Aula VII - Circuitos Elétricos

Teorema de Norton

Consiste em substituir parte do circuito por uma fonte de corrente de Norton (In) e uma resistência de Norton. Etapas:

1. Encontrar a resistência de Norton (Rn). Uma nota interessante é que a resistência de Thévenin é IGUAL a resistência de Norton.
2. Encontrar a corrente de Norton e fechar o circuito onde ele foi separado. Outra nota interessante: enquanto a resistência de Thévenin abria o circuito pra encontrar a tensão no ponto, a de Norton fecha o circuito; é muito raro um resistor em curto nesse caso.

Note que a resistência de Norton fica em paralelo com a resistência desejada, ao contrário da resistência de Thévenin, que fica em série.

Exemplo:

Nesse caso, queremos a tensão naquele resistor de 4 ohms. Vamos fatiar essa última resistência e trabalhar com todo o resto, de maneira por regra semelhante ao teorema de Thévenin. A parte da resistência, como constatado nas etapas, é igual à de Thévenin, então:

Ok, temos duas resistências de 4 em paralelo (4//4 = 2), em série com uma de 4 (2+4 = 6). Logo, resistência de Norton é de 6 ohms. Agora para a parte de descobrir a corrente de Norton:

Vê... A corrente de Norton é a corrente que passa pela última linha do circuito (a etapa 2 descreve bem isso), assim como a tensão de Thévenin é a que está no último elemento do circuito. A diferença da corrente pra tensão é que a corrente não precisa estar passando em alguma coisa pra ser contabilizada (aliás, se não há nada entre um nó e outro é porque o que está no meio está em curto e a corrente será a máxima possível naquele ponto). De qualquer forma, sem mais enrolações: para descobrir a corrente naquele ponto, precisamos saber a corrente total do circuito.
Temos dois resistores de 4 em paralelo (4//4 = 2), em série com um de 4, o que dá 6 ohms. Para descobrir a corrente total, precisamos dividir a tensão total pela resistência total:
$$i = \dfrac{24V}{6\Omega} = 4A$$
Agora nem precisamos fazer mais conta. Analisando o circuito, vemos que a corrente de 4 se divide por dois resistores de valor igual, o que significa que é só dividir por 2 e teremos a corrente em cada ponto. Ou seja: a corrente de Norton no ponto que queremos é de 4/2 = 2A, já que é a corrente que passa por um dos resistores.
Remontando o circuito, lembrando daquela informação relevante que passei mais acima, que as resistências de Norton ficarão em paralelo:

Agora é fácil, né? Os resistores estão em paralelo, o que indica que a tensão é a mesma nos dois pontos... E indica, também, que a tensão desejada nesse circuito é a total. Só precisamos fazer as associações de resistores em paralelo e multiplicar pela corrente:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{6\Omega} + \dfrac{1}{4\Omega} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12} \\ R = \dfrac{12}{5} = 2.4\Omega$$
$$V_0 = 2A * 2.4\Omega = 4.8V$$
Resolvido o exemplo, vamos aos exercícios, que são mais dificinhos que isso.

Exercício 1

Vamos fatiar o resistor de 6 aí, o resto deixaremos. Lembrando que temos duas fontes, então usaremos o teorema da superposição para elas. Primeiro, após o corte, vamos deixar apenas as resistências para descobrir a resistência de Norton que queremos.

Note que temos três resistências de 4 em paralelo, em série com outra de 4. Nesse caso, temos que as resistências em paralelo dão 4/3. Para somar com 4 de uma maneira precisa:
$$R = \dfrac{4}{3} + 4 = \dfrac{12 + 4}{3} = \dfrac{16}{3} \approx 5.33\Omega$$
Vamos trabalhar esse resultado exato em fração ao invés da aproximação. Como sempre.
Agora remontando o circuito já aplicando a superposição e deixando apenas a fonte de 24V, temos:

Veja bem: mais uma vez, são três resistências de 4 em paralelo, em série com outra de 4. Precisamos descobrir a corrente ali na extrema direita, como são três resistores de valor igual a corrente é a que entrar nos nós dividido por 3. Como a corrente que se divide é a total, então é só descobrir essa corrente.
Como eu disse, a resistência é a mesma que descobrimos pra Norton, 16/3. É só dividir a tensão total por isso:
$$i = \dfrac{24V}{\dfrac{16}{3}\Omega} = \dfrac{24 * 3}{16}A = \dfrac{72}{16}A = 4.5A$$
Dividindo isso por 3:
$$i'_n = \dfrac{4.5A}{3} = 1.5A$$

O próximo ponto é isolar a fonte de 6A:

Veja que, dessa vez, o circuito é um pouquinho mais complexo. Mas pela lógica é bem mais fácil de resolver. Pegue bem esse raciocínio meu, pode ajudar um pouco em uma infinidade de exercícios: são quatro resistores em paralelo, então sabemos que a corrente se divide igualmente pelos quatro, certo? Concorda comigo que a corrente total já está dada, e é de 6A? Logo é só dividir ela por 4.
$$i''_n = \dfrac{6A}{4} = 1.5A$$
Ótimo. Agora precisamos fazer a soma das correntes. Antes, note que a polaridade da fonte de tensão está na mesma direção da fonte de corrente, o que indica que haverá soma mesmo, não subtração. Logo a corrente de Norton é 1.5 + 1.5, 3A.
Redesenhando o circuito com a fonte de corrente de 3A e a resistência de 16/3 ohms:

Note que a tensão no resistor sempre será a total, pelo fato dos resistores sempre ficarem em paralelo. É uma associação semelhante ao circuito de Thévenin, que a corrente sempre será a total pelo fato dos resistores estarem em série. Mas bem, resolvendo, temos duas resistências em paralelo e precisamos descobrir essa equivalência para multiplicar pela corrente e descobrir a tensão. Diz-se que:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{\dfrac{16}{3}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{8}{16} = \dfrac{11}{16} \\ R = \dfrac{16}{11} \approx 1.45\Omega$$
Com isso, a tensão no resistor é:
$$V_0 = 3A*\dfrac{16}{11}\Omega = \dfrac{48}{11}V \approx 4.37V$$

E resolvido está o primeiro exercício.

Exercício 2

Bem, o de sempre pra começar: retirar a parte recortada. Daí, primeiro, tirar todas as fontes do circuito e resolver a resistência equivalente para descobrir a resistência de Norton:

Bom, veja que temos em paralelo 2 com 4, em série com o resto (1 e 2, em série). Só fazer as contas então:
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \\ R_{eq} = \dfrac{4}{3}\Omega \approx 1.33\Omega$$
Agora, somando com o resto em série:
$$R_n = 1 + 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{6}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{13}{3}\Omega \approx 4.33\Omega$$
Ok, tendo isso, vamos resolver o resto do circuito através da superposição. Primeiro isolando a fonte de 12V:

Veja bem, queremos descobrir a corrente de Norton aí. Para isso, precisamos da tensão e da resistência no ponto e não temos nenhum desses. Na verdade, a resistência é só somar em série a de 1 e 2, e daí descobrimos uma resistência de 3 ohms que será utilizada no cálculo final. No entanto, a tensão é um pouco mais complicada, já que são resistores em paralelo 3//4 e, pra essa tensão, precisamos da resistência e da corrente que se divide nele.
A resistência é:
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12} \\ R_{eq} = \dfrac{12}{7}\Omega \approx 1.71\Omega$$
Agora só falta a corrente total para descobrir essa tensão. Bem, pra corrente total, precisamos da resistência total e da tensão total - tensão temos, a fonte nos diz qual é, enquanto a resistência é só associar o resistor em paralelo que temos, em série com o de 2 ohms. Fica:
$$R = \dfrac{12}{7} + 2 = \dfrac{12}{7} + \dfrac{14}{7} = \dfrac{26}{7} \approx 3.71\Omega$$
$$i = \dfrac{12V}{\dfrac{26}{7}\Omega} = \dfrac{12*7}{26}V = \dfrac{84}{26}V = \dfrac{42}{13} \approx 3.23A$$
Como descobrimos a primeira solução, vamos só começar a colocar os valores nas associações que fizemos antes. Essa corrente foi descoberta para descobrir a tensão no ponto que queremos, que precisava da resistência (o paralelo 3//4) e a corrente total, então:
$$V_n = \dfrac{42}{13}A \times \dfrac{12}{7}\Omega = \dfrac{504}{91}V = \dfrac{72}{13} \approx 5.54V$$
E precisávamos dessa tensão para descobrir a corrente de Norton, que precisava dessa tensão e da resistência naquele ponto (a que descobrimos ser 3 ohms), então:
$$i'_n = \dfrac{\dfrac{72}{13}V}{3\Omega} = \dfrac{72}{3*13}A = \dfrac{72}{39} = \dfrac{24}{13} \approx 1.85A$$
Ótimo.
Como eu fiz alguma outra vez, esse é o raciocínio padrão que sigo, que torço para que seja fácil de entender. É meio que uma recursividade pra circuitos elétricos, mas que funciona bem e é fácil porque você tem uma análise completa do circuito quando começa a descobrir valores.

