Lista VII - Cálculo Diferencial e Integral III

21. Coloca-se um corpo à temperatura de 0°F em um quarto mantido à temperatura constante de 100°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 25°, determine:
a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50° F;
b) a temperatura do corpo após 20 minutos.
Exercício bem simples, bem começo de lista mesmo. O esquema é lembrar já de cara da equação de Newton... Aquela mesmo:
$$T' + KT = KT_m$$
Vamos precisar trabalhar essa equação a partir do fator integrante pra descobrir uma expressão válida pra T. Veja bem. T' é dT/dt, K é uma constante que não temos, T é a temperatura e Tm é a temperatura do ambiente. Disso tudo, fomos informados que o quarto tem temperatura constante de 100°F, e nada mais; então é a única coisa que podemos substituir.
$$T' + KT = 100K$$
Agora vamos resolver a equação diferencial:
$$I(t, T) = e^{\int Kdt} = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 100K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 100K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 100K dt = 100e^{Kt} + C \\ T = 100 + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
(se não entendeu a resolução, é recomendável que revise a lista anterior de cálculo)
Ok, temos essa pré-equação aí, mas temos duas constantes não-resolvidas aí. C e K. Temos também duas informações prévias que podemos usar agora, mas não fazia sentido anteriormente. Primeiro, a temperatura do corpo ao ser colocada no ambiente é 0°F, o que indica que sua temperatura inicial T(0) é 0°F. Outra informação é que, em T(10) é 25°F. A informação mais conveniente no momento é T(0) para determinar C.
Veja:
$$T(0) = 100 + Ce^{-0K} = 0 \\ 100 + Ce^0 = 0 \\ 100 + C = 0 \\ C = -100$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-Kt}$$
E agora convém usar a segunda informação a nosso favor.
$$T(10) = 100 - 100e^{-10K} = 25 \\ -100e^{-10K} = 25-100 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} \approx 0.029$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 100e^{-0.029t}$$
Agora dá pra resolver o exercício.

O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50°F. Temos que T(t) = 50°F. Queremos descobrir o valor de t e, colocando o resultado, vemos que t é a única variável que sobra, então podemos resolver.
$$T(t) = 100 - 100e^{-0.029t} = 50 \\ -100e^{-0.029t} = 50 - 100 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Ou seja, em aproximadamente 23.9 minutos.

A temperatura do corpo após 20 minutos. Mais fácil que o primeiro, bem mais fácil. Temos o valor de t, não temos a resposta, então é só jogar no lugar de t na equação e resolver.
$$T = 100 - 100e^{-0.029 \times 20} = 100 - \dfrac{100}{e^{0.58}} = 100 - 55.99 \approx 44.01°F$$
Resolvido. Próximo.

22. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0°F. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40°F e após 40 minutos é 20, determine a temperatura inicial do corpo.
Ok, temos a seguinte informação inicial pra equação: a temperatura do ambiente é 0°F. Nada mais, só isso. E é suficiente pra resolver bem a equação, quer ver?
$$T' + KT = 0K = 0 \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = 0 \\ e^{Kt}T = C \\ T = Ce^{-Kt}$$
Vejamos agora. Temos duas informações, a primeira é: T(20) = 40, T(40) = 20. Se você analisar, nenhuma delas vai anular alguma variável pra gente trabalhar com a outra, então vamos ver:
$$Ce^{-20K} = 40 \\ \ln{Ce^{-20K}} = \ln{40} \\ \ln{C} + \ln{e^{-20K}} \approx 3.69 \\ \ln{C} - 20K = 3.69$$
$$Ce^{-40K} = 20 \\ ln{Ce^{-40K}} = \ln{20} \\ ln{C} + \ln{e^{-40K}} \approx 2.99 \\ \ln{C} - 40K = 2.99$$
Temos aqui um sistema linear com duas variáveis e duas expressões. Bem simples, podemos resolvê-lo simplesmente invertendo o sinal de uma das expressões pra cortar o lnC, assim:

