int ydy = C \\
-\cos{x} + \dfrac{1}{2} y^2 = C \\
\dfrac{1}{2} y^2 = C + \cos{x} \\
y^2 = 2C + 2 \cos{x} \\
y = \sqrt{2C + 2 \cos{x}}$$
Foi fácil resolver a equação em si, agora tudo o que sobra é descobrir o valor da constante C através da substituição de x pelo valor especificado e colocando -2 no lugar de y.
$$y(0) = \sqrt{2C + 2 \cos{0}} = -2 \\
\sqrt{2C + 2} = -2$$
Pra sair dessa, vamos isolar a raiz de 2:
$$\sqrt{2} \sqrt{C + 1} = -2 \\
\sqrt{C + 1} = \dfrac{-2}{\sqrt{2}}$$
E agora a melhor saída é elevar os dois lados ao quadrado:
$$(\sqrt{C + 1})^2 = (\dfrac{-2}{\sqrt{2}})^2 \\
C+1 = \dfrac{4}{2} = 2 \\
C = 2 - 1 = 1$$
Jogando isso na equação, temos a função definitiva:
$$y = \sqrt{2*1 + 2 \cos{x}} = \sqrt{2 + 2 \cos{x}}$$
$$g) (x^2 + 1)dx + \dfrac{1}{y} dy = 0; y(-1) = 1$$
$$\int (x^2 + 1)dx + \int \dfrac{1}{y} dy = C \\
\dfrac{1}{3} x^3 + x + ln|y| = C \\
ln|y| = C - \dfrac{1}{3} x^3 - x \\
e^{ln|y|} = e^{C - (x^3/3) - x} \\
y = e^C * e^{(-x^3/3) - x}$$
Não vamos nem usar essa forma como equação final, é só uma maneira mais fácil de isolar o C. Agora vamos jogar os valores especificados no exercício pra isso, inclusive.
$$y(-1) = e^C * e^{(-(-1)^3/3) - (-1)} = 1 \\
e^C * e^{(1/3) + 1} = 1 \\
e^C * e^{4/3} = 1 \\
e^C = \dfrac{1}{e^{4/3}} = e^{-4/3}$$
Jogando ln dos dois lados para anular o número de Euler:
$$ln|e^C| = ln|e^{-4/3}| \\
C = \dfrac{-4}{3}$$
Agora é só jogar na equação e trabalhar ela de uma forma mais limpa:
$$y = e^{-4/3} * e^{-x^3/3 - x} = e^{-4/3 - x^3/3 - x}$$
Já parece satisfatório, mas vamos isolar essa fração para que lá dentro tenhamos apenas constantes reais:
$$y = e^{\dfrac{-1}{3} (4 + x^3 + 3x)}$$
E está resolvido. Exercício bem chatinho de trabalhar.
$$h) xe^{x^2} dx + (y^5 - 1)dy = 0; y(0) = 0$$
$$\int xe^{x^2}dx + \int (y^5 - 1)dy = C$$
A primeira integral resolveremos pelo método de substituição. Nosso u é x² e nosso du é a derivada de x², ou seja, 2x. O resto é o método mais simples possível:
$$\int xe^u \dfrac{du}{2x} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\
\dfrac{1}{2} e^u + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\
\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C$$
Esse é o melhor que conseguimos chegar com as incógnitas, mas já dá pra substituir e deixar o resultado bem fácil de alcançar. Veja:
$$\dfrac{1}{2} e^0 + \dfrac{1}{6} 0 - 0 = C \\
C = \dfrac{1}{2}$$
E agora jogando os valores:
$$\dfrac{1}{6} y^6 - y + \dfrac{1}{2} e^{x^2} = \dfrac{1}{2}$$
Equações diferenciais que exigem um pouco de manipulação algébrica
$$a) y' = \dfrac{y}{x^2}$$
Isso daqui soa um pouco mais complicado, mas o fato é o seguinte: temos x e temos y, e temos dx e dx, e precisamos arranjar uma forma de deixá-los acompanhados de suas devidas incógnitas para integrá-los em conjunto. É um tanto mais complicado, mas nem de perto como alguns exercícios do fator integrante... Mas vamos resolver esse primeiro pra entender melhor como funciona.
Lembrando que y' é igual a dy/dx.
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$$
Mais fácil de visualizar, mas nem tanto. O melhor é deixar dy e dx sempre em cima, não importando muito aonde estão as variáveis em si. Como dy já está multiplicando em cima, vamos jogar dx pro outro lado multiplicando também para que fique em cima.
$$dy = \dfrac{y dx}{x^2}$$
Ok, ok. De um lado, dy... Fácil integrar. Mas do outro, temos y, x² e dx. Se você perceber, dá pra jogar o y pro outro lado dividindo e é isso que faremos:
$$\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x^2}$$
Já é resolvível. Pra você enxergar melhor:
$$\dfrac{1}{y} dy = \dfrac{1}{x^2} dx$$
Deixamos as duas partes juntas para que fique um modelo igual aos usados anteriormente:
$$\dfrac{1}{y} dy - x^{-2} dx = 0 \\
\int \dfrac{1}{y} dy - \int x^{-2} dx = C \\
ln|y| - (-x^{-1}) = C \\
ln|y| + x^{-1} = C \\
ln|y| = C - x^{-1}$$
Jogando número de Euler:
$$e^{ln|y|} = e^{C - 1/x} \\
y = e^C * e^{-1/x}$$
Vamos chamar e elevado a C de uma constante K:
$$y = Ke^{-1/x}$$
E está resolvido o primeiro exercício. Os passos usados para todos os outros (...bem, são apenas mais dois) é semelhantíssimo, no máximo umas fatorações relevantes a mais.
Próximo.
$$b) y' = \dfrac{xe^x}{2y}$$
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xe^x}{2y}$$
Já vamos jogar cada coisa pro seu canto pra ser mais rápido:
$$2y dy = xe^x dx \\
2y dy - xe^x dx = 0 \\
\int 2y dy - \int xe^x dx = C$$
Integral por partes na parte com x, mas sem preocupações, facílima de resolver.
$$2 \dfrac{1}{2} y^2 - (xe^x - \int e^x dx) = C \\
y^2 - xe^x + e^x = C \\
y^2 = C + xe^x - e^x \\
y = \sqrt{C + xe^x - e^x}$$
Desnecessário dizer, se quiser substituir C por K, faça. Mas acho irrelevante já que não altera absolutamente nada na solução.
$$c) y' = \dfrac{x^2 y - y}{y+1}; y(3) = -1$$
Essa é a mais chata porque precisa de uma sacadinha de fatoração. Nada muito absurdo, bem simples até, mas vamos resolvendo:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2 y - y}{y+1}$$
Note que temos x²y - y juntos e não podemos isolar assim... A solução, no caso, é isolar y de lá, assim:
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y(x^2 - 1)}{y+1}$$
Agora é só jogar as coisas pros seus respectivos cantos:
$$\dfrac{(y+1)dy}{y} = (x^2 - 1)dx \\
(1 + \dfrac{1}{y})dy - (x^2 - 1)dx = 0 \\
\int (1 + \dfrac{1}{y})dy - \int (x^2 - 1)dx = C \\
y + ln|y| - \dfrac{1}{3} x^3 - x = C$$
Como queremos saber C a princípio (temos um valor para x e seu respectivo y), é bom que deixemos a equação assim mesmo.
$$C = (-1) + ln|-1| - \dfrac{3^3}{3} - 3 = -1 + ln1 - 9 + 3 = -7 + 0 = -7$$
Agora só jogar na equação:
$$y + ln|y| - \dfrac{1}{3} x^3 - x = -7$$
E está resolvida a primeira lista.
Como eu disse no início, posso providenciar as próximas... Mas preciso falar com o professor antes. No entanto, se vocês precisarem da base pra resolução de equações diferenciais, podem procurar por aqui a qualquer momento. Qualquer dúvida que brotar a respeito do assunto podem perguntar nos comentários, me contatar, etc.
Boa noite a todos!
terça-feira, 1 de maio de 2012
Lista III - Cálculo Diferencial e Integral III
De longe a mais fácil das listas, mas uma das mais úteis. É a primeira de equações diferenciais e trabalha só com classificação, que é essencial.
Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais:
a) ordem
b) grau (se possível)
c) linearidade
d) função incógnita
e) variável independente
1.
$$(y'')^2 - 3yy' + xy = 0$$
a) Segunda ordem. Essa é bem simples: o primeiro y é derivado duas vezes, e ninguém deriva mais que ele.
b) Segundo grau. O y que é derivado mais vezes está elevado ao quadrado.
c) Não-linear. Pra ser linear a equação precisa, já de cara, ser de primeiro grau.
d) y. Note que o y está sendo derivado, ou seja, ele é a função em questão.
e) x. Nada indica que ele é uma função incógnita.
2.
$$x^4 y^{(4)} + xy''' = e^x$$
a) Quarta ordem. Se o "expoente" do y está entre parênteses, indica que ele está sendo derivado, não elevado a alguma coisa.
b) Primeiro grau. Nenhuma vez y foi elevado a alguma coisa.
c) Linear, o argumento é o mesmo de definir o grau.
d) y. É quem está sendo derivado.
e) x. Mesmos motivos da 1.