Segundo circuito, agora isolando a fonte de corrente de 4A:

Veja bem, a corrente que queremos descobrir está naquele ponto com a resistência de 2 ohms. Precisamos, além da resistência, da tensão naquele ponto - que é a total do circuito. Para a tensão total, precisamos da corrente total (4A) e da resistência total, que é tudo aquilo do outro lado do circuito em paralelo com a resistência de 2 com a corrente. Logo, só resolver:
2 está em paralelo com 4, desnecessário fazer conta de novo porque fizemos lá em cima pra descobrir a resistência de Norton. Dá 4/3, ou 1.33 ohms. Em série com 1, 7/3, ou 2.33 ohms. Agora é só fazer isso em paralelo com 2:
$$R = \dfrac{\dfrac{7}{3} \times 2}{\dfrac{7}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{14}{3}}{\dfrac{7}{3} + \dfrac{6}{3}} = \dfrac{\dfrac{14}{3}}{\dfrac{13}{3}} = \dfrac{14}{13} \approx 1.07\Omega$$
A tensão total, então, é:
$$V = 4A \times \dfrac{14}{13}\Omega = \dfrac{56}{13}V \approx 4.31V$$
E a corrente de Norton:
$$i''_n = \dfrac{\dfrac{56}{13}V}{2\Omega} = \dfrac{56}{13 \times 2}A = \dfrac{56}{26}A = \dfrac{28}{13}A \approx 2.15A$$

Como as polaridades da fonte de tensão correspondem à direção da fonte de corrente, as correntes de Norton serão somadas:
$$i_n = \dfrac{24}{13}A + \dfrac{28}{13}A = \dfrac{52}{13}A = 4A$$
Vantagens claras de se usar fração a todo momento. Apesar de que, não empolguem, o resultado final é quebrado da mesma forma. Enfim! Montemos o circuito de Norton com esses valores então:

Como todo circuito de Norton, só precisamos descobrir a equivalência entre as resistências, e depois a tensão total, e depois a corrente no ponto. Então façamos isso em ordem:
$$R = \dfrac{\dfrac{13}{3} \times 2}{\dfrac{13}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{26}{3}}{\dfrac{13}{3} + \dfrac{6}{3}} = \dfrac{\dfrac{26}{3}}{\dfrac{19}{3}} = \dfrac{26}{19} \approx 1.37\Omega$$
$$V = 4A \times \dfrac{26}{19}\Omega = \dfrac{104}{19}V \approx 5.47V$$
$$i_0 = \dfrac{\dfrac{104}{19}V}{2\Omega} = \dfrac{104}{38}A = \dfrac{52}{19}A \approx 2.74A$$
E essa é a resposta final do circuito. Próximo.