$$\begin{cases} \ln{C} - 20K = 3.69 \\
-\ln{C} + 40K = -2.99 \end{cases} \\ 20K = 0.7 \\ K = \dfrac{0.7}{20} = 0.035$$
Ok, agora para C:
$$\ln{C} - 20 \times 0.035 = 3.69 \\ \ln{C} = 3.69 + 0.7 = 4.39 \\ C = e^{4.39} \approx 80.64$$
Logo, a equação final é:
$$T = 80.64e^{-0.035t}$$
Sendo assim, o T inicial T(0) é:
$$T(0) = 80.64e^{-0.035 \times 0} = 80.64e^0 = 80.64$$
E essa é a resposta do exercício.

23. Um corpo à temperatura de 50°F é colocado em um forno cuja temperatura é mantida a 150°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 75°F, determine o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 100°F.
Temperatura ambiente Tm é 150°F. O resto não tem nada. Já basta pra iniciar a equação diferencial:
$$T' + KT = 150K \\ I(t, T) = e^{Kt} \\ e^{Kt} [T' + KT] = e^{Kt} 150K \\ \dfrac{d}{dt} [e^{Kt}T] = e^{Kt} 150K \\ e^{Kt}T = \int e^{Kt} 150K dt = 150e^{Kt} + C \\ T = 150 + Ce^{-Kt}$$
Agora outras informações: T(0) = 50, T(10) = 75. T(0) sempre é conveniente pra descobrir a constante C, então usaremos ele:
$$T(0) = 150 + Ce^0 = 50 \\ C = 50 - 150 = -100 \\ T = 150 - 100e^{-Kt}$$
$$T(10) = 150 - 100e^{-10K} = 75 \\ -100e^{-10K} = 75 - 150 = -75 \\ e^{-10K} = \dfrac{-75}{-100} = 0.75 \\ -10K = \ln{0.75} \approx -0.288 \\ K = \dfrac{-0.288}{-10} = 0.029 \\ T = 150 - 100e^{-0.029t}$$
Equação igualzinha a de outro exercício lá. Agora vamos resolver o exercício T(t) = 100. Veja bem:
$$T = 150 - 100e^{-0.029t} = 100 \\ -100e^{-0.029t} = 100 - 150 = -50 \\ e^{-0.029t} = \dfrac{-50}{-100} = 0.5 \\ -0.029t = \ln{0.5} \approx -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.029} \approx 23.9$$
Sim. É o mesmo resultado da 21. Próxima.

24. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Se, para uma quantidade inicial de uma substância de 100 miligramas, se observa um decréscimo de 5% após dois anos, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante no tempo t;
b) o tempo necessário para uma redução de 10% da quantidade inicial.
Crescimento e decrescimento é sempre o mais fácil, porque sempre depende de pouca coisa. Veja, a equação diferencial pra decrescimento é: N' - KN = 0. Sendo a massa da substância N e K uma constante da equação. Vamos resolvê-la:
$$I(t, N) = e^{\int -Kdt} = e^{-Kt} \\ e^{-Kt} [N' - KN] = 0 \\ \dfrac{d}{dt} [e^{-Kt} N] = 0 \\ e^{-Kt} N = C \\ N = Ce^{Kt}$$
Ok, ok. Sabemos que N é a massa, e que a massa inicial N(0) é igual a 100mg. Substituímos os valores na equação:
$$100 = Ce^0 = C \\ N = 100e^{Kt}$$
E temos que essa massa diminui 5% após dois anos. Se temos 100mg e diminuímos 5%, temos 95mg (hurr). O tempo é 2 anos. Substituímos na equação:
$$95 = 100e^{2K} \\ e^{2K} = \dfrac{95}{100} = 0.95 \\ 2K = \ln{0.95} \approx -0.051 \\ K = \dfrac{-0.051}{2} = -0.026 \\ N = 100e^{-0.026t}$$
Precisamos agora determinar o tempo necessário pra uma redução de 10% da quantidade inicial. Retirando 10% de 100mg temos 90mg, então só substituir N:
$$90 = 100e^{-0.026t} \\ e^{-0.026t} = 0.9 \\ -0.026t = \ln{0.9} = -0.105 \\ t = \dfrac{-0.105}{-0.026} \approx 4.05$$
Ou seja, 4.05 anos. Essa é a resposta.

25. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após uma hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a "meia-vida" (half life) da substância. (Sugestão: designe por N0 a quantidade inicial da substância. Não é preciso conhecer N0 explicitamente)
Nem precisamos trabalhar a equação pra saber que será a mesma coisa da anterior. Não tem valor do outro lado, não tem nem como mudar.
Então, vamos seguir a dica do exercício e determinar um N0 para o momento inicial N(0):
$$N_0 = Ce^{0} = C \\ N = N_0 e^{Kt}$$
Agora temos a informação de que há redução de 10% da quantidade inicial quando se passa uma hora. A massa restante, obviamente, é 90%. Representamos 90% da massa inicial por 0.9N0, assim:
$$0.9N_0 = N_0 e^{1K} \\ e^K = 0.9 \\ K = \ln{0.9} \approx -0.105 \\ N = N_0 e^{-0.105t}$$
A meia-vida da substância é quanto ela tem metade, 50%, da massa inicial. Sendo assim, 0.5N0:
$$0.5N_0 = N_0 e^{-0.105t} \\ e^{-0.105t} = 0.5 \\ -0.105t = \ln{0.5} = -0.693 \\ t = \dfrac{-0.693}{-0.105} \approx 6.6$$
Exato, 6.6 horas.

26. Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial.
A equação é a mesma: N' - KN = 0. Como tal, vamos usar a solução inicial das outras questões de crescimento/decrescimento. Também podemos nos estender ainda mais e usar aquela solução com N0 do exercício passado. No caso:
$$N = N_0 e^{Kt}$$
Temos duas informações: após 10 anos, a população triplica, ou seja, é de 3N0. Após 20 anos, é de 150k habitantes. Perceba que se usarmos N0 do outro lado, podemos cortar os dois N0 e deixar apenas K de variável, assim podendo determiná-la... Então, bem, compensa mais usar a informação que temos com 10 anos.
$$3N_0 = N_0 e^{10K} \\ e^{10K} = 3 \\ 10K = \ln{3} \approx 1.099 \\ K = \dfrac{1.099}{10} \approx 0.109 \\ N = N_0 e^{0.109t}$$
Agora podemos usar a segunda informação para isolar e descobrir N0, veja:
$$150000 = N_0 e^{0.109 \times 20} = N_0 e^{2.18} \\ N_0 = \dfrac{150000}{e^{2.18}} \approx 16956$$
Ou seja, a população inicial era de aproximadamente 16956 habitantes.

Sendo assim, estão resolvidos todos os exercícios do livro recomendado a respeito de variação de temperatura e crescimento/decrescimento de dados diversos. Os próximos são os de circuitos, e os próximos de queda livre. Posso chegar a resolver os de escoamento e de trajetória ortogonal também, mas como não foi conteúdo em sala, não creio que vá cair na prova e não darei prioridade nenhuma a eles.
No mais, é isso. Bom dia a todos!

Aula VII - Cálculo Diferencial e Integral III

Aplicações de equações diferenciais

Variação de temperatura

Equação de Newton:
$$\dfrac{dT}{dt} = -K(T - T_m)$$
Resfriamento:
$$T > T_m \\
\dfrac{dT}{dt} < 0$$
Aquecimento:
$$T_m > T \\
\dfrac{dT}{dt} > 0$$
Agora perceba que:
$$T' = -K(T - T_m) \\
T' = -KT + KT_m \\
T' + KT = KT_m$$
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.