3.
$$t^2 \ddot{s} - t \dot{s} = 1 - \sin{t}$$
a) Segunda ordem. A função s que mais é derivada está sendo derivada duas vezes.
b) Primeiro grau. Mesmos motivos da 2.
c) Linear.
d) s. Quem está sendo derivado.
e) t.
4.
$$y^{(4)} + xy''' + x^2 y'' - xy' + \sin{y} = 0$$
a) Quarta ordem. Essa funciona igual a 2.
b) Indefinido. Não há como definir grau nenhum se a função incógnita está dentro de uma função trigonométrica ou logarítmica.
c) Não-linear. Se ela não é de primeiro grau, questão encerrada.
d) y.
e) x.
5.
$$\dfrac{d^n x}{dy^n} = y^2 + 1$$
a) n-ésima ordem. Oras, a função x está sendo derivada n vezes.
b) Primeiro grau. A função x está elevada a 1 na única vez que aparece na equação.
c) Linear. É de primeiro grau.
d) x. Ao contrário da maioria, é a função x que está sendo derivada.
e) y. Nessa fica ainda mais claro, já que o modelo de derivada apresenta x sendo derivada com relação a y.
6.
$$(\dfrac{d^2 r}{dy^2})^2 + \dfrac{d^2 r}{dy^2} + y \dfrac{dr}{dy} = 0$$
a) Segunda ordem. Quando r é mais derivado, ele é derivado 2 vezes.
b) Segundo grau. A maior potência de quando r é derivado duas vezes é 2.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) r.
e) y.
7.
$$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{\frac{3}{2}} + y = x$$
a) Segunda ordem. É o número de vezes que y está sendo derivado quando é derivado.
b) Indefinido. Também não dá pra definir grau quando o expoente está fracionário.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) y.
e) x.
8.
$$(\dfrac{d^7 b}{dp^7}) = 3p$$
a) Sétima ordem. b é derivado SETE vezes nessa equação diferencial.
b) Primeiro grau. A potência da derivada de b é 1.
c) Linear. Se é de primeiro grau por causa de uma única derivada...
d) b
e) p
9.
$$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
a) Primeira ordem. b é derivado só uma vez.
b) Sétimo grau. Essa vez que b aparece, sendo derivado, tudo está elevado a sétima.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) b
e) p
UMA NOTA: não é sempre que uma equação diferencial é linear e de primeiro grau. Infelizmente o primeiro exercício que tivemos quando isso ocorre é na prova (virtual e presencial), então pra muita gente foi meio que chocante, mas... Existem casos em que a equação é de primeiro grau e não-linear. Note que pra definir o grau da equação diferencial você não pega o grau de qualquer função incógnita, e sim APENAS da função incógnita que está sendo derivada mais vezes.
No entanto, a linearidade não depende disso. Se você tem por exemplo uma função que é derivada oito vezes não elevada a nada, e outra função que é derivada uma vez só e é elevada ao cubo, você tem uma equação diferencial de primeiro grau, mas que não é linear porque a linearidade depende do expoente de todas as funções incógnitas.
Agora não aparecerão mais questões de classificação, acho. Mas você terá de classificar automaticamente para resolvê-las no futuro, então tome cuidado com isso.
Um bom dia a todos!
Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais:
a) ordem
b) grau (se possível)
c) linearidade
d) função incógnita
e) variável independente
1.
$$(y'')^2 - 3yy' + xy = 0$$
a) Segunda ordem. Essa é bem simples: o primeiro y é derivado duas vezes, e ninguém deriva mais que ele.
b) Segundo grau. O y que é derivado mais vezes está elevado ao quadrado.
c) Não-linear. Pra ser linear a equação precisa, já de cara, ser de primeiro grau.
d) y. Note que o y está sendo derivado, ou seja, ele é a função em questão.
e) x. Nada indica que ele é uma função incógnita.
2.
$$x^4 y^{(4)} + xy''' = e^x$$
a) Quarta ordem. Se o "expoente" do y está entre parênteses, indica que ele está sendo derivado, não elevado a alguma coisa.
b) Primeiro grau. Nenhuma vez y foi elevado a alguma coisa.
c) Linear, o argumento é o mesmo de definir o grau.
d) y. É quem está sendo derivado.
e) x. Mesmos motivos da 1.
3.
$$t^2 \ddot{s} - t \dot{s} = 1 - \sin{t}$$
a) Segunda ordem. A função s que mais é derivada está sendo derivada duas vezes.
b) Primeiro grau. Mesmos motivos da 2.
c) Linear.
d) s. Quem está sendo derivado.
e) t.
4.
$$y^{(4)} + xy''' + x^2 y'' - xy' + \sin{y} = 0$$
a) Quarta ordem. Essa funciona igual a 2.
b) Indefinido. Não há como definir grau nenhum se a função incógnita está dentro de uma função trigonométrica ou logarítmica.
c) Não-linear. Se ela não é de primeiro grau, questão encerrada.
d) y.
e) x.
5.
$$\dfrac{d^n x}{dy^n} = y^2 + 1$$
a) n-ésima ordem. Oras, a função x está sendo derivada n vezes.
b) Primeiro grau. A função x está elevada a 1 na única vez que aparece na equação.
c) Linear. É de primeiro grau.
d) x. Ao contrário da maioria, é a função x que está sendo derivada.
e) y. Nessa fica ainda mais claro, já que o modelo de derivada apresenta x sendo derivada com relação a y.
6.
$$(\dfrac{d^2 r}{dy^2})^2 + \dfrac{d^2 r}{dy^2} + y \dfrac{dr}{dy} = 0$$
a) Segunda ordem. Quando r é mais derivado, ele é derivado 2 vezes.
b) Segundo grau. A maior potência de quando r é derivado duas vezes é 2.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) r.
e) y.
7.
$$(\dfrac{d^2 y}{dx^2})^{\frac{3}{2}} + y = x$$
a) Segunda ordem. É o número de vezes que y está sendo derivado quando é derivado.
b) Indefinido. Também não dá pra definir grau quando o expoente está fracionário.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) y.
e) x.
8.
$$(\dfrac{d^7 b}{dp^7}) = 3p$$
a) Sétima ordem. b é derivado SETE vezes nessa equação diferencial.
b) Primeiro grau. A potência da derivada de b é 1.
c) Linear. Se é de primeiro grau por causa de uma única derivada...
d) b
e) p
9.
$$(\dfrac{db}{dp})^7 = 3p$$
a) Primeira ordem. b é derivado só uma vez.
b) Sétimo grau. Essa vez que b aparece, sendo derivado, tudo está elevado a sétima.
c) Não-linear. Não é de primeiro grau.
d) b
e) p
UMA NOTA: não é sempre que uma equação diferencial é linear e de primeiro grau. Infelizmente o primeiro exercício que tivemos quando isso ocorre é na prova (virtual e presencial), então pra muita gente foi meio que chocante, mas... Existem casos em que a equação é de primeiro grau e não-linear. Note que pra definir o grau da equação diferencial você não pega o grau de qualquer função incógnita, e sim APENAS da função incógnita que está sendo derivada mais vezes.
No entanto, a linearidade não depende disso. Se você tem por exemplo uma função que é derivada oito vezes não elevada a nada, e outra função que é derivada uma vez só e é elevada ao cubo, você tem uma equação diferencial de primeiro grau, mas que não é linear porque a linearidade depende do expoente de todas as funções incógnitas.
Agora não aparecerão mais questões de classificação, acho. Mas você terá de classificar automaticamente para resolvê-las no futuro, então tome cuidado com isso.
Um bom dia a todos!
Lista II - Cálculo Diferencial e Integral III
Outra lista que não vai ser muito útil pro resto do bimestre, mas estou deixando aqui pra registro. Como trabalharemos só com equações diferenciais agora (e pretendo postar as listas todas aqui o mais rápido possível), de fato nem será usado... Mas se ficou alguma dúvida pra alguém em qualquer parte, tanto do conceito de integral de linha quanto nas integrações, estarei explicando aqui.
E vai que cai no exame, né.
1. Calcule aproximadamente o comprimento de L se y = 3x no intervalo de x [0; 3].
O segredo pra começar aqui é o seguinte: parametrização. Você precisa fazer y e x fazerem parte de uma mesma função, que chamaremos de t. Está tudo melhor explicado nessa aula, aqui vamos já praticar um pouco mais diretamente.
Como y e x estão relacionados, vamos transformá-los com relação a uma única variável, assim:
$x = t = g(t)$
$y = 3x = 3t = h(t)$
Ótimo. Agora temos que a integral de linha funciona assim:
$$L = \int^{x_f}_{x_i} \sqrt{(g'(t))^2 + (h'(t))^2} \,dt$$
Ou seja... Não vamos usar diretamente g(t) e h(t), mas suas derivadas. Bem, sabemos que é fácil derivar essas coisas aí, então façamos e bem rápido.
$g'(t) = t' = 1$
$h'(t) = 3t' = 3$
Só colocar na integral, agora, e resolver:
$$L = \int^3_0 \sqrt{1^2 + 3^2} \,dt = \sqrt{1+9} \int^3_0 \,dt = \sqrt{10}t = 3\sqrt{10} uC$$
Sendo uC uma unidade de comprimento qualquer.