Ao meu ver, superposição pura é muito mais fácil aqui. De qualquer forma, vamos resolver assim, já que a aula é de teorema de Norton. Primeiro, vamos isolar todas as resistências:

Veja bem, já localizei todos os nós para ficar mais fácil de perceber a situação do circuito, porque de vista pode não ser tão fácil entender o quão simples ele é. Todas as resistências de 1 estão em paralelo, em série com uma de 1 (a da extrema esquerda). Para descobrir a resistência em paralelo, vamos dividir 1 por 4, já que todos os valores são iguais e são 4 resistências:
$$R_P = \dfrac{1}{4}\Omega = 0.25\Omega$$
Somando com 1:
$$R_n = 0.25 + 1 = 1.25\Omega$$

Agora vamos isolar cada fonte de tensão:

Veja bem, não se assuste. Podemos redesenhar o circuito, mas chega a ser irrelevante tomar essa atitude. Perceba que o circuito vai da tensão para A, de A para B, e de B para C, e de C para a tensão de novo. Sabemos que tudo que está entre A e B forma uma única resistência em paralelo AB, e tudo que está entre B e C forma uma resistência em paralelo BC... Sendo assim, a resistência AB está em série com a BC.
Mas bem, vamos pensar no método recursivo. Pra que mesmo gostaríamos de saber a resistência total?
1. Queremos a corrente que passa unicamente pelo resistor de 1ohm na extrema esquerda, para ela precisamos da resistência de 1ohm e da tensão, que não temos.
2. Para essa tensão, temos duas alternativas: ou precisamos da resistência de 1ohm e da corrente (que é o que queremos no final do exercício) e ficamos no lenga-lenga ou, como 1ohm está em paralelo com outros dois circuitos, usamos a resistência equivalente desses três resistores e a corrente que se divide nos três. A resistência podemos descobrir dividindo 1 por 3, já que são três resistores iguais:
$$R_{BC} = \dfrac{1}{3}\Omega \approx 0.33\Omega$$
Já a corrente ainda não temos.
3. Para descobrir essa corrente, que é a total já que estamos falando de algo que ainda vai se dividir, precisamos da tensão total de 6V e da resistência equivalente do circuito completo. Já temos uma parte dessa resistência equivalente (Rbc), falta só Rab e juntar as duas pelo que discutimos lá em cima:
$$R_{AB} = \dfrac{1}{2} = 0.5\Omega$$
$$R = \dfrac{1}{3} + 0.5 = \dfrac{1 + 1.5}{3} = \dfrac{2.5}{3} \approx 0.83\Omega$$
$$i = \dfrac{6V}{\dfrac{2.5}{3}\Omega} = \dfrac{6 \times 3}{2.5}A = \dfrac{18}{2.5}A = 7.2A$$
Ótimo, agora vamos voltar pro 2, com essa corrente.
$$V_{BC} = 7.2A \times \dfrac{1}{3}\Omega = \dfrac{7.2}{3}V = 2.4V$$
E agora voltamos pro 1:
$$i'_n = \dfrac{2.4V}{1\Omega} = 2.4A$$
Resolvido isso, vamos pra segunda parte, com a fonte de 12V:

Como vê, um sistema semelhantíssimo ao primeiro. Três resistores em paralelo formando um AB, em série com dois resistores em paralelo que formam um BC. A corrente está acompanhada de uma resistência de 1ohm da parte AB. Mas agora vou propor uma análise diferente e um pouco mais fácil desse circuito, que não dei antes pra mostrar outra maneira de seu funcionamento - ao invés de abrir vários problemas para achar uma solução, e a partir dela começar a achar outras, veja bem o seguinte.
Queremos saber uma corrente de um ponto que está em paralelo com outros dois, sendo que as três resistências têm valores iguais. A tensão em paralelo é sempre a mesma, só pode variar a resistência e a corrente - se a resistência não varia, a corrente também não varia. "Tá, mas o que isso significa?" significa que a corrente se divide igualmente nos três pontos. O que significa que, encontrando a corrente total e dividindo-a por três, você tem a corrente desejada.
Primeiro, vamos encontrar essa corrente total, que precisa da resistência total e da tensão de 12V:
$$R_T = R_{AB} + R_{BC} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2.5}{3} \approx 0.83\Omega$$
$$i = \dfrac{12V}{\dfrac{2.5}{3}\Omega} = \dfrac{12 \times 3}{2.5}A = \dfrac{36}{2.5}A = 14.4A$$
Logo:
$$i''_n = \dfrac{14.4A}{3} = 4.8A$$
Estando as duas correntes In no mesmo sentido, soma-se elas:
$$i_n = 2.4A + 4.8A = 7.2A$$

Agora, redesenhando o circuito de Norton:

Dessa vez bem fácil, né? A tensão consumida pelos dois é igual, então a tensão total no circuito é V0. Vejamos, a resistência equivalente é:
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{1.25} + \dfrac{1}{1} = 0.8 + 1 = 1.8\Omega \\ R = \dfrac{1}{1.8}\Omega \approx 0.56\Omega$$
Sendo assim:
$$V_0 = 7.2A \times \dfrac{1}{1.8}\Omega = \dfrac{7.2}{1.8}V = 4V$$
E está resolvido o exercício.