Exemplo:
Um corpo à temperatura inicial de 50°F é colocado ao ar livre onde a temperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) t para T = 75°F.
b) T para t = 20 minutos.
Primeiro, vamos trabalhar na equação da variação de temperatura:
$$T' + KT = KT_m$$
A única informação estável que a temperatura do ambiente é cravada 100°F. Inclusive podemos jogar isso na equação pra facilitar bastante nossa vida:
$$T' + KT = 100K$$
Vamos resolver a partir do fator integrante:
$$y' + p(x)y = g(x)$$
Perceba que y' no caso é T', y é T, p(x) que vira p(K) acaba sendo K e g(x) que vira g(K) é 100K. Vamos jogar então na equação do fator integrante:
$$I(t, T) = e^{\int K dt} = e^{Kt}$$
Multiplicando os dois lados:
$$e^{Kt}[T' + KT] = e^{Kt}*100K$$
Trocando a primeira expressão pela derivada d[y * I(x, y)]/dx, que nesse caso é d[T * I(t, T)]/dt, ficamos com:
$$\dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}] = 100Ke^{Kt}$$
Integrando os dois lados:
$$\int \dfrac{d}{dt}[Te^{Kt}]dt = \int 100Ke^{Kt} dt \\
Te^{Kt} = 100 \int Ke^u \dfrac{du}{K} = 100e^{Kt} + C \\
T = 100 \dfrac{e^{Kt}}{e^{Kt}} + \dfrac{C}{e^{Kt}} = 100 + Ce^{-Kt}$$
Para calcular essa constante C, temos a informação de que a temperatura inicial é de 50°F. Vai ser útil usar a temperatura inicial porque aí podemos anular K, que ainda não temos, já que o tempo inicial é por padrão 0 minutos.
$$t = 0, T = 50°F \\
50 = 100 + Ce^0 = 100 + C \\
C = 50 - 100 = -50 \\
T = 100 - 50e^{-Kt}$$
E agora, para descobrir K, temos a informação de que a temperatura após 5 minutos é 60°F. Vamos jogar esses termos na equação e o que sobra é só K:
$$t = 5, T = 60°F \\
60 = 100 - 50e^{-5K} \\
50e^{-5K} = 100 - 60 = 40 \\
e^{-5K} = \dfrac{40}{50} = 0.8 \\
\ln{|e^{-5K}|} = \ln{|0.8|} \\
-5K \approx -0.22314 \\
K = \dfrac{-0.223}{-5} \approx 0.045$$
Substituindo na equação:
$$T = 100 - 50e^{-0.045t}$$

Agora, vamos resolver a letra A, que pede o tempo quando a temperatura é de 75°F. Só jogar na equação:
$$75 = 100 - 50e^{-0.045t} \\
50e^{-0.045t} = 100-75 = 25 \\
e^{-0.045t} = \dfrac{25}{50} = 0.5 \\
\ln{|e^{-0.045t}|} = \ln{|0.5|} \\
-0.045t \approx -0.693 \\
t = \dfrac{-0.693}{-0.045} \approx 15.4$$
Ou seja, aproximadamente em 15.4 minutos a temperatura do corpo fica a 75°F.

A letra B te dá um tempo de 20 minutos e te pede a temperatura. É ainda mais simples, veja bem:
$$T = 100 - 50e^{-0.045*20} = 100 - \dfrac{50}{e^{0.9}} \approx 100 - \dfrac{50}{2.46} \approx 100 - 20.32 = 79.68°F$$
E está resolvido o exercício.

Crescimento e Decrescimento Populacional

Como a equação de Newton, o crescimento populacional acaba se tornando uma equação diferencial que usa fator integrante. A fórmula que determina isso basicamente é:

$$\dfrac{d}{dt} N(t) = KN$$

O que implica em:

$$N' - KN = 0$$

Não nos foi passado nada além disso, se não me engano, apenas a página com a definição completa e exercícios pra resolver logo em seguida. Quando eu for postar as novas listas (alguém me lembra de falar com o professor por favor!) eu pego bastante no pé de explicar isso melhor. O post foi mais pra explicar a parte de variação de temperatura mesmo, que tem uma série de exercícios a entregar a respeito.

De qualquer forma, bom dia a todos. :)