2. Calcule o comprimento de L se $x^2 + y^2 = r^2$.
Parece beeem mais difícil, mas considerando o macete que aprendemos em coordenadas polares, podemos resolver isso numa boa. Note que, como não há medida pré-definida, vamos descobrir a fórmula padrão do ensino médio pro comprimento da circunferência através dessa integral.
Primeiro, a parametrização não vai ser muito padrão porque dificilmente vamos encontrar uma solução simples pra função de t numa função quadrática como essa. É uma função da circunferência, então fica muito mais fácil se considerarmos o seguinte: temos aí um problema que pode ser comparado ao teorema de Pitágoras.
Sério. O teorema não declara que $h^2 = CO^2 + CA^2$? Ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual ao quadrado dos catetos. Ou seja: o problema nos oferece uma função que sempre será comparável a um triângulo retângulo, porque é assim que a circunferência funciona.
Se temos um triângulo retângulo, vamos usar das funções dele, oras! Cosseno igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa, e seno igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. Vale a pena lembrar que não importa qual deles você pegue pra adjacente e qual pegue pra oposto, porque o exercício não determina.
$\cos{t} = \dfrac{x}{r}$
$\sin{t} = \dfrac{y}{r}$
Logo:
$x = r\cos{t} = g(t)$
$y = r\sin{t} = h(t)$
E pra colocar na integral, vamos ter que fazer duas coisas. Primeiro: derivar isso daí. Segundo: saber que limite jogar, mas isso é fácil... Já que temos uma circunferência completa, ela dá uma volta completa até chegar no ponto inicial (360°), o que indica $2\pi$.
Mas derivando:
$g'(t) = r\cos{t}' = r (-\sin{t}) = -r\sin{t}$
$h'(t) = r\sin{t}' = r\cos{t}$
E agora, na integral:
$$L = \int^{2\pi}_0 \sqrt{(-r \sin{t})^2 + (r \cos{t})^2} \,dt = \int^{2\pi}_0 \sqrt{r^2 \sin{t}^2 + r^2 \cos{t}^2} \,dt$$
$$L = \int^{2\pi}_0 \sqrt{r^2 (\sin{t}^2 + \cos{t}^2)} \,dt$$
Aqui é só aplicar propriedade trigonométria mais básica. A soma desse seno com cosseno dá 1, então resta só o r, que nessa integral é considerada constante (ela é com relação a t) e portanto pode ser jogada pra fora dela.
$$L = r \int^{2\pi}_0 \,dt = 2\pi r uC$$
Próxima.
3. Calcule aproximadamente o comprimento L se $y = x^{\frac{2}{3}}$ no intervalo de x [1;8].
Essa deu muita dor de cabeça pra gente na lista, e na prova também porque acharam que a semelhante ia ser tão difícil quanto, mas era infinitamente mais fácil rs. Essa é chatinha e tem umas manipulações de matemática básica muito boas pra treinar, aí vai.
Primeiro a parte mais fácil: parametrização. Vamos fazer igualzinho a primeira:
$x = t = g(t)$
$y = x^{\frac{2}{3}} = t^{\frac{2}{3}} = h(t)$
$g'(t) = t' = 1$
$h'(t) = (t^{\frac{2}{3}})' = \dfrac{2}{3} t^{\frac{-1}{3}}$
Agora a integral em si, que é a parte mais chata:
$$L = \int^8_1 \sqrt{1^2 + (\dfrac{2}{3} t^{\frac{-1}{3}})^2} \,dt = \int^8_1 \sqrt{1 + \frac{4}{9} t^{\frac{-2}{3}}} \,dt$$
Muita gente a partir daqui já fica desorientada. O esquema é o seguinte: eu já vou passar da maneira certa, mas a dica principal é aprender a brincar com as contas. Ir fatorando, mexendo no divisor e em tudo quanto é coisa até achar a solução correta... Não necessariamente a correta, mas a que facilite mais a conta pra você no final. Nesse caso, comecemos igualando os divisores das duas expressões:
$$L = \int^8_1 \sqrt{\dfrac{9t^{\frac{2}{3}}}{9t^{\frac{2}{3}}} + \dfrac{4}{9t^{\frac{2}{3}}}} \,dt = \int^8_1 \sqrt{\dfrac{9t^{\frac{2}{3}} + 4}{9t^{\frac{2}{3}}}} \,dt$$
Pode-se separar o dividendo do divisor através de uma multiplicação dos mesmos, mas a raíz permanece nos dois. Fica assim:
$$L = \int^8_1 \sqrt{\dfrac{1}{9t^{\frac{2}{3}}}} * \sqrt{9t^{\frac{2}{3}} + 4} \,dt$$
Ainda não podemos trabalhar no segundo, mas o primeiro podemos tirar a raíz. Certo?
$$L = \int^8_1 \dfrac{1}{9t^{\frac{1}{3}}} * \sqrt{9t^{\frac{2}{3}} + 4} \,dt = \dfrac{1}{3} \int^8_1 t^{\frac{-1}{3}} * (9t^\frac{2}{3} + 4)^{\frac{1}{2}} \,dt$$
Esse estado de integral te lembra alguma coisa? Espero que sim. É uma análise que não dá pra fazer assim na obviedade, mas nesse ponto que tem apenas uma variável de cada lado você tem que considerar tentar integrar por substituição. Por partes não dá porque em nenhum momento algum expoente vai chegar a 0, já que em fração eles vão passar pra negativo e continuar infinitamente.
Ou estou falando besteira, mas acho que não. Me corrijam se for o caso.
O fato é: tentando substituição nesse caso, você verá que dá certo. Os expoentes vão bater e você poderá cortá-los, assim:
$u = (9t^{\frac{2}{3}}) + 4$
$\dfrac{du}{dx} = (9t^{\frac{2}{3}})' + 4' = 9*(\dfrac{2}{3} * t^{\frac{-1}{3}}) = \dfrac{18}{3} t^{\frac{-1}{3}} = 6t^{\frac{-1}{3}}$
$\dfrac{1}{dx} = \dfrac{6t^{\frac{-1}{3}}}{du}$
$dx = \dfrac{du}{6t^{\frac{-1}{3}}}$
Substituindo a função por u e dx por du, a integral fica assim:
$$L = \dfrac{1}{3} \int^8_1 t^{\frac{-1}{3}} * u^{\frac{1}{2}} \dfrac{du}{6t^{\frac{-1}{3}}}$$
Viu só, que delícia? Agora é só cortar os t e sobra apenas u e 1 sobre 6, que você até joga fora da integral.
$$L = \dfrac{1}{3*6} \int^8_1 u^{\frac{1}{2}} \,du = \dfrac{1}{18} * \dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{54} (9t^{\frac{2}{3}} + 4)^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{27} \sqrt{(9\sqrt[3]{t^2} + 4)^3}$$
É, é isso daí que dá a integral. Agora é jogar os limites... Que é algo que muita gente complicou, mas muita mesmo, mas é bem simples. Lembrem-se da nossa experiência de um ano com integrais: você não lida com integrais dentro de raízes isolando apenas a variável, tem que tratar de toda a raíz; é de uma função composta que estamos falando. Lembrando que os limites vão de 1 a 8, não consegui colocar na conta porque não descobri ainda como se faz isso em LaTeX, se é que dá pra fazer.
Mas bem, a conta fica assim:
$$L = \dfrac{1}{27} (\sqrt{(9\sqrt[3]{8^2} + 4)^3} - \sqrt{(9\sqrt[3]{1^2} + 4)^3}) = \dfrac{1}{27} (\sqrt{(9\sqrt[3]{64} + 4)^3} - \sqrt{(9\sqrt[3]{1} + 4)^3})$$
$$L = \dfrac{1}{27} (\sqrt{(9*4 + 4)^3} - \sqrt{(9 + 4)^3}) = \dfrac{1}{27} (\sqrt{(36+4)^3} - \sqrt{(9+4)^3})$$
$$L = \dfrac{1}{27} (\sqrt{40^3} - \sqrt{13^3}) = \dfrac{1}{27} (\sqrt{64000} - \sqrt{2197}) \approx \dfrac{1}{27} (252.98 - 46.87) = \dfrac{206.11}{27}$$
$L = 7.63uC$
Ou seja, aproximadamente 7.63uC. Fizemos uma aproximação na conta. Como o exercício nos pede uma aproximação de fato, está resolvido.
Agora vem o destruidor.
4. Calcule aproximadamente o comprimento L se $y = x^2$ no intervalo x[0;2].
Tão inofensivo, não parece? Logo percebemos que não. É torturador, é cruel, e explora os confins da trigonometria como ninguém. A parametrização é fácil:
$x = t = g(t)$
$y = x^2 = t^2 = h(t)$
$g'(t) = 1$
$h'(t) = 2t$
Ok, ok, baba. Agora vamos montar a integral:
$$L = \int^2_0 \sqrt{1^2 + (2t)^2} \,dt = \int^2_0 \sqrt{1 + 4t^2} \,dt = \int^2_0 \sqrt{4(\dfrac{1}{4} + t^2)} \,dt = \sqrt{4} \int^2_0 \sqrt{\dfrac{1}{4} + t^2} \,dt$$
$$L = 2 \int^2_0 \sqrt{\dfrac{1}{4} + t^2} \,dt$$
Tirei esse 2 da raíz pra facilitar na hora de montar o triângulo e não confundir tudo. O problema é o seguinte: não dá pra fazer substituição porque não tem nenhuma variável pro t, que estará no du, matar. Não dá pra fazer por partes também, embora eu não saiba explicar direitinho... Mas bem, o fato é que não nos sobra nenhuma opção convencional.