Felizmente poderei acelerar as próximas aulas agora, já que capacitores e indutores foram mais simples (só com uns gráficos que serão chatinhos de desenhar), e números complexos são de boa... Daí o problema fica por conta dos circuitos de CA. Mas bem, adiantando aqui (3 dias da semana tentarei estar progredindo em circuitos aqui no blog!), acho que dá tempo de, até umas semaninhas antes da prova, estar tudo nos trinques.
Bom dia a todos!

Aula IV - Circuitos Elétricos

Teoremas para Análise de Circuitos

- Teorema da Superposição

- Teorema de Thévenin

- Teorema de Norton

Teorema da Superposição

- Podemos aplicar este teorema [...] (eu cheguei atrasado essa aula, quem tiver e puder me passar essa parte, fico grato rs)

- Quantidade de fontes independentes é igual ao número de circuitos a serem analisados.

Exemplos:
Determine $i_0$:

O esquema é o seguinte: temos um circuito simples com duas fontes de tensão diferentes. Como o exemplo é pra mostrar como funciona a Superposição, não vamos nem nos dar ao trabalho de analisar e ver qual método é melhor. Simplesmente vamos seguir o método à risca.

Para redesenhar o circuito, há um procedimento simples: toda vez que você tira uma fonte de tensão, você deixa a linha lá, vazia. Toda vez que você tira uma fonte de corrente, você retira a linha também. Haverá caso aonde o resistor perderá a referência e ficará pra fora do circuito no caso das fontes de corrente, mas por enquanto não vamos nos importar.

Vamos redesenhar o primeiro circuito, retirando a fonte de 64V.

Ok, agora o que temos aqui é algo muito simples: uma fonte de 12V, um resistor de 3Ω e uma divisão: uma com um resistor de 3Ω, outra com um resistor de 6Ω e a corrente $i_0$ que queremos descobrir.
A análise agora é muito simples: primeiro, temos que descobrir a corrente total, então é só desmontar tudo.

Isso daí vai se juntar com o resistor de 3Ω, mostrando que o circuito totaliza 5Ω de resistência. Como temos a voltagem total de 12V, a corrente total é só a divisão de 12V por 5Ω, que resulta em 2,4A.
Agora precisamos descobrir o primeiro $i_0$, que chamaremos de $i'_0$ pelo fato de ser apenas um deles. Sabemos que a corrente $i'_0$ é a que passa no resistor de 6Ω, então é só descobrir a voltagem consumida por ele e temos como calculá-la.
As leis dos circuitos determinam que, numa divisão em paralelo, a mesma tensão vai para os dois lados sem se dividir. O cálculo para ela é dado pela corrente total vezes a resistência equivalente, a corrente total sabemos que é 2,4A, e lá em cima fizemos o cálculo de resistência equivalente que deu 2Ω, então temos que:

$V = 2.4A*2\Omega = 4.8V$

Ótimo, podemos saber a corrente que passa pela resistência de 6Ω dividindo essa tensão por ela. Simples assim:

$i'_0 = \dfrac{4.8V}{6\Omega} = 0.8A$

Agora precisamos descobrir a segunda corrente. Vamos redesenhar o circuito novamente, dessa vez apenas com a fonte de tensão de 64V. Como o item removido é uma fonte de tensão (a de 12V), o circuito permanecerá o mesmo, só que sem ela.

Esse é ainda mais fácil, a corrente total é a corrente $i''_0$: perceba que a corrente que está indo para a fonte no positivo é a própria $i''_0$. A única diferença é que, como ela vai pro positivo (e sai no negativo), ela está claramente em seu sentido oposto e por isso para descobri-la precisamos inverter o sinal da corrente total.

