1. Resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.
Bem, a maior parte estava integrando tudo do mesmo lado, mas uma coisa que eu gosto particularmente de fazer é isolar x e y um em cada canto ANTES dessa integração, porque aí rola menos trabalho. Costuma mudar apenas na hora do C, mas eu costumo ter um jeito de "igualar" ao do professor, então não se preocupem porque o resultado bate. Veja só:
a) xdx + ydy = 0
ydy=−xdx∫ydy=−∫xdx12y2=−12x2+Cy2=−x2+2Cy=±√2C−x2K=2Cy=±√K−x2
b) xdx - y³dy = 0
y3dy=xdx∫y3dy=∫xdx14y4=12x2+Cy4=2x2+4Cy=±√4C+2x2K=4Cy=±√K+2x2
c)dx+1y4dy=01y4dy=−dxy−4dy=−dx∫y−4dy=−∫dx−13y−3=−x+C13y−3=x−Cy−3=3x−3C1y3=3x−3Cy3=13x−3Cy=3√13√3x−3C=13√3x−3CK=−3Cy=13√K+3x
d)(t+1)dt−1y2dy=01y2dy=(t+1)dty−2dy=(t+1)dt∫y−2dy=∫(t+1)dt−y−1=12t2+t+C−1y=12t2+t+C1y=−12t2−t−C=−(12t2+t+C)y=−(12t2+t+C)−1
e)4tdt−y−3ydy=0y−3ydy=4(1t)dt1dy−3(1y)dy=4(1t)∫dy−3∫1ydy=4∫1ty−3ln|y|=4ln|t|+Cln|y3|+ln|t4|=y−Cln|y3∗t4|=y−Cy3t4=ey−C=ey∗e−CK=e−Cy3t4=Key
f)y′=xex2ydydx=xex2y2ydy=xexdx∫2ydy=∫xexdx212y2=xex−∫ex∗1dx[1]y2=xex−(ex+C)=xex−ex−Cy=±√xex−ex−C
[1] integral por partes: u = x, dv = e elevado a x
g)y′=yx2dydx=yx21ydy=1x2dx∫1ydy=∫x−2dxln|y|=−x−1+C=−1x+Cy=e1/x+C=e1/x+eCK=eCy=Ke1/x
h) senx dx + y dy = 0; y(0) = -2
Ok, probleminha de valor inicial. Muda pouca coisa. Primeiro resolvamos:
ydy=−sinxdx∫ydy=−∫sinxdx12y2=−(−cosx)+C=cosx+Cy2=2cosx+2Cy=±√2C+2cosxK=2Cy(0)=−2y=±√K+2cos0=−2y=±√K+2=−2y2=K+2=(−2)2=4K+2=4K=4−2=2y=−√2+2cosx
i)xex2dx+(y5−1)dy=0;y(0)=0(y5−1)dy=−xex2dx∫(y5−1)dy=−∫xex2dx16y6−y=−∫xeudu2x=−12∫eudu=−12eu=−12ex2+C12ex2+16y6−y=Cy(0)=012e0+16∗0−0=CC=1212ex2+16y6−y=12
j)(1+x2)dx+1ydy=0;y(−1)=11ydy=−(1+x2)dx∫1ydy=−∫(1+x2)dxln|y|=−(x+x3/3+C)y=e−(x+x3/3+C)y(−1)=1y=e−(−1+(−1)3/3+C)=1e−(−1−1/3+C)=1e−(−4/3+C)=1e4/3−C=143−C=ln1=0C=43y=e−(x+x3/3+4/3)=e−(x3+3x+4)/3
2. Determine se a equação diferencial apresentada é homogênea. Se for, resolva-a.
a)y′=y−xx
O esquema aqui é o seguinte: vamos lembrar daquele método f(x, y) = f(tx, ty) pra ver se a equação é homogênea. O que acontece é que vamos trocar aonde tem x por tx, e aonde tem y por ty, e terá de ser a mesma coisa. Veja:
y′=ty−txtx=t(y−x)tx=y−xx
Os resultados batem, logo ela é homogênea. Sendo homogênea, resolveremos do método que o professor passou na aula, e com a prática entenderemos bem ele: usaremos um V, tal que V = y/x. E por definição, y' = V + xV'. Ok, ótimo, não deu pra entender nada? Vejamos na prática:
v=yxy=vx[1]y′=v+xv′y′=y−xxv+xv′=y−xx
Lembremos de [1]:
v+xv′=vx−xx=v−1xdvdx=v−1−v=−1dvdx=−1xdv=−1xdx∫dv=−∫1xdxv=−ln|x|+C
Jogando isso na [1]:
y=(−ln|x|+C)x=x(C−ln|x|)ln|K|=Cy=x(ln|K|−ln|x|)=x(ln|K/x|
Honestamente, eu acho essa última parte mais que desnecessária: eu acho que ela atrapalha. Mas só pra chegar na resposta do livro, tá aí.