No entanto, temos uma coisa somando a outra aí... Dentro de uma raiz. O que quer dizer que temos uma hipotenusa de um triângulo retângulo. Começa o drama aí. Se temos uma hipotenusa nessa raiz, por convenção temos que os dois catetos são a raiz quadrada do que está dentro dessa raiz; por questões de praticidade, direi que a segunda expressão está relacionada com o cateto oposto e a primeira com o adjacente.
$CO = \sqrt{t^2} = t$
$CA = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$
Ótimo. Vamos tentar deixar as coisas um pouco mais fáceis então (ou mais difíceis, dependendo do ponto de vista; mas resolvíveis):
$tan{\theta} = \dfrac{CO}{CA} = \dfrac{t}{\dfrac{1}{2}} = 2t$
Temos então que:
$t = \dfrac{1}{2} tan{\theta}$
Então vamos descobrir o que raios vamos colocar no lugar de dt para satisfazer um pouco melhor a equação, que agora se torna com relação a $\theta$.
$\dfrac{dt}{d\theta} = (\dfrac{1}{2} tan{\theta})' = \dfrac{1}{2} \sec{\theta}$
$dt = \dfrac{1}{2} \sec{\theta}$
Como esse 1/2 é constante, podemos jogar pra fora da integral... Falta só mais uma coisa antes de reescrever a integral: o limite. Temos que a tangente de theta é igual a 2t, então descobriremos theta fazendo a tangente inversa de 2t... E no lugar de t, colocaremos os números dos limites anteriores. Ajuda bastante nas trigonométricas entender como trocar o limite, particularmente era a minha maior dificuldade (agora eu descobri que tem coisa pior, no caso).
$x_f = \theta_f = tan^{-1}{2*2} = tan^{-1}{4} \approx 76$
$x_i = \theta_i = tan^{-1}{2*0} = tan^{-1}{0} = 0$
Bem, agora vamos reescrever ela com esse monte de informações novas que temos:
$$L = \dfrac{2}{2} \int^{76}_{0} \sqrt{\dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2} tan{\theta})^2} \sec^2{\theta} \,d\theta = \int^{76}_{0} \sqrt{\dfrac{1}{4}} \sqrt{1 + tan^2{\theta}} \sec^2{\theta} \,d\theta$$
$$L = \dfrac{1}{2} \int^{76}_{0} \sqrt{1 + tan^2{\theta}} \sec^2{\theta} \,d\theta$$
Pois é, galera. O inferno tava só começando. Agora é a hora de aplicar um monte de propriedades trigonométricas. Primeiro: temos que 1 + tangente ao quadrado dá secante ao quadrado, então substituímos e fica assim:
$$L = \dfrac{1}{2} \int^{76}_{0} \sqrt{sec^2{\theta}} \sec^2{\theta} \,d\theta = \dfrac{1}{2} \int^{76}_0 \sec{\theta} \sec^2{\theta} \,d\theta = \dfrac{1}{2} \int^{76}_0 \sec^3{\theta} \,d\theta$$
OK, pausa para: trabalhar apenas com a integral, se não ficará confuso. Por enquanto, esqueça o meio ali e o L, chamaremos essa integral secante ao cubo de theta de K e trabalharemos nela por partes... Vocês verão como e o porquê. Também tirarei os limites mas só pra ficar mais fácil pra eu escrever, finjam que ele sempre esteve ali pra todas as integrais.
$$K = \int \sec^3{\theta} \,d\theta = \int^{76}_0 \sec^2{\theta} * \sec{\theta} \,d\theta$$
Voltamos ao estado anterior, mas precisaremos da secante ao cubo em algum momento, então ok. O que temos aqui é um modelo padrão de integral por partes: temos o que podemos chamar de u, e o que podemos chamar de dv... No caso:
$$\int udv = uv - \int vdu$$
$u = \sec{\theta}$
$\dfrac{du}{d\theta} = \sec{\theta} \tan{\theta}$
$du = \sec{\theta} \tan{\theta} d\theta$
$dv = \sec^2{\theta} d\theta$
$v = tan{\theta}$
É, temos tudo o que precisamos agora. Vamos botar na conta então:
$$\int \sec^3{\theta} \,d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} - \int tan{\theta} (\sec{\theta} \tan{\theta}) d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} - \int tan^2{\theta} \sec{\theta} d\theta$$
SUMMON PROPRIEDADE TRIGONOMÉTRICA: tangente ao quadrado é igual a secante ao quadrado menos 1. É o inverso do que fizemos há um tempinho... nesse mesmo exercício.
$$\int \sec^3{\theta} \,d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} - \int (\sec^2{\theta} - 1) \sec{\theta} d\theta$$
Com isso, podemos quebrar essa integral final em duas outras integrais, uma para a secante multiplicando a secante ao quadrado e outra para a secante multiplicando -1. Lembre-se que antes da integral há o sinal de menos, ou seja, você deve inverter o sinal das duas integrais que surgirão daí:
$$\int \sec^3{\theta} \,d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} - \int \sec^3{\theta} d\theta + \int \sec{\theta} d\theta$$
Percebamos que temos, nessa expressão toda, uma integral que é idêntica à inicial: secante ao cubo de theta. Ela está subtraindo. O que podemos fazer é jogar ela pro outro lado somando, pra deixar a conta mais objetiva, já que a presença dela aí mostra que temos uma integral cíclica... Ou seja, de tempos em tempos ela vai se repetir. Também já vamos resolver a integral de secante comum, lógico, usando muito o Google enquanto estiver estudando e decorando quando estiver chegando perto de uma prova de cálculo que pode ter exercícios do tipo.
$$\int \sec^3{\theta} d\theta + \int \sec^3{\theta} d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} + \int \sec{\theta} d\theta$$
$$2 \int \sec^3{\theta} d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} + \ln{|\sec{\theta} + \tan{\theta}|}$$
$$\int \sec^3{\theta} d\theta = \dfrac{1}{2} (\sec{\theta} \tan{\theta} + \ln{|\sec{\theta} + \tan{\theta}|})$$
Holy crap, agora é "só" jogar os limites e usar a calculadora - lembrando que calculadoras geralmente não tem secante, mas secante é 1 sobre cosseno, então é só fazer isso.
$$\int^{76}_0 \sec^3{\theta} d\theta = \dfrac{1}{2} ((\sec{76} \tan{76} - \sec{0} \tan{0}) + (\ln{|\sec{76} + \tan{76}|} - \ln{|\sec{0} + \tan{0}|}))$$
$$\int^{76}_0 \sec^3{\theta} d\theta = \dfrac{1}{2} ((\dfrac{1}{\cos{76}} * \tan{76} - \dfrac{1}{\cos{0}} * 0) + (\ln{|\dfrac{1}{\cos{76}} + \tan{76}|} - \ln{|\dfrac{1}{\cos{0}} + 0|}))$$
$$\int^{76}_0 \sec^3{\theta} d\theta \approx \dfrac{1}{2} ((16.68 - 0) + 2 - \ln{|1|})) = \dfrac{1}{2} (16.68 + 2) = \dfrac{18.68}{2} = 9.34$$
OK, como chamamos isso tudo de K, esse é o resultado... Chegamos nele, a conta está praticamente terminada. Só se lembre que L representa metade dessa integral, não ela completa:
$L = \dfrac{1}{2} K = \dfrac{9.34}{2} = 4.67uC$
Ou seja: essa maldita integral toda para x² dá aproximadamente 4.67uC.
Espero nunca mais ter outro exercício desses na vida, e acho que muitos compartilham de meu sentimento. Infelizmente teremos. Mas de qualquer forma, é isso aí, tá aí a lista 2 pra quem quiser ter tudo completo no caderno, ou pra quem quiser entender um pouquinho melhor integral de linha (é muito mais que isso), ou pra quem quiser curtir trigonometria.
Um bom dia a todos!
E vai que cai no exame, né.
1. Calcule aproximadamente o comprimento de L se y = 3x no intervalo de x [0; 3].
O segredo pra começar aqui é o seguinte: parametrização. Você precisa fazer y e x fazerem parte de uma mesma função, que chamaremos de t. Está tudo melhor explicado nessa aula, aqui vamos já praticar um pouco mais diretamente.
Como y e x estão relacionados, vamos transformá-los com relação a uma única variável, assim:
$x = t = g(t)$
$y = 3x = 3t = h(t)$
Ótimo. Agora temos que a integral de linha funciona assim:
$$L = \int^{x_f}_{x_i} \sqrt{(g'(t))^2 + (h'(t))^2} \,dt$$
Ou seja... Não vamos usar diretamente g(t) e h(t), mas suas derivadas. Bem, sabemos que é fácil derivar essas coisas aí, então façamos e bem rápido.