Primeiramente, para descobrir essa corrente total, precisamos descobrir a resistência total do circuito. Temos uma resistência de $6\Omega$, seguida de duas resistências de $3\Omega$ em paralelo. É só resolver as em paralelo e somar com a em série:

$R_T = R_1 + R_{eq1} = 6 + \dfrac{3*3}{3+3} = 6 + \dfrac{9}{6} = 6 + 1.5 = 7.5\Omega$

Temos a voltagem total de 24V já especificada desde o início, façamos então a corrente total:

$i_T = \dfrac{64V}{7.5\Omega} = 3.2A$

Logo: $i''_0 = -3.2A$

Tendo essas duas correntes, o que precisamos fazer é somar $i'_0$ com $i''_0$ para obter $i_0$ total. Vamos fazer?

$i_0 = 0.8 + (-3.2) = 0.8 - 3.2 = -2.4A$

Resolvido esse problema, vamos ao próximo.

Encontre $i_0$.

Agora temos uma fonte de corrente e uma fonte de tensão. Foi explicado no outro exercício como se faz com uma fonte de corrente, mas não foi aplicado ainda: dessa vez, será mostrado na prática essa de "retirar a linha da fonte de corrente quando ela é eliminada".

Redesenhe o circuito, retirando a linha, sem se preocupar com como vai ficar, se parece resolvível ou etc. Apenas retire. Esse será o resultado:

Ótimo. Ficou um circuito bem fácil, não é? Temos duas resistências ($4\Omega$ e $8\Omega$) em série, em paralelo com uma de $6\Omega$, tudo isso em série com uma de $2\Omega$. Vamos fazer algumas associações lógicas pra evitar contas desnecessárias: todos os resistores em paralelo estão em série com $2\Omega$, o que significa que há de sobrar uma tensão para ele no final, logo é impossível que eles consumam todos os 36V. Precisamos descobrir essa tensão antes de descobrir a corrente $i'_0$, e para descobri-la, precisamos saber qual é a corrente total.

Ok, bastante coisa pra resolver de qualquer forma.

Primeira associação: série - $R_s = 4 + 8 = 12\Omega$

Segunda associação: paralelo - $R_{eq} = \dfrac{6*12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: série - $R_T = 4 + 2 = 6\Omega$

Temos a resistência total, temos a tensão total:
$i_T = \dfrac{36V}{6\Omega} = 6A$

Com isso, podemos descobrir quanto aquele resistor final de $2\Omega$ consome. É fácil, já que temos a corrente e a resistência:

$V_{2\Omega} = 6A*2\Omega = 12V$

Sabemos então que V no ponto aonde está a corrente $i'_0$ que queremos descobrir é 36V, menos o que esse resistor consumiu, 12. Acaba que:

$V_0 = 36-12 = 24V$

Assim, a corrente naquele ponto depende dessa voltagem 24V e da resistência fornecida pela malha aonde ela está. Note que a corrente corre pelo ponto aonde há $4\Omega$ e $8\Omega$ apenas, então ela depende desses dois resistores, que já associamos em série ter $12\Omega$.

$i'_0 = \dfrac{24V}{12\Omega} = 2A$

Ótimo. Segunda parte, com a fonte de corrente: lembrando que a fonte de corrente fica, e a fonte de tensão vai embora, mas deixa a linha vazia. Redesenhando:

Temos o seguinte: os resistores de 4 e 8 em série, em paralelo com um de 6, tudo isso em paralelo com o de 2. Não é difícil enxergar isso, inclusive creio ser desnecessário redesenhar, mas se for podem me avisar. Ao contrário do circuito anterior, a corrente 12A se divide para os dois lados quando sai, então a resistência de 2 não pode estar em série com ninguém.

Primeiro vamos descobrir a voltagem total, ou seja, primeiro mesmo vamos descobrir a resistência total para que seja possível essa voltagem.