E sim, equação diferencial homogênea é bem mais chato mesmo. Essa é a mais fácil, inclusive.
b)y′=2y+xx
Pra descobrir se é homogênea:
y′=2(ty)+txtx=t(2y+x)tx=2y+xx
Logo, é homogênea. Logo, bora usar o v = y/x.
y=vxy′=v+xv′y′=2y+xxv+xv′=2y+xx=2vx+xx=2v+1xdvdx=2v+1−v=v+1dvdx=v+1x1v+1dv=1xdx∫1v+1dv=∫1xdxln|v+1|=ln|x|+CC=ln|K|ln|v+1|=ln|x|+ln|K|=ln|Kx|v+1=Kxv=Kx−1y=x(Kx−1)
c)y′=2y2+x2xy
Vendo se é homogênea:
y′=2(ty)2+(tx)2(tx)(ty)=t2(2y2+x2)t2(xy)=2y2+x2xy
Logo, é homogênea. Então vamos resolver:
y′=v+xv′=2y2+x2xyy=vxv+xv′=2(vx)2+x2x(vx)=2v2x2+x2x2v=x2(2v2+1)x2v=2v2+1vv+xv′=2v+1vxdvdx=2v+1v−v=v+1vdvdx=v+1/vx1v+1/vdv=1xdx
Pra ficar mais fácil, vamos fatorar o primeiro termo: multiplicar em cima e embaixo por v.
vv2+1dv=1xdx∫vv2+1dv=∫1xdx
Então. A integral com dx é facílima, mas a com dv é um pouquinho mais complicada. Nada realmente difícil: vamos usar regra da substituição, e veremos que vai dar certo. Chamamos 2v² + 1 de u, assim dv = du/(v² + 1)' = du/2v. Substiuímos o u e o du:
∫vudu2v=∫1xdx12∫1udu=∫1xdx12ln|u|=ln|x|+Cln|u1/2|=ln|x|+C
Fazemos o mesmo esquema geral pra unir a constante ao X, mas dessa vez vamos esperar um pouco
pra usar o K. Vocês vão ver porquê. Vamos trocar por A:
C=ln|A|ln|u1/2|=ln|x|+ln|A|=ln|Ax|u1/2=Axu=A2x2
Agora sim, vamos chamar A² de K. E lembrar que u = v² + 1:
u=Kx2v2+1=Kx2v2=Kx2−1v=√Kx2−1
Por fim, v = y/x. Logo:
yx=√Kx2−1y=±x√Kx2−1
Que é o exato mesmo resultado da lista.
d)y′=2x+y2xy
Verificaremos se é homogênea:
y′=2(tx)+(ty)2(tx)(ty)=2(tx)+t2y2t2(xy)t(2x+ty2)t2(xy)=2x+ty2txy≠2x+y2xy
Logo, não é homogênea e não nos convém resolvê-la.
e)y′=y2+x22xy
Verificaremos se é homogênea:
y′=(ty)2+(tx)22(tx)(ty)=t2(y2+x2)2t2(xy)=y2+x22xy
Logo, é homogênea. Resolvendo:
y′=v+xv′=y2+x22xy=(vx)2+x22x(vx)=v2x2+x22vx2v+xv′=x2(v2+1)2vx2=v2+12v=v2+12vxdvdx=v2−v+12v=12v−v2xdvdx=1/2v−0.5vdvdx=1/2v−0.5vx11/2v−0.5vdv=1xdx
Vamos fatorar de maneira igual a c. E fazer a mesma substituição:
v0.5−0.5v2dv=1xdx∫v0.5−0.5v2dv=∫1xdx∫vudu−1v=∫1xdx−∫1udu=∫1xdx−ln|u|=ln|x|+CC=ln|A|−ln|u|=ln|x|+ln|A|=ln|Ax|
Podemos considerar -ln(u) como ln(1) - ln(u), o que fica:
ln|1u|=ln|Ax|1u=Ax10.5−0.5v2=AxAx(0.5−0.5v2)=10.5Ax−0.5Axv2=1−0.5Axv2=1−0.5AxAxv2=−2+Axv2=−2Ax+1y2x2=−2Ax+1y2=−2x2Ax+x2y2=x2y=√x2−2xAK=2Ay=±√x2−Kx
Honestamente, é o que sempre digo: essas manipulações doidas de constante e tudo mais acho extremamente desnecessárias. Foi só pra chegar na resposta final de alguma forma mesmo.
f)y′=2xyy2−x2
Vendo se é homogênea:
y′=2(tx)(ty)(ty)2−(tx)2=2t2(xy)t2(y2−x2)=2xyy2−x2
Logo, é homogênea. Vamos resolver:
y′=v+xv′=2xyy2−x2=2x(vx)(vx)2−x2=2x2vv2x2−x2v+xv′=2x2vx2(v2−1)=vv2−1xdvdx=vv2−1−vdvdx=(vv2−1−v)x−11v/(v2−1)−vdv=1xdx
Fatorando a parte debaixo da fração ali (multiplicar tudo por (v² - 1) pra poder cortar aquela fração enxerida):
1v−v(v2−1)dv=1xdx1v−v3+vdv=1xdx12v−v3dv=1xdx∫12v−v3dv=∫1xdx
Então né, filhão. Pra mim tá bom por hoje, mas já estou postando porque vai ajudar muita gente que vai estudar essa madrugada. Essa não está resolvida e pelo que entendi precisa utilizar de artifícios legais como frações parciais pra resolver, mas quem tiver uma solução melhor (mais fácil, 1000x mais fácil, fração parcial é o inferno) já sou grato desde já.