$g'(t) = t' = 1$
$h'(t) = 3t' = 3$
Só colocar na integral, agora, e resolver:
$$L = \int^3_0 \sqrt{1^2 + 3^2} \,dt = \sqrt{1+9} \int^3_0 \,dt = \sqrt{10}t = 3\sqrt{10} uC$$
Sendo uC uma unidade de comprimento qualquer.
2. Calcule o comprimento de L se $x^2 + y^2 = r^2$.
Parece beeem mais difícil, mas considerando o macete que aprendemos em coordenadas polares, podemos resolver isso numa boa. Note que, como não há medida pré-definida, vamos descobrir a fórmula padrão do ensino médio pro comprimento da circunferência através dessa integral.
Primeiro, a parametrização não vai ser muito padrão porque dificilmente vamos encontrar uma solução simples pra função de t numa função quadrática como essa. É uma função da circunferência, então fica muito mais fácil se considerarmos o seguinte: temos aí um problema que pode ser comparado ao teorema de Pitágoras.
Sério. O teorema não declara que $h^2 = CO^2 + CA^2$? Ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual ao quadrado dos catetos. Ou seja: o problema nos oferece uma função que sempre será comparável a um triângulo retângulo, porque é assim que a circunferência funciona.
Se temos um triângulo retângulo, vamos usar das funções dele, oras! Cosseno igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa, e seno igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. Vale a pena lembrar que não importa qual deles você pegue pra adjacente e qual pegue pra oposto, porque o exercício não determina.
$\cos{t} = \dfrac{x}{r}$
$\sin{t} = \dfrac{y}{r}$
Logo:
$x = r\cos{t} = g(t)$
$y = r\sin{t} = h(t)$
E pra colocar na integral, vamos ter que fazer duas coisas. Primeiro: derivar isso daí. Segundo: saber que limite jogar, mas isso é fácil... Já que temos uma circunferência completa, ela dá uma volta completa até chegar no ponto inicial (360°), o que indica $2\pi$.
Mas derivando:
$g'(t) = r\cos{t}' = r (-\sin{t}) = -r\sin{t}$
$h'(t) = r\sin{t}' = r\cos{t}$
E agora, na integral:
$$L = \int^{2\pi}_0 \sqrt{(-r \sin{t})^2 + (r \cos{t})^2} \,dt = \int^{2\pi}_0 \sqrt{r^2 \sin{t}^2 + r^2 \cos{t}^2} \,dt$$
$$L = \int^{2\pi}_0 \sqrt{r^2 (\sin{t}^2 + \cos{t}^2)} \,dt$$
Aqui é só aplicar propriedade trigonométria mais básica. A soma desse seno com cosseno dá 1, então resta só o r, que nessa integral é considerada constante (ela é com relação a t) e portanto pode ser jogada pra fora dela.
$$L = r \int^{2\pi}_0 \,dt = 2\pi r uC$$
Próxima.
3. Calcule aproximadamente o comprimento L se $y = x^{\frac{2}{3}}$ no intervalo de x [1;8].
Essa deu muita dor de cabeça pra gente na lista, e na prova também porque acharam que a semelhante ia ser tão difícil quanto, mas era infinitamente mais fácil rs. Essa é chatinha e tem umas manipulações de matemática básica muito boas pra treinar, aí vai.
Primeiro a parte mais fácil: parametrização. Vamos fazer igualzinho a primeira:
$x = t = g(t)$
$y = x^{\frac{2}{3}} = t^{\frac{2}{3}} = h(t)$
$g'(t) = t' = 1$
$h'(t) = (t^{\frac{2}{3}})' = \dfrac{2}{3} t^{\frac{-1}{3}}$
Agora a integral em si, que é a parte mais chata:
$$L = \int^8_1 \sqrt{1^2 + (\dfrac{2}{3} t^{\frac{-1}{3}})^2} \,dt = \int^8_1 \sqrt{1 + \frac{4}{9} t^{\frac{-2}{3}}} \,dt$$
Muita gente a partir daqui já fica desorientada. O esquema é o seguinte: eu já vou passar da maneira certa, mas a dica principal é aprender a brincar com as contas. Ir fatorando, mexendo no divisor e em tudo quanto é coisa até achar a solução correta... Não necessariamente a correta, mas a que facilite mais a conta pra você no final. Nesse caso, comecemos igualando os divisores das duas expressões:
$$L = \int^8_1 \sqrt{\dfrac{9t^{\frac{2}{3}}}{9t^{\frac{2}{3}}} + \dfrac{4}{9t^{\frac{2}{3}}}} \,dt = \int^8_1 \sqrt{\dfrac{9t^{\frac{2}{3}} + 4}{9t^{\frac{2}{3}}}} \,dt$$
Pode-se separar o dividendo do divisor através de uma multiplicação dos mesmos, mas a raíz permanece nos dois. Fica assim:
$$L = \int^8_1 \sqrt{\dfrac{1}{9t^{\frac{2}{3}}}} * \sqrt{9t^{\frac{2}{3}} + 4} \,dt$$
Ainda não podemos trabalhar no segundo, mas o primeiro podemos tirar a raíz. Certo?
$$L = \int^8_1 \dfrac{1}{9t^{\frac{1}{3}}} * \sqrt{9t^{\frac{2}{3}} + 4} \,dt = \dfrac{1}{3} \int^8_1 t^{\frac{-1}{3}} * (9t^\frac{2}{3} + 4)^{\frac{1}{2}} \,dt$$
Esse estado de integral te lembra alguma coisa? Espero que sim. É uma análise que não dá pra fazer assim na obviedade, mas nesse ponto que tem apenas uma variável de cada lado você tem que considerar tentar integrar por substituição. Por partes não dá porque em nenhum momento algum expoente vai chegar a 0, já que em fração eles vão passar pra negativo e continuar infinitamente.
Ou estou falando besteira, mas acho que não. Me corrijam se for o caso.
O fato é: tentando substituição nesse caso, você verá que dá certo. Os expoentes vão bater e você poderá cortá-los, assim:
$u = (9t^{\frac{2}{3}}) + 4$
$\dfrac{du}{dx} = (9t^{\frac{2}{3}})' + 4' = 9*(\dfrac{2}{3} * t^{\frac{-1}{3}}) = \dfrac{18}{3} t^{\frac{-1}{3}} = 6t^{\frac{-1}{3}}$
$\dfrac{1}{dx} = \dfrac{6t^{\frac{-1}{3}}}{du}$
$dx = \dfrac{du}{6t^{\frac{-1}{3}}}$
Substituindo a função por u e dx por du, a integral fica assim:
$$L = \dfrac{1}{3} \int^8_1 t^{\frac{-1}{3}} * u^{\frac{1}{2}} \dfrac{du}{6t^{\frac{-1}{3}}}$$
Viu só, que delícia? Agora é só cortar os t e sobra apenas u e 1 sobre 6, que você até joga fora da integral.
$$L = \dfrac{1}{3*6} \int^8_1 u^{\frac{1}{2}} \,du = \dfrac{1}{18} * \dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{54} (9t^{\frac{2}{3}} + 4)^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{27} \sqrt{(9\sqrt[3]{t^2} + 4)^3}$$
É, é isso daí que dá a integral. Agora é jogar os limites... Que é algo que muita gente complicou, mas muita mesmo, mas é bem simples. Lembrem-se da nossa experiência de um ano com integrais: você não lida com integrais dentro de raízes isolando apenas a variável, tem que tratar de toda a raíz; é de uma função composta que estamos falando. Lembrando que os limites vão de 1 a 8, não consegui colocar na conta porque não descobri ainda como se faz isso em LaTeX, se é que dá pra fazer.
Mas bem, a conta fica assim:
$$L = \dfrac{1}{27} (\sqrt{(9\sqrt[3]{8^2} + 4)^3} - \sqrt{(9\sqrt[3]{1^2} + 4)^3}) = \dfrac{1}{27} (\sqrt{(9\sqrt[3]{64} + 4)^3} - \sqrt{(9\sqrt[3]{1} + 4)^3})$$
$$L = \dfrac{1}{27} (\sqrt{(9*4 + 4)^3} - \sqrt{(9 + 4)^3}) = \dfrac{1}{27} (\sqrt{(36+4)^3} - \sqrt{(9+4)^3})$$
$$L = \dfrac{1}{27} (\sqrt{40^3} - \sqrt{13^3}) = \dfrac{1}{27} (\sqrt{64000} - \sqrt{2197}) \approx \dfrac{1}{27} (252.98 - 46.87) = \dfrac{206.11}{27}$$
$L = 7.63uC$
Ou seja, aproximadamente 7.63uC. Fizemos uma aproximação na conta. Como o exercício nos pede uma aproximação de fato, está resolvido.
Agora vem o destruidor.