Resistência em série de 4 com 8: $R_s = 4+8 = 12\Omega$

Resistência em paralelo de 12 com 6: $R_{eq} = \dfrac{12*6}{12+6} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: $R_T = \dfrac{2*4}{2+4} = \dfrac{8}{6} \approx 1.33\Omega$

Claro que esse resultado de 1.33 é simbólico, porque trabalharemos com a fração nas próximas equações. Acaba ajudando na precisão do resultado, embora ele costume ser impreciso mesmo assim. A voltagem total é a multiplicação dessa resistência pela corrente total, que é 12A, determinada pela fonte de corrente. Logo:

$V = (\dfrac{8}{6}\Omega)*12A = \dfrac{96}{6}V = 16V$

Percebamos também que essa tensão é a mesma que vai para o resistor de $2\Omega$ e que vai, bem, para a divisão de 6 com 12. Logo, a tensão em todos esses pontos é 16V, o que significa que só precisamos pegar essa tensão e colocar sobre a resistência no ponto para descobrir a corrente $i''_0$.

$i''_0 = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3} \approx 1.33A$

Lembremos do exercício: só somar as correntes encontradas e temos a final.

$i_0 = 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{6+4}{3} = \dfrac{10}{3} \approx 3.33A$

Mais um resolvido. Próximo.

Determine $i_0$.

Ok, esse parece bem mais complicado. De fato é pelas associações em diferentes, mas nem tanto assim, vamos resolvê-lo. Primeiro, retiraremos a fonte de corrente e deixaremos aquela linha vazia:

Ok, temos o seguinte: de um lado, dois resistores de 6; do outro, um único resistor de 6; no meio, outro de 6. Se formos resolver, os dois de 6 ficarão em série, e essa série está em paralelo com de 6 do outro lado. O resultado disso estará em série com o de 6, no meio. Não é muito confuso se você observar atentamente.

Já note também que a corrente que vai para os dois lados sobe, se divide, desce e retorna; ou seja, $i'_0$ está oposto a esse sentido e será negativo. Para descobrir essa corrente, primeiro precisamos descobrir a voltagem naquele ponto; e para chegar nela, só desmontando tudo e descobrindo a corrente total.

Fazendo as equivalências:

Resistores em série: $R_s = 6+6 = 12\Omega$

Associação em paralelo: $R_{eq} = \dfrac{6*12}{6+12} = \dfrac{72}{18} = 4\Omega$

Resistência total: $R_T = 4+6 = 10\Omega$

Logo, a corrente total será:

$i_T = \dfrac{30V}{10\Omega} = 3A$

Agora podemos descobrir a voltagem nos dois lados do circuito, que será útil para definir a corrente $i'_0$. Ela se dá pela multiplicação dessa corrente total pela resistência equivalente de todos eles, que já definimos ali ser 4.

$V_0 = 4\Omega*3A = 12V$

Ótimo, agora só dividir isso pela resistência em série do lado que queremos, que é 12. Temos a corrente naquele ponto. Como já definimos desde o início que a corrente $i'_0$ é negativa, já coloquemos o sinal em sua conta:

$i'_0 = -\dfrac{12V}{12\Omega} = -1A$

Primeira corrente descoberta, falta a outra. Agora peguemos aquele circuito inicial e retiremos a fonte de tensão de 30V, mas apenas ela, deixe a linha intacta.

Ok? Esse daí já não é tão fácil de visualizar o que está em série e o que está em paralelo. Uma boa dica que foi ensinada em aula é marcar os nós com letras: se não há nada de um nó a outro, coloque a mesma letra pra ambos; se há algum resistor, coloque outra letra no outro nó, e vá repetindo até ter marcado todos os nós.

Desenhando, vai ficar assim:

OK, agora o esquema é o seguinte: os resistores que estão entre as mesmas duas letras estão em paralelo, e se houver alguma ligação entre eles que não for essa, estarão em série. Por exemplo, os dois de $6\Omega$ ali do lado, eles estão entre A e B, ambos; estão em paralelo.

Podemos redesenhar novamente, mas acho desnecessário essa parte. Fica claro que esses dois estão em série com o de baixo, e o resultante estará em paralelo com o de cima. Espero que tenham conseguido visualizar, descobrindo os resultados vou redesenhá-lo nesse passo após a resistência em série porque facilitará bastante descobrir a corrente $i''_0$.