No mais, boa noite e bons estudos.
Eng. de Computação
Turma da Unopar - 2011~2015
quarta-feira, 12 de setembro de 2012
domingo, 2 de setembro de 2012
[Equações Diferenciais Ordinárias] Lista 2: forma padrão e forma diferencial
1. Escreva as equações diferenciais na forma padrão. (dy/dx = f(x, y))
a) xy' + y² = 0
xy′=−y2y′=−y2xdydx=−y2x
b) exy′−x=y′
Esse exercício pegou muita gente, mas ele é bem fácil. Veja só, passe y' do lado direito dividindo tudo do lado esquerdo:
ex−xy′=1
Agora tem só um y', só resolver:
−xy′=1−ex−x=y′(1−ex)y′=−x(1−ex)dydx=x(ex−1)
c) (x+y)(x−y)dx−dy=0
Parece confuso, mas é só juntar dy e dx, de modo que dy fique em cima e dx fique embaixo. Veja só:
(x+y)(x−y)dx=dydydx=(x+y)(x−y)
d) (x-y)dx + y²dy = 0
(x−y)dx=−y2dy(x−y)=−y2dydx(x−y)−y2=dydxdydx=−(x−y)y2dydx=(y−x)y2
e) (e2x−y)dx+exdy=0exdy=(y−e2x)dxexdydx=(y−e2x)dydx=(y−e2x)exdydx=yex−ex
2. Escreva as equações diferenciais na forma diferencial. (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) y' = xy
dydx=xydy=(xy)dx(xy)dx−dy=0
b) y' = xy + 1
dydx=xy+1dy=(xy+1)dx(xy+1)dx−dy=0
c) y′=x2y2dydx=x2y2y2dydx=x2y2dy=x2dxx2dx−y2dy=0
d) y′=−2yxdydx=−2yxxdydx=−2yxdy=−2ydx−2ydx−xdy=0
e) y′=xy2x2y+y3dydx=xy2x2y+y3(x2y+y3)dy=(xy2)dx(xy2)dx−(x2y+y3)dy=0
f) y' = x³y + xy³
dydx=x3y+xy3dy=(x3y+xy3)dx(x3y+xy3)dx−dy=0
E está resolvida a lista pra quem quiser estudar. Esqueci de postar logo após a entrega, mas de qualquer forma, aí está.
a) xy' + y² = 0
xy′=−y2y′=−y2xdydx=−y2x
b) exy′−x=y′
Esse exercício pegou muita gente, mas ele é bem fácil. Veja só, passe y' do lado direito dividindo tudo do lado esquerdo:
ex−xy′=1
Agora tem só um y', só resolver:
−xy′=1−ex−x=y′(1−ex)y′=−x(1−ex)dydx=x(ex−1)
c) (x+y)(x−y)dx−dy=0
Parece confuso, mas é só juntar dy e dx, de modo que dy fique em cima e dx fique embaixo. Veja só:
(x+y)(x−y)dx=dydydx=(x+y)(x−y)
d) (x-y)dx + y²dy = 0
(x−y)dx=−y2dy(x−y)=−y2dydx(x−y)−y2=dydxdydx=−(x−y)y2dydx=(y−x)y2
e) (e2x−y)dx+exdy=0exdy=(y−e2x)dxexdydx=(y−e2x)dydx=(y−e2x)exdydx=yex−ex
2. Escreva as equações diferenciais na forma diferencial. (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)
a) y' = xy
dydx=xydy=(xy)dx(xy)dx−dy=0
b) y' = xy + 1
dydx=xy+1dy=(xy+1)dx(xy+1)dx−dy=0
c) y′=x2y2dydx=x2y2y2dydx=x2y2dy=x2dxx2dx−y2dy=0
d) y′=−2yxdydx=−2yxxdydx=−2yxdy=−2ydx−2ydx−xdy=0
e) y′=xy2x2y+y3dydx=xy2x2y+y3(x2y+y3)dy=(xy2)dx(xy2)dx−(x2y+y3)dy=0
f) y' = x³y + xy³
dydx=x3y+xy3dy=(x3y+xy3)dx(x3y+xy3)dx−dy=0
E está resolvida a lista pra quem quiser estudar. Esqueci de postar logo após a entrega, mas de qualquer forma, aí está.
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