4. Calcule aproximadamente o comprimento L se $y = x^2$ no intervalo x[0;2].
Tão inofensivo, não parece? Logo percebemos que não. É torturador, é cruel, e explora os confins da trigonometria como ninguém. A parametrização é fácil:
$x = t = g(t)$
$y = x^2 = t^2 = h(t)$
$g'(t) = 1$
$h'(t) = 2t$
Ok, ok, baba. Agora vamos montar a integral:
$$L = \int^2_0 \sqrt{1^2 + (2t)^2} \,dt = \int^2_0 \sqrt{1 + 4t^2} \,dt = \int^2_0 \sqrt{4(\dfrac{1}{4} + t^2)} \,dt = \sqrt{4} \int^2_0 \sqrt{\dfrac{1}{4} + t^2} \,dt$$
$$L = 2 \int^2_0 \sqrt{\dfrac{1}{4} + t^2} \,dt$$
Tirei esse 2 da raíz pra facilitar na hora de montar o triângulo e não confundir tudo. O problema é o seguinte: não dá pra fazer substituição porque não tem nenhuma variável pro t, que estará no du, matar. Não dá pra fazer por partes também, embora eu não saiba explicar direitinho... Mas bem, o fato é que não nos sobra nenhuma opção convencional.
No entanto, temos uma coisa somando a outra aí... Dentro de uma raiz. O que quer dizer que temos uma hipotenusa de um triângulo retângulo. Começa o drama aí. Se temos uma hipotenusa nessa raiz, por convenção temos que os dois catetos são a raiz quadrada do que está dentro dessa raiz; por questões de praticidade, direi que a segunda expressão está relacionada com o cateto oposto e a primeira com o adjacente.
$CO = \sqrt{t^2} = t$
$CA = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$
Ótimo. Vamos tentar deixar as coisas um pouco mais fáceis então (ou mais difíceis, dependendo do ponto de vista; mas resolvíveis):
$tan{\theta} = \dfrac{CO}{CA} = \dfrac{t}{\dfrac{1}{2}} = 2t$
Temos então que:
$t = \dfrac{1}{2} tan{\theta}$
Então vamos descobrir o que raios vamos colocar no lugar de dt para satisfazer um pouco melhor a equação, que agora se torna com relação a $\theta$.
$\dfrac{dt}{d\theta} = (\dfrac{1}{2} tan{\theta})' = \dfrac{1}{2} \sec{\theta}$
$dt = \dfrac{1}{2} \sec{\theta}$
Como esse 1/2 é constante, podemos jogar pra fora da integral... Falta só mais uma coisa antes de reescrever a integral: o limite. Temos que a tangente de theta é igual a 2t, então descobriremos theta fazendo a tangente inversa de 2t... E no lugar de t, colocaremos os números dos limites anteriores. Ajuda bastante nas trigonométricas entender como trocar o limite, particularmente era a minha maior dificuldade (agora eu descobri que tem coisa pior, no caso).
$x_f = \theta_f = tan^{-1}{2*2} = tan^{-1}{4} \approx 76$
$x_i = \theta_i = tan^{-1}{2*0} = tan^{-1}{0} = 0$
Bem, agora vamos reescrever ela com esse monte de informações novas que temos:
$$L = \dfrac{2}{2} \int^{76}_{0} \sqrt{\dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2} tan{\theta})^2} \sec^2{\theta} \,d\theta = \int^{76}_{0} \sqrt{\dfrac{1}{4}} \sqrt{1 + tan^2{\theta}} \sec^2{\theta} \,d\theta$$
$$L = \dfrac{1}{2} \int^{76}_{0} \sqrt{1 + tan^2{\theta}} \sec^2{\theta} \,d\theta$$
Pois é, galera. O inferno tava só começando. Agora é a hora de aplicar um monte de propriedades trigonométricas. Primeiro: temos que 1 + tangente ao quadrado dá secante ao quadrado, então substituímos e fica assim:
$$L = \dfrac{1}{2} \int^{76}_{0} \sqrt{sec^2{\theta}} \sec^2{\theta} \,d\theta = \dfrac{1}{2} \int^{76}_0 \sec{\theta} \sec^2{\theta} \,d\theta = \dfrac{1}{2} \int^{76}_0 \sec^3{\theta} \,d\theta$$
OK, pausa para: trabalhar apenas com a integral, se não ficará confuso. Por enquanto, esqueça o meio ali e o L, chamaremos essa integral secante ao cubo de theta de K e trabalharemos nela por partes... Vocês verão como e o porquê. Também tirarei os limites mas só pra ficar mais fácil pra eu escrever, finjam que ele sempre esteve ali pra todas as integrais.
$$K = \int \sec^3{\theta} \,d\theta = \int^{76}_0 \sec^2{\theta} * \sec{\theta} \,d\theta$$
Voltamos ao estado anterior, mas precisaremos da secante ao cubo em algum momento, então ok. O que temos aqui é um modelo padrão de integral por partes: temos o que podemos chamar de u, e o que podemos chamar de dv... No caso:
$$\int udv = uv - \int vdu$$
$u = \sec{\theta}$
$\dfrac{du}{d\theta} = \sec{\theta} \tan{\theta}$
$du = \sec{\theta} \tan{\theta} d\theta$
$dv = \sec^2{\theta} d\theta$
$v = tan{\theta}$
É, temos tudo o que precisamos agora. Vamos botar na conta então:
$$\int \sec^3{\theta} \,d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} - \int tan{\theta} (\sec{\theta} \tan{\theta}) d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} - \int tan^2{\theta} \sec{\theta} d\theta$$
SUMMON PROPRIEDADE TRIGONOMÉTRICA: tangente ao quadrado é igual a secante ao quadrado menos 1. É o inverso do que fizemos há um tempinho... nesse mesmo exercício.
$$\int \sec^3{\theta} \,d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} - \int (\sec^2{\theta} - 1) \sec{\theta} d\theta$$
Com isso, podemos quebrar essa integral final em duas outras integrais, uma para a secante multiplicando a secante ao quadrado e outra para a secante multiplicando -1. Lembre-se que antes da integral há o sinal de menos, ou seja, você deve inverter o sinal das duas integrais que surgirão daí:
$$\int \sec^3{\theta} \,d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} - \int \sec^3{\theta} d\theta + \int \sec{\theta} d\theta$$
Percebamos que temos, nessa expressão toda, uma integral que é idêntica à inicial: secante ao cubo de theta. Ela está subtraindo. O que podemos fazer é jogar ela pro outro lado somando, pra deixar a conta mais objetiva, já que a presença dela aí mostra que temos uma integral cíclica... Ou seja, de tempos em tempos ela vai se repetir. Também já vamos resolver a integral de secante comum, lógico, usando muito o Google enquanto estiver estudando e decorando quando estiver chegando perto de uma prova de cálculo que pode ter exercícios do tipo.
$$\int \sec^3{\theta} d\theta + \int \sec^3{\theta} d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} + \int \sec{\theta} d\theta$$
$$2 \int \sec^3{\theta} d\theta = \sec{\theta} \tan{\theta} + \ln{|\sec{\theta} + \tan{\theta}|}$$
$$\int \sec^3{\theta} d\theta = \dfrac{1}{2} (\sec{\theta} \tan{\theta} + \ln{|\sec{\theta} + \tan{\theta}|})$$
Holy crap, agora é "só" jogar os limites e usar a calculadora - lembrando que calculadoras geralmente não tem secante, mas secante é 1 sobre cosseno, então é só fazer isso.
$$\int^{76}_0 \sec^3{\theta} d\theta = \dfrac{1}{2} ((\sec{76} \tan{76} - \sec{0} \tan{0}) + (\ln{|\sec{76} + \tan{76}|} - \ln{|\sec{0} + \tan{0}|}))$$
$$\int^{76}_0 \sec^3{\theta} d\theta = \dfrac{1}{2} ((\dfrac{1}{\cos{76}} * \tan{76} - \dfrac{1}{\cos{0}} * 0) + (\ln{|\dfrac{1}{\cos{76}} + \tan{76}|} - \ln{|\dfrac{1}{\cos{0}} + 0|}))$$
$$\int^{76}_0 \sec^3{\theta} d\theta \approx \dfrac{1}{2} ((16.68 - 0) + 2 - \ln{|1|})) = \dfrac{1}{2} (16.68 + 2) = \dfrac{18.68}{2} = 9.34$$
OK, como chamamos isso tudo de K, esse é o resultado... Chegamos nele, a conta está praticamente terminada. Só se lembre que L representa metade dessa integral, não ela completa:
$L = \dfrac{1}{2} K = \dfrac{9.34}{2} = 4.67uC$
Ou seja: essa maldita integral toda para x² dá aproximadamente 4.67uC.
Espero nunca mais ter outro exercício desses na vida, e acho que muitos compartilham de meu sentimento. Infelizmente teremos. Mas de qualquer forma, é isso aí, tá aí a lista 2 pra quem quiser ter tudo completo no caderno, ou pra quem quiser entender um pouquinho melhor integral de linha (é muito mais que isso), ou pra quem quiser curtir trigonometria.