Mas ok, vamos resolver as equivalências que encontramos:

$R_{eq} = \dfrac{6*6}{6+6} = \dfrac{36}{12} = 3\Omega$

$R_s = 3+6 = 9\Omega$

$R_T = \dfrac{9*6}{9+6} = \dfrac{54}{15} = 3.6\Omega$

Com isso, a voltagem total é fácil:

$V = 3.6\Omega*10A = 36V$

E o $i''_0$? Note bem o circuito redesenhado. Eu me dei ao trabalho de fazê-lo porque ele torna muito mais fácil a interpretação e análise do $i''_0$, sem ter de ficar se confundido com aqueles dois resistores de 6. Essa corrente leva em conta toda a parte de baixo do circuito, que tem o total de 36V, já que eles vão igualmente para o resistor de 6 de cima e o de 9 embaixo.

Ou seja: a corrente $i''_0$ se dá pela simples divisão da tensão 36V pela resistência total de $9\Omega$ naquele ponto:

$i''_0 = \dfrac{36V}{9\Omega} = 4A$

Pronto, agora para descobrir $i_0$ total, é só somar os resultados dos dois circuitos:

$i_0 = -1+4 = 3A$

E está resolvido mais um exercício.

Determine $i_0$.

Ok, outro que parece desafiador, e até é um pouco sim... Mas pela sua segunda parte, a primeira é facílima. Quer ver? Retire a fonte de corrente e a linha pertencente a ela, teremos o seguinte circuito:

O que temos aqui? Algo extremamente óbvio. De um lado, dois circuitos em série; do outro, mais dois circuitos em série. Tudo isso em paralelo. Mas quem se importa? A corrente $i'_0$ está no lado esquerdo do circuito, e temos a voltagem total, então só precisamos dividi-la pela resistência em série naquele ponto. E, claro, lembrar que a fonte de tensão é positiva pra baixo, por isso a corrente está no sentido oposto e seu sinal será negativo.

$R_s = 4+12 = 16\Omega$

$i'_0 = \dfrac{32V}{16\Omega} = -2A$

Um desses bem que poderia cair na prova, rs.

Agora vamos redesenhar tirando a fonte de tensão e deixando a de corrente apenas, que vai ficar assim:

Esse é um pouquinho mais difícil, mas nada muito absurdo também. Vamos colocar as letras daquela forma que fizemos na 3:

Vemos aí que ambas resistências de 6 e 12 vão de A a B, e ambas de 4 e 12 (a outra de 12) vão de B a C. Logo, são duas resistências em paralelo, que acabarão em série. Queremos saber $i''_0$ que está passando unicamente pelo resistor de $4\Omega$, podemos fazer isso através de sua tensão por essa resistência... E como ele está em paralelo com um resistor de 12, sua tensão é descoberta pela corrente total (lembrem-se: esses dois estão em série com os outros dois) vezes a resistência equivalente.

Primeiro, vamos descobrir a resistência equivalente:

$R_{eq} = \dfrac{12*4}{12+4} = \dfrac{48}{16} = 3\Omega$

E agora, façamos a multiplicação disso pela corrente total:

$V_0 = 12A*3\Omega = 36V$

Por fim, para descobrir $i''_0$, o que já falamos antes: isso sobre a resistência equivalente. O sinal é positivo, a corrente está no sentido correto se considerarmos a fonte de corrente acima.

$i''_0 = \dfrac{36V}{4\Omega} = 9A$

E ok, agora é somar as duas correntes e descobrir a final:

$i_0 = -2+9 = 7A$

E estão resolvidos todos os exercícios da aula. Da aula, não das listas.

Aliás, eu sei que isso não é a lista e estão mais ansiosos pra lista que pra isso que vocês já têm no caderno. Mas é o que já ando falando em sala: só posto esse tipo de coisa que não é resolvido lá com autorização do professor, e como ainda não conversei com a professora a respeito (e é provável que não tenha aprovação porque, bem, são listas que valem nota), posto só isso por enquanto.

No entanto, o conteúdo é o mesmo: salvo alguns detalhes, se você entendeu isso que postei, é bem provável que consiga resolver aqueles três exercícios da sala. Bom dia, e boa sorte a todos!