Um bom dia a todos!
terça-feira, 3 de abril de 2012
Lista I - Cálculo Diferencial e Integral III
1. Trace um número suficiente de vetores para ilustrar o padrão dos
vetores no campo F.
b) $F(x, y, z) = (3x+y)\hat{i} + (xy^2)\hat{j} + (xz^2)\hat{k}$
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(3x+y) & (xy^2) & (xz^2) \end{array}
\right) =$
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(xz^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(xy^2)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xz^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(3x+y)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(xy^2) - \dfrac{\partial}{\partial y}(3x+y)]\hat{k} =$
$[0 - 0]\hat{i} - [z^2 - 0]\hat{j} + [y^2+1]\hat{k} = (-z^2)\vec{j} + (y^2+1)\vec{k}$
Fácil, não? Até que sim. Agora ao divergente:
$\vec{\nabla} \bullet \vec{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}[3x+y] + \dfrac{\partial}{\partial y}[xy^2] + \dfrac{\partial}{\partial z}[xz^2] = 3+2yx+2zx$
c) $F(x, y, z) = (3xyz^2)\hat{i} + (y^2 \sin{z})\hat{j} + (xe^{2z})\hat{k}$
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(3xyz^2) & (xy^2) & (xz^2) \end{array}
\right) = [\dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{2z})$
$ - \dfrac{\partial}{\partial z}(y^2 \sin{z})]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{2z}) - \dfrac{\partial}{\partial z}(3xyz^2)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(y^2 \sin{z}) - \dfrac{\partial}{\partial y}(3xyz^2)]\hat{k} =$
$[0 - (y^2 \cos{z})]\hat{i} - [e^{2z} - 3*(2z)xy]\hat{j} + [0-3xz^2]\hat{k} =$
$(-y^2 \cos{z})\hat{i} - (e^{2z} - 6xyz)\hat{j} - (3xz^2)\hat{k} = (-y^2 \cos{z})\hat{i} + (-e^{2z} + 6xyz)\hat{j} - (3xz^2)\hat{k}$
$\vec{\nabla} \bullet \vec{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}[3xyz^2] + \dfrac{\partial}{\partial y}[y^2 \sin{z}] + \dfrac{\partial}{\partial z}[xe^{2z}] = 3yz^2 + 2y \sin{z} + 2xe^{2z}$
3. Se $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$, prove que:
a) $\vec{\nabla} \bullet \vec{r} = 3$
$\vec{\nabla} \bullet \vec{r} = \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 $
b) $\vec{\nabla} \times \vec{r} = 0$
$\vec{\nabla} \times \vec{r} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
x & y & z \end{array}
\right) = [\dfrac{\partial z}{\partial y} - \dfrac{\partial y}{\partial z}]\hat{i} - [\dfrac{\partial z}{\partial x} - \dfrac{\partial x}{\partial z}]\hat{j} + [\dfrac{\partial y}{\partial x} - \dfrac{\partial x}{\partial y}]\hat{k} = 0$
c) $\vec{\nabla} ||\vec{r}|| = \dfrac{\vec{r}}{||\vec{r}||}$
Seguinte: sabemos que o módulo de um vetor xy é a raíz de suas componentes ao quadrado. Para xyz o mesmo ocorre, só que com uma direção a mais. Ou seja:
$||\vec{r}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Como não há nenhum sinal na lista, fica mais difícil deduzir, mas será feito um produto escalar nesse caso. Como dito, a função ficará:
$\vec{\nabla} \times \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Para fazer o produto escalar por nabla, é só derivar a função em cada eixo. E como estamos trabalhando com módulo, usaremos a mesma função vetorial para todas as três derivadas parciais:
$\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{\partial}{\partial z}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}} =$
$2x * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} + 2y * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} + 2z * \dfrac{1}{2} * (x^2+y^2+z^2)^{\frac{-1}{2}} =$
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{i} + \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{j} + \dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \hat{k} = \dfrac{(x)\hat{i} + (y)\hat{j} + (z)\hat{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \dfrac{\vec{r}}{||\vec{r}||}$
4. Se $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ e a é um vetor constante, prove que:
a) $rot (\vec{a} \times \vec{r}) = 2\vec{a}$
Ok, aqui só uma observação deve ser feita antes de começar a fazermos contas enormes: um vetor constante a tem, em todas as suas direções (x, y, z), a componente a. Logo, quando formos fazer ou a matriz $\vec{a} \times \vec{r}$, vamos colocar a em toda a linha da primeira função. Ou da segunda, tanto faz. Como isso está entre parênteses, a prioridade é essa, então vamos resolver isso.
$\vec{a} \times \vec{r} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
x & y & z \end{array}
\right) = $
$[az-ay]\hat{i} - [az-ax]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k} = [az-ay]\hat{i} + [ax-az]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k} $
Resolvido isso, temos uma única função, que: na letra a, será multiplicada vetorialmente com o operador $\vec{\nabla}$; na letra b, será multiplicada escalarmente com esse mesmo operador. Primeiro, resolvendo a:
$rot([az-ay]\hat{i} + [ax-az]\hat{j} + [ay-ax]\hat{k}) = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(az-ay) & (ax-az) & (ay-ax) \end{array}
\right) = $
$(\dfrac{\partial}{\partial y}[ay-ax] - \dfrac{\partial}{\partial z}[ax-az])\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}[ay-ax] - \dfrac{\partial}{\partial z}[az-ay])\hat{j}$
$+ (\dfrac{\partial}{\partial x}[ax-az] - \dfrac{\partial}{\partial y}[az-ay])\hat{k} = (a - [-a])\hat{i} - ([-a] - a)\hat{j} + (a - [-a])\hat{k} =$
$(2a)\hat{i} + (2a)\hat{j} + (2a)\hat{k} = 2a$
Ótimo, resolvida letra a. Agora letra b.
b) $div (\vec{a} \times \vec{r}) = 0$
Lembrando que a divergente é apenas a derivada parcial de x na direção i, de y na direção j e de z na direção k. Só colocar a função $\vec{a} \times \vec{r}$ nas derivadas:
$\dfrac{\partial}{\partial x}[az-ay] + \dfrac{\partial}{\partial y}[ax-az] + \dfrac{\partial}{\partial z}[ay-ax] = 0$
Mais fácil, mais rápida e a resposta é correta também. Próxima.
5. Determine se o campo vetorial $\vec{F}$ é conservativo.
a) Se $\vec{F} = (yz)\hat{i} + (xz)\hat{j} + (xy)\hat{k}$
Primeiro, temos que saber o que raios é um campo conservativo. Se há muito tempo respondestes a prova, sabes que o campo conservativo é um campo cujo sua multiplicação vetorial com o nabla dá 0. Vamos fazer o teste com esse primeiro.
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(yz) & (xz) & (xy) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(xy) - \dfrac{\partial}{\partial z}(xz)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(xy) - \dfrac{\partial}{\partial z}(yz)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(xz) - \dfrac{\partial}{\partial y}(yz)]\hat{k} =$
$[x-x]\hat{i} - [y-y]\hat{j} + [z-z]\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$
Ou seja, o campo é conservativo.
b) Se $\vec{F} = (ye^{-x})\hat{i} + (e^{-x})\hat{j} + (2z)\hat{k}$
Ok, matriz:
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(ye^{-x}) & (e^{-x}) & (2z) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(2z) - \dfrac{\partial}{\partial z}(e^{-x})]\hat{i} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(2z) - \dfrac{\partial}{\partial z}(ye^{-x})]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(e^{-x}) - \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{-x})]\hat{k} =$
$(-e^{-x} - e^{-x})\hat{k} = (-2e^{-x})\hat{k}$
Logo, o campo não é conservativo.
c) Se $\vec{F} = (y^2 z^3)\hat{i} + (2xyz^3)\hat{j} + (3xy^2 z^2)\hat{k}$
Lá vamos nós de novo:
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
(y^2 z^3) & (2xyz^3) & (3xy^2 z^2) \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2 z^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(2xyz^3)]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2 z^2) - \dfrac{\partial}{\partial z}(y^2 z^3)]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}(2xyz^3) - \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2 z^3)]\hat{k} =$
$[3x(2y)z^2 - 2xy(3z^2)]\hat{i} - [3y^2 z^2 - y^2 (3z^2)]\hat{j} + [2yz^3 - 2yz^3]\hat{k} =$
$[6xyz^2 - 6xyz^2]\hat{i} - [3y^2 z^2 - 3y^2 z^2]\hat{j} + 0\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$
Ou seja, o campo é conservativo.
Resolvido mais um! Faltam dois agora. E bem de boas, veja só.
6. Seja $\vec{F} = \vec{M} \hat{i} + \vec{N} \hat{j} + \vec{P} \hat{k}$ um campo vetorial, mostre que $div(rot(\vec{F})) = 0$. Note a analogia $a \bullet (a \times b) = 0$.
Ok, parece meio confuso assim. Mas vamos resolver primeiro, ver no que dá isso tudo. Aí chegamos nas conclusões. Primeiro o rotacional (produto vetorial de nabla com a função vetorial), que está em prioridade ali, e depois o divergente do resultado.
$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
M & N & P \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N]\hat{i} - [\dfrac{\partial}{\partial x}P - \dfrac{\partial}{\partial z}M]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M]\hat{k} =$
$[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N]\hat{i} + [\dfrac{\partial}{\partial z}M - \dfrac{\partial}{\partial x}P]\hat{j} + [\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M]\hat{k}$
Ok, não parece nada conclusivo, mas vamos fazer o divergente disso. Produto escalar de nabla pelas funções ijk.
$\dfrac{\partial}{\partial x}[\dfrac{\partial}{\partial y}P - \dfrac{\partial}{\partial z}N] + \dfrac{\partial}{\partial y}[\dfrac{\partial}{\partial x}M - \dfrac{\partial}{\partial z}P] + \dfrac{\partial}{\partial z}[\dfrac{\partial}{\partial x}N - \dfrac{\partial}{\partial y}M] =$
$\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} - \dfrac{\partial^2 N}{\partial x \partial z} + \dfrac{\partial^2 M}{\partial y \partial z} - \dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x} + \dfrac{\partial^2 N}{\partial z \partial x} - \dfrac{\partial^2 M}{\partial z \partial y}$
"E agora?" você me pergunta. O esquema é o seguinte: aprendemos em cálculo II, lá no começo, que a ordem das incógnitas lá embaixo não altera o resultado. O que isso significa? Que tudo o que é igual em cima, e tem as mesmas incógnitas embaixo independente da ordem, é igual. "Coincidentemente", temos uma derivada parcial de P positiva com xy embaixo, e uma negativa com yx embaixo - podemos cortá-la; o mesmo ocorre com M e yz/zy, e N com zx/xz. Como vamos cortar tudo, o resultado final vai ser 0.
Que foi o que foi exigido inicialmente no exercício, não foi?
7. Seja $\vec{F} = \nabla f$ (campo de gradientes), mostre que $\vec{F}$ é conservativo.
É o seguinte: nessa questão, temos um operador nabla multiplicando um campo "f". Ou seja, a função que será colocada na matriz será $\nabla f$: cada operador, derivada parcial, estará multiplicando esse f desconhecido. Será evidentemente uma matriz, e ela ficará assim:
$\vec{\nabla} \times \vec{\nabla f} = \left(
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\dfrac{\partial}{\partial x}f & \dfrac{\partial}{\partial y}f & \dfrac{\partial}{\partial z}f \end{array}
\right) = $
$[\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}]\hat{i} - [\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} - \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \partial x}]\hat{j} + [\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} - \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}]\hat{k} =$
$0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0$
E é isso aí. Está resolvida toda essa lista, que acho que não vai ser muito cobrada mas, bem, de qualquer forma se precisar já há um lugar pra estudar.
Aula V - Cálculo Diferencial e Integral III
Equações Diferenciais
- São equações que envolvem a função incógnita e suas derivadas. Exemplo:$\dfrac{dT}{dt} = -K(T_c - T_m)$
Variável independente: t
Variável dependente: T
Equação Diferencial Ordinária: 1 variável independente
Equação Diferencial Parcial: 2 ou mais variáveis independentes
Exemplo de EDP:
$\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} - \dfrac{4\partial^2y}{\partial t^2} = 0$
Notação
$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dot{y}$$y'' = \dfrac{d^2y}{dx^2} = \ddot{y}$
$y''', y^{(4)}, ...$
Classificação
Ordem
- A ordem de uma equação diferencial é a ordem da equação de maior ordem. Exemplo:$\dfrac{d^2y}{dx^2} + 2\dfrac{dy}{dx} = e^x$
A equação de maior ordem é a primeira, que é de segunda ordem. Logo, essa é uma equação diferencial de segunda ordem.
Grau
- A maior potência da derivada de maior ordem. Exemplo:$(\dfrac{dy}{dx})^2 - 3\dfrac{dy}{dx} = e^x$
As duas derivadas são da mesma ordem (1ª), enquanto a primeira derivada está elevada ao quadrado, o que configura em uma equação diferencial de segundo grau.
Linearidade
Para que uma equação diferencial seja linear:- A função incógnita e suas derivadas como de 1º grau;
- Cada coeficiente depende da mesma variável independente.
Exemplo de função que não é linear:
$y''' + y^2 = 0$
Note que a função y está elevada ao quadrado, assim tornando a equação de segundo grau, e não satisfazendo a primeira condição de uma equação diferencial linear.
Solução da Equação Diferencial
- É uma função y = f(x) a qual, juntamente com suas derivadas, satisfaz a equação dada. Exemplos:Verifique se $y = x^2+5x$ é solução de $xy'' - y' + 5 = 0$.
Ok, esse exercício, como qualquer introdutório, é bem fácil: primeiro vamos descobrir as derivadas das duas ordens.
$y' = (x^{2})' + 5x' = 2x + 5$
$y'' = (2x+5)' = 2x' + 5' = 2 + 0 = 2$
E agora substituir na equação:
$x(2) - (2x+5) + 5 = 0$
$2x - 2x - 5 + 5 = 0$
$0 = 0$
Logo, a equação está satisfeita e o valor $y = x^2+5x$ é solução.
Verifique se, caso $y = \dfrac{1}{x^2+C}$, $y' = -2xy^2$.
Esse já é mais chatinho, mas calma, é só o final que tem um truquezinho básico. Só precisamos derivar, a princípio, veja:
$y' = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{x^2+c}) = \dfrac{d}{dx}(1*(x^2+c)^{-1}) = -(2x)*(x^2+c)^{-2}$
A quem não lembra o que foi feito aí, o que eu não acho difícil, puríssima regra da cadeia. Clássico do Cálculo I. A derivada da função de dentro, que fica 2x, vezes a derivada da função de fora, em que você trata a função de dentro como uma variável elevada a -1 e faz a regra do tombo com ele (cai -1, o expoente fica -2).
Agora, à manipulação:
$y' = -2x*(\dfrac{1}{x^2+c})^2$
Notem que tudo o que está elevado ao quadrado é o valor original de y, lá em cima, logo:
$y' = -2xy^2$
Os resultados batem, então sim, y e y' estão expressadas corretamente no enunciado.
E foi essa a última aula de cálculo. Espero que entendam bem esse início, porque EDO é o conteúdo que vamos carregar por esse cálculo e muito provavelmente por parte do próximo.
quarta-feira, 28 de março de 2012
Aula IV - Cálculo Diferencial e Integral III
Integrais de Linha
Integrais sobre curvas
Parametrização
Quando uma partícula se move pelo espaço durante um intervalo de tempo I, pensamos nas coordenadas da partícula como funções definidas sobre I.x = f(t)
y = g(t)
y = x²
x = t
y = t²
Ou P(x, y, z) = P(f(t), g(t), h(t)), $t \in I$, formam a curva que chamamos de trajetória da partícula.
Comprimento da Curva (L)
x = g(t)y = h(t)
$d\vec{s} = dx\widehat{i} + dy\widehat{j}$
1
$\dfrac{dx}{dt} = g'(t)$
$dx = g'(t)dt$
2
$\dfrac{dy}{dt} = h'(t)$
$dy = h'(t)dt$
3
$||d\vec{s}|| = \sqrt{dx^2 + dy^2}$
4
Substituindo o termo dx pela fórmula 2 e o termo dy pela fórmula 3:
$||d\vec{s}|| = \sqrt{(g'(t)dt)^2 + (h'(t)dt)^2} = \sqrt{(g'(t))^2+(h'(t))^2}dt$
Definição: vamos supor que g'(t) e h'(t) sejam contínuas no intervalo fechado [a, b] e L seja o comprimento da curva C, então:
$L = \int ||d\vec{s}|| = \int \sqrt{(g'(t))^2+(h'(t))^2}dt$
Exemplo: seja y = x, calcule L.
x = 0 ... 2
Dispensa qualquer explicação, é só considerar o conteúdo.
Solução: parametrização:
x = t = g(t)
g'(t) = 1
y = t = h(t)
h'(t) = 1
$0 \le t \le 2$
$L = \int^2_0 \sqrt{1^2 + 1^2}dt = \sqrt{2} \int^2_0 dt = \sqrt{2}t = 2\sqrt{2} uC$
Prova real:
$L^2 = 2^2 + 2^2$
$L = \sqrt{4*2} = 2\sqrt{2} uC$
Exemplo 2:
x²+y² = 4
Básico de geometria analítica. Um círculo de raio 2. Como fica inviável resolver com xy, vamos usar características geométricas básicas (cos = x/r, sen = y/r) pra resolver.
Parametrização:
$\cos(t) = \dfrac{x}{2}$
$x = 2\cos(t)$
$g(t) = 2\cos(t)$
$\sin(t) = \dfrac{y}{2}$
$y = 2\sin(t)$
$h(t) = 2\sin(t)$
$g'(t) = -2\sin(t)$
$h'(t) = 2\cos(t)$
$L = \int^{2\pi}_0 \sqrt{(-2\sin(t))^2 + (2\cos(t))^2}dt = \int^{2\pi}_0 \sqrt{4\sin^2(t) + 4\cos^2(t)}dt =$
$\int^{2\pi}_0 2\sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)}dt = 2\int^{2\pi}_0 dt = 2t = 4\pi uC$
Prova real:
$C = 2\pi R$
$C = 2\pi2 = 4\pi uC$
Quanto às listas em sala que não valem nota, ainda estou devendo de perguntar pro professor... Mas não se preocupem, é mais fácil postar cálculo então se eu obter autorização já posto tudo